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%
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\externaldocument[P-]{./Propagateurs}

\begin{document}
%
\def\todec{{\overline {\overline {\Upsilon  }}}_{,dec} }
\def\tox{{\overline {\overline {\Upsilon  }}}_{,x} }
\def\dt{{\delta t}}
\def\edtaux{{exp (-{\delta t  \over \taux } ) }}
\def\deta{{\delta \eta } }
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\def\Dt{{\delta t } }
\def\dfi{{\delta \varphi } }
\def\Dfi{{\Delta \varphi } }
\def\dts{{\delta t\over 2 } }
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\def\d(#1)G{{\overline {\overline {\partial_#1 G}}} }
\def\dA{{\overline {\overline {\partial A}}} }
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\def\VD{{\mathcal V \mathcal D}}
%à ù
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% essai pour subsection a la JAM, cad italique a. titre
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% d'abord, numero = alphabetique
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\title{Analyse élémentaires de la matrice d'avance et propagateur\footnote{.}\date{Juin 2005}}
\maketitle
%
{\it On traite de divers problèmes soulevés dans l'unsecte concernant l'analyse en éléments propres
et singuliers de la matrice d'avance d'état et du propagateur dans le SLTC de modèle dynamique.}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Avance et sensibilité des éléments propres}
On considère une  matrice réelle carrée $A(t,\varpi)$ intervenant dans une équation
 d'avance d'état
%
\begin{equation}
\partial_t x = A(t) x(t)
\label{sltc}
\end{equation}
%
où $x(t)$ est un écart à la trajectoire de référence $\mathcal{T}(0,T)$. On appelle $E$ la matrice
des Vecteurs Propres (V.P.) et $\Lambda$ la matrice diagonale des valeurs propres (v.p.).
De même, $F$ les V.P. à gauche, \cad que l'on a par définition :
%
\begin{equation}
A E = E \Lambda (t)
\label{vpd}
\end{equation}
%
et
%
\begin{equation}
F^{\dagger} A = \Lambda  F^{\dagger} (t)
\label{vpg}
\end{equation}
%

On va examiner des propriétés de base de ces concepts pour insister sur un aspect opératoire
qu'il me semble important de respecter pour éviter certains court-circuits pouvant mener
à des résultats erronés. Il s'agit d'éviter de raisonner ligne par ligne mais de conserver
l'aspect matriciel, on verra pourquoi. On montre d'abord le résultat classique de propriétés
entre $F$ et $E$, en multipliant respectivement à gauche et à droite les expressions
précédentes par la matrice $F^{\dagger}$ (et $E$); on obtient l'égalité :
%
\begin{equation}
F^{\dagger} A E =F^{\dagger} E \Lambda  =\Lambda F^{\dagger} E
\label{vpgd}
\end{equation}
%
et le produit $F^{\dagger}E$ commute avec la matrice diagonale $\Lambda$, ce qui n'est possible, en supposant
tous ses éléments distincts, que si $F^{\dagger}E$ est elle-même diagonale. Il est alors possible, et
on le supposera dans la suite, de normaliser $F^{\dagger}E=I$. L'un des développement nécessaire de ce travail
sera de considérer les cas dégénérés où $A$ possède des v.p. non toutes distinctes, comment
utiliser la forme Jordan générale lorsqu'elle n'est pas diagonalisable, etc.

On reprend à présent l'idée de stb d'utiliser cette propriété~(\ref{vpgd}) pour examiner la variation de ces
éléments quand le temps change, ou la valeur d'un paramètre, du SLTC caractérisé par $A(t, \varpi); t\in\{0,T\}$
le long de $\mathcal{T}$.
On note ainsi de manière générique par $x'$ une dérivée par rapport à $t$ ou $\varpi$. La démonstration
de stb est la suivante 
%
\begin{eqnarray}
A \ket{e} &=& \lambda \ket{e}\nonumber\\
(A \ket{e})' &=& A'\ket{e} + A \ket{e'} = \lambda' \ket{e}+ \lambda \ket{e'}\nonumber\\
\end{eqnarray}
%
en considérant un seul élément. Après multiplication par $\bra{f}$ associé à $\ket{e}$ on obtient
successivement
%
\begin{eqnarray}
\bra{f}A'\ket{e} + \bra{f} A \ket{e'} &=& \lambda' \scal{f}{e}+ \lambda \scal{f}{e'}\nonumber\\
\bra{f}A'\ket{e} + \lambda\scal{f}{e'} &=& \lambda' \scal{f}{e}+ \lambda \scal{f}{e'}\nonumber
\end{eqnarray}
%
d'où le beau résultat
%
\begin{eqnarray}
\lambda' =\bra{f}A'\ket{e}            & &
\end{eqnarray}
%
qui permet de connaître la variation d'une v.p., indépendamment de celles des V.P., dès que l'on sait
calculer $A'$\footnote{d'où les doubles dérivations de stb et ses élégants {\bf buffers overflow} dans Mortran.}.
%
\subsection*{\it\bf {je vous demande de vous arrêter\footnote{ou {\it errare humanum est}} }}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
C'est là que je m'insurge\rotatebox{7}{\scalebox{-1.15}[1.]{?}}, car ce raisonnement me semble risqué. La dérivation ne prend en effet pas en compte
la rotation possible des autres éléments propres de $A$, on ne prend pas le risque de les considérer. De façon
plus générale, il s'agit de la définition même de $d_t$ ou $d_{\varpi}$ qui est en jeu.

D'où le développement suivant préconisé, qui prend en compte tout l'espace des phases :
%
\begin{eqnarray}
(A E)' &=& A'E + A E' = E' \Lambda + E \Lambda '\nonumber\\
F^{\dagger}(A E)' &=& F^{\dagger}A'E + F^{\dagger}A E' = F^{\dagger}E' \Lambda + F^{\dagger}E \Lambda '\nonumber\\
        &=& F^{\dagger}A'E + \Lambda F^{\dagger}E' = F^{\dagger}E' \Lambda +  \Lambda '\nonumber
\end{eqnarray}
%
et le résultat
%
\begin{eqnarray}
\label{lpgene}
 \Lambda '  &=& F^{\dagger}A'E + \left[\Lambda,F^{\dagger} E'\right] \\
\left[\Lambda ,F^{\dagger} E'\right]  &=&\Lambda F^{\dagger}E' - F^{\dagger} E'\Lambda \nonumber
\end{eqnarray}
%
avec la définition du commutateur $\left[,\right]$.  Il n'y a aucune raison pour que $F^{\dagger}E'$
soit diagonale. La propriété liant $F$ a $E'$ provient de la normalisation
%
\begin{eqnarray}
 (F^{\dagger}E)'  &=& 0 = F^{\dagger}E' +F'^{\dagger}E
\label{relef}\end{eqnarray}
%
Mais par ailleurs les mêmes calculs appliqués à~(\ref{vpg}) aboutissent au résultat
%
\begin{eqnarray}
 \Lambda '  &=& F^{\dagger}A'E + \left[F'^{\dagger}E,\Lambda\right]
\label{epvar}\end{eqnarray}
%
qui s'obtient aussi par la substitution de $F^{\dagger}E'$ par $-F'^{\dagger}E$ dans~(\ref{lpgene}). Pour être complet,
on a encore
%
\begin{eqnarray}
\left[\Lambda ,F^{\dagger} E'\right]  &=&\Lambda F^{\dagger}E' - F^{\dagger} E'\Lambda = \Lambda F^{\dagger}E'+F'^{\dagger}E\Lambda\nonumber
\end{eqnarray}
%

A présent, on est en droit de considérer chaque élément de la matrice $\Lambda'$, qui reste diagonale.
Considérant la ligne $i$ et la colonne $j$  du commutateur
%
\begin{eqnarray}
(\left[\Lambda,F^{\dagger} E'\right])_{i,j} &=& (\lambda_i -\lambda_j) \scal{f_i}{e'_j}
\end{eqnarray}
%
on aboutit aux deux résultats suivants, in et hors diagonale :
%
\begin{eqnarray}
 \lambda'_i  &=& \bra{f_i} A'\ket{e_i} \label{sigvp}\\
  \bra{f_i} A'\ket{e_j} &=& (\lambda_i-\lambda_j)\scal{f_i}{e'_j}
\label{sigVP}\end{eqnarray}
%
on peut alors accroire le résultat de stb d'une part, mais aussi remarquer que les $n(n-1)$
équations supplémentaires permettent de trouver les variations de $E$, ce qui en nécessite $n^2$.
Il reste $n$ contraintes. On peut donc imposer une contrainte sur les modules, soit $n$. $F'$
se déduit de $E'$.
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Le même pour les éléments singuliers}
%
On utilise maintenant la décomposition de $A$ en éléments singuliers, \cad que l'on a
par définition :
%
\begin{eqnarray}
A V &=& U \diag{w} (t)\nonumber\\
U^{\dagger}A &=& \diag{w} V^{\dagger}(t)\nonumber
\label{vsd}
\end{eqnarray}
%
où $\diag{w}$ est la diagonale définie positive des éléments singuliers, et avec la normalisation
%
\begin{equation}
U U^{\dagger} = V V^{\dagger} = I
\label{vsn}
\end{equation}
%
On répète la dérivation semblable à celle des V.P. :
%
\begin{eqnarray}
(A V)' &=& A'V + A V' = U' \diag{w} + U \diag{w'} \nonumber\\
U^{\dagger}(A V)' &=& U^{\dagger}A'V + U^{\dagger}A V' = U^{\dagger}U' \diag{w} + U^{\dagger}U \diag{w'}\nonumber\\
                  &=& U^{\dagger}A'V + \diag{w} V^{\dagger}V' = U^{\dagger}U' \diag{w} +  \diag{w'}\nonumber
\end{eqnarray}
%
et le résultat
%
\begin{eqnarray}
 \diag{w'}  &=& U^{\dagger}A'V - U^{\dagger}U' \diag{w} + \diag{w} V^{\dagger}V'
\label{wpgene}
\end{eqnarray}
%
La normalisation donne de plus
%
\begin{eqnarray}
 (U^{\dagger}U)'  &=& 0 = U'^{\dagger}U +U^{\dagger}U' \nonumber\\
\end{eqnarray}
%
et ainsi les matrices $U^{\dagger}U'$ et $V^{\dagger}V'$ sont
antisymétriques. On a aussi le résultat croisé 
%
\begin{eqnarray}
 \diag{w'}  &=& U^{\dagger}A'V + U'^{\dagger}U \diag{w} - \diag{w} V'^{\dagger}V
\label{wpgene2}
\end{eqnarray}
%
On peut à présent examiner les termes in et hors diagonale :
%
\begin{eqnarray}
 w'_i  &=& \bra{u_i} A'\ket{v_i} \\
  \bra{u_i} A'\ket{v_j} &=& w_i\scal{v'_i}{v_j} - w_j\scal{u'_i}{u_j}\\
                        &=& w_i\scal{v'_i}{v_j} + w_j\scal{u_i}{u'_j}\nonumber
\label{sigvs}\end{eqnarray}
%
du fait de la dite antisymétrie.
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Application dans \Minik}
%
Dans les cas précédents, la matrice $A$ est le tableau dit {\bf aspha} de \Minik,
qu'il s'agit de dériver par rapport au paramètre choisi par la commande
{\bf free-parameter}. En appliquant simplement la règle de dérivation de fonction
de fonction à $\partial_t \eta = g(\eta,f(\eta,\varphi),t)$, on trouve,
avec $A^{spha}=H+B(I-D)^{-1}C^{\dagger}$ :
%
\begin{eqnarray}
 d_{\varpi} A^{spha} =&& d_{\varpi}H + d_f H d_{\varpi}f \nonumber\\
                 &+& [ d_f B d_{\varpi} f + d_{\varpi}B ] (I-D)^{-1} C^{\dagger} \nonumber\\
                 &+& B [ (I-D)^{-1}d_{\varpi} C^{\dagger}  - (I-D)^{-1} d_{\varpi}[D] (I-D)^{-1} C^{\dagger} ];
\label{dpiaspha}\end{eqnarray}
%
Le calcul des dérivées de matrices -- elles mêmes obtenues par dérivation
 -- sont obtenues par double dérivation formelle des fonctions $g$ et $f$.
Ces calculs sont répartis dans trois séquences. Les deux premières sont  ({\bf dPi$\_$CtD, dPi$\_$HBbf}),
qui donnent les dérivées par rapport au paramètre $\varpi$ des quatre matrices jacobiennes
et de la fonction $f(\eta,\varphi$. La troisième séquence ({\bf dffk$\_$HBb}) fournit
$df H$ et $d_f B$ pour la $k^{ieme}$ colonne de la fonction vectorielle $f$. Un boucle
sur $k=1,m$ permet ainsi de compléter le calcul de la formule~(\ref{dpiaspha}).

Un utilisation spécifique du type de~(\ref{sigvp}) ou~(\ref{sigvs}) s'effectue dans
{\bf ZSTEER}\footnote{un exemple est fourni avec {\bf lorhcl}, ou voir avec seb et stb
qui sont à l'origine de ce développement.}.
% ----------------------------------------------------------------------
\subsection*{Algorithme efficace pour la variation des Vecteurs Propres}
%
Il s'agit de calculer $E'$ (et $F^{'\dagger}$) à partir de la formule~(\ref{sigVP}),
qui s'écrit matriciellement
%
\begin{equation}
\Lambda F^{\dagger} E' = \Lambda' - F^{\dagger}A'E + F^{\dagger} E'\Lambda
\end{equation}
%
ou encore
%
\begin{equation*}
 E' = P E'\Lambda + Q
\end{equation*}
%
avec les deux matrices connues :
$P= E \Lambda^{-1}F^{\dagger}; \quad Q = E \Lambda^{-1}[\Lambda' - F^{\dagger}A'E]$. On
résout ce système colonne par colonne ($i$).
%
\begin{equation*}
 \ket{e' _i} = (I-\lambda_i P)^{-1}\ket{q_i}
\end{equation*}
%
On propose de calculer $P^{-1}$ une fois pour toute et d'appliquer la formule de Woodburry :
%
\begin{equation*}
 P\rightarrow R^{-1}=P + \ext{u}{v} \quad \Rightarrow\quad P^{-1}\rightarrow P^{-1}
       - \frac{P^{-1}\ext{u}{v}P^{-1}}{1+\bra{v}P^{-1}\ket{u}}
\end{equation*}
%
Notre application est la plus simple possible, avec $\ket{v}=\ket{u}$ vecteurs de la base
d'Euler de l'espace des états, qui vont sélectionner des lignes et colonnes de $P^{-1}$,
d'où un calcul itératif de $-R=(\lambda^{-1}_i\sum_k \ext{u_k}{u_k} - P)^{-1}$ avec
%
\begin{equation*}
 R^{k} = R^{k-1} +[\lambda_i(1+r^{k-1}_{kk})]^{-1} \ket{r^{k-1}_{k}}\bra{r^{k-1}_{k}}
\end{equation*}
%
qui utilise itérativement les $k+1^{eme}$ ligne, colonne, et un terme diagonal de l'itération précédente
ayant donnée $R^{k-1}$. Il reste ensuite à multiplier par la i$^{eme}$ colonne de $Q$
pour avoir $\ket{e'_i}$. Le calcul des $F^{'\dagger}$ s'en déduit par la formule~(\ref{relef}).

Pardon, c'est un peu elliptique, je décompose~:\\ on calcule itérativement
$-R^n=(\lambda^{-1}_i\sum_k \ext{u_k}{u_k} - P)^{-1}$, avec une première modification ($k=1$)
%
\begin{equation*}
\displaystyle R _1 = P^{-1} -\lambda_i ^{-1}\frac{\ext{p^{-1}_1}{p^{-1}_1}}{1+p_{11}}
\end{equation*}
%
en se servant, donc, des premières ligne, colonne, élément diagonal de la $P^{-1}$ originelle
(les indices d'itération sont en exposants).
La Shermann est ensuite réutilisée pour une modification de $R^1$ ($k=2$), avec même formule
où cette fois ce sont les deuxièmes\footnote{remarquez l'utilisation politiquement correcte de l'accord
du genre~: {\it Donna prima}.} ligne, colonne et élément diagonal de $R^1$ qui sont
sollicités~:
%
\begin{equation*}
\displaystyle R^2 = R^1 -\lambda_i ^{-1}\frac{\ext{r^1 _2}{r^1 _2}}{1+r^1_{22}}
\end{equation*}
% 
dès qu'on a obtenu $R^n$, on a $\ket{e'_i}=-R^n\lambda_i\ket{p_i}$. Ça va mieux comme ça ?
% ----------------------------------------------------------------------
\section{Dynamique des Éléments Propres}
%
Le problème amont\footnote{Al1, Décembre 2006.} est celui de la compréhension des changements structuraux internes des systèmes
non-linéaires, à commencer par les É.P. du propagateur~: comment, pourquoi, s'effectue une transition
paires conjuguées $\leftrightarrow$ réelles du point de vue du SLTC.

Autrement dit, on applique les calculs précédents au cas de la dérivée temporelle et du
propagateur $\Phi(t,\tau)$. On a donc~(cf~\ref{epvar} avec $A$ matrice d'avance --- et ainsi $\partial_t\Phi=A\Phi$ )~:
%
\begin{eqnarray}
 \partial_t\Lambda  &=& F^{\dagger}A\Phi E + \left[\Lambda,F^{\dagger}\partial_t E\right]\nonumber\\
                    &=& F^{\dagger}A E\Lambda + \left[\Lambda,F^{\dagger}\partial_t E\right]
\label{epadv}\end{eqnarray}
%
système dans lequel les éléments diagonaux donnent l'avance des v.p. qui se découple heureusement
de celle des vecteurs~:
%
\begin{equation}
 \partial_t\lambda_i  = \lambda_i\bra{f_i}A\ket{e_i} 
\label{vpadv}\end{equation}
%
et où la contrainte donnée par la conservation de la nullité des éléments non-diagonaux
va nous permettre d'avancer les V.P. Mais une première remarque s'impose au vu de~(\ref{vpadv}).

Supposant que nous soyons à $t$ du segment $(t,\tau)$ de la trajectoire avec des É.P. réels.
Clairement dans la formule ci-dessus, rien ne motive un passage en complexes.
On est conduit à associer une telle transition à un phénomène de la dynamique qui remette en
cause les hypothèses utilisées pour ce calcul. Si on part d'une situation avec une paire complexe
conjuguée, on peut affirmer qu'à la transition vers les réels, la dynamique passe par une
paire propre de même v.p., et on peut déjà supposer que cela est nécessaire pour que se
produise ce changement de corps\footnote{\it Honni soit qui mal y pense.}.

Mais finissons le calcul de l'avance dans les mêmes hypothèses que l'obtention de ~(\ref{epadv}).
Les termes non-diagonaux donnent~:
%
\begin{equation}
 \partial_t\lambda_{ij}\equiv 0  = \lambda_j\bra{f_i}A\ket{e_j} + (\lambda_i -\lambda_j)\scal{f_i}{\partial_t e_j}
\label{VPadvelem}\end{equation}
%
ce qui détermine les $\ket{\partial_te_j}$. On va essayer de donner une expression par colonne
de cette détermination~:
%
\begin{eqnarray}
 \ket{\sigma_j}  &=&\lambda_j F^\dagger A\ket{e_j} + \Lambda F^\dagger\ket{\partial_t e_j} - \lambda_j F^\dagger\ket{\partial_t e_j}\nonumber\\
 &=& \lambda_jF^\dagger A\ket{e_j} + (\Lambda- \lambda_j I) F^\dagger\ket{\partial_t e_j}
\label{VPadv}\end{eqnarray}
%
avec ce vecteur $\ket{\sigma_j}$ formé de zéros sauf en sa composante $j$ qui est
formée de $\partial_t\lambda_j=\lambda_j\bra{f_j}A\ket{e_j}$, \cad le terme diagonal.
Il faut par ailleurs remarquer que
les V.P. ne sont déterminés qu'à un facteur près, marqué ici par le fait que la $j$ième ligne de
$(\Lambda- \lambda_j I) F^\dagger$ est nulle --- dont on notera $\ket{h_j}$ la $j$ième colonne.
Le système précédent va ainsi déterminer les composantes
de $\ket{\partial_t e_j}$ en fonction de $\partial_t e_{jj}$, que nous prendrons arbitrairement égale
à un scalaire non nul $\alpha$. Pour résoudre ce système, on considère la somme des colonnes de
$(\Lambda- \lambda_j I) F^\dagger$ pondérées par les composantes de $\ket{\partial_t e_j}$, qui sont les inconnues
sauf $\alpha$ en position $j$; il suffit de faire passer cette $\alpha\ket{h_j}$ dans les termes connus
pour obtenir un système linéaire déterminant l'avance de $\ket{e_j}$ au facteur $\alpha$ près. On peut
considérer le système~(\ref{VPadv}) en enlevant sa $j$ième ligne, et les $j$ièmes colonnes des matrices
produits\footnote{soit résoudre par la méthode de Householder ?}~:
%
\begin{eqnarray}
0  &=& \lambda_j[F^\dagger A]^\flat\ket{e^\flat _j} + [(\Lambda- \lambda_j I) F^\dagger]^\flat\ket{\partial_t e^\flat_j}
+\,\alpha\ket{h^\flat_j};
\label{VPadv2}\end{eqnarray}
%
ce système est régulier avec les hypothèses standards. On a aussi $\partial_t F^\dagger = \partial_t E^{-1}$.

{\it On va vérifier ces formules dans \Minik en prenant $\alpha$ donnant aux V.P. la même norme que celle
choisie pour le calcul direct sur le propagateur avancé.}
% ----------------------------------------------------------------------
\subsection*{De la transition, détours}
%
Que peut-il bien se passer pour qu'on ait une transition réels $\leftrightarrow$ complexes ? Avec une v.p.
de multiplicité algébrique 2, qui accompagne nécessairement cette transition, on doit pouvoir pressentir
que l'on perd un degré de liberté sur les inconnues $\lambda$, sans nécessairement moins de contraintes si
les V.P. restent linéairement indépendants,
et qu'on en regagne un en passant en complexes ? C'est cette maïeutique (mayonnaise ?) qu'on va essayer
de dégager.

Des précédentes hypothèses, on n'a plus $\scal{f_i}{e_j}=0$ pour $i$ et $j=i+1$ de la paire, et alors
$F^\dagger E$ n'est plus diagonale. Par ailleurs, on peut ici faire un parallèle avec la forme réelle
canonique associée à une paire. Soit la paire de V.P. $\ket{e}=\ket{e^r}\pm i\ket{e^i}$, associée aux
v.p. conjuguées $\lambda=\lambda^r\pm i\lambda^i$, avec $M\ket{e}=\lambda\ket{e}$.
On sépare les parties réelles et imaginaires pures~:
%
\begin{eqnarray}
M\ket{e^r} &=& \lambda^r\ket{e^r}-\lambda^i\ket{e^i}\nonumber\\
M\ket{e^i} &=& \lambda^i\ket{e^r}+\lambda^r\ket{e^i}\nonumber
\label{canon}\end{eqnarray}
%
que l'on peut écrire symboliquement
%
\begin{equation}
ME=E\begin{bmatrix}\lambda^r & \lambda^i\\ -\lambda^i & \lambda^r\end{bmatrix}
\end{equation}
%
(les deux paires donnent évidemment le même système). 
On peut ainsi voir un certain lien entre la transition et la non-diagonalité. Cette forme
caconique donne ausi la clé de l'interprètation d'une paire, à savoir que la direction propre
est remplacée par un plan propre --- dans lequel se déforme en tournant un couple de vecteurs réels.

\medskip
{\bf une technique itérative}

Dans ce problème de formulation ``physique'' de l'avance des éléments propres, comme on pédale
dans la choucroute, voici une recette peut-être pas sans
rapport\footnote{Prenons la comme un pousse-à-idées possible.} donnée par les {\it Numerical Recipes}.
On suppose connue une valeur propre $\tau$ proche de $\lambda$; alors, pour un vecteur $\ket{b}$
aléatoire, on approche le V.P. exact $\ket{e}$ en résolvant le système~:
\begin{equation}
(M-\tau I)\ket{y}=\ket{b}
\label{eqbase}\end{equation}
%
et la v.p. qui s'en déduit
\begin{equation}
\lambda'=\tau+\frac{\scal{b}{b}}{\scal{b}{y}}
\label{lambdadv}\end{equation}
%
Pour le voir, on décompose les vecteurs dans la base des V.P. de $M$~:
%
\begin{eqnarray}
(M-\tau I)\sum_j\alpha_j\ket{e_j} &=& \sum_j\beta_j\ket{e_j}\nonumber\\
\sum_j\alpha_j(\lambda_j-\tau)\ket{e_j} &=& \sum_j\beta_j\ket{e_j}\nonumber
\label{recipes}\end{eqnarray}
%
d'où $\displaystyle\alpha_j=\frac{\beta_j}{\lambda_j-\tau}$, et~:
%
\begin{equation}
\ket{y}=\sum_j\frac{\beta_j}{\lambda_j-\tau}\ket{e_j}
\label{recip2}\end{equation}
%
Ainsi, un V.P. ``sort'' de la somme comme de plus grand module si $\tau$ est proche de $\lambda_n$,
tant que par chance $\beta_n$ ne se trouve pas trop petit. En itérant la procédure, \cad en prenant
comme nouveau $\displaystyle\ket{b}\rightarrow\frac{\ket{y}}{|y|}$, on élève $(\lambda_n-\tau)$ à la puissance deux, etc,
et on se rapproche de $\ket{e_n}$. 

Pour mettre à jour les v.p., on remarque que
%
\begin{eqnarray}
M\ket{e_n}&=&\lambda_n\ket{e_n} \quad\Rightarrow\nonumber\\
(M-\tau I)\ket{e_n}&=&(\lambda_n-\tau)\ket{e_n} \nonumber
\label{recip3}\end{eqnarray}
%
en approximant $\ket{e}$ par $\ket{y}$, le terme de gauche est égal à $\ket{b}$ par~(\ref{eqbase}),
et on a
%
\begin{eqnarray}
\ket{b}&=&(\lambda'_n-\tau)\ket{y} \quad\Rightarrow\nonumber\\
\lambda'_n&=&\tau+\frac{\scal{b}{b}}{\scal{b}{y}}
\label{recip4}\end{eqnarray}
%
Appliquons cette recette à nos matrices d'avance des È.P. Le propagateur passe en un temps $dt$
de $\Phi(t,\tau)$ à $M\Phi$, avec $M$ approximant $e^{dt A}$, qui a les mêmes V.P. que $A$.
On part ainsi avec des É.P. ($\lambda,\ket{e}$) de $M\Phi$ proches de ceux de $\Phi$ (soit~$\mu,\ket{h}$). 
La recette donne alors comme première appoximation $\ket{e^1}$ de $\ket{e}$ et $\lambda^1$ de $\lambda$
la solution du système~:
%
\begin{eqnarray}
(M\Phi-\mu I)\ket{e^1}&=&\ket{h} \nonumber\\
\textit{et}\quad\lambda^1&=&\mu+\frac{\scal{h}{h}}{\scal{h}{e^1}}
\label{recip5}\end{eqnarray}
%
Par suivi temporel, la composante $\beta$ de la projection de $\ket{h}$ sur sa suivante $\ket{e}$ reste
proche de l'unité, ce qui valide la recette. Ce qu'on voit en tout cas, c'est la nécessité d'adjoindre
une partie imaginaire non nulle à un $\ket{h}$ qui serait réel pur pour suivre une transition.

\medskip
{\bf autre détour}

Il reste que la transition dépend de $A$, une manière de le pointer étant de remarquer que
$A\Phi\ket{e_i}=\lambda_iA\ket{e_i}$, d'où
$\bra{f_j}A\Phi\ket{e_i}=\lambda_i\bra{f_j}A\ket{e_i}\quad\Rightarrow$ c'est $A$ qui dédiagonalise
$\Phi(t+dt,\tau)$ dans la base des V.P.

La décomposition univoque $A=T^{-1}JT$ en forme Jordan suggère que la transformation $T$
s'applique aux V.P. ? 

On a en effet, pour toute matrice régulière $T$~:
%
\begin{eqnarray}
\left[T\Phi T^{-1}\right] T\ket{h}&=&\mu\, T\ket{h} 
\label{detour}\end{eqnarray}
%
qui rappelle simplement que la similarité matricielle conserve kes v.p. Pour le
propagateur mis à jour, on a cette fois-ci~:
%
\begin{eqnarray}
A\Phi =T^{-1}J T\Phi\ket{e}&=&\lambda \ket{e} \quad\rightarrow\nonumber\\
J [T\Phi T^{-1}] T\ket{e}&=&\lambda T\ket{e} 
\label{detour2}\end{eqnarray}
%
Le propagateur ancien, dans la base transformée par $A$, conserve ses v.p. en héritant des V.P. modifiés.
Pour sa mise à jour, la matrice d'évolution $A$ intervient par sa forme Jordan $J$ pouvant
dédiagonaliser le précédent propagateur~: matriciellement on a
%
\begin{eqnarray}
&&\left[T\Phi T^{-1}\right] T H\,=T H\,\diag{\mu}\nonumber \\
&J& [T\Phi T^{-1}]\,\, T E\,=T E\,\diag{\lambda}
\label{detour3}\end{eqnarray}
%

Il semble avec cette remarque que l'on approche d'une
microphysique de l'évolution des É.P, non ? On peut aussi la voir comme éloignant Achille du
plaisir se rapprochant; ``Achille et la torture''\footnote{je sens encore comme un reproche de Pat à propos
des mouches ...} ?

\medskip
{\bf première clôture ?}

On considère enfin le cas d'un propagateur $\Phi(t.0)$ diagonalisable à É.P. réels, avec
$\Phi\ket{e}=\lambda\ket{e}$. L'avance des É.P. est supposée réalisée par $\partial_t [\Phi-\lambda I]=0$.
On suppose que $E$, la matrice des V.P. à droite fournit une base. Il ne semble pas nécessaire
de plus d'hypothèses pour proposer la forme suivante~:
%
\begin{eqnarray}
(A\Phi -\lambda' I)\ket{e} &=& -(\Phi-\lambda I)\ket{e'}\nonumber\\
(A\lambda-\lambda' I)\ket{e}&=&-(\Phi -\lambda I)\ket{e'} 
\label{clotur1}\end{eqnarray}
%
oû on a posé $\partial_t\lambda = \lambda'$. On devra revenir sur les hypothèses sous-jacentes
à cette première formulation, si on ne veut pas être en contradiction avec le ``jvddva'' Baladurien.
Bien sûr, on ne peut ici résister à la simplification que permet la recherche des vel des propres
dans la base $E$ (fixée), \cad en posant $\ket{e}=E\ket{x}$~:
%
\begin{eqnarray}
(A\lambda-\lambda' I)\ket{e}&=&-(\Phi -\lambda I)E\ket{x} \nonumber\\
\lambda_j A\ket{e_j}&=&-E(\Lambda -\lambda_j I)\ket{x_j} +\lambda'_i\ket{e_j}
\label{clotur2}\end{eqnarray}
%
À l'examen de ce système matriciel, les lignes $j\ne i$ définissent les $x_{ij}$. Bien sùr,
étant donné que la matrice $[\Phi -\lambda_j I]$ est singulière, $x_{jj}$ n'est pas défini, car
$x_{jj}(\lambda_j-\lambda_j)$ est nul. Plus extraordinaire, si on remplace
ce nul par $-1$ dans la matrice diagonale $\Lambda-\lambda_j I$, on obtient le terme additionnel
$\lambda'_j\ket{e_j}$ !

La résolution du système ainsi formé donne $\ket{x_j}$ avec $x_{jj}=\lambda'_j$. On peut alors
normaliser $\ket{x_j}$.

\bigskip
Passsons à la formulation matricelle du développement précédent; (\ref{clotur1}) devient~:
%
\begin{eqnarray}
\partial_t(\Phi E - E\Lambda) &=& 0 \quad \Rightarrow\nonumber\\
A\Phi E -E\Lambda' &=& -(\Phi E'-E'\Lambda)\nonumber\\
A E\Lambda &=& E'\Lambda- \Phi E' +E\Lambda'
\label{clotur3}\end{eqnarray}
%
Comme plus haut, on détermine $E'$ dans la base $E$ en posant $E'=E X$~:
%
\begin{eqnarray}
A E\Lambda &=& EX\Lambda- \Phi EX +E\Lambda'\nonumber\\
A E\Lambda &=& EX\Lambda- E\Lambda X +E\Lambda'\nonumber\\
E^{-1}A E\Lambda &=& X\Lambda- \Lambda X +\Lambda'\nonumber\\
(E^{-1}A E)_{ij}\lambda_j &=& x_{ij}(\lambda_j-\lambda_i)+\lambda'_i\delta_{ij}
\label{clotur4}\end{eqnarray}
%
Ainsi, ce système permet en effet de résoudre en la matrice $y_{ij}=x_{ij}(\lambda_j-\lambda_i)$
de laquelle on obtient~:
%
\begin{eqnarray}
i\ne j : x_{ij}&=& \frac{y_{ij}}{\lambda_j-\lambda_i}\nonumber\\
i=j  : \lambda'_i &=& y_{ii}
\label{clotur5}\end{eqnarray}
%
Vérifions cette solution pour $A(t)=C^{\mbox{\tiny{ste}}}, \quad\Phi(t,0)=exp(At)$. On sait que
$A$ et $\Phi$ ont mêmes V.P., avec $\mu$ et $\exp(\mu t)$ pour v.p. respectives.
Alors, $\lambda_j=e^{\mu_j t}$, et $(E^{-1}A E)_{ij}$ est diagonale de terme $\mu_j$.
Le système~(\ref{clotur5}) confirme alors que 
%
\begin{eqnarray}
i\ne j : x_{ij}&=& 0\nonumber\\
i=j : \lambda'_i &=& \partial_t e^{\mu_i t} = \mu_i\lambda_{i} = y_{ii} 
\label{clotur6}\end{eqnarray}
%
On a ainsi semble-t-il obtenu un système permettant d'avancer les É.P. dans le cadre des
hypothèses posées.

\bigskip
On peut dès lors se reposer la question liminaire du passage $\Re\rightarrow\Im$.
L'hypothèse que $\ket{x}$ soit recherché dans la base $E$, en supposant qu'elle soit réelle,
perd son sens lors d'une transition, mais comment formuler positivement cette impossibilité ?

Une deuxième possibilité consiste à ne pas prendre {\it a priori} l'hypothèse de diagonalité
de $\Lambda'$~: si en effet on a multiplicité d'une v.p., disons, $\lambda_1=\lambda_2$;
on est contraint d'admettre alors que $\lambda_{12}$ et $\lambda_{21}$ ne sont plus nulles.
On a vu que ceci devait conduire à une diagonalisation complexe. C'est évident dans le
cas où $A(t)$ est antisymétrique et $E$ unitaire, car alors $y_{ij}=-y_{ji}$, ce qui lie les
deux lignes de $X$ en une paire conjuguée. Dans le cas général, on peut décomposer
la matrice de vel $A$ en ses composantes antisymétrique et symétrique. La composante
$\frac{1}{2}(A-A^\dagger)$ prise entre $E^{-1}$ et $E$ devrait complexifier, alors
que la partie symétrique en toute intuition devrait amplifier les v.p., mais cette histoire
reste à écrire ... peut-être en trouvant la décomposition adequate de $A$. Une idée ?

\medskip
{\bf vu par le quotient de Rayleigh}

Le quotient de Rayleigh associé à la matrice $\Phi$ s'écrit
$\displaystyle r(x) = \frac{\bra{x}\Phi\ket{x}}{\scal{x}{x}}$. Comme dit Golub à ce sujet, dans le
cas où $\Phi$ est symétrique, le quotient $r(x)$ est stationnaire lorsque $x$ coïncide avec un V.P. (réel)
et alors $r(x)=\lambda$, une v.p. de $\Phi$.
On n'a donc plus qu'à différencier en temps avec $\partial_t [.]=\nabla_x[.]\ket{x'}$~:
%
\begin{eqnarray}
\lambda &=&\qrayl{x}{\Phi}\nonumber\\
\lambda' &=& \frac{\bra{x}{A\Phi}\ket{x'}}{\scal{x}{x}} +2\frac{\bra{x}\Phi\ket{x'}}{\scal{x}{x}}
                                  -2r(x)\frac{\scal{x}{x'}}{\scal{x}{x}}\nonumber\\
\lambda' &=& \frac{\bra{x}{A\Phi}\ket{x'}}{\scal{x}{x}} +2\frac{\bra{x}[\Phi-\lambda I]\ket{x'}}{\scal{x}{x}}\nonumber
\end{eqnarray}
%
Le premier terme de la somme donne une contribution à $\partial_t L\lambda$ au plus égal à $\mu$, la v.p.
de $A$  du V.P. le plus proche de $\ket{e}$. Au contraire, le deuxième terme de la somme est nul lorsque
$\ket{x]}$ reste aligné avec $\ket{x}=\ket{e}$, ce qui est correct, puisqu'alors seule l'ampification
par $\lambda$ est modifiée. Ce même terme est nul du fait que $\Phi$ est symétrique.

Dans le cas plus général, posons $\ket{x}=\ket{a}+\, i\!\ket{b}$; on trouve alors que
%
\begin{equation}
r(x) = \frac{\bra{a}A\ket{a}+\bra{b}A\ket{b}}{a^2+b^2}
\end{equation}
%
ce qui conduit à minimiser $\{||(A-\lambda I)\ket{a}||_2+||(A-\lambda I)\ket{b}||_2\}$, et finalement
à considérer le quotient de Rayleigh de la partie symétrique de
 A~:\\$\displaystyle r(x)=\frac{1}{2}\qrayl{x}{A+A^\dagger}$.
%
\newpage
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{De la matrice anormale}
%
On a vu indépendamment les développements formels auquels donnent accès ces deux décompositions
canonique d'une matrice, qui nous intéresse comme analyse de la matrice d'avance ou du propagateur.
Ce qui semble moins évident est d'une part, le passage de l'une à l'autre, et d'autre part
leurs avantages respectifs. On va essayer de le comprendre en suivant une analyse de Farell et Yoannou
(F\&Y)\footnote{{\it in} JAS 1996, Vol. {\bf 53}, No. 14 pp.~2025--2040.}
qui depuis une quinzaine d'années, d'article en article, mettent en évidence les conséquences dynamiques
de la non-normalité de la matrice d'avance.

Leur première remarque concerne l'analyse de stabilité par décomposition modale en ce qu'elle est perverse.
La propriété fondamentale d'une matrice normale est que ses vecteurs propres forment une base orthogonale.
F\&Y déclinent diverses conséquences de non-orthogonalité de cette base, en commençant par l'analyse
de stabilité.

On étudie la croissance d'une perturbation initiale~:
 $\displaystyle\sigma^2(t)=\frac{\scal{x(t)}{x(t)}}{\scal{x_0}{x_0}}$,
en faisant la remarque que l'on peut toujours se ramener à une norme euclidienne si on lui a préféré
a priori une norme $\bra{x}M\ket{x}$ avec $M$ symétrique (ou hermitienne) définie positive.
Alors $\displaystyle\sigma^2(t)=\frac{\scal{e^{A^{\dagger}t}e^{At}x_0}{x_0}}{\scal{x_0}{x_0}}$
pour un système autonome, si bien que la croissance la plus forte sera liée au mode
$\displaystyle\lambda_{max}(e^{A^{\dagger}t}e^{At})$, réel par symétrie.

 Si à présent on considère la SVD du propagateur~: $\displaystyle e^{At}=U\sigma V^{\dagger}(t)$, alors
$e^{A^{\dagger}t}e^{At}=V\sigma^2 V^{\dagger}(t)$ et la croissance est encadrée~:
$\displaystyle\sigma^2_{min}\le e^{(\lambda_i+\bar{\lambda}_i) t}\le \sigma^2_{max}$, où $\lambda_i$
parcourt les modes de $A$. On a ainsi deux visions de croissance, la vision modale qui explicite la 
croissance exponentielle dùe au premier mode, et d'autre part à chaque instant, un vecteur $\ket{v_1(t)}$
perturbation optimale du système à cet instant, causant un effet optimal le long de $\ket{u_1(t)}$ par
multiplication par $\sigma_1$.

Si maintenant on considère le mode dominant $e^{\lambda_1 t}\ext{e_1}{e^{-1}_1}$, l'excitation max
du V.P dominant (supposons le réel) se fait le long du vecteur dont la projection sur $\ket{e_1}$ est
la plus grande. Avec l'opérateur de projection $\ext{e_1}{e^{-1}_1}$, qui se fait parallèlement au vecteur
perpendiculaire à $\ket{e^{-1}}$. Quand la base des V.P. est orthogonale (matrice normale) cela coïncide
avec le vecteur lui-même, ce qui n'est plus le cas dès que la base n'est plus orthogonale (matrice
non-normale). On peut le constater par l'apparition de $E^{\dagger}E$ dans
$\displaystyle \sigma^2(t)=E^{-\dagger}e^{\bar{\lambda} t}E^{\dagger}Ee^{\lambda t}E^{-1}$.
\begin{figure}[h]
\begin{minipage}[t]{.4\linewidth}
\psfig{figure=PS/faryoa.eps,%
bbllx=0pt,bblly=0pt,bburx=300pt,bbury=195pt,width=5.5cm,clip=}
{Excitation optimale d'un V.P.}
\label{vpvsfig}
\end{minipage}
\begin{minipage}[b]{.6\linewidth}
Le vecteur excitant le mieux $\ket{e_1}$ est son binormal, orthogonal au deuxième V.P. de la base en 2D~:
c'est $\overrightarrow{OC}$, le long de $\ket{e^{-1} _1}$\footnote{l'excitation optimale est définie comme un vecteur de norme unité.}.
Le résultat est $\lambda_1\overrightarrow{OR}$, et est d'autant plus grand que l'angle est faible
(augmentant l'anormalité).
\end{minipage}\hfill
\end{figure}
%
Celà se conçoit facilement en deux dimensions comme dans la figure cî-dessus.
On peut se convaincre alors que $\ket{v_1}=\ket{e^{-1}_1}, \ket{u_1}=\ket{e_1}$ (normés à 1) et que
$\displaystyle w_1=e^{\lambda_1 t} \csc(\alpha)$\footnote{Ceci est à retenir et généraliser
pour formaliser le lien entre les deux décomp.} (le sens de $\overrightarrow{OC}$ étant choisi pour donner
un $w_1>0$).

\bigskip
{\it limite asymptotique.}
Lorsque $t\rightarrow\infty$, l'évolution s'aligne  bien sur le mode dominant
($\displaystyle e^{At}\rightarrow e^{\lambda_1 t}\ext{\\e_1}{e^{-1} _1}$), mais il reste que
l'excitation (initiale) optimale
est donnée par la binormale à $\ket{e_1}$, et non ce vecteur lui même,
ce qui est moins reconnu si l'on croit F\&Y.

\bigskip
{\it limite aux temps courts.}
Comme on l'a déjà vu dans les Cahiers (SLTC), un développement de Taylor de $\sigma^2(t)$ montre
que les E.P. de $A+A^{\dagger}$ déterminent la croissance max, et diverses études d'écoulement
ont montré que ces bouffées de croissances peuvent se produire alors même que tous les modes normaux
de $A$ soient déjà amortis.

\bigskip
{\bf Implication sur la dynamique stochastique ...}

Soit le système
%
\begin{equation*}
d_t x = Ax + Bw(t)
\end{equation*}
%
où $w$ est un bruit blanc~($\overline{w_i(t)w_j(s)}=\delta_{ij}\delta(t-s)$, avec une moyenne d'ensemble.
$B$ réparti les sources, et dès qu'elle est prise comme unitaire, la stat. n'en dépend plus. On a alors
%
\begin{equation*}
\overline{\|x(t)\|^2} = Tr B^{\dagger}\int_0 ^t {e^{A^{\dagger}(t-\tau)}e^{A(t-\tau)}}d\tau\, B =Tr B^{\dagger}QB
\end{equation*}
%
Ainsi, l'accumulation de croissance par perturbation plate est révélée par l'opérateur
symétrique $Q^t = \int_0 ^t {e^{A^{\dagger}\tau}e^{A\tau}}d\tau$, que l'on peut obtenir
par intégration du système
%
\begin{equation*}
d_t Q^t = A^{\dagger}Q^t +Q^t A +I
\end{equation*}
%
Lorsque $A$ est asymptotiquement stable, le système tend vers un état d'équilibre statistique, et
obéit à la relation de Lyapunov~:
%
\begin{equation*}
 A^{\dagger}Q^{\infty} +Q^{\infty} A =-I
\end{equation*}
%
On obtient alors les forçages stochastiques optimals (à mettre en colonne de $B$) par analyse
de $Q^{\infty}$, hiérarchisés par leur contribution à la variance de l'état. On voit l'analogie
avec la précédente analyse de croissance optimale, la matrice $Q^t$ est à présent l'intégrale
de $e^{A^{\dagger}t}e^{At}$.

On a déterminé ce qui conserve le mieux la variance, mais pas comment elle se distribue au sein
de l'espace des états. Ces structures orthogonales qui portent la variance sont les EOF (on peut voir
une analogie avec les $\ket{v}$ qui excitent le mieux le système d'une part, et les $\ket{u}$ qui
donnent la structure de cette variance. On obtient les EOF à partir de la matrice de corrélation~:
%
\begin{equation*}
P^t =\overline{\ext{x}{x}} = \int_0 ^t {e^{A(t-\tau)}BB^\dagger e^{A^\dagger(t-\tau)}}d\tau
\end{equation*}
%
qui satisfait l'équation d'évolution
%
\begin{equation*}
d_t P^t = AP^t +P^t A^{\dagger} +BB^{\dagger}
\end{equation*}
%
avec les mêmes hypothèses de stabilité, on a aussi~:
%
\begin{equation*}
 AP^{\infty} +P^{\infty} A^{\dagger} =-BB^{\dagger}
\end{equation*}
%
Chaque v.p. de $P^t$ explique la part de variance contenue dans la structure donnée par un V.P.
à chaque instant $t$. Ceci est donc {\it a priori} différent du choix de la structure initiale excitant le plus
le système. Il s'avère que pour les matrices normales (et avec $BB^{\dagger}=1$), ces deux
structures coïncident (toutes les matrices commutent)~: alors, les modes normaux, les EOF et les
optimales stochastiques sont identiques. Ce n'est plus le cas en contexte d'anormalité~:
on a alors d'une part des colonnes de $B$ (B unitaire, comme $V$) qui contribuent hiérarchiquement à la variance
maintenue, et de l'autre, la répartition de cette variance entre structures d'état (comme U).

\bigskip
{\bf ... et aspects spectraux}

En remplaçant le forçage stochastique $Bw$ par une source $f(t)$, la réponse en transformée
de Fourier est $\hat{x}(\omega) = R(\omega)\hat{f}(\omega)$, avec
$R(\omega)=(i\omega - A)^{-1}=E(iw-\lambda)^{-1}E^{-1}$, avec les E.P. de $A$, et l'inégalité
de Schwartz montre que
%
\begin{equation*}
\|R(\omega)\| \le \frac{\kappa(E)}{dist_{min}(iw,\Lambda(A))}
\end{equation*}
%
où $\kappa(E) = \|E\| \|E^{-1}\|$ est le conditionnement de $E$, qui devient égal à l'unité dans
la cas normal\footnote{$E$ peut alors être choisi unitaire.}. Cela indique donc la possibilité
d'un fort accroissement de variance par rapport au cas normal où seule intervient la distance
minimum d'une fréquence donnée ($i\omega$) aux v.p. de $A$ de son spectre $\Lambda(A)$:~
%
\begin{equation*}
\|R(\omega)\| = \frac{1}{dist_{min}(iw,\Lambda(A))}
\end{equation*}
%
Ainsi, dans le cas normal, le forçage optimal se fait à la fréquence $\omega$ de la v.p. la moins
amortissante du spectre de $A$ et la variance décroît avec le carré de son exponentielle.
Dans le cas de non-normalité, la fréquence de réponse max n'est plus strictement celle de
la v.p. dominante, et l'amplitude peut être beaucoup plus forte.

Lors que toutes les fréquences sont également excitées
--- re-bruit blanc de variance unitaire~:
$\displaystyle\scal{\hat{f}_i(\omega_1}{\hat{f}_j(\omega_2)}=\frac{\delta_{ij}\delta(\omega_1-\omega_2)}{2\pi}$,
la moyenne d'ensemble de la variance est
%
\begin{equation*}
<x^2>=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty} ^{+\infty} F(\omega) d\omega
\end{equation*}
%
avec $F(\omega) = Tr R^{\dagger}(\omega)R(\omega)$. Comme les v.p. de $R$ sont $(iw -\lambda_i)^{-1}$,
on a
%
\begin{equation*}
F(\omega)\le \sum_{i=1} ^{n}\frac{1}{|iw-\lambda_i|^2}
\end{equation*}
%
avec égalité dans le seul cas normal (Perceval-Planchoreille). Le cas non-normal n'interdit pas qu'une interaction
entre les modes normaux permette de tirer du fond bruité l'excitation d'une bande de fréquence
particulière.

\vspace{2cm}
\hrule
\vspace{1.5cm}
La morale de tout ceci semble être que l'analyse modale n'est pas la réponse à tout --- du moins dans
les cas de non-normalité de la matrice d'avance, et ceci parce que l'on ne dispose alors pas
de base propre orthonormée, alors que la SVD en fournit, mais au prix il est vrai de l'abandon
de la fonction temporelle explicite. C'est le message de F\&Y, et on verra en décomposition de domaine
que la réduction par hiérarchie des modes normaux est une réduction  peu efficace.
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%T\section{Passage de l'une à l'autre}
%T%
%TOn a ainsi deux décompositions utiles d'une matrice, introduisant comme on le sait
%Tdes éléments d'analyse de nature assez opposée. On va répertorier des propriétés 
%Tcroisées de ces éléments, en commençant par montrer le passage  de l'un à l'autre.
%T
%TEt d'abord revenir sur ce qui fait l'intéret des éléments propres. On dit classiquement
%Tque c'est vachement bien, parce que dès que l'état est aligné sur un V.P., il y reste.
%TMais si on y regarde de plus près, d'abord, la multiplication par une v.p. complexe
%Tmodifie le module ET l'argument du vecteur complexe. On a donc aussi une rotation ?
%TBref, l'approche qui me semble plus physique consiste à considérer un couple de v.p.
%Tconjuguées, associé à un couple de V.P. dont les coefficients sont conjugués, comme dans la
%TFig~\ref{vpvsfig}.
%T
%T\vspace{0.5cm}
%T%
%T\begin{figure}[h]
%T\begin{minipage}[t]{.5\linewidth}
%T\psfig{figure=PS/vpvs.eps,%
%Tbbllx=70pt,bblly=30pt,bburx=325pt,bbury=245pt,width=6.5cm,clip=}
%T\caption{Couples de V.P. d'une matrice à coefficients réels.}
%T\label{vpvsfig}
%T\end{minipage}
%T\begin{minipage}[b]{.5\linewidth}
%T%
%T Ce couple symétrique par rapport à l'axe réel {\bf se déforme} par multiplication
%Tpar le couple des v.p. Les axes d'inertie principaux sont alignés sur Ox et Oy.
%TOn associe alors au couple $\ket{e}, \ket{\bar{e}}$ de V.P. le couple $\ket{v_1}, \ket{v_2}$ obtenu
%Tpar somme et différence des premiers, alignés le long des axes de déformation principaux du losange.
%TOn peut aussi dire d'emblée que le produit des deux v.p. est égal au produit des deux v.s.,
%Tpar conservation du déterminant restreind aux $2\times 2$\footnote{à vérifier.}, soit $\lambda\bar{\lambda}$.
%T\hfill\end{minipage}
%T\end{figure}
%T%
%T
%TComme on s'est suffisament fait avoir lors d'une tentative historique par les vecteurs
%Tcomplexes\footnote{souvenez-vous, cette fameuse invention qui fait que la somme de deux vecteurs
%Tde même norme n'est pas orthogonale à leur différence ...}, on va dorénavant raisonner en réel, et poser~:
%T%
%T\begin{eqnarray}
%T\ket{e} &=& \ket{e_r} +\, i\ket{e_i}\nonumber \\
%T\lambda&=&\lambda_r + i\lambda_i \nonumber \\
%T\end{eqnarray}
%T%
%Tpour le premier d'une paire, et tous les signes opposés pour le deuxième. La définition liant
%Tles E.P. s'écrit
%T%
%T\begin{eqnarray}
%T A\ket{e_r} &=& \lambda_r\ket{e_r} -\, \lambda_i\ket{e_i}\nonumber \\
%T A\ket{e_i} &=& \lambda_i\ket{e_r} +\, \lambda_r\ket{e_i}\nonumber \\
%T\end{eqnarray}
%T%
%Tdeux relations seulement donc. Par ailleurs, il semble plus facile de partir des V.S. qui forment
%Tdeux bases orthonormées et trouver les E.P.
%T
%T%
%T\begin{figure}[h]
%T\centerline{\psfig{figure=PS/svd.eps,%
%Tbbllx=0pt,bblly=0pt,bburx=450pt,bbury=215pt,width=10.5cm,clip=}}
%T\caption{Couples de V.P. d'une matrice à coefficients réels.}
%T\label{svdfig}
%T\end{figure}
%T%
%T Comprenons bien la SVD~: on entre un vecteur qui se
%Tdécompose sur la base $V$. Le cercle unité se déforme alors par $w_1$ et $w_2$ pour former une ellipse.
%TLe passage dans la bas d'arrivée $U$ se traduit alors par une simple rotation.
%T
%TVu de cette base, on conçoit aisément qu'il faille combiner les $u$ avec les $v$ pour construire
%Tdes vecteurs complexes qui ne tournent plus ? L'important à noter pour y travailler, c'est qu'on a~:
%T%
%T\begin{eqnarray}
%T \ket{u_1} &=& \cos(\omega)\ket{v_1} +\, \sin(\omega)\ket{v_2}\nonumber \\
%T \ket{u_2} &=& -\sin(\omega)\ket{v_1} +\, \cos(\omega)\ket{v_2}\nonumber \\
%T A\ket{u_1} &=& w_1\cos(\omega)\ket{v_1} +\, w_2\sin(\omega)\ket{v_2}\nonumber \\
%T\end{eqnarray}
%T%
%Tce qui permet de faire les mélanges ... y a plus qu'à ? J'arrive pas à trancher entre deux essais
%T%
%T%
%T\begin{eqnarray}
%T a\ket{u_1} + b\ket{v_1} +\, i(c\ket{u_2}+d\ket{v_2})\nonumber \\
%T\end{eqnarray}
%T%
%Tou $uu+ivv$ ? Faudrait mieux interprèter les graphes...
\newpage
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Vers la conjecture de Goodman et Marshall}
%
La question est: {\it qu'est-ce qu'un système inerte ?} Et dès lors que l'on dispose des précédentes
décompositions, comment varient les éléments propres et singuliers ? Au-delà, comment définir un
système réduit lent répondant à un forçage stochastique non linéairement filtré\footnote{c'est
une interprétation forte de la conjecture.} ?

Intuitivement, si le système ``évolue lentement\footnote{en référence à une décomposition lent-rapide
d'un système primitif.}'', on aimerait formuler cette hypothèse, et en déduire que les v.p.
évoluent moins vite que l'état du système lui-même, de même que les vecteurs associés.
C'est une première étape. La seconde devra alors prendre en compte l'effet de la partie rapide
du système sur la lente, ce qui devrait nous conduire à la dite conjecture ?

{\it Et comme après un premier jet je m'aperçois que la confusion -- dans ma tête en tout cas -- règne
entre les notions de lenteur, d'inertie, et d'autonomie du système, je reprends calmement...}
% ----------------------------------------------------------------------
\subsection{intro programmatique $[[\sigma]]$}
%
La première hypothèse concernant le temps est en réalité contenue dans les hypothèses plus ou moins implicites
que l'on fait en appliquant le TEF pour calculer une trajectoire :
on fait porter la validité de l'approximation sur le choix de l'incrément temporel $\delta t$,
en développant l'avance à l'ordre trois\footnote{$\partial_t\eta = g(\eta)$~: pas de fonction explicite
du temps, $A=\partial_{\eta}g$, et ainsi $\partial_t g = A\partial_t \eta = Ag$.}
%
\begin{equation*}
\delta \eta = g_0\delta t + A g_0\frac{\delta t^2}{2} + (A^2 g_0 +\partial_t A\, g_0)\frac{\delta t^3}{3!} +\mathcal{O}(\delta t^4)
\end{equation*}
%
et en imposant
%
\begin{equation*}
\delta t < \tau:\quad  \|(A^2+\partial_t A) g_0\|\frac{\tau^3}{3!}\ll \|A g_0\|\frac{\tau^2}{2}
\end{equation*}
%
soit donc
%
\begin{equation}
\delta t \ll \tau:\quad  \tau\simeq 3\|A+\partial_t A\,A^{-1}\|^{-1}<\frac{3\|A g_0\|}{\|(A^2+\partial_t A)g_0\|}
\end{equation}
%
on trouve classiquement qu'il suffit de contraindre l'incrément temporel par les constantes de temps de $A$
dans le cas autonome\footnote{non, pas autonome, qui signifie que le système n'a pas de terme
explcite en temps $d_t x=f(x,t)$, comme nous ont fait remarqué un reviewer ...}, à un facteur près\footnote{on peut encore ici noter l'importance du
chiffre 3 dans le TEF, qui dépasse celui du genre.}.
Le précédent développement est purement numérique mais rejoint le TEF par l'ordre
d'approximation (deux ici comme pour le TEF). On peut aussi remarquer que le terme non-autonome $\partial_t A$
n'apparaît qu'au troisième ordre en opposition avec $A^2$, ce qui fait que {\bf le TEF épuise la précision
du modèle} à l'ordre deux en temps.

Il m'apparaît de manière plus claire que la confusion susdite est liée à la nature du problème que
l'on se pose, qui n'est pas classiquement celui de la réponse inerte du système à une source donnée,
mais de sa réponse à une perturbation. On est donc de nouveau dans le contexte SLTC et le problème
se complique~: la matrice $A(t)$ peut varier le long de $\mathcal{T^{\mbox{\tiny{ref}}}}$.
Alors, quel sens donner à l'inertie d'un système non-autonome ? En fait, on soulève à la fois un problème
d'inertie du SLTC
et de la stabilité du système~: il pourrait lentement être instable, \cad réagir de manière inerte
à une perturbation (à la limite un bruit) en restant stable ou non !

Pour essai, on va d'abord attaquer la quasi-autonomicité et tenter une séparation de
$A(t)=\bar{A}+ N(t)$ entre partie autonome et non-A (pour les fans de Van Vogh).

On a posé $\displaystyle\bar{A}=\frac{1}{T}\int_0 ^T{A(t)}dt$, et par voie de conséquence
$\displaystyle\int_0 ^T N(t) dt = 0$\footnote{al1, 22/04/09, Cécile Penland prend des moyennes
d'ensemble pour obtenir $\exp(\overline{A}\tau)=\overline{\Phi(t+\tau,t)}$, avec encore assimilation
à une var-covar stationnaire~: $\overline{\ext{x(t+\tau)}{x(t)}}\;\overline{\ext{x(t)}{x(t)}}^{-1}$.}.
La question est d'examiner une séparation possible -- à la Floquet -- du propagateur~:
%
\begin{equation}
\partial_t \Phi(t,s) = \bar{A}\Phi + N(t)\Phi\, \leadsto\, \Phi = \exp\bar{A}(t-s)\,\Psi(t,s) \quad ?
\label{decomp1}\end{equation}
%
on cherche ainsi à déterminer $\Psi$ via $B(t)$ telle que $\partial_t\Psi=B\Psi$~:
%
\begin{eqnarray}
\partial_t \Phi &\stackrel{A}{=}& \bar{A}\,\Phi(t,s) + N(t)\exp\bar{A}(t-s)\Psi(t,s) \nonumber\\
     &\stackrel{(\ref{decomp1})'}{=}&\bar{A}\,\Phi(t,s)+\exp\bar{A}(t-s)\,B(t)\Psi(t,s) \nonumber
\end{eqnarray}
%
d'où en résumé le résultat sur le propagateur de la décomposition~:
%
\begin{eqnarray}
\left \lbrace
\begin{array}{l}

              \Phi(t,s)= e^{\bar{A}(t-s)}\Psi(t,s)\\
\partial_t \Psi(t,s) = B(t;t-s)\,\Psi(t,s)
\end{array}
\right .\\
              B(t;t-s) = e^{-\bar{A}(t-s)}\, N(t)\,e^{\bar{A}(t-s)}&&\nonumber
\end{eqnarray}
%
ainsi, $\Psi$ fonctionne différemment de $\Phi$, car $B$ dépend aussi de $(t-s)$ --- comme pour Floquet
d'ailleurs. On peut remarquer que $B$ a les mêmes v.p. que $N$ (et que $S^{-1}NS$).

La surprise\footnote{pour les non-lecteurs de Farell\&Ioannou qui exhibent le rôle de la non-normalité
des matrices en tant que mère d'instabilités vicieuses -- si tant est que la matrice-mère puisse être
normale sans être vicieuse...}, c'est que si $\bar{A}$ et $N(t)$ ne
commutent pas, l'évolution de $\Psi$ est amplifiée par le conditionnement de $\bar{A}$. Plus explicitement,
dès qu'une perturbation est alignée avec le V.S. optimal ($\ket{v_1}$) de $N(t)$, elle est multipliée par sa v.s. optimale $w_1$,
et de plus potentiellement par $\frac{|\lambda_{max}|}{|\lambda_{min}|}$ conditionnement de $\bar{A}$
dès que $[\bar{A},N]\ne 0$ (il suffit qu'elle rentre par le max à droite de $N$ et sorte par le min à gauche).

Rien n'empêchera donc un système quasi-autonome, lui-même stable, de ne pas sortir de sa quasi-autonomie
-- qui porte sur $\|N(t)\|$ -- par un double effet de non-commutation et de largeur de spectre.

Remarque pour les Y de l'unsecte que les X avaient immédiatement notée~: notre petite séparation $\bar{A}+N(t)$
nous ramène pour la définition de l'inertie au problème précédent. On peut légitimement faire porter sur
$\bar{A}$ la caractérisation de l'inertie du système. La comparaison des normes de $N(t)$ et de $\bar{A}$
permettra de définir sa quasi-autonomicité. Quant à sa stabilité, avec ce qu'on en a déjà dit, on pourra ou
non la prendre en compte pour rendre plus contraignante la définition de l'inertie -- on pourrait
y introduire le rayon spectral de $\bar{A}$, ou encore imposer que l'effet des v.p. dépassant celles de
$\bar{A}$ soit négligeable. {\bf on a ainsi à définir des concepts dans la couche physique,
et je sollicite à nouveau vos contributions}.

\medskip
{\bf réduction de $\bar{A}$}\hspace{0.5cm} Il s'agit de prendre la dimension du système inerte inclus
dans $\bar{A}$. Il faudra considérer ses développements de Schür en éléments propres ou singuliers
et effectuer une restriction sur les valeurs les plus faibles, déterminée par une référence physique
d'un temps caractéristique. Cette approche devrait s'enrichir d'une méthode dite de Hankel qui
vise à réduire un modèle en équilibrant à la fois une structure optimale et une excitabilité
maximale à un bruit blanc. C'est par cet aspect que l'on rejoint une problématique connexe
de l'unsecte, celle de l'expérimentation et de Kalman.

\medskip
{\bf résolution de la conjecture}\hspace{0.5cm} Quand on aura pu avancer sur ces premiers développements, on aura les outils pour décomposer
un système complet en ses parties réduites lente-rapide. Il restera encore à justifier l'assimilation
de l'effet des rapides au lent par un filtre non-L de bruit.

\medskip
 {\bf Il reste donc du pain sur la planche,
et j'aimerais savoir qui cela intéresse-t-il d'y travailler.}

\medskip
Note : avec la décomposition $A(x)=\bar{A}+N(x)$, on pourra se baser sur l'ensemble des points
de capiton $x(t) / A(x) \simeq \bar{A}$, car on a alors
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\|N(x)\|}{\|x\|}=0$ (les points de capiton existent du fait du théorème
de repliement ?).
%\newpage
% ----------------------------------------------------------------------
\subsection{Lenteur, inertie, et autonomie $[\phi,\theta]$\\{\it je suis lente et pourtant j'évolue}}
%
\footnote{\it le Cantique des Quantiques ?} Nous sommes ici dans la couche physique; il semble
donc pertinent d'analyser des exemples pour concrétiser les questions auquelles renvoient ces notions,
au départ vernaculaires, et aboutir à des définitions formelles.

à la pêche~:
%
\begin{itemize}
\item un système inerte est difficilement perturbé;
\item un gyroscope -- comportant un élément en rotation rapide -- est un système inerte (et même dit inertiel);
\item une grande constante de temps ($\lambda_{min}$) peut-elle être liée à un V.P tournant
rapidement ?
\item la notion d'inertie est-elle plutôt liée à l'énergie interne du système ? (ce qui n'est
pas le cas pour la définition du moment d'inertie, mais on parle ``d'inertie chimique'');
\item rapport avec le tenseur d'inertie ou le moment d'inertie (et système inertiel)
\item centre d'inertie, moment d'inertie, force d'inertie d'entraînement, de Coriolis;
\item ''le temps ne mesure que le mouvement et l'inertie'' Aristote, ({\it Physique} XIX, 11);
\item l'inertie des investissements, du capital. Pat me dis que ça s'estime par un coût;
\item optimisation inertielle (mesure {\it a priori} des échelles de temps ou d'inertie);
\item théorème d'inertie de Sylvester (?) qui semble plutôt renvoyer à une conservation;
\item lien avec la notion de passivité ? (réponse à une commande);
\item est-on d'accord qu'un système statique est sans dynamique ? 
\item je suis plus sûr de rien : vous voyez une inductance comme inerte ou pas ? oui ?
     (inertie = stock interne)
\end{itemize}
%
Bref, la notion d'inertie a été surtout invoquée pour la masse et a mené aux théories de champ
la reliant à la courbure locale, si bien qu'on peut se demander si cette notion ne nous
est pas facilement réappropriable ... non ? tant pis.

Il ne semble ainsi pas du tout évident que cette recherche soir débile, à savoir définir
une notion d'inertie dans le cadre des systèmes dynamiques; surprenant, non ? La généralisation
n'exclue pas les analogies avec les approches mécaniques. En gros, on pourrait
être amené à la limite à traiter le SLTC comme l'espace relativiste ... quand je vous le disais,
qu'il y avait du trièdre de Frenet à y mettre, je me sentais bien traité de débile,
eh bien quelqu'un l'a fait (thèse de Jean-Marc Ginoux).

{\it (ça intéresse encore quelqu'un ?)}

exercice de lecture conseillée pour élever le débat (avec une bonne surprise),
extrait de présentation sur la théorie de la viabilité (lastre.asso.fr/aubin/Viabilite-Synthese.doc).

{\color{souligne}C'est moi qui colorie et qui bas-de-page.}

{\it
\medskip
            d. Lois de Régulation des Systèmes  
\medskip
        
        

Dans les cas cybernétiques et cybernétiques/incertains, on cherche non seulement les états initiaux, mais également les correspondances de régulation associant à  chaque état initial l'ensemble des commandes
ou des régulons qui gouvernent les évolutions devant satisfaire  les propriétés de viabilité et/ou de capturabilité prescrites (voir figure donnant la correspondance de régulation de la direction d'un robot devant
atteindre en temps minimal la cible rouge en évitant les obstacles noirs).  Ces correspondances sont étudiées théoriquement et calculées numériquement, et sont l'objet de théorèmes mathématiques difficiles. 

La taille de ces correspondances de régulation fournit une mesure de la robustesse ou de la résilience de la viabilité d'un environnement par rapport au système évolutionnaire auquel il est confronté. Les dérivées
de cette correspondance (c'est à  propos de ce problème qu'a été inventé en 1980 le calcul différentiel des correspondances qui a par la suite joué un rôle important dans le développement de l'analyse
multivoque) révèlent les propriétés de {\color{souligne}changement de structure du système évolutionnaire} sous-jacentes nécessaires au maintien de la viabilité. Tant que la vitesse nulle appartient à  la dérivée de  la correspondance
de régulation, on peut maintenir constante la variable cybernétique (commande ou régulon), tandis que le changement de cette variable s'impose dès que la vitesse nulle cesse d'y appartenir. C'est alors qu'
apparaît ce que l'on pourrait appeler une « crise de viabilité » et « l'émergence de nouveaux régulons », crise d'autant plus importante que les vitesses des variables cybernétiques sont élevées. Il se peut
même qu'elles deviennent infinies, auquel cas on doit recourir à  des impulsions sur les variables cybernétiques et, dans des cas extrêmes, sur les variables d'état elles-mêmes. Il s'agit alors de mesurer a
%
\begin{figure}[ht]
\centerline{\psfig{figure=PS/viabilit1.eps,%
bbllx=2pt,bblly=2pt,bburx=490pt,bbury=400pt,width=10cm,clip=}}
\caption{la fonction d'inertie procure une mesure des coûts de transition.}
\label{viafig1}
\end{figure}
%
priori à  chaque instant initial la plus grande des vitesses futures des commandes ou des régulons nécessaires au maintien de la viabilité par une {\color{souligne} fonction d'inertie} qui procure  ainsi une mesure des « coûts de
transition » (voir figure~\ref{viafig1}). Leur étude permet également de savoir où et quand apparaîtront les crises de viabilité.   
 
 
\medskip

            d. Le Principe d'Inertie 
\medskip

{\color{souligne} Le principe d'inertie} énonce que les régulons n'évoluent que
 lorsque la viabilité est en jeu.
 Ces régulons, génotypes, prix, codes culturels et concepts dans les exemples cités,
 laissés à eux-mêmes, auront donc
tendance à  demeurer constants durant certaines périodes, ce qui n'interdit pas aux états du système d'évoluer.
 Le principe d'inertie explique ainsi le phénomène d'équilibre intermittent (punctuated equilibrium)
introduit en 1972 par Nils Eldredge et Stephen J. Gould en paléontologie pour décrire des discontinuités
des témoignages de l'évolution des espèces, ou l'apparition de crises historiques selon Jean-Baptiste
Duroselle.  
 

Cela ne suffit pas encore à  réduire complètement l'incertitude : il faut découvrir des {\color{souligne}mécanismes qui  obéissent à  ce principe d'inertie}.
Le plus simple est celui qui consiste à  choisir parmi tous les régulons viables
celui qui a la plus petite vitesse, le plus paresseux. Les évolutions viables correspondantes sont qualifiées de lourdes
(voir figure~\ref{viafig2}, le régulon est en rouge et {\color{souligne}l'évolution lourde} en bleu). 
\begin{figure}[h]
\centerline{\psfig{figure=PS/viabilit3.eps,%
bbllx=2pt,bblly=2pt,bburx=500pt,bbury=340pt,width=8.5cm,clip=}}
\caption{régulon en rouge et évolution lourde en bleu.}
\label{viafig2}
\end{figure}
%

On  introduit alors le concept de  niche de viabilité d'un régulon, qui est l'ensemble des états de départ d'évolutions viables régulées par ce régulon lorsqu'il est maintenu constant. La niche de viabilité d'un régulon
peut être vide, auquel cas le régulon devra être changé tôt ou tard afin que l'état du système respecte les contraintes de viabilité. Partant de la niche de viabilité d'un régulon, au moins une évolution régie par le
système évolutionnaire peut  évoluer dans cette niche en conservant le régulon initial. En respectant le principe d'inertie, les régulons ne se mettent en mouvement que lorsqu'une « crise de viabilité » survient, et
ce, jusqu'à  ce que la viabilité soit rétablie. Lorsque l'évolution lourde d'un état le conduit dans la niche de viabilité d'un régulon, alors ce dernier devient constant et l'état demeure à  jamais dans sa niche, qui 
« accroche »  (lock-in en anglais) cette évolution. 

En sélectionnant des évolutions viables lourdes, par exemple, on fait donc émerger de la confrontation de la dynamique d'un système et des contraintes qui lui sont imposées un mécanisme d'évolution opportuniste,
conservateur et paresseux. 

\medskip
            e. Échelles d'Inertie 
\medskip

C'est à  ce sujet que se posent {\color{souligne}les problèmes d'échelles d'inertie et de temps}. On cherche d'abord les situations où les régulons demeurent constants, puis celles où les régulons sont linéaires par rapport au
temps, puis quadratiques, puis polynomiaux de degrés successifs. Chaque situation correspond au cas où les dérivées des régulons sont nulles jusqu'à  un certain ordre, condition qui décrit une échelle donnée d'
inertie, et donc une {\color{souligne}hiérarchisation en zones d'inertie décroissante}.  La recherche de ces zones répond à  une autre préoccupation apparue en automatique sous le label de « quantisation ». Comme la recherche
des {\color{souligne}rétroactions} est difficile et nécessite de nombreux calculs, il s'agit d'isoler les cas où commandes et régulons dépendent d'un (petit) nombre fini de paramètres (un dans le cas des régulons constants, deux
dans celui des régulons linéaires, trois dans le cas de régulons quadratiques, etc.) En effet, la recherche des rétroactions (servomécanismes, feedbacks) statiques et dynamiques revient à  rechercher les sélections
(univoques) de ces correspondances de régulation et de leurs dérivées respectivement. Cela peut exiger de coûteux calculs. 

Ce n'est pas ce qui se fait actuellement dans la pratique en automatique. En effet, dans le cadre des systèmes linéaires dans lequel se sont développés  les concepts et les techniques de l'automatique et de la
théorie des systèmes,   ces rétroactions sont simples et de nombreuses méthodes ont été mises au point depuis les débuts de l'automatique pour en donner des formules analytiques.   Il est ensuite implicitement
et parfois explicitement admis que ces mêmes rétroactions peuvent être valides dans le cas des systèmes qui ne sont pas trop « non-linéaires », sans véritables garanties mathématiques\footnote{merci
pour la publi PRL.}. On peut concilier l'usage
conjoint de ces deux points de vue, en cherchant les noyaux de viabilité des rétroactions classiques et déjà  utilisées dans l'industrie, et ensuite, les utiliser comme cibles et {\color{souligne} chercher alors des feedbacks non
linéaires qui y conduisent en temps fini} pour utiliser ensuite les servomécanismes classiques. Cette stratégie est aussi utilisée dans le cadre des systèmes issus du vivant et des systèmes cognitifs, lorsque
certaines tâches  ou programmes sont appris et que le maintien de la viabilité ou l'accomplissement de tâches se décomposent en une suite « planifiée » de tâches routinières successives. Ce thème de recherche
est récemment apparu dans diverses théories de l'apprentissage.}

Texte édifiant malgré son encombrement par le vocabulaire de la viabilité, qui renvoie à une possibilité
de combiner inertie et contrôlabilité, inertie et gains de rétroaction ! ce qu'on peut en extraire~:
%
\begin{itemize}
\item maintien de la viabilité par une fonction d'inertie~:
l'inertie est liée au maintien spontané d'une propriété ou d'un état --- sauf en cas de crise;
\item on peut associer un coût (de rattrapage) à cette notion d'inertie; (mais je me demande s'il
n'y pas là confusion avec stabilité)
\item Inertie ci-dessus associée à un coût de commande nécessaire au maintien de quelque chose (piste);
avec hiérarchie possible par rapport à la forme de la loi de commande (polynômes de Legendre);
et ce maintien peut aussi être recherché par des rétroactions (actives).
l'échelle de l'inertie correspond à une dérivée s'annullant jusqu'à un certain ordre, lié au nombre
de paramètres nécessaires à la régulation;
\end{itemize}
%

{cela suffit-il à se mettre au travail ?}
% ----------------------------------------------------------------------
\subsection{réduction de modèle $[\theta,\mu]$}
% 
On va ici exposer la technique formelle de décomposition dite de Hankel en tant que référence à nos
propres développements. Ce qui permettra aussi d'expliciter des liens avec la conjecture de G\&M.

Il vaut tout d'abord mieux remarquer la différence de problématique avec la décomposition lent-rapide.
Ici, il s'agit de réduire l'ordre d'un modèle en conservant au mieux ses caractéristiques dynamiques
(on est donc en amont du lent-rapide).
Celles-ci sont censées ne pas être liées au contexte (de forçage), et on considérera plutôt un
forçage par bruit blanc. Alors, la structure dynamique pourra être caractérisée par une moyenne d'ensemble
de la matrice de var-covar $P=\overline{\ext{x}{x}}$ --- pour rester dans le contexte SLTC.
L'obtention par le modèle réduit de la plus grande partie de $\overline{\scal{x}{x}}$ constitue la part
quantitative de cette caractéristique. 

On considère ainsi le SLTC suivant~:
%
\begin{equation}
\left \lbrace
\begin{array}{l}
\partial_t x = Ax + B w(t) \\
 y = C^{\dagger} x
\end{array}
\right .
\end{equation}
%
où $w$ est un bruit blanc ($Esp\ext{w(t)}{w(\tau)}=I\delta(t-\tau$). On a d'emblée complété
le modèle d'état par une observable $y$.
 La première matrice considérée est le {\bf grammien de contrôlabilité} (cf Effluents $\mathcal{W}_c$)~:
%
\begin{equation}
P = \lim_{t\rightarrow\infty}\int_0 ^t \Phi(t,\tau) B(\tau) B^{\dagger}(\tau)\Phi^{\dagger}(t,\tau)\, d\tau
\label{gramctrl}\end{equation}
%
avec, ainsi, la supposition d'existence de cette limite, condition équivalente au  critère de stabilité
asymptotique dont en tire la condition de Lyapunov ($AP+PA^{\dagger} = -Q$) pour les systèmes
autonomes\footnote{pour un système asymptotiquement stable (intrinsèquement, \cad sans commande $u$),
on a ce résultat que pour toute matrice sym.déf.pos. $Q, \,\exists P$ tel que $A^{\dagger}P + PA =-Q$.

Il suffit de prendre $\displaystyle P=\int_0 ^{\infty} e^{A^{\dagger}t}Q e^{At}dt$.
On remarque que $A^{\dagger}P + PA =d_t P$ sous l'intégrale et
$\displaystyle\lim_{t\rightarrow\infty} e^{A^{\dagger}t}Q e^{At}=0$,
dès que $\Re(\lambda)\in \Lambda(A) < 0$ (stabilité stricte).

L'échange entre $A$ et $A^{\dagger}$ dans $P$ montre qu'on a
tout aussi bien une (autre) P telle que~: $AP + PA^{\dagger} =-Q$.}.
Cette matrice donne la structure (les EOFs) de réponse du système au bruit non biaisé
$w$. Ayant caractérisé le système du point de vue de sa réponse (en état, ou réponse ``interne''),
on veut contrebalancer en prenant également en compte le point de vue de l'observation
du système via $y$. A ce point de vue correspond le {\bf grammien d'observabilité} 
%
\begin{equation}
Q = \lim_{t\rightarrow\infty}\int_0 ^t \Phi^{\dagger}(t,\tau) C(\tau) C^{\dagger}(\tau)\Phi(t,\tau)\, d\tau
\label{gramobs}\end{equation}
%
Équilibrer une réduction de ce modèle signifie appliquer un critère équivalent selon les deux points de vue.
Formellement, la structure particulière du modèle en sa version autonome autorise l'existence d'une base
commune dans laquelle les deux grammiens conjugués sont égaux. Cette base donne lieu à la décomposition
de Hankel.

Soit $T$ cette transformation {\bf interne}, \cad un changement d'échelle des variables d'état. On
{\bf ne touche pas à la mesure}, qui est ce qu'elle est avec ses contraintes techniques conduisant à
la matrice $C^{\dagger}$ qui fixe l'échelle des mesures. Le système originel devient ainsi, avec
$x = Tz$ définissant l'état renormalisé $z$~:
%
\begin{equation}
\left \lbrace
\begin{array}{ll}
\partial_t Tz &= A Tz+ B w(t) \nonumber\\
 y &= C^{\dagger} Tz          \nonumber
\end{array}
\right .
\end{equation}
%
soit 
%
\begin{equation}
\left \lbrace
\begin{array}{ll}
\partial_t z &= T^{-1}A T z+ T^{-1}B w(t) = \tilde{A} z+ \tilde{B} w(t) \nonumber\\
 y &= \tilde{C^{\dagger}}\, z   \nonumber
\end{array}
\right .
\end{equation}
%
Dans le cas où $A$ est c\textsuperscript{ste} où $\displaystyle\Phi(t,0) = e^{At}$, on en déduit les formes transormées
de $P$~et~$Q$~:
%
\begin{equation}
\left \lbrace
\begin{array}{l}
\tilde{P}  = T^{-1}P T^{-\dagger} \nonumber\\
\tilde{Q}  = T^{\dagger}\, P\, T \nonumber
\end{array}
\right .
\end{equation}
%
Il reste à choisir $T$ tel que $\tilde{P} =\tilde{Q} =[\sigma^2]_{diag}$. Si c'est possible, alors
on doit avoir $\tilde{Q}\tilde{P} =T^{-1}QPT$, d'où $QP = T[\sigma^2]_{diag}T^{-1}$. Cette forme
est la décomposition en EP ou SVD de $QP$, matrice produit de matrices quadratiques.
Les $\sigma_i$ (réels) sont appelés valeurs singulières de Hankel (v.s.H).

Noter qu'il {\bf ne s'agit pas} des éléments propres des grammiens, car on a
%
\begin{equation}
\left \lbrace
\begin{array}{l}
P  = T \,[\sigma]\, T^{\dagger} \nonumber\\
Q  = T^{-\dagger}[\sigma] T^{-1} \nonumber
\end{array}
\right .
\end{equation}
%
Dans le cas où on remplace le bruit $w$ par une commande $u(t)$, cas traité par les auteurs
de la présentation adoptée ici\footnote{Willcox Peraire, AIAA Journal 2002 (40-11).}, les v.s.H
ordonnées fournissent une borne supérieure de l'erreur de troncation à l'ordre~$r$~:
%
\begin{equation}
\|y(t)-y_r(t)\| \le 2\Sigma_{r+1} ^n \sigma_i\|u(t)\|
\end{equation}
%
La réduction est alors obtenue en ne retenant que les $r$ premières lignes et colonnes de $\tilde{A}$.
Ceci est justifié par l'équation de Lyapunov liée à $P$.

 On a d'abord
$AP= T\tilde{A}T^{-1}T\tilde{P}T^{\dagger}=T\tilde{A}[\sigma]T^{\dagger}$, et
$PA^{\dagger}=T\tilde{P}T^{\dagger} T^{-\dagger}\tilde{A}T^{\dagger}=T[\sigma]\tilde{A}^{\dagger}T^{\dagger}$;

Alors, si le système vérifie la relation de Lyapunov $AP + PA^{\dagger}=-I$, on a 
$\tilde{A}[\sigma]+[\sigma]\tilde{A}= -SS^{\dagger}$, avec $S=T^{-1}$. On peut donc réduire le
système en gardant~:
%
\begin{equation}
\tilde{A_r}[\sigma]_r+[\sigma]_r\tilde{A_r}= -S_r S^{\dagger} _r
\end{equation}
%
où on a gardé les $r$ premières lignes de S. Le modèle réduit se conjugue alors par
$\partial_t z_r = \tilde{A_r}z_r + S_r B u$. Les mêmes composantes de $u$ apparaissent donc dans
une combinaison linéaire réduite. Dans le cas du bruit blanc non biaisé ($B=F$ unitaire), la source
de bruit se met à prendre des couleurs dans la base de Hankel --- ce qui nous rapproche un peu de G\&M,
sauf qu'en restant en linéaire, on aura du mal à biaiser ... ce qui démontre une fois encore la pauvreté
sémantique du linéaire.

\bigskip
{\bf De quelques équivalences.} On peut formuler l'équilibrage {\it e/s} en cherchant le maximum
du {\bf quotient de Hankel}
$\displaystyle H(x_0) = \max_u \frac{\int_0 ^{\infty}\scal{x(t)}{x(t)}}{\int^0 _{\infty}\scal{u(t)}{u(t)}}$,
dont on vérifie que c'est $\displaystyle H(x_0)=\frac{\bra{x_0}Q\ket{x_0}}{\bra{x_0}P^{-1}\ket{x_0}}$.

\smallskip
L'équilibrage met ainsi en branle un système commandé à $t<0$ par la loi de commande de coût minimum
nécessaire pour obtenir une variation d'état $x_0$ à $t=0$ (critère de sensibilité au forçage), suivi du système
libre observé aux temps positifs en son intégrale quadratique de réponse (critère de sensibilité
aux C.I.).
On peut voir ce système comme résultant d'un {\bf opérateur linéaire de Hankel}~:
%
\begin{equation}
\mathcal{H} [u](t)= x(t) = e^{At}\int_{-\infty} ^0 e^{-A\tau}\tilde{u}(\tau)d\tau
\end{equation}
%
En considérant la SVD de l'opérateur $H=U\sigma V^{\dagger}$ on voit assez vite que les v.s.H sont aussi celles
des extremum du quotient de Hankel et stationnarisant l'opérateur (aux carrés près).

\bigskip
Que dire du cas non-autonome ? 

La définition des deux grammiens~(\ref{gramctrl} et \ref{gramobs}) questionne la clé des simplifications pour le système
autonome reposant sur la relation de Lyapunov~:
%
\begin{eqnarray}
\left \lbrace
\begin{array}{l}
AP+PA^{\dagger}= -BB^{\dagger}\nonumber\\
A^{\dagger}Q +QA= -CC^{\dagger}\nonumber
\end{array}
\right .
\end{eqnarray}
%
On peut étudier la relation $AP+PA^{\dagger}=d_t P(t,\tau)$ en remarquant que les matrices
$A$ et $B$ sont fonctions de $\tau$, pas de $t$ comme pour le cas autonome où seul
intervient en réalité $(t-\tau)$ paramètre ($\rightarrow t$) de l'intégration\footnote{on a appelé $P(t,\tau)$
l'intégrande.}. Il reste alors
 $\displaystyle P=\lim_{t\rightarrow\infty} \int_0 ^t {d_t\Phi BB^{\dagger}\Phi^{\dagger}(t,\tau)}d\tau$
dont il n'est pas aussi évident de prendre les hypothèses de stabilité asymptotique.

On a aussi une autre relation~:
%
\begin{equation}
\left \lbrace
\begin{array}{l}
d_t P(t)  = A(t)P(t)+P(t)A^{\dagger}(t)+BB^{\dagger}(t) \nonumber\\
d_t Q(t)  = A^{\dagger}(t)Q(t) +Q(t)A(t) +CC^{\dagger}(t) 
\label{dtQ}\end{array}
\right .
\end{equation}
%
portant cette fois sur l'intégrale de $P$ (resp. $Q$) de $0$ à $t$. On peut alors faire la remarque que 
ce terme de droite n'est autre que la source faisant évoluer la matrice de var-covar $P$
d'un modèle (cf Propagateur equ.~(\ref{P-Ptef})) sollicité par un bruit blanc ($Bw$).
En gros dans le cas non-autonome, on devra s'assurer
lors de la réduction du modèle que le modèle réduit n'est pas moins stable que
le modèle complet en considérant ces termes source et leur limite à l'infini.

Enfin, cette dualité entre $P$ et $Q$\footnote{ben non, ça marche pas pour $Q$, par le fait
que $A$ ne commute avec $\Phi$ que dans le cas autonome !} suggère que l'on puisse ajouter au système le calcul
d'une avance de $Q$ pour déterminer $\scal{y}{y}$ par une expression du mème type que celle
de $dP$ (equ.~(\ref{P-Ptef}) de Propagateurs)~:
%
\begin{equation}
dQ = [I-\tau A^{\dagger}]^{-1}\, \left[\, A^{\dagger}(t)Q(t)+Q(t)A(t)+C^{\dagger}RC\,]\,\,[I-\tau A\right]^{-1}\,\dt
\label{Qtef} 
\end{equation}
%
ou pas très éloignée de ça, avec $W$ la matrice de var-covar des incertitudes de mesure. Contrairement à
la fausse relation~(\ref{dtQ}), celle-ci marche puisqu'on assimile localement le propagateur
à $\exp(A\tau)$. Bien sûr au vu de cette forme, on doit pouvoir avoir le droit d'affirmer
que cette $Q$ n'est autre que la $P$ des variables adjointes aux états, et on aura à y réfléchir pour
les implémentation dans \Minik.

\bigskip
{\bf Une hiérarchie de réduction}

\medskip
En résumé, on peut établir une série de décompositions menant à une  hiérarchie de réductions
de modèle possible ~:
%
\begin{itemize}
\item {\it modale} - $\Phi = \sum_i e^{\lambda_i t}\ext{e_i}{e_i}$; on tronque â partir de $\Re\lambda_i$,

\item {\it modale}
\item {\it modale}
\item {\it modale}
\end{itemize}
%
un exercice d'application devrait permettre d'apprécier la différence des résultats entre ces diverses
formes, et en particulier en fonction de la normalité de la matrice d'avance $A$.

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{lent / rapide, encore}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Au hasard des lectures, on découvre une école se référent à la technique des projecteurs
introduite par R.~Zwanzig et S.~Nakajima dans les années 60, exploité par des
J.~Seke {\it et al} plus tardivement (années 80), puis enfin relié aux stochastiques
plus récemment (cf P.~Espanol er F.~Vazquez 20020. La technique permet de poser un cadre
général de séparation formelle, ici appliquée au lent / rapide, mais qui --- me semble-t-il ---
devrait avoir un lien avec l'approche Materiochka qui exploite une décomposition (spatiale) itérée
à la Reynolds. L'idée de base consiste en l'application d'un projecteur constant $\mathcal P$
sélectionnant dans l'espace des phases (des états) une partie dîte pertinente --- de dimension
très réduite ou directe ou quasi déterministe ---  et son complémentaire
$\mathcal Q = I-\mathcal P$ donnant la partie bruitée ou non-pertinente. De manière plus générale,
l'approche peut sélectionner des ``niveaux de description mésoscopiques''

{\it Le problème est que cette méthode est appliquée dans des contextes assez divers, des modèles
de colloïdes genre Fokker-Planck aux équations de Liouville ou Schrôdinger, et je tente d'aller lentement sur une forme
la plus générale avant de considérer les applications traitées.}


Une première voie consiste a chercher une ``équation maîtresse généralisée\footnote{école de Bruxelles.
cf Brandtlow et Conveney, et Penrose.}''

Supposons défini tel projecteur; il est appliqué à l'équation d'évolution --- ici hors TEF~:
%
\begin{equation}
d_t x(t)  = A(t)x \quad,\quad x(0)=x_0;
\end{equation}
%
avec d'abord une partie pertinente
%
\begin{equation}
d_t \mathcal{P} x(t)  = \mathcal{P} A(t)x=\mathcal{P}A\mathcal{P}\;\mathcal{P}x + \mathcal{P}A\mathcal{Q}\;\mathcal{Q}x
\end{equation}
%
où après produit par $\mathcal{P}$ à droite --- qui commute avec $d_t$ --- on a utilisé~:
$\mathcal{P}+\mathcal{Q}=I\; , \; \mathcal{P}^2=\mathcal{P}\; ,\; \mathcal{Q}^2=\mathcal{P}$.
On peut former la même équation pour le versant complémentaire de l'espace des états~:
%
\begin{equation}
d_t \mathcal{Q} x(t)  = \mathcal{Q}A\mathcal{P}\;\mathcal{P}x + \mathcal{Q}A\mathcal{Q}\;\mathcal{Q}x
\end{equation}
%
Dès lors, la sémantique recherchée nous conduit renommer par exemple $\mathcal{P}x$ en $x$ et
$\mathcal{Q}x\rightarrow y$, ce qui donne un système partitionné~:
%
%
\begin{equation}
\left \lbrace
\begin{array}{l}
d_t x  = \mathcal{P}A\mathcal{P}\;x + \mathcal{P}A\mathcal{Q}\;y\nonumber\\
d_t y  = \mathcal{Q}A\mathcal{P}\;x + \mathcal{Q}A\mathcal{Q}\;y
\label{xy}\end{array}
\right .
\end{equation}
%
avec $x\in\Re^n$ et $y\in\Re^m$, $n+m$ donnant la dimension totale de l'espace des états.

Il est alors temps d'introduire une différence de traitement entre les deux partitions; $y$
étant ``non-pertinente'' doit pouvoir être traitée globalement ou statistiquement comme
fluctuations (sous-maille par exemple). On résoud formellement $y(t)$ sous des conditions sur lesquelles
nous reviendrons, mais on va ici supposer $A(t)=C^{\mbox{\tiny{ste}}}$, et raisonner sur les états avant
de passser a l'étape opérateurs.
% la condition que
%$\mathcal{Q}A(t)\mathcal{Q}$ varie lentement devant $\mathcal{P}A(t)\mathcal{P}$~:
%
\begin{equation}
 y(t)  = \exp(\mathcal{Q}A\mathcal{Q}\;t)\;y(0) +\int_0^t{\exp(\mathcal{Q}A\mathcal{Q}(t-\tau))\; \mathcal{Q}A\mathcal{P}\;x(\tau)}d\tau
\end{equation}
%
L'approche clalssique consiste à
reporter cette expression dans la partie pertinente pour obtenir une ``équation maîtresse généralisée''~:
%
\begin{equation}
 d_t x(t)  = \mathcal{P}A\mathcal{P}x +\mathcal{P}A\mathcal{Q}\exp(t\mathcal{Q}A\mathcal{Q}) y_0 +\mathcal{P}A\mathcal{Q}\int_0^t{\exp(\mathcal{Q}A\mathcal{Q}(t-\tau))\; \mathcal{Q}A\mathcal{P}\;x(\tau)}d\tau
\end{equation}
%
équation dîte maîtresse.
%
\paragraph{attention à la marche}, car on passe aux opérateurs. Soit la dynamique microscopique
d'un système donnée par un groupe d'opérateurs $\mathcal{U}_t$~:
$x'(t)=\mathcal{U}_t x'(0)$ dans l'espace complet. On note $\mathcal{L}$
le générateur infinitésimal du groupe, avec ainsi~:
%
\begin{equation}
d_t \mathcal{U}_t x'_0  = \mathcal{L}\mathcal{U}_t x'_0\;,\;x'_0\in\mathcal{D}(\mathcal{L});
\end{equation}
%
où $\mathcal{D}(\mathcal{L})$ est le domaine de $\mathcal{L}$. Alors, $x'(t)=\mathcal{U}_t x'(0)$
est une solution continument différentiable de l'équation
%
\begin{equation}
d_t x'(t)  = \mathcal{L}x'(t);
\end{equation}
%
en réalité, je m'avance, parce que ce qui précède est établi pour le groupe des opérateurs
unitaires $\mathcal{U}_t$ et $\mathcal{L}_t$ anti-adjoint; il s'agit d'obtenir un groupe
de $\mathcal{U}_t$ ``strongly continuous\footnote{je laisse en Anglais pour que Guillaume
nous donne la juste expression française.}''. C'est sûr que l'application d'opérateurs conservant
la mesure facilite les choses, mais outre-passons {\it à la physicienne}.

On réapplique les projections, ce qui revient à remplacer toute occurence de $A(t)$ par
$\mathcal{L}_t$. On arrive alors formellement à~:
%
\begin{equation}
 d_t x  = \mathcal{P}\mathcal{L}\mathcal{P}x +\mathcal{P}\mathcal{L}\mathcal{Q}\exp(t\mathcal{Q}\mathcal{L}\mathcal{Q})y_0 +\int_0^t{\mathcal{P}\mathcal{L}\mathcal{Q}\exp(\mathcal{Q}\mathcal{L}\mathcal{Q}(t-\tau))\; \mathcal{Q}\mathcal{L}\mathcal{P}\;x(\tau)}d\tau
\label{mm1}\end{equation}
%
On peut supposer que les C.I. ont réussi à ce que $y(0)=0$. Ici, $x$, la partie pertinente,
est donnée par la projection $\mathcal{P}x'(t)=\mathcal{P}\mathcal{U}_t x'_0=\mathcal{P}\mathcal{U}_t(\mathcal{P}+\mathcal{Q})x_0'$
de l'état total $x'$, avec $y_0=0$, on a $x(t)=\mathcal{P}\mathcal{U}_t\mathcal{P}x_0$.
On appelle $\mathcal{V}_t=\mathcal{P}\mathcal{U}_t(\mathcal{P}$
l'opérateur d'évolution de la partie pertinente de $x'$.

Pour aboutir à cette fameuse {\bf équation maîtresse généralisée}, on introduit ces notations
dans (\ref{mm1})~:
%
\begin{equation}
\begin{array}{l}
 d_t \mathcal{V}(t)x_0  = \mathcal{P}\mathcal{L}\mathcal{P}\mathcal{V}(t)x_0
 +\int_0^t{\psi(t-\tau))\;\mathcal{V}(\tau)\;x_0}d\tau\\
\textit{avec~: }\psi(t)=\mathcal{P}\mathcal{L}\mathcal{Q}\exp(t\mathcal{Q}\mathcal{L}\mathcal{Q})\; \mathcal{Q}\mathcal{L}\mathcal{P}
\label{mm}\end{array}
\end{equation}
%
qui est appellé ``opérateur de collisions'' par l'école de Bruxelles. Cette équation est alors une intEgro-différentielle
fermée pour la part pertinente de l'évolution de l'état total.

Nous qui sommes du TEF, on écrirais plus volontiers~:
%
\begin{equation}
\left \lbrace
\begin{array}{l}
 d_t \mathcal{V}(t)x_0  = \mathcal{P}\mathcal{L}\mathcal{P}\mathcal{V}(t)x_0
                                                            +\mathcal{P}\mathcal{L}\mathcal{Q}\; \overline{y}(t)\\
\overline{y}(t) = \int_0^t{\psi(t-\tau))\;\mathcal{V}(\tau)\;x_0}d\tau
\label{tefmm}\end{array}
\right.
\end{equation}
%
mais avec~: $\psi(t)=\exp(t\mathcal{Q}\mathcal{L}\mathcal{Q})\; \mathcal{Q}\mathcal{L}\mathcal{P}$, \cad que
la partie fluctuante a été (g)lissée dans un transfert.

On imagine bien que cette grande généralité (en réalité restreinte quand même aux opérateurs unitaires susdîts)
soit la source de recherches sur des systèmes traitables pratiquement. Une analyse formelle en transformées
de Laplace des opérateurs, pour analyser le comportement asymptotique de $\mathcal{V}(t)$
 conduit l'école de Bruxelles à la notion d'opérateur de collision à
décroissance exponentielle~:
%
\begin{equation}
\exists K>0,\; b>0,\; \textit{tel que } ||\psi(t)||\leq K \exp^{-bt}\quad (t\in \Re^+)
\end{equation}
%
avec $||.||$ une norme sur les opérateurs. On doit alors a Coveney et Penrose ce résultat que
dans ces conditions, et si $\mathcal{P}$ est de rang fini, on peut décomposer cette évolution
en $\mathcal{V}(t)=\mathcal{W}(t)+\mathcal{W'}(t)$, avec les propriétés~:
%
\begin{enumerate}
\item $\exists K'>0,\;\textit{tel que } ||\mathcal{W}'(t)||\leq K' \exp^{-\frac{bt}{2}}\quad (t\in \Re^+)$;
\item $\mathcal{W}(t)= \exp(t\mathcal{P}\Gamma\mathcal{P})$, oú $\mathcal{P}\Gamma\mathcal{P}$ est 
un opérateur de rang fini de spectre compris dans $\{ z\; |\; -\frac{b}{2}\leq \Re(z)\leq 0\}$;
\end{enumerate}
% 
Ainsi, on a d'une part lissé la partie non-pertinente poour la faire disparaître, et montré
une condition suffisante pour obtenir un comportement asymptotique stable en présence des fluctuations.

En ce qui nous concerne plus sobrement, tout en gardant un \oe il sur les diverses élucubrations
tempestives de nos amis stati-stochas --- dont nos amis Belges --- on pourra en rester à
l'interprétation SLTCive et interroger la forme~:
%
\begin{equation}
\left \lbrace
\begin{array}{l}
 d_t x(t)  = \mathcal{P}A(t)\mathcal{P}x(t) +\mathcal{P}A(t)\mathcal{Q} \;\overline{y}(t)\\
\overline{y}(t) = \int_0^t{\exp(\mathcal{Q}A(?)\mathcal{Q}(t-\tau))\; \mathcal{Q}A(\tau)\mathcal{P}\;x(\tau)}d\tau
\label{tefm}\end{array}
\right.
\end{equation}
%
On sent bien que dans cette forme on a fait l'essentiel consistant à transformer les fluctuations
en un transfert calmé par une prise de moyenne pondérée, et une éventuelle décroissance exponentielle,
mais il reste quelques points d'interrogation\footnote{tout ceci, je dois l'avouer, pour ne pas en
passer par le fâcheux $t\rightarrow \epsilon\tau$ de Majda, qui me gonfle à un point suspect~:
``small is not necessarily beautiful''. Mon plus grand succès serait de montrer l'équivalence
des deux approches ... mais brutalement me revient en tête le papier de Michael sur la moyenne
SANS petit paramètre, par utilisation de la transformation de Lie\ironie}.
En tout cas, on voit où ce situe tout le tripatouillage à faire pour construire un
système physique ``lent'' ayant du sens...
\paragraph{une application charnière}, en prenant un exercice de Majda, détourné pour en faire un traitement
intégral. On considère le système suivant~:
%
\begin{equation}
\left \lbrace
\begin{array}{l}
 d_t x = a \, y z\\
 d_t y = b\, x z\\
 d z = c\, x y\, dt -\gamma z\, dt +\sigma\, dW
\label{majda}\end{array}
\right.
\end{equation}
%
où on a écrit la dernière équation à la Itô. On suppose $a+b+c=0$ pour en faire ``la triade'' stochastique
nonlinéaire (réputée chez les stochamologues). Par rapport à ce qui précède, l'analyse de pertinence a donc
déjà été effectuée, il reste à passer à l'échelle temporelle supérieure (mesoscopique). On reviendra ensuite
à une comparaison plus ponctuelle avec la méthode générale.

La troisième équation, à part un forçage par les lents, a la forme d'une équation de Langevin. On souhaite
transformer ce système en une forme où les lents verraient une moyenne du rapide, le rapide étant
forcé par les lents. Les lents constituant une source pour $d_t z$, la solution formelle de $z(t)$
est donnée par~:
%
\begin{equation}
\begin{array}{l}
 z(t) = c \int_0^t {\exp(-\gamma(t-\tau))x(\tau)y(\tau)}\, d\tau + g(t)\\
 \textit{avec }g(t) = \sigma\int_0^t {\exp(-\gamma(t-\tau))}\,  dW(\tau)
\label{majda2}\end{array}
\end{equation}
%
et ainsi, après remplacement dans le système des lents, les fluctuations rapides seront
lissées par une prise de moyenne d'ensemble avec une moyenne pondérée des intégrations,
sur lesquelles les hypothèses physiques doivent être faîtes.
L'analyse de la source de bruit lissé $g(t)$ se fait classiquement en étudiant l'espérance
de la fonction de corrélation~:
%
\begin{equation}
\rho(t,t') = \overline{g(t)g(t')} = \sigma^2 \int_0^t \int_0^{t'} {\exp\{-\gamma(t-\tau)\}\exp\{-\gamma\{t'-\tau')\}}\,\overline{ dW(\tau) dW(\tau')}
\end{equation}
%
le processus de Wiener est caractérisé par $\overline{ dW(t) dW(s)}=\delta(t-s)\, dt$, ce qui donne, avec $t'\geq t$~:
%
\begin{eqnarray}
\rho(t,t')&=&\sigma^2 \int_0^t {\exp\{-\gamma(t'+t-2\tau)\}d\tau}\nonumber\\
 &=& \frac{\sigma^2}{2\gamma} [\exp(-\gamma(t'-t))-\exp(-\gamma(t'+t))]
\label{majdarho}
\end{eqnarray}
%
Bon, mais ce terme en $t'+t$ est troublant, et il semble que l'introduction d'une stationnarité
de $\rho(t,t)$ conduise à prendre une forte décroissance exponentielle $\gamma \rightarrow \frac{\gamma}{\epsilon}$,
ce qui implique, pour garder une corrélation finie, son pendant $\sigma^2\rightarrow\frac{\sigma^2}{\epsilon}$,
ou qui peut m'en dire mieux ? On doit en effet garder en tête qu'on n'a pas à étudier de systèmes stochastiques
arbitrairement idiots mais au contraire se donner des règles pour en construire certains produisant
du sens physique...

Alors, doit-conclure à un échec, dans la nécessité d'avoir à introduire un petit paramètre ? Ce choix
de ``stationnarité de $\rho(t,t)$ en posant $2\gamma t \propto\epsilon$ peut aussi s'interprèter par $t\rightarrow \frac{t}{\epsilon}$,
et on a ``considéré des temps longs'' par la variable $\epsilon\, s = t$, justifiant cette méthode. Au moins y
avons-nous été contraints par une sémantique physique\ironie 

Examinons les conséquences de cette hypothèse sur le terme intégral dans la solution de $z(t)$,
en exhibant la lenteur des lents~:
%
\begin{eqnarray}
 z(t) &=& c x(t)y(t)\int_{t-0}^t {\exp\{-\frac{\gamma}{\epsilon}(t-\tau)\}}\, d\tau + g(t)\nonumber\\
      &\stackrel{\epsilon\rightarrow 0}{=}&\frac{\epsilon c}{\gamma} x(t)y(t) + g(t)
\label{majda3}\end{eqnarray}
%
avec la borne inférieure de l'intégrale $t-0$ qui pourra être prise à $t-\frac{\sqrt{\epsilon}}{\gamma}$.
On nous fait boire jusqu'à la lie l'obligation de propager notre petit paramètre à $c\rightarrow \frac{c}{\epsilon}$
pour conserver du sens, et ainsi~:
%
\begin{equation}
\begin{array}{l}
 d z = \displaystyle\frac{1}{\epsilon}[\,c\, x y\, dt -\gamma z\, dt\,] +\frac{\sigma}{\sqrt{\epsilon}}\, dW\\
 z(t) =\displaystyle\frac{c}{\gamma} x(t)y(t) + g(t)
\label{majda4}\end{array}
\end{equation}
%
À ce stade du lissage, nous sommes en présence d'un nouveau processus aléatoire $g(t)$, dont nous pouvons
caractériser le temps de corrélation en analysant, pour une fonction test $\psi(t,s)$ arbitraire~:
%
\begin{equation}
\left \lbrace
\begin{array}{l}
\int_0^T\int_0^T \psi(t,s)\rho(t,s) dt ds \rightarrow \frac{\sigma^2}{\gamma^2}\int_0^T\psi(t,t) dt
\label{majda5}\end{array}
\right.
\end{equation}
%
c'est ce qu'affirme Majda, sans que j'arrive à ce résultat ... et on(il) en déduit que $g(t)$ est
approximativement aussi un bruit blanc avec
\begin{equation}
\frac{1}{\epsilon}g(t) dt \rightarrow \frac{\sigma}{\gamma} dW(t)
\end{equation}
%
mais avec un temps de corrélation fini --- qui tend vers zéro avec $\epsilon$, c'est ça le ``approximativement'' ?.

Si on l'en croit, le système transformé est à présent~: 
%
\begin{equation}
\left \lbrace
\begin{array}{l}
 d_t x(t) = a \, y z\\
 d_t y(t) = b\, x z\\
 z(t) = \displaystyle\frac{c}{\gamma} x y\, +\frac{\sigma}{\gamma dt}\,\circ dW(t)
\label{majdafinal}\end{array}
\right.
\end{equation}
%
oú nous dit-on le signe ``$\circ$'' donne à interpréter ce nouveau bruit $dW$ à la Stratonovitch.
L'intervention du $dt$ dans ce transfert marque bien l'occurence d'un batteur mésoscopique du temps,
grand devant le temps de décroissance $\frac{1}{\gamma}$, en accord avec la dynamique lente.

Un question se pose à l'application du schéma temporel du TEF~: comment calculer le terme source~:
$dz=cx\,dy+cy\,dx+ ?d\{\frac{\sigma}{\gamma dt}\,\circ dW(\tau)\}$ ? {\bf Pat, Guillaume, au(x) secours !}

Ici, les transferts du TEF s'introduisent d'une manière je trouve assez belle, sur des raisons
de réponse rapide au système des lents\footnote{ou une cellule stationnaire pour la variable $t$
mesoscopique.}.

Par rapport à l'approche générale, on a ici défini implicitement les projecteurs $P$ et $Q$ triviaux
conservant $x,y$ et $z$ respectivement de l'espace des états complet. L'intégrale de lissage du bruit
de la formule~(\ref{tefm}) est très simple, avec $\exp(\mathcal{Q}A(?)\mathcal{Q}(t-\tau))\rightarrow \exp(-\gamma(t-\tau))$,
et la décroissance exponentielle explicite, et
$\mathcal{Q}A(\tau)\mathcal{P}x(\tau)\rightarrow c y\,dx+c x \,dy = d(c xy(\tau))$\footnote{attention
au fait que dans l'expression~(\ref{tefm}), $x$ est la variable $dx$ du SLTC, sorry folks.}.

{\bf après cet effort que j'ose autoqualifier de valeureux, je craque et préfère attendre vos
réponses ...}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{un exemple de gain}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
En recherchant un exemple élémentaire exhibant l'intérêt du gain circulant, on est arrivé
avec stb à ce modèle de croissance d'un espèce limitée par, mettons, une maladie
contagieuse par contact, formalisé par la classique logistique~:
%
\begin{equation}
\partial_t \eta = r\eta(1-\frac{\eta}{k})
\label{pdelog}\end{equation}
%
ayant comme point d'équilibre stable  $\eta=k$, et dont la solution
est\footnote{on passe par $y=\frac{1}{\eta}-\frac{1}{k}$}
%
\begin{equation}
\eta(t) = \frac{k \eta_0 e^{rt}}{k+\eta_0(e^{rt}-1)}
\end{equation}
%
%
\begin{figure}[h]
\centerline{\psfig{figure=PS/logistic.eps,%
bbllx=52pt,bblly=41pt,bburx=554pt,bbury=807pt,width=12.5cm,angle=-90,clip=}}
\caption{Evolution du nbre d'individus pour 1000 et 10 au démarrage.}
\label{logfig}
\end{figure}
%

On donne une structure de rétroaction en posant $\varphi=\eta$~:
%
\begin{eqnarray}
\left \lbrace
\begin{array}{ccl}
\partial_t \eta &=& r\eta-\displaystyle\frac{r}{k}\varphi^2\nonumber\\
\varphi &=&\eta
\end{array}
\right .
\end{eqnarray}
%
à présent, si la perturbation de $\varphi$, mettons négative, correspond à un nombre $\epsilon$ d'individus
vaccinés~: $\varphi \rightarrow \eta-\epsilon$ (le nombre des non-vaccinés), le terme non-linéaire
de rencontres diminue la mortalité de $2\epsilon x$.
Le nouveau point d'équilibre sur le SLTC~($\epsilon^2$ négligé) est alors $k+2\epsilon$~:
on a vacciné $\epsilon$, on en a gagné deux\footnote{cette interprétation innovante de la perturbation
vaccinale a été inspirée à stb par la montagne Sainte-Geneviève en Juin 2007. On gagne deux parce qu'un
vacciné qui rencontre un malade ne risque rien, {\bf et} inversement.}~! Cette interprétation est
tout à fait intéressante, car là où on devait jeter des poignées de lapins pour
perturber un prédateur-proie, on a simplement comptabilisé le nombre de vaccinés
dès le départ qui se soustrait à la population vulnérable à chaque instant (puisque eux, ils meurent pas
en première approximation, ou alors on s'arrange pour qu'il y en ait toujours $\epsilon$
d'immunisés).

Que va nous dire l'analyse de rétroaction circulante ? Le SLTC s'écrit
%
\begin{eqnarray}
\left \lbrace
\begin{array}{ccl}
\partial_t x &=& rx-2\displaystyle\frac{r}{k}\varphi y\nonumber\\
y &=& x
\end{array}
\right .
\end{eqnarray}
%
avec comme d'hab $x=\Deta,\, y=\Dfi$. Le propagateur correspondant est
%
\begin{equation}
\Phi(t,0) = \exp\{r(1-2\frac{\varphi(t)}{k})t\}
\end{equation}
%
où $\varphi(t)$ est défini le long de la trajectoire de référence. On peut remarquer qu'au point
d'équilibre $\Phi(t,0)=\exp(-rt)$, qui montre que ce point est bien stable --- \cad que l'analyse
linéaire fournit la stabilité, bien qu'il faille dériver~\ref{pdelog} pour conclure.

 Avec ce modèle de recopie
d'état ($c=1,b=-\frac{2r}{k}\varphi$), la réponse efficace à la vaccination est simplement~:
%
\begin{equation}
\displaystyle\rho^{\epsilon}(t,0) = -\int_0^t \exp\{r[t(1-\frac{2}{k}\varphi(t))-\tau(1-\frac{2}{k}\varphi(\tau))]\}\frac{2r}{k}\varphi(\tau)\,\epsilon d\tau
\end{equation}
%
efficacité, donc, toujours de signe contraire à $\epsilon$.

En vaccination du point d'équilibre ($\varphi=k$),
on trouve que $\rho(t,0) =-2(1-\exp(-rt))$~, qui tend vers -2 par valeurs supérieures.
%
Qu'est-ce que ça signifie ? La variable $\varphi$ comptabilise le nombre d'individus;
pour $\epsilon$ négatif, on obtient asymptotiquement $2\epsilon$ de plus d'individus que
sans vaccination\footnote{le ``2''
trouvé précédemment n'a pas de sens selon l'efficacité,
il s'agit juste du déplacement du point d'équilibre stable; mais on le retrouve ici\ironie
Est-ce qu'un jeune émérite écrirait l'histoire du {\bf 2} dans cette collaboration TEF-ZOOM ?}.
\newpage
%
\section{sur Gram-Schmidt et les petits poids}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Signalée par Pat, on a une série d'algorithmes des années 74-77 par J.L.~Thorton~(JPL) qui
concernent l'avance temporelle d'une factorisation de Cholesky dans le cadre de l'application
du filtrage de Kalman discret. Si je paraphrase les notations de Thorton pour nous les
rendre plus transparentes, il pose le problème suivant~:
%
\begin{equation}
\left\lbrace 
\begin{array}{l}
\eta(t+\dt)=\Phi\eta(t)+B w \\
\mu(t)=C^\dagger\eta+n
\end{array} 
\right.
\label{thorton}\end{equation}
%
équation transcrites du discret, avec $w$ et $n$ deux bruits indépendants de moyenne nulle et
sans corrélation entre eux, avec $\overline{\ext{w}{w}}=Q_{diag}$ notée $q$, $\overline{\ext{n}{n}}=R_{diag}$
notée $r$ et $\overline{\ext{w}{n}}=0$. Les états $\eta$ sont dans $\Re^n$ et les probes dans $\Re^p$.
Il me semble que Pat noterait $w\rightarrow dW$ pour un accroissement Brownien.
Je passe la partie donnant le gain de Kalman~(la partie $\mu$ ne sera donc
plus évoquée), pour en arriver à la partie ``time-advance''.

Si $P=\overline{\ext{x}{x}}$ est la matrice de var-covar des anomalies $x$, on suppose déjà effectuée
la factorisation de Cholesky $P(t)=Ud\;U^\dagger$ où $d$ est diagonale positive et $U$ triangulaire sup.
à diagonale unité. La question est de mettre à jour  cette factorisation pour $P(t+\dt)$
connaissant~(\ref{thorton}) --- on peut faire le lien avec le TEF de $\Phi=e^{H\dt}$.

Le principe est d'obtenir une première factorisation, puis de la transformer en Cholesky grâce
à une orthogonalisation de G-S pondérée~:
%
\begin{itemize}
\item concaténation, on pose $W=[\Phi U,B]$ et $D=diag(d,q)$~(on a donc fait avancer $U$);
\item factorisation première de $P'=\Phi P\Phi^\dagger + B Q_{diag}B^\dagger=WDW^\dagger$, qui comporte bien la partie diagonale
      mais $W$ n'est ni triangulaire ni unité;
\item transformation par WGS\footnote{Weighted Gram-Schmidt.}, en définissant la base $\ket{v_i}$ de vecteurs ``D-orthogonaux''
avec $\scal{u}{v}_D=\sum_k u_k v_k D_k$, produit scalaire euclidien pondéré par la diagonale.
\item D-orthogonalisation~: et ainsi  --- si les matrices sont rangées par lignes ---
 $\scal{v_i}{v_j}_D= \sum_k v_{ik}v_{jk}D_k=\delta_{i,j}||v_i^2||_D$ est représenté matriciellement par
 $V D V^\dagger=\diag{||v_i^2||_D}$;
\item on a alors $W=U'V$ en posant $U'$ une matrice définie par la WGS~:
 $U'$ est triangulaire par le procédé de G-S, rendue sup. en l'initialisant avec $\ket{v_n}=\ket{w_n}$;
\item elle est dîte ``unit triangular'' par le fait de sa diagonale constituée de $1$\footnote{pas ``unitaire'',
Pat.};
\end{itemize}
%
il en suit que $WDW^\dagger=U'VDV^\dagger U'^\dagger=U'\diag{||v_i^2||_D}\;U'^\dagger$, qui a la forme Cholesky,
et est l'unique telle forme. G-S a ainsi permis de transformer W en un produit de matrice Cholesky par
une matrice D-orthogonale ($VDV^\dagger=$diag). L'astuce réside en une méthode qui préserve la triangularité,
par G-S, tout en offrant une orthogonalité destinée à conserver la matrice diagonale (cf plus bas sur la généralisation possible
d'un tel procédé de mise à jour).

\paragraph{démonstration} On orthogonalise $\{\ket{v_i}\}$ de $\{\ket{w_i}\}$ à $n$ vecteurs indépendants comme ça~:
%
(on note $U$ au lieu de $U'$);
%
\begin{itemize}
\item initialisation $\ket{v_n}=\ket{w_n}$, (à rebours pour obtenir un triangle supérieur pour $U$);
\item on construit un premier vecteur $\ket{v_{n-1}}$ dans $\{\ket{v_n},\ket{w_{n-1}}\}$ orthogonal
 à $\ket{v_n}$
%
\begin{equation*}
\ket{v_{n-1}}=\ket{w_{n-1}}- \frac{\scal{w_{n-1}}{v_n}_D}{||v_n^2||_D}\ket{v_n}
\end{equation*}
%
comme G-S classique à ceci près que les produits scalaires sont pondérés --- \cad que l'on soustrait du vecteur
sa (ses) projection(S) sur la base déjà formée~:
\item itération
\begin{equation*}
\ket{v_i}=\ket{w_i}- \sum_{k=i+1}^n\frac{\scal{w_i}{v_k}_D}{||v_k^2||_D}\ket{v_k}
\end{equation*}
%
\item pour s'abstraire de la restriction sur la somme sur k, on définit la matrice triangulaire sup. $U$
telle que $u_{i,k}=\frac{\scal{w_i}{v_k}_D}{||v_k^2||_D}$ pour $k>i+1$; om met $1$ sur la diagonale
pour obtenir $\ket{w_i}=\sum_{k=1}^n u_{i,k}v_{k,j}$, soit~: $W=UV$;
\end{itemize}
%
Pour l'histoire, cette factorisation est celle de Crout, celle de Cholesky en découlant ($LL^\dagger$).
 
\vspace{0.5cm}
L'intérêt de cet algorithme réside selon l'auteur en son efficacité (éprouvée sur UNIVAC 1108 \ironie),
mais pour nous, il représente en plus\footnote{On a déjà cet intérêt pour l'implémenter
dans \Minik, non ?} une méthode d'avance temporelle interpellant le TEF. Par exemple,
l'orthogonalisation s'effectue dans un espace de phase augmenté de $B$ --- les vecteurs ligne de $W$ ---
 qui ici s'applique à l'espace des bruits mais dans le TEF aux transferts
{\bf à poursuivre}\footnote{il y a certe le problème de l'emboîtement, mais aussi en intuiter
une méthode pour faire avancer les É.P. et la SVD.}.

Mais Thorton traite le cas particulier ``d'un bruit de couleur\footnote{il ne s'agit pas
d'un bruit noir.}'' qui cette fois, interpelle la MK2. En ce que le système a, disons, une famille
de bruits blancs pondérés par une matrice $M(t)$ diagonale, insensibles aux états, que l'auteur
écrit comme ça~:
%
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}x\\p\end{bmatrix}(t+\dt)=
\begin{bmatrix}\Phi_x & \Phi_{xp}\\0&M\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\p\end{bmatrix}(t)+
\begin{bmatrix}0\\e\end{bmatrix}
\end{equation*}
%
Il est alors préconisé de résoudre d'abord la partie déterministe~:
%
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}\overline{x}\\ \overline{p}\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}\Phi_x & \Phi_{xp}\\0&I\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\p\end{bmatrix}(t)
\end{equation*}
%
avant de compléter par l'avance stochastique~:
%
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}x\\p\end{bmatrix}(t+\dt)=
\begin{bmatrix}I & 0\\0&M\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\overline{x}\\\overline{p}\end{bmatrix}+
\begin{bmatrix}0\\e\end{bmatrix}
\end{equation*}
%
On va voir que les propriétés de chaque système permet de simplifier les calculs de l'avance
des facteurs de $P$. On suppose ainsi que $P=UDU^\dagger$ avec la sous-structure états / bruits~:
%
\begin{equation*}
U=\begin{bmatrix}U_x & U_{xp}\\0 & U_p\end{bmatrix} ,  \quad \textit{et}\quad D=\diag{D_x,D_p}\;.
\end{equation*}
%

Alors, l'avance déterministe de la factorisation est simplement~:
%
\begin{itemize}
\item $U_p$ et $D_p$ inchangés;
\item $\overline{\Phi_{xp}}=\Phi_{x}U_{xp}+\Phi_{xp}U_p$;
\item $\overline{U}\overline{D}\overline{U}^\dagger = [\Phi_{x}U_x] D_x[\Phi_{x}U_x]^\dagger$;
\end{itemize}
%
on a juste un WGS à performer sur cette dernière expression, l'avance de $\Phi_{xp}$ étant une
simple avance linéaire.

A présent, le système bruité est diagonal et autorise la mise à jour coefficient par coefficient.
L'auteur pose les principes du traitement en considérant d'abord le problème suivant~:
on pose $P=\overline{U}\overline{D}\overline{U}^\dagger$, avec la structure~:
%
\begin{equation*}
\overline{U}=\begin{bmatrix}U_a & U_{ab} & U_{ac}\\0 & 1 & U_{bc}\\0&0&U_c\end{bmatrix};
\quad \overline{D}= \textit{ Diag }[D_a,d,D_c]
\end{equation*}
%
alors en posant $\Phi=[I,m,I]_d$ et $Q=[0,q,0]_d$ tels que $P'=\Phi P\Phi^dagger +Q$,
le système bruité, on détermine $U'$ et $D'$ par~:
%
\begin{itemize}
\item $U'_{ac}=U_{ac}, \; U'_c=U_c$ et $D'_c=D_c$;
\item $d' = m^2 d + q$;
\item $U'_{bc}= m U_{bc}$;
\item et $U'_{ab} = \frac{d}{d'} U_{ab}$;
\end{itemize}
%
alors, $U'_a$ et $D'_a$ satisfont à l'égalité~:
%
\begin{equation*}
U'_aD'_aU_a^{'\dagger} = U_aD_aU_a^\dagger  + (\frac{d}{d'}q) U_{ab} U_{ab}^\dagger
\end{equation*}
%
cette dernière relation est trouvée semblable à la forme traitée par l'agorithme de Agee-Turner,
qui est ainsi sollicité pour une efficacité de mise à jour des coefficients.
L'application au système bruité est alors~:

soient $n$ et $m$ les dimensions de $x$ et $p$.

 On calcule itérativement pour $k=1,m$
%
\begin{itemize}
\item $d'_{n+k}=m_k^2 \overline{d}_{n+k} + q_k$;
\item pour $i=1,2,...,n+k-1$, les vecteurs $\ket{v}$ et$\ket{u'}_{n+k}$~:
\begin{itemize}
\item $v_i = \overline{u}_{i,n+k}$;
\item $u'_{i,n+k}= m_k\frac{\overline{d}_{n+k}}{d'_{n+k}}v_i$;
\end{itemize}
\item $u'_{i,n+k} = m_k\overline{u}_{n+k,j}\quad j=(n+k+1),...,(n+m)$;
\end{itemize}
%
puis avec un Agee-Turner, on met à jour par~:
%
\begin{equation*}
 U^{'k} D^{'k}[U^{'k}]^\dagger = U^kD^k[U^k]^\dagger  + c_k\ext{v}{v}
\end{equation*}
%
où $U^{'k}$ --- idem pour $D$ ---représente la partie supérieure gauche d'ordre $(n+k-1)$
des matrices $U'$ et $D'$, et où $c_k=\frac{\overline{d}_{n+k}}{d_{n+k}}q_k$.

Finalement encore, l'auteur fait remarquer --- ce qui concerne encore MK2 --- que la méthode
s'étend à la présence de`` paramètres biaisés''. Si la partition est alors $[x,p,\varpi]^\dagger$, avec
ces paramètres en dernier, l'algorithme s'étend en étendant la précédente boucle sur $j$ à
$n+m+$la dimension de $\ket{\varpi}$.

\paragraph{applications pour MK2 ?} On peut tenter de résumer les aspects de la méthode
de Thorton qui puisse alimenter le principe d'emboîtement de la MK2. En gros, au lieu
d'utiliser la $A^{spha}$ comme dans la 102, faire avancer la décomposition avec une méthode
ne portant que sur $U$ et $D$ laisse espérer un possible emboîtement.
%
\begin{itemize}
\item la toute première étape consite à faire avancer $U$ triang. sup. unité classiquement.
Soumise, donc a un calcul classique du MK2 mais on peut prendre en compte la forme
spécifique de $U$;
\item la séparation modèle déterministe versus bruité~: Pat me fait remarquer que bien qu'il
soit {\it a priori} difficile de séparer des familles ayant une $P$ nulle, l'occurence
d'une telle possibilité pose des problèmes au filtrage. Il faut donc le permettre, et ainsi
profiter des algos de séparation de Thorton.
\item sur la WG-Sdation, elle ne concerne que la partie $\Phi_x U_x$ déjà calculée, et on
a simplement cette trigonalisation à effectuer.
\end{itemize}
%
il apparaît qu'on évite, semble-t-il, la $A^{spha}$. 

\paragraph{généralisation} Prenant SVD par exemple, on aurait $P=UwU^\dagger$ et $P+dP=\Phi P\Phi^\dagger$,
avec cette fois-ci $U$ unitaire. Il faudrait trouver une factorisation de $\Phi U$ qui soit le
produit d'une matrice unitaire par une matrice D-orthogonalisable, comme
 $\overline{U}V D V^\dagger\overline{U}^\dagger$, avec $\Phi U=\overline{U}V$.
En fait, il faudrait effectuer une SVD de $\Phi U = XyZ^\dagger$ avec $XX^\dagger=I_n$ et
$Z^\dagger DZ=[||z_i||^2_D]_{d}$ afin que
$P=\Phi U D [\Phi U]^\dagger = XyZ^\dagger D ZyX^\dagger=X [y^2 D||z_i||^2_D]_{d}X^\dagger$.
Mais alors que G-S est simple à faire, on a ici une SVD qui n'est pas simple --- sauf à
considérer un modèle quantique pour qui $\Phi=\exp(U t)$ est unitaire~...

Bref, à part la factorisation LU, qui s'emboîte fondamentalement du fait que le produit
matriciel conserve la trigonalisation ($LUU'=L[UU']$), le reste résiste résolument.
%
\section{éléments du TEF de base}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
On rappelle la définition selon Cacuci de la différentielle de Gâteaux~:
%
\begin{equation*}
 \mathcal{D}F(\eta;h) = \lim_{\epsilon\rightarrow 0} \frac{1}{\epsilon} (F(\eta +\epsilon h)-F(\eta))
\end{equation*}
% 
pour $\epsilon$ réel et $h$ arbitraire\footnote{je suppose que son existence impose $\forall h$ ?};
 et en pratique, Cacuci préconise d'analyser le terme supplémentaire $\Delta(h)$ dans
la différence entre la $\mathcal{D}$ et la variation totale de $F$~:
%
\begin{equation*}
F(\eta +\epsilon h)-F(\eta) = \mathcal{D}F(\eta;h)+\Delta(h)
\end{equation*}
%
où on doit vérifier que~: $\lim_{\epsilon\rightarrow 0} \Delta(h)/\epsilon = 0$. Pragmatiquement donc, je vois pas pourquoi
on ne pourrais restreindre $h$ à quelque sous-espace vectoriel présentant encore de l'intérêt
--- physiquement parlant.

On rappelle que dans la formulation de sensibilité d'une réponse (fonctionnelle) de Cacuci,
la linéarisation d'un système en un point $\eta$ n'est possible par différenciation de Gâteaux
(notée $\mathcal{D}$)  de $F(\eta)$ que ssi~:
%
\begin{enumerate}
\item $F(\eta)$ satisfait une condition de Lipschitz faible, et
\item $F(\eta + \epsilon h_1+ \epsilon h_2)-F(\eta + \epsilon h_1)-F(\eta +\epsilon h_2)+F(\eta) = o(\epsilon)$
\end{enumerate}
%
dans ce cas seulement, on note $\mathcal{D}F(\eta;h) = F'_e\, h$, oú $F'$ est la dérivée de Gâteaux en $\eta$
de $F$\footnote{références en analyse fonctionnelle.}.

Lorsque les opérateurs d'évolution sont compliqués --- comme dans le cas de l'utilisation d'une subroutine
pour faire de la différenciation par différence finie  ---
on doit assurer des critères permettant d'appliquer une technique de linéarisation; il suffit
peut-être de déterminer un $\epsilon$ intermédiaire entre la perte de précision
par troncature et la perte de linéarité. Encore, l'espace vectoriel de $h$ pourra être
restreind mais physiquement pertinent.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}
\newpage
 Rien ne nous empêche d'attribuer au signe prime ($A'$) l'opération
de dérivation temporelle. La question revient donc à une prise d'hypothèse(s) sur $\partial_t A$.
En examinant le système non-L bien classique de Lorenz, on constate que les termes non-L sont
quadratiques, ce qui fait que le tenseur d'ordre trois $\nabla_x A$ est à coefficients constants ou nuls.
C'est une bonne base pour considérer une grande classe de systèmes physiques non-L, même si
les économistes de l'unsecte se sentent d'emblée exclus, avec leurs bien-aimés exposants
réels. Par ailleurs, en ce qui concerne la fonction explicite du temps, on fait l'hypothèse qu'elle
est nulle (ou périodique et on la reportera dans la base de Floquet).

Pour à présent définir l'inertie, il faut une référence de temps de réponse. Pour découpler ce problème
de celui de la séparation lent-rapide, on suppose donc un forçage $\exp(\frac{t}{\tau})\sin(\omega t)$.
%
\begin{equation}
\partial_t x = A x \leadsto\forall i,j : |\partial_t a_{ij}| \ll |x_j| ? 
\end{equation}
%
avec la notation simplifiée $x = \delta \eta$, \cad ici que l'on reste sur une trajectoire.
%
On a aussi au premier ordre en temps
%
\begin{equation}
\partial^2 _t x = (A^2  + \partial_t A)x\leadsto\|\partial_t A\| \ll \|A^2\| ?
\label{hypolent}\end{equation}
%
est-ce correct ? \\{\bf j'attends des remarques physiques ou pratiques en provenance de vos
modèles. Vous pouvez par exemple jeter un coup d'\oe il sur les aspha.data ?}

Malgré absence de réaction, ça ne semble guère correct. En réalité, on fait porter
la validité de l'approximation sur le choix de l'incrément temporel $\delta t$, en développant
l'avance à l'ordre trois~:
%
\begin{equation*}
\delta \eta = g_0\delta t + A g_0\frac{\delta t^2}{2} + (A^2 g_0 +\partial_t A\, g_0)\frac{\delta t^3}{3!} +\mathcal{O}(\delta t^3)
\end{equation*}
%
et en imposant
%
\begin{equation*}
\delta t < \tau:\quad  \|(A^2+\partial_t A) g_0\|\frac{\tau^3}{3!}\ll \|A g_0\|\frac{\tau^2}{2}
\end{equation*}
%
soit donc
%
\begin{equation}
\delta t \ll \tau:\quad  \tau\simeq 3\|A+\partial_t A\,A^{-1}\|^{-1}<\frac{3\|A g_0\|}{\|A^2+\partial_t A)g_0\|}
\end{equation}
%
on trouve classiquement qu'il suffit de contraindre l'incrément temporel par les constantes de temps de $A$
dans le cas autonome, à un facteur près\footnote{on peut encore ici noter l'importance du
chiffre 3 dans le TEF, qui dépasse celui du genre.}.
Le précédent développement est purement numérique mais rejoint le TEF par l'ordre
d'approximation (deux ici et pour le TEF).

Alors il devient naturel de prolonger cette hypothèse pour en induire une définition formelle
de système inerte quasi-autonome à partir de l'hypolthèse~(\ref{hypolent}), qui a l'intérêt de ne pas dépendre de $\delta t$.
On aura donc d'une part, une hypothèse physique comparant le temps d'analyse à la plus grande des constantes
de temps de $A$, augmentée d'une hypothèse de quasi-autonomie.

\medskip
{\bf avance des propres et singuliers}\hspace{0.5cm}On considère l'impact de l'hypothèse d'inertie sur
les v.s. du système~:
%
\begin{equation}
\forall i:\quad  \partial_t w_i = \,\bra{u_i} \partial_t A\ket{v_i}\quad\ll\quad \bra{u_i}  A^2\ket{v_i}\, = w_i ^2
\end{equation}
%
pour les v.p. réelles, le résultat est semblable~:
%
\begin{equation}
\forall i:\quad  \partial_t|\lambda_i| = \,|\bra{f_i} \partial_t A\ket{e_i}|\quad\ll\quad |\bra{f_i}  A^2\ket{e_i}|\, = \lambda_i ^2
\end{equation}
%
pour les paires, le résultat devra porter sur la norme.

Bref, le système est dit inerte lorsque le temps d'analyse est inférieur au plus faible temps propre,
qui est une hypothèse portant sur le deuxième ordre du développement.
Il pourra de plus être considéré comme quasi-autonome avec une hypothèse portant sur le troisième ordre,
et alors bien évidemment, ses éléments propres et singuliers sont quasi-constant.

{\bf qui peut me dire pourquoi j'ai à nouveau cette impression de ramer dans la choucroute ?}
% ----------------------------------------------------------------------
\subsection{attaque possible du problème complet}
%
Une fois séparées les parties lente-rapide, on assimile la lente à un système autonome dans un premier
temps, système qui peut être encore de forte dimension, et ce n'est pas ce qu'on cherche~: on cherche en plus un système réduit !
On traite l'effet du rapide comme un bruit statistique blanc -- pour ne pas biaiser.
La structure ``moyenne'' du bruit vue par le lent est à définir à partir d'un produit $BC^{\dagger}$
(comment, j'en ai aucune idée). A ce point, le problème est quasi résolu par une décomposition de
Hankel\footnote{pour les ignorants dont je ne fais évidemment plus partie depuis 27 heures exactement,
il s'agit de réduire la dimension du système avec une norme équilibrant le réalisme de la dynamique
de réponse du système (les EOF) et sa réaction à une sollicitation stochastique.}.

Un deuxième temps consistera à assimiler la décomposition de Hankel pour les systèmes non-L et à remettre
numériquement ainsi à jour la procédure précédente.
\end{document}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Passage de l'une à l'autre}
%
On a ainsi deux décompositions utiles d'une matrice, introduisant comme on le sait
des éléments d'analyse de nature assez opposée. On va répertorier des propriétés 
croisées de ces éléments, en commençant par montrer le passage  de l'un à l'autre.

Et d'abord revenir sur ce qui fait l'intérêt des éléments propres. On dit classiquement
que c'est vachement bien, parce que dès que l'état est aligné sur un V.P., il y reste.
Mais si on y regarde de plus près, d'abord, la multiplication par une v.p. complexe
modifie le module ET l'argument du vecteur complexe. On a donc aussi une rotation ?
Bref, l'approche qui me semble plus physique consiste à considérer un couple de v.p.
conjuguées, associé à un couple de V.P. dont les coefficients sont conjugués, comme dans la
Fig~\ref{vpvsfig}.

\vspace{0.5cm}
%
\begin{figure}[h]
\begin{minipage}[t]{.5\linewidth}
\psfig{figure=PS/vpvs.eps,%
bbllx=70pt,bblly=30pt,bburx=325pt,bbury=245pt,width=6.5cm,clip=}
\caption{Couples de V.P. d'une matrice à coefficients réels.}
\label{vpvsfig}
\end{minipage}
\begin{minipage}[b]{.5\linewidth}
%
 Ce couple symétrique par rapport à l'axe réel {\bf se déforme} par multiplication
par le couple des v.p. Les axes d'inertie principaux sont alignés sur Ox et Oy.
On associe alors au couple $\ket{e}, \ket{\bar{e}}$ de V.P. le couple $\ket{v_1}, \ket{v_2}$ obtenu
par somme et différence des premiers, alignés le long des axes de déformation principaux du losange.
On peut aussi dire d'emblée que le produit des deux v.p. est égal au produit des deux v.s.,
par conservation du déterminant restreint aux $2\times 2$\footnote{à vérifier.}, soit $\lambda\bar{\lambda}$.
\hfill\end{minipage}
\end{figure}
%
On définit aussi a priori les vecteurs $\ket{u}$ à partir des sommes et différence
des $\ket{f}$ pondérés par les $\lambda$, et on démontre que l'on a obtenu des V.S. à une normalisation près.
En effet :
%
\begin{eqnarray}
 \bra{f\bar{\lambda}+\bar{f}\lambda}A\ket{e+\bar{e}}  &=& 2\lambda\bar{\lambda} \nonumber\\
 \bra{f\bar{\lambda}-f\bar{}\lambda}A\ket{e-\bar{e}}  &=& 2\lambda\bar{\lambda} \nonumber\\
 \bra{f\bar{\lambda}-\bar{f}\lambda}A\ket{e+\bar{e}}  &=& 0 \nonumber\\
 \bra{f\bar{\lambda}+f\bar{}\lambda}A\ket{e-\bar{e}}  &=& 0
\label{resuwv}\end{eqnarray}
%
avec des vecteurs qui sont soit réels soit imaginaires. Ainsi, à une normalisation près, on a un couple
de paires $U,V$ qui diagonalise $A$
en donnant deux v.s. réelles provisoirement identiques. Les vecteurs de $U$ (et $V$) ne sauraient, bien
évidemment, qu'être orthogonaux, tant il est impensable que les vecteurs somme et différence de
deux vecteurs de même norme ne soient orthogonaux !\\
 {\bf Eh bien non \footnote{{\it errare ma non tropo rigolo}}!}
%
\begin{eqnarray}
 \scal{e+\bar{e}}{e-\bar{e}}  &=& \norm{e}-\norm{e} +\scal{\bar{e}}{e}-\overline{\scal{\bar{e}}{e}}\ne 0\nonumber\\
 \scal{e+\bar{e}}{e+\bar{e}}  &=& 2\norm{e} +\, r\nonumber
\end{eqnarray}
%
avec $r\in \mathcal{R}$, etc en $f$. Il y a donc d'une part une absurdité totale, qui prouve définitivement
que {\it le corps des complexes est irréel}\footnote{je me permets de revendiquer la paternité de cette
observation, qui n'est pas tirée de {\it Verbatim}.}, et, beaucoup plus ennuyeux, que l'on a une difficulté réelle.
On va donc ignorer purement et simplement cette difficulté pour aboutir à nos conclusions.

On a cependant encore du fait de la normalisation entre $E$ et $F$ :
\begin{equation}
  A =  U \diag{w} V^{\dagger}
\end{equation}
On n'a plus
qu'à normaliser $U$ et $V$ et propager aux $\diag{w}$, et choisir
les vecteurs colonnes rendant chaque $w_j$ positif (par définition des v.s.).

En résumé, on trouve provisoirement que le couple de V.S. associé au couple des V.P est aligné avec
le couple des parties réelles et imaginaires des V.P.
%%  Une seule v.s. leur est associée dont la valeur
%% ne dépend pas de la partie imaginaire des v.p.
%
\subsection*{faire face malgré tout\footnote{{\it perinde ac cadaver}}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Il faut bien revenir à notre difficulté, qui à la lever devrait modifier le résultat~(\ref{resuwv}).
Il semble naturel de conserver l'un des termes de la définition des $V$ et d'imposer l'autre orthogonal
à celui-là. On essaie donc la définition suivante
%
\begin{eqnarray}
 \ket{v_1} &=& \ket{e+\bar{e}}   \\
 i\ket{v_2} &=& \ket{e-\bar{e}}\, - \,\frac{1}{q^2}\scal{e+\bar{e}}{e-\bar{e}}\ket{e+\bar{e}} \nonumber
\label{defu2}\end{eqnarray}
%
où $q$ est la norme euclidienne de $v_1$ ($q=\norm{v_1}=2\norm{e_r}$), qui assure l'orthogonalité des
deux vecteurs par le procédé de Gram-Schmidt.
On voit tout de suite qu'en adoptant la définition ``symétrique''
$\bra{u_2} = \bra{f\bar{\lambda}-\bar{f}\lambda}$, on conserve
la propriété $\bra{u_2} A \ket{v_1}=0$, ce qui fait la moitié du chemin. On va donc essayer
%
\begin{eqnarray}
 \bra{u_1} &=& \bra{f\bar{\lambda}+\bar{f}\lambda}\, - \,\frac{1}{s^2}\scal{f\bar{\lambda}-\bar{f}\lambda}{f\bar{\lambda}+\bar{f}\lambda}\bra{f\bar{\lambda}-\bar{f}\lambda}\nonumber\\
 i\bra{u_2} &=& \bra{f\bar{\lambda}-\bar{f}\lambda}  
\label{defv2}\end{eqnarray}
%
avec $s=\norm{u_2}$. On a alors
%
\begin{eqnarray}
  A\ket{v_1} &=& \lambda\ket{e}+\,\bar{\lambda}\ket{\bar{e}}   \\
 iA\ket{v_2} &=& \lambda\ket{e}-\,\bar{\lambda}\ket{\bar{e}}\, - \,\frac{1}{q^2}\scal{e+\bar{e}}{e-\bar{e}}(\lambda\ket{e}+\bar{\lambda}\ket{\bar{e}})\nonumber
\label{av2}\end{eqnarray}
%
Élaborons un petit formulaire des produits scalaires utiles, découlant de la norma\-li\-sation
$F^{\dagger}E=I$~:
%
\begin{eqnarray}
 \scal{f\bar{\lambda}-\bar{f}\lambda}{\lambda e+\bar{\lambda}\bar{e}}&=& 0  \nonumber\\
 \scal{f\bar{\lambda}+\bar{f}\lambda}{\lambda e+\bar{\lambda}\bar{e}}&=& 2\lambda\bar{\lambda}  \nonumber\\
 \scal{f\bar{\lambda}+\bar{f}\lambda}{\lambda e-\bar{\lambda}\bar{e}}&=& 0  \nonumber\\
 \scal{f\bar{\lambda}-\bar{f}\lambda}{\lambda e-\bar{\lambda}\bar{e}}&=& 2\lambda\bar{\lambda}
\label{formulr}\end{eqnarray}
%
Il s'en suit comme on l'a dit que $\bra{u_2}A\ket{v_1}$ est nul, et que $\bra{u_1}A\ket{v_1}=2\lambda\bar{\lambda}$.
On a bien la moitié du chemin, mais il reste clairement {\it une petite grimpouille}\footnote{malheureusement, le reste
du manuscript a été très endommagé lors de l'incendie du 11 Septembre 1973 á Santiago.}, et
%\end{document}

 Et comme on a aussi envie de savoir comment se combinent les
parties réelles et imaginaires des vecteurs propres, on va ralentir le mouvement et considérer
 systématiquement
les décompositions $\ket{e} = \ket{e_r} +\,\ket{ie_i}, \,\lambda=\lambda_r + i\lambda_i$ et
 leurs semblables. On a ainsi
%
\begin{eqnarray}
 \ket{v_1} &=& 2\ket{e_r}   \nonumber\\
 \ket{v_2} &=& 2\ket{e_i}\, - \,\frac{8}{q^2}\scal{e_i}{e_r}\ket{e_r}
\label{defv3}\end{eqnarray}
%
Par ailleurs, le choix de normalisation $F^{\dagger}E=I$ s'écrit à présent
%
\begin{eqnarray}
 \scal{f}{e} &=& 1 = \scal{f_r}{e_r} - \scal{f_i}{e_i} +\, i[\scal{f_r}{e_i}+\scal{f_i}{e_r}  \nonumber\\
 \scal{f}{\bar{e}} &=& 0 = \scal{f_r}{e_r} + \scal{f_i}{e_i} -\, i[\scal{f_r}{e_i}-\scal{f_i}{e_r}]
\end{eqnarray}
%
qui montrent que 
\begin{eqnarray}
\scal{f_r}{e_i} &=& \scal{f_i}{e_r}=0 \nonumber\\
\scal{f_r}{e_r} &=&\;\; 0,5                \nonumber\\
\scal{f_i}{e_i} &=& -0,5 
\label{propef}\end{eqnarray}
%
et enfin : $q^2 = 4\scal{e_r}{e_r}$.

A présent, on tente la définition ``symétrique'' de $V$ suivante 
%
\begin{eqnarray}
 \bra{u_1} &=& 2\bra{f_r}\, - \,\frac{8}{s^2}\scal{f_i}{f_r}\bra{f_i}  \nonumber\\
 \bra{u_2} &=& 2\bra{f_i}  
\label{defu3}\end{eqnarray}
%
assurant $\ket{u_1} \perp,\ket{u_2}$ si $s^2=4\scal{f_i}{f_i}$.

Il reste alors à vérifier que $\bra{u_1}A\ket{v_2}=0$ . On décompose auparavant la définition
des V.P. :
%
\begin{eqnarray}
 A\ket{e_r+i e_i}  &=& (\lambda_r+i\lambda_i)\ket{e_r +i e_i} \quad \Rightarrow\nonumber\\
 A\ket{e_r}  &=& \lambda_r\ket{e_r}-\lambda_i\ket{e_i} \nonumber\\
 A\ket{e_i}  &=&  \lambda_r\ket{e_i}+\lambda_i\ket{e_r} 
\label{defed}\end{eqnarray}
%
Nous voilà prêts à écrire :
%
\begin{eqnarray}
 A \ket{v_2} &=& 2A\ket{e_i}\, - \,\frac{8}{q^2}\scal{e_i}{e_r}A\ket{e_r}         \\
             &=& 2(\lambda_r\ket{e_i}+\lambda_i\ket{e_r} )\, - \,\frac{8}{q^2}\scal{e_i}{e_r}
                                               (\lambda_r\ket{e_r}-\lambda_i\ket{e_i}) \nonumber\\
             &=& 2\left\{(\lambda_r+\,\lambda_i \frac{4}{q^2}\scal{e_i}{e_r})\ket{e_i}
                    +\,(\lambda_i -\,\lambda_r \frac{4}{q^2}\scal{e_i}{e_r})\ket{e_r} \right\}\nonumber
\label{uav}\end{eqnarray}
%
nous arrivons au bout de notre peine en effectuant la multiplication à gauche par $\bra{u_1}$
donné par~(\ref{defu3}). Les produits croisés $\scal{f_r}{e_i}$ disparaissent, et il reste :
%
%% \subsection*{de quelques propriétés}
%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Les particularités des éléments singuliers associés à un couple d'éléments propres d'une
%% matrice à coefficients réels (avec partie imaginaire des v.p. non nulle) découlent de
%% l'analyse précédente :
%% \begin{itemize}
%% \item valeurs singulières identiques
%% \item couples $\ket{v}, \ket{u}$ biorthogonaux
%% \end{itemize}
%% c'est d'ailleurs ce que l'on trouve avec les {\bf sltc} divers. Non, elles varient en phase
%% mais avec des modules différents.
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}
%
\begin{equation}
\begin{bmatrix} \partial_t \!\cdot\, -A  & -B \\ -C^{\dagger} & 1-
\end{bmatrix} \quad 
\begin{bmatrix} \Deta  \\ \Dfi \end{bmatrix} \quad = \quad
\begin{bmatrix} B^u u^{\eta}\\ D^u u^{\varphi} \end{bmatrix}
\label{sltc1} 
\end{equation}
%
 Laissons nous guider par la somme ($\ket{s}=\ket{e_r + e_i}$) et la
différence ($\ket{t}=\ket{e_r - e_i}$) des V.P. pour former
%
\begin{eqnarray}
 A\ket{e_r + e_i} &=& \lambda_r\ket{e_r+e_i} +\, \lambda_i\ket{e_r -e_i}\nonumber \\
 A\ket{e_r - e_i} &=& \lambda_r\ket{e_r-e_i} -\, \lambda_i\ket{e_r +e_i}\nonumber \\
\end{eqnarray}
%
on ``diagonalise'' la partie droite~:
%
\begin{eqnarray}
 A\ket{\lambda_i s + \lambda_r t} &=& (\lambda_r ^2 +\, \lambda_i ^2)\ket{t}\nonumber \\
 A\ket{\lambda_r s - \lambda_i t} &=& (\lambda_r ^2 +\, \lambda_i ^2)\ket{s}\nonumber
\end{eqnarray}
%
Posons à une normalisation près
%
\begin{eqnarray}
\begin{array}{lll}
 \ket{v_1} &=\frac{1}{\alpha}\ket{\lambda_i s + \lambda_r t};\quad &\ket{u_1}=\ket{t}; \nonumber \\
 \ket{v_2} &=\frac{1}{\alpha}\ket{\lambda_r s - \lambda_i t};\quad &\ket{u_2}=\ket{s}; \nonumber \\
 w_1 &=w_2=\alpha;& \alpha^2 =\lambda_r ^2 +\, \lambda_i ^2\nonumber
\end{array}
\end{eqnarray}
%
Comme on a cette fois-ci sur $\Re$ $\scal{s}{t}=0$, il suffit de choisir $\scal{s}{s}=\scal{t}{t}=1$
pour assurer $UU^{\dagger}=VV^{\dagger}=I$\footnote{c'est là que ça cloche~: cette condition
--- même simplement l'égalité des carrés --- revient à prendre (encore une fois) $\scal{e_r}{e_i}$ nul !}. On peut aussi expliciter la rotation qui fait
passer de $s,t$ à $V$ ainsi~:
%
\begin{equation}
A\begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos(\omega) & \sin(\omega) \\ -\sin(\omega) & \cos(\omega)\end{bmatrix} \begin{bmatrix} s \\ t \end{bmatrix}\nonumber
\end{equation}
%
avec $\displaystyle\cos(\omega)=\frac{\lambda_r}{\alpha^2}$, etc.
Cette notation parait absurde mais je suis près à la justifier\footnote{ça veut juste dire que les $\lambda$ sont
les composantes des $\ket{v}$ dans la base $s,t$.}.
Rotation qui est aussi la rotation à $\frac{\pi}{2}$ (et au signe) près de $V$ à $U$.

A-t-on résolu le problème ? On peut remarquer que le changement de $A$ en $A^{\dagger}$ dans le
développement précédent aboutit au résultat en $F$ (au lieu de $E$) mais il faut échanger à l'arrivée
$U$ et $V$.
%
\end

