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\begin{document}
%
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\def\tox{{\overline {\overline {\Upsilon  }}}_{,x} }
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\def\edtaux{{exp (-{\delta t  \over \taux } ) }}
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%à ù
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\title{Gains de rétroaction et modèle de Lorenz-63\date{Mars 2007}}
\maketitle
%

\begin{center}
{\it Illustrations complémentaires à l'article pour les Euro~Physics Letters.\\
brouillon de recherche de la collaboration TEF-ZOOM\footnote{Al1, avec des contributions de StepH.}}
\end{center}
\medskip

%
Pour rafraîchir les esprits, le fameux ``effet papillon'', qui prouve que la poésie,
l'art et la science sont l'avenir de l'Homme ...
%
\begin{figure}[ht!]
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/Lorenz.eps,%
bbllx=55pt,bblly=55pt,bburx=410pt,bbury=300pt,width=13cm,clip=}}
\caption{L'attracteur de Lorenz.}
\label{papillon}
\end{figure}
%

Le système est ici donné avec une seule variable de transfert $\varphi=xy$, en conformité
avec la présentation dans la {\it Euro~Physics~Letters}. Cette variable-test correspond
à l'interaction mouvement~$\times$~température - sous les premiers modes de la fonction courant
de Lagrange et d'une différence de température entre particules ascendantes et subsidentes
de l'écoulement~:
%
\begin{equation}
\left \lbrace
\begin{array}{l}
\partial_t x = s  (y - x)\\
\partial_t y = (r  x - y - xz)\\
\partial_t z\ = -b z + xy
\end{array}
\right .
\qquad
\stackrel{Feedback}{\longrightarrow}
\quad
\left \lbrace
\begin{array}{l}
\partial_t x = s  (y - x)\\
\partial_t y = (r  x - y - xz)\\
\partial_t z\ = -b z + \varphi \\
\varphi = xy
\end{array}
\right .
\label{Lorenz}
\end{equation}
%
L'effet-en-retour non-L du système sur $\varphi$ est calculé dans \Minik avec l'extension
{\bf Psi$\_$t, ko$\_$pert$\_$Type$=3$}, et dépend bien sûr du point de démarrage.
%
\begin{figure}[ht!]
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/retrorep.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=555pt,bbury=775pt,width=13cm,angle=-90,clip=}}
\caption{Gain non-L$(0,\tau)$.}
\label{lzgnl}
\end{figure}
%

On voit clairement en coordonnées-$\log$ la croissance en moyenne le long du premier exposant
de Lyapunov~($\lambda_L\simeq 0.95$), et le lacet d'amplitude accrue précédent chaque transition.

Le SLT-gain est définit comme la fonction dynamique de gain du système stationnaire au point circulant
de la trajectoire de base, démarrant à l'instant de son calcul le long de la trajectoire non-L
du transfert correspondant.
%
\begin{figure}[ht!]
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/lorgstat.eps,%
bbllx=55pt,bblly=55pt,bburx=555pt,bbury=775pt,width=13cm,angle=-90,clip=}}
\caption{SLT-gain.$(t,t+\tau)$}
\label{lzgstat}
\end{figure}
%
On a ainsi
la réponse de ce transfert à une perturbation step appliquée au reste du système
en boucle ouverte. Cette fonction a été calculée à partir des éléments propres du système et
inversé en suivant la méthode décrite dans le papier {\it Effluents}. 

On remarque que le gain comporte toujours des pôles réels, avec trois comportements caractéristiques
%
\begin{itemize}
\item négatif avec asymptote finie aux points 2, 6, 10;
\item négatifs explosifs aux points 12, 14, 16 puis 20;
\item ce dernier rompant avec une séquence positive explosive en 18 et 19;
\end{itemize}
%
nous verrons que la séquence brève positive est caractéristique d'une fin de transition entre les deux
ailes de l'attracteur.

\medskip
{\bf Même chose mais avec l'effet-en-retour stationnaire.}

%
\begin{figure}[ht!]
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/sltrep.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=410pt,bbury=300pt,width=13cm,clip=}}
\caption{SLT-effet-en-retour$(t,t+\tau)$.}
\label{lzrstat}
\end{figure}
%
On peut remarquer que les SLT-gains ne comportent pas de mode oscillant, alors qu'ils
apparaissent dans l'effet-en-retour. Cela signifie que le transfert choisi produit les
oscillations, qui disparaissent en boucle ouverte.

On va regarder plus en détail ce qui se passe dans une orbite d'une part~(point A), et à l'approche, ici,
d'une double transition~(point B) sur une trajectoire~(fig~\ref{traj}).
%
\begin{figure}[ht!]
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/xyab.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=410pt,bbury=300pt,width=12cm,height=6.5cm,clip=}}
\caption{Portion de trajectoire d'étude choisie.}
\label{traj}
\end{figure}
%

\newpage

Sur la figure~\ref{lztrajpa}, on démarre au point A et on examine une séquence de sept SLT-effet-en-retour
à un step d'amplitude 10~(SLT-eff).
La première réponse est oscillante peu amortie, puis en 2, de grande amplitude et de grande période;
la période revient à sa valeur la plus fréquente en~3, puis retour à amortissement pour les systèmes
suivants.
%
\begin{figure}[ht!]
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/lorenza.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=410pt,bbury=300pt,width=12cm,clip=}}
\caption{Orbite et CTLS.}
\label{lztrajpa}
\end{figure}
%

Regardons à présent la trajectoire complète des pôles
pour voir si la séquence est la même à chaque orbe~(fig.~\ref{lzpa}). On montre les amplitudes
complexes de l'effet-en-retour, correspondant à un pôle réel et une paire conjuguée pouvant
dégénérer.
%
\begin{figure}[ht!]
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/lortrajpacol.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=410pt,bbury=300pt,width=12cm,clip=}}
\caption{Le CTLS et la population des pôles.}
\label{lzpa}
\end{figure}
%
Là au moins, on voit bien ce qui se passe ! Chaque orbe amorce une crise instable qui démarre
par un triplet de pôles réels dont un instable, et se poursuit par une oscillation divergente
qui finit par s'amortir. Cette séquence se produit avec une croissance du temps de
passage par le triplet réel, et correspond à l'accroissement de la partie oscillante
de la réponse SLTC.

%
\begin{figure}[ht!]
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/lorenz_traj_polesB.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=410pt,bbury=300pt,width=12cm,clip=}}
\caption{SLT-effet-en-retour$(t,t+\tau)$.}
\label{lzpb}
\end{figure}
%
La figure~\ref{lzpb} montre la même population des pôles de l'effet-en-retour à l'approche
de la transition~(point B). On voit comment le régime oscillant fait place à trois
exponentielles dont une instable, puis pendant la transition, on constate
que le régime oscillant permet au système de se récupérer pour continuer à orbiter, mais sur
l'aile opposée de l'attracteur.

\newpage
%...............................................................
\subsection{Autre portion de la trajectoire (celle de PRL)}
La figure~\ref{lor1} montre un partie de la trajectoire située sur l'aile gauche de l'attracteur,
qui va orbiter quatre fois avant une transition.
Du fait de la symétrie du modèle par rapport à l'axe $z$, le transfert $\varphi=xy$ ne montre
guère clairement la transition, alors qu'elle est très nette sur la fonction
SLTC de l'effet-en-retour.
%
\begin{figure}[ht]
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/xyrepcol.eps,%
bbllx=49pt,bblly=49pt,bburx=409pt,bbury=301pt,width=15cm,height=6.5cm,clip=}}
\caption{Test variable trajectory in the Lorenz model and Feedback Response (see text).}
\label{lor1}
\end{figure}
%
Cette fonction est marquée par un effet de lacet négatif-positif à chaque orbite, d'amplitude
régulièrement croissante, en suivant d'ailleurs la croissance exponentielle du Lyapunov.
Un système stable montrerait au contraire une décroissance asymptotiquement exponentielle.

La fig.~\ref{loa2} montre la tendance à long terme de la réponse mettant en évidence ce
comportement chaotique, puisque on l'a tracée en log. Pour voir le lien avec les transitions,
la trajectoire de la variable $x$ est donnée, tournée le long du Lyapunov pour faciliter
la lecture des collocations~($x\rightarrow x+\lambda_L t$).
%
\begin{figure}[ht]
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/ctlscol.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=408pt,bbury=300pt,width=15cm,height=6.5cm,clip=}}
\caption{Long term feedback response~(log scale) and $x$ trajectory rotated along the Lyapunov exponent.}
\label{loa2}
\end{figure}
%
La réponse logarithmique a une croissance moyenne linéaire, suivant la pente du
Lyapunov~($\lambda_L\simeq 0.95$). L'amplitude des lacets croit aussi exponentiellement.

Un intérêt évident de l'analyse du SLTC-eff concerne sa faculté à détecter les transitions.
D'une part, comme on le voit sur le figure~\ref{loa2} l'amplitude du lacet est plus forte
avant une transition, mais plus étonnamment, le signe du lacet s'inverse, avec une première
montée positive~(fig.~\ref{lor1}). Ceci justifie {\it a posteriori} le choix du transfert,
car comme on le verra plus loin, aucun autre transfert ne possède cette intéressante particularité.

\bigskip
{\it trajectoire démarrant loin de l'attracteur.}

%
\begin{figure}[ht]
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/bigctlscol.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=408pt,bbury=300pt,width=15cm,height=8cm,clip=}}
\caption{Same as fig.~\ref{loa2} with initial conditions out of the attractor basin.}
\label{loabis}
\end{figure}
%
La figure~\ref{loabis} donne la courbe semblable à~\ref{loa2} en partant cette fois de
conditions initiales éloignées du bassin d'attraction.
Il est remarquable que cette même fonction
montre l'attraction du bassin tout entier par une réduction sensible de la croissance
exponentielle. Et ceci chaque fois que le point courant s'éloigne du bassin, comme
aux temps~: $35, 48$ et~$73$. 
On ainsi jeté une lueur d'interprétation sur l'attracteur de Lorenz avec ignorance asumée
des équations du système, avec une mise en évidence
d'un effet attracteur dans le bassin, et d'une bonne détection des transitions. Ceci
montre bien que l'aspect dynamique du gain non-L est essentiel. On peut se demander
alors si la dynamique plus fine de l'attracteur peut aussi bien être interprétée.

\newpage
{\bf ZOOM sur des orbites avant transition}

\vspace{0.2cm}
Examinons à présent quatre orbites précédents une transition. Sur la
fig.~\ref{lor4orb}, on a tracé la trajectoire en $x,y$ avec des barres d'erreurs.
Celles-ci sont en log de l'effet-en-retour SLTC, avec une distinction de signe~:
horizontales pour les amplitudes au-dessous de la croissance moyenne exponentielle du Lyapunov,
verticales au-dessus. Les deux ailes de l'attracteur sont orbitées négativement.

Pour donner une interprétation dynamique de l'attracteur, on peut considérer le transfert $xy$
comme une force s'exerçant sur le point courant. Perturber positivement cette force veut dire
tirer le point courant vers l'apogée.
Lorsque le système répond positivement,
la perturbation accélère vers l'apogée sur les parties de l'orbite s'éloignant
du point central, ou décélère le point retournant vers le point central. On apellera
donc cet effet {\bf fuyant} - le point central.

Une réponse négative montre que $x$ et $y$ répondent avec des signes opposés,
effet que nous appellerons {tournant}, et qui correspond à une attraction orbitale
par un des deux points de convection stationnaire du Rayleigh-Bénard.
Au plus près du centre, l'orbite est purement oscillante, d'où on peut conclure à cet effet
d'attraction par le point central de l'orbite.

Entre les points~2 and~3, on voit clairement la fin de la décélèration de fuite, suivie
de l'acccélération sur le versant opposé de l'orbite~(points 4 à 5).
Cet effet de fuite est suivie d'une forte rotation menant le point courant près du point
central, mais la décélération provoquée par son approche~(6) n'est plus suffisante pour éviter
la transition. L'effet de fuite vers l'apogée de la dernière orbite corrspond à la montée du
lacet de l'effet-en-retour qui mène à une
transition.

Le parcourt de l'aile opposée est l'occasion d'un effet de fuite encore fort,
qui après une orbite montre un fort effet rotatif en fin de la trajectoire, qui se trouve
amorcer une deuxième transition~(hors figure).
%
\begin{figure}[ht]
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/orberrcol.eps,%
bbllx=49pt,bblly=49pt,bburx=410pt,bbury=300pt,width=12cm,height=8cm,clip=}}
\caption{CTLS response before transition (scaled, see text).}
\label{lor4orb}
\end{figure}
%
\medskip

{\it Ainsi, l'étude de la rétroaction non-L du modèle de Lorenz sur ce transfert $xy$ accomplit une
véritable maïeutique interprétative aussi bien vis à vis de l'attracteur tout entier que plus
finement le long des orbites avec leurs transitions}.

\newpage
\subsection{comparaison avec les réponses stationnaires}

\vspace{0.2cm}
On va illustrer les rapports entre les réponses linéaires et non-L sur deux portions
de la trajectoire, en considérant les amplitudes complexes des éléments de l'effet-en-retour SLT~($\varrho(\tau)$).
Ces éléments sont donnés par les doubles produits scalaires
$\scal{c^{\dagger}}{e_i}\scal{b}{f_i}$ de l'équation~(106) du papier {\it effluents},
ou de la formule~(10)de la  PRL avec $\tilde{u}(\mu)=\frac{1}{\mu}$.

Pour un triplet donnés de paramètres du modèle, on peut voir l'espace d'état comme peuplé par les pôles
et amplitudes complexes d'une fonction SLT de rétroaction - à la manière dont les bosons de Higgs
et des chénèmes peuplent le vide quantique.
%
\begin{figure}[ht]
\begin{minipage}[h]{.63\linewidth}
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/sltcpcol.eps,%
bbllx=49pt,bblly=49pt,bburx=409pt,bbury=301pt,width=10.5cm,height=5.5cm,clip=}}
\label{lor2}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[h]{.32\linewidth}
\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/lorenzabcol.eps,%
bbllx=52pt,bblly=52pt,bburx=392pt,bbury=264pt,width=5.5cm,height=5cm,clip=}
\label{lorab}
\end{minipage}\hfill
\caption{Feedback response and SLT structure amplitudes.}
\end{figure}
%
La réponse non-L se construit en passant
à travers ces TLS aux caractéristiques très changeantes. Le rapport entre ces éléments
de la rétroaction TLS et de l'effet non-L est peu facile à intuiter, par le fait que
le propagateur non-L se construit par multiplication des propagateurs stationnaires,
d'où l'intérêt de la comparaison détaillée.
%
\begin{figure}[ht]
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/ptascaledcol.eps,%
bbllx=49pt,bblly=49pt,bburx=410pt,bbury=300pt,width=10cm,height=5.5cm,clip=}}
\caption{Different Feedback responses along the same orbit.}
\label{lor3}
\end{figure}
%
La première révolution montre une amplitude complexe ne s'annulant pas, qui construit
l'effet rotatif du SLTC-eff. Elle montre ensuite des séquences nulles
d'une amplitude réelle de plus en plus grande.
Cette séquence des trois pôles réels
se construit en s'allongeant jusqu'à la phase de transition. On constate après transition une 
réduction de cette durée des trois pôles, mais peu marquée ici. Cela indique en réalité qu'une transition
future est proche. Ainsi, l'effet de fuite se construit à partir des séquences de trois pôles réels.

Dans l'espace réel, et donc après inversion, on peut tracer ces réponses stationnaires
le long de la trajectoire.
Sur la figure~\ref{lor1}, l'effet SLTC est tracé une seule fois avec
une normalisation régularisant sa croissance exponentielle ($\times\exp(-\lambda_L t)$).
Chaque réponse SLT est tracée au point de son départ sur la trajectoire de $\varrho(t)$
en fonction de son délai de réponse au step stationnaire, avec application de la même
normalisation en $\tau$.

On a sept SLT sur la figure~\ref{lor3} le long des deux premières orbites~(point A).
Le premièr SLT-eff est une oscillation instable avec
une période comparable à la durée d'un lacet du SLTC. Les deuxième et troisième SLT-eff marquent
une séquence d'oscillations amorties, de période lentement croissante.
Au point~4, la période du SLT atteind environ quatre fois la plus courte, se terminant par la partie
plate du SLTC-eff. Vers SLT~5, on voit une courte séquence d'oscillations instables précédent
la montée du lacet du SLTC. Avec les SLT~6 et~7, on a un retour à des oscillations
amorties annonçant le plat suivant du SLTC.

Il est remarquable de voir comment l'effet non-L de la rétroaction absorbe les instabilités
linéaires du système, et le peu de rapport direct qu'il entretient avec elles, ce qui justifie
encore l'intérêt de sa détermination.

%
\begin{figure}[ht]
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/pointbiscol.eps,%
bbllx=49pt,bblly=49pt,bburx=410pt,bbury=300pt,width=11cm,height=6cm,clip=}}
\caption{Across effect of TLS in approach to transition.}
\label{lor4}
\end{figure}
%
Allons-enfants au point B. La figure~\ref{lor4} montre quelques SLT-eff sur la dernière
orbite avant transition. Noter que l'on a redémarré le CTLS au point B, et que le lacet
a changé de signe.
%
\begin{figure}[ht]
\begin{minipage}[h]{.63\linewidth}
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/repulsebcol.eps,%
bbllx=49pt,bblly=49pt,bburx=410pt,bbury=300pt,width=10.5cm,height=5cm,clip=}}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[h]{.32\linewidth}
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/papbcol.eps,%
bbllx=49pt,bblly=49pt,bburx=394pt,bbury=264pt,width=5.5cm,height=5cm,clip=}}
\end{minipage}\hfill
\caption{More explicit across-effect towards transition.}
\label{lorbr}
\end{figure}
%
Avec le SLT~1 démarre une série d'oscillations d'un type tout à fait
différent de celles du point~A. La première réponse, qui a été magnifiée par~10 pour bien la voir
tend vers une asymptote négative ($-0.8$), source d'un effet rotatif de la perturbation.

On voit bien sur la figure~\ref{lorbr} comment s'amorce et s'amplifie cet effet rotatif.
Il devient divergent avec les SLT~2 et~3, au démarrage de la transition.
Puis retour aux oscillations instables (4, 5), et enfin stables à partir de~6.
Le septième SLT est stable, alors que le dernier amorce une instabilité linéaire~(mais normalisée).
En ce point, la transition est terminée.

Comment le système récupère-t-il de la transition ? On le voit sur la figure~\ref{lor5}.
%
\begin{figure}[ht]
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/finbcol.eps,%
bbllx=49pt,bblly=49pt,bburx=410pt,bbury=300pt,width=11cm,height=6cm,clip=}}
\caption{End of transition.}
\label{lor5}
\end{figure}
%
La fin de transition est marquée par le SLT~a de croissance positive, caractéristique des
fins de transitions. Puis on observe deux SLT rotatifs divergents~(b et c). Le TLS répond
ensuite de manière oscillante instable~(d et e), avec période croissante, pour enfin
redevenir oscillant-amorti sur la première orbite opposée de l'attracteur.

 \medskip
{\it lien avec les trois pôles}

Comme le montre la figure~\ref{loafin}, ces séquences de trois pôles réels correspondent
à des divergences rotatives terminant une séquence d'oscillations divergentes.
Faut donc conclure à une attraction orbitale de croissance linéaire s'intensifiant à chaque
orbe jusqu'à échappement et transition.
%
\begin{figure}[ht]
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/threepolescol.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=408pt,bbury=300pt,width=15cm,height=6cm,clip=}}
\caption{After transition.}
\label{loafin}
\end{figure}
%

\newpage
{\bf Synthèse SLTC versus effet-en-retour SLT}

\vspace{0.2cm}
Sur la figure~\ref{loasyn}, on compare systématiquement tous les SLT au long des quatre orbes.
Le scatter plot montre les effets-en-retour stationnaires à l'endroit de la trajectoire
où est appliquée la perturbation-marche du gain. L'axe vertical est le délai de leur réponse.
La normalisation en amplitude pat $\tanh$ est telle que l'échelle reste linéaire entre
$-1$ et $+1$, avec $\pm2$ représentant l'infini. De cette manière, on arrive à suivre les SLT
oscillants dans le détail, malgré leur forte variabilité en amplitude.

Les révolutions sont toujours de même type~: lorsque l'on va vers l'apogée qui s'excentre d'orbe
en orbe, on a des oscillations exponentiellement croissantes dont la période diminue jusqu'à
devenir comparable à celle d'un lacet du SLTC. Ces oscillations deviennent stables et leur
période ré-augmente en allant vers le périgée, préparant une séquence explosive de fuite
par les trois pôles.
%
\begin{figure}[ht]
\hspace{-0.9cm}{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/ctls4orbcol.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=408pt,bbury=300pt,width=16.cm,height=4.5cm,clip=}}
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/slt4orbblue.eps,%
bbllx=5pt,bblly=5pt,bburx=565pt,bbury=530pt,width=18.cm,height=12cm,clip=}}
\caption{SLTC-eff et SLT-eff le long des quatre orbites et transition.}
\label{loasyn}
\end{figure}
%

Au cours des quatre révolutions, on observe la séquence ``des trois pôles réels'' qui est
ici la bande verticale bleue~: c'est l'effet répulsif du point central qui s'amplifie jusqu'à la transition.
La bande blanche verticale vers $t=3.4$ est la séquence exponentielle instable caractéristique
de chaque transition. Sur la nouvelle orbite, la séquence des trois pôles est réduite mais
existante, et correspond en fait à une transition après deux révolutions seulement~(hors figure).

\medskip
{\it Synthèse SLTC versus gain SLT}

\vspace{0.2cm}
La figure~\ref{loagsyn} donne la même synthèse, mais cette fois en fonction du gain stationnaire.
La normalisation est de nouveau en $\tanh$, mais on a linéarité entre $-5$ et $5$, log au delà,
infini en $\pm 10$. La première remarque est l'absence d'oscillation~: si on exclue la réponse de
$\varphi$ du système perturbé, on coupe un retour qui provoque ces oscillations.
%
\begin{figure}[ht]
\hspace{-0.9cm}{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/ctls4orbcol.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=408pt,bbury=300pt,width=16.cm,height=4.5cm,clip=}}
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/sltgain4col.eps,%
bbllx=5pt,bblly=5pt,bburx=565pt,bbury=530pt,width=18.cm,height=12cm,clip=}}
\caption{SLTC-eff et gain-SLT le long des quatre orbites et transition.}
\label{loagsyn}
\end{figure}
%
Le seul gain positif correspond à $t\simeq3.4$, de fin de transition, de durée très limitée.
On voit bien comment chaque
montée vers un apogée est provoquée par un gain très répulsif dont la durée croît le long
des quatre orbes, alors que le retour d'apogèe s'accompagne d'une diminution du gain.
Les parties modérées négatives du gain sont responsables des oscillations de la réponse
par bouclage sur le système~:$\displaystyle\frac{g}{1-g}= g+ g^2 + g^3 +...$, où les puissances
sont en réalité des produits de convolution itérés.

\medskip
{\it Comparaison des effets-SLTC pour quatre variables}

La figure~\ref{compar} donne les effets non-L pour la variable test recopiant $x$ et $y$, et
un transfert $xz$ sur les deux orbes et la transition, normalisées comme d'hab.
Les recopies sont agrandies d'un facteur~10. On peut noter une amplification du lacet
pour les quatre fonctions, mais
seules la variable-test $xy$ montre ce changement de signe caractérisant
l'approche d'une transition.
%
\begin{figure}[ht]
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/comparctlscol.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=408pt,bbury=300pt,width=15cm,height=6.5cm,clip=}}
\caption{Comparaison entre rétroaction du système sur quatre transferts différents.}
\label{compar}
\end{figure}
%
De ce point de vue, on peut constater que le choix de $xy$ est le meilleur, et que le type
d'information demandé au système dépend évidemment, y compris sur un modèle de 
dimension réduite à trois, de la boucle de rétroaction choisie.
%
\begin{figure}[ht]
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/comparctlscolb.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=408pt,bbury=300pt,width=15cm,height=6.5cm,clip=}}
\caption{Comparaison entre rétroaction du système pour les variables tests $z$ et $xy$.}
\label{compar2}
\end{figure}
%

\medskip
{\it Comparaison des effets-SLTC pour $xy$ et $z$}

La variable $z$ étant pour Edouard Lorenz celle qui permet de suivre les trajectoires
et de détecter les transition, on a ajouté cette variable en transfert pour comparaison
avec le transfert $\varphi=xy$~(fig.~\ref{compar2}). On constate que ces deux variables
partage3nt un même contenu d'information, ce qui semble normal compte-tenu de
l'évolution de $z$ qui tend exponentiellement vers la valeur de $xy$.

\newpage
{\it Essai d'analyse physique des rétroactions}

Examinons d'abord le transfert $xy$. Soit une perturbation de cette interaction entre vitesse
de circulation (un mode de la fonction courant de Lagrange) et l'écart de température
entre particules montant et descendant. Positive, la perturbation intensifie par exemple
cette interaction. Cela a pour effet d'augmenter $z$, \cad l'anomalie des temperatures haute et
basse de fluide, puisque l'intensification du mouvement éloigne de la température moyenne
du Rayleigh-Bénard qui est la droite joignant les deux températures de surface. Les flux de chaleur
pariétaux vont donc augmenter et combattre l'écart horizontal $y$ de T. $y$ diminue donc
pour $x$ négatif (aile gauche de l'attracteur déjà considérée). Cet écart horizontal est le moteur
thermique de la vorticité (d'axe horizontal) du mouvement, qui va donc décroitre. Ainsi, le
produit $xy$ diminue, d'où la stabilité linéaire à court terme observée.

\newpage
{\bf Synthèse générale sur Lorenz}

\bigskip
Il semble légitime, après cette analyse, de construire une vision du comportement du système
basée sur trois distances~:
%
\begin{itemize}
\item vu de loin, le bassin d'attraction joue en effet ce rôle d'attraction, qui s'observe par
une diminution du Lyapunov local;
\item vu de plus près en considérant les deux orbes de l'attracteur, on observe un changement de signe
du lacet CTLS précédent une transition. C'est donc un effet répulsif par le point central qui
provoque la transition amorcée par une accélération orbitale à l'apogée précédente;
\item vu encore de plus près, chaque orbite est accompagnée d'un effet répulsif qui éloigne le point
circulant du point central, suivie d'une attraction-orbitale (par le point de convection
stable\footnote{Attention encore á cette apellation ``d'attractive''qui n'est que
relative à la divergence exponentielle~: un point de non-convection est lui aussi instable,
mais répond de manière orbitale, voir plus loin.}) vers l'apogée. Lors que ce double effet s'ecerce assez lontemps,
l'effet de répulsion par le centre dévie le point courant de son orbite
et provoque une transition vers l'orbe opposée. 
\end{itemize}
%
Dans la mesure ou ce système est chaotique, il n'est pas étonnant de retrouver une croissance
exponentielle dans la réponse à une perturbation. Il est remarquable qu'alors que l'on s'attend
à un comportement dépendant du démarrage de la perturbation-step, ce n'est pas ici le cas,
à part l'amplification exponentielle - et quand mème un changement de signe possible du
lacet~(à revoir donc).

Mais cette étude illustre bien notre propos, à savoir l'intérêt de l'aspect dynamique du gain
de rétroaction. Cette illustration avec Lorenz n'avait pas d'autre objectif.
De plus, devant la variabilité des gains linéaires le long de la trajectoire,
ce gain non-L s'avère plus simple à interpréter, mais au prix, dans ce système chaotique,
d'une normalisation avec le premier Lyapunov qui amène à un traitement pouvant déboucher
sur une nouvelle méthode.

En effet, on a été conduit à raisonner en multipliant les fonctions d'effet
par $exp(-\Lambda_L t)$, ce qui fait penser à l'approche de Floquet~(cf papier {\it Effluents})
où alors $\Lambda$ est imaginaire. Il y a matière à formalisation pour introduire dans l'analyse
de stabilité - ici en réalité d'instabilité relative - ce que nous avons introduit {\it a posteriori}.
Celà devrait permettre d'enrichir l'analyse de Lyapunov, et ce n'est pas une mince affaire.
\newpage
\subsection{Analyse numérique en boucle ouverte}
% ---------------------------------------------                                       
En boucle ouverte\footnote{partie effectuée avec stepH.}, \cad en bloquant le modèle de $\varphi$ à une valeur choisie, le système
se linéarise rapidement. En effet, la variable $z$ tend exponentiellement vers
$\displaystyle\frac{\varphi}{b}$,
et avec $z=c^{cste}$, le reste du système est à présent linéaire. Comme l'explique Edward Lorenz
dans son papier, il y a un seuil de transition que l'on va retrouver numériquement.

En partant d'un point des orbites déjà étudiées et avec une valeur modérée de $\varphi=100$, la
trajectoire~(fig.~\ref{phi100}) converge au point central en passant par l'aile droite de l'attracteur.
%
\begin{figure}[ht]
\begin{minipage}[h]{.45\linewidth}
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/phi100.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=408pt,bbury=300pt,width=8cm,clip=}}
\caption{Lorenz avec blocage de $\varphi$, ici à la valeur 100.}
\label{phi100}
\end{minipage}\hfill
%
\begin{minipage}[h]{.45\linewidth}
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/phi400.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=408pt,bbury=300pt,width=8cm,clip=}}
\caption{Lorenz avec blocage de $\varphi$, ici à la valeur 400.}
\label{phi400}
\end{minipage}\hfill
\end{figure}
%
%
\begin{figure}[ht]
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/phi40.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=408pt,bbury=300pt,width=12cm,clip=}}
\caption{Lorenz avec blocage de $\varphi$, ici à la valeur 40.}
\label{phi40}
\end{figure}
%

Avec une valeur plus grande, de $400$, l'effet rotatif du départ est accéléré et le point orbite
autour de l'aile droite avant de converger.
%
\begin{figure}[ht]
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/sltc2717col.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=408pt,bbury=300pt,width=12cm,clip=}}
\caption{SLTC~:2,7,17 avec blocage de $\varphi$, ici à la valeur 400.}
\label{phi400b}
\end{figure}
%
Pour une valeur plus faible de $\varphi=40$, la figure~\ref{phi40}, on constate une fuite
exponentielle le long de la droite de pente environ 2.
On trouve l'existence d'un autre seuil cette fois-ci entre fuite et rotation. Ce seuil
explique que la partie des quatre orbites proche du périgée soit bleue - et qu'on
l'ait qualifiée de répulsion par le point central.

En repartant de la valeur 400 qui fait orbiter le point courant à droite avant de converger au point
central, on regarde les effets-en-retour non-L des transferts de recopie de $x$ et $y$, et celui
correspondant à $xz$. Le figure~\ref{phi400b} montre bien les oscillations
amorties dans les trois cas dès que $xy$ est bloqué. Comparé au gain non oscillant de la boucle ouverte,
ceci confirme l'absence des oscillations en boucle ouverte du TLS, et montre justement
qu'après la décroissance des oscillations, le système devient linéaire.
%
\newpage
\subsection{Analyse du SLTC aux points fixes}
% ------------------------------------------------------------------------------------

\medskip
{\it Au point gauche de non-convection~(NCC)}\footnote{\it idem.}


L'effet en retour non-L à une perturbation en un point fixe de convection stable
($x=-6\sqrt{2}, y=x, z=27$) est une oscillation divergente, correspondant à l'instabilité
de ce point~(fig.~\ref{cs1}).
%
\begin{figure}[ht]
\begin{minipage}[h]{.45\linewidth}
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/sltc12cscol.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=408pt,bbury=300pt,width=8cm,clip=}}
\caption{SLTC~:12=xy au point gauche de convection stable.}
\label{cs1}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[h]{.45\linewidth}
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/sltc27cscol.eps,%
bbllx=50pt,bblly=59pt,bburx=408pt,bbury=300pt,width=8cm,clip=}}
\caption{SLTC~:2=x versus 7=y au point gauche de convection stable.}
\label{cs2}
\end{minipage}\hfill
\end{figure}
%
On peut tracer la trajectoire correspondante des effets SLTC de transferts recopiant $x$ et
$y$, comme sur la figure~\ref{cs2}. On constate clairement l'effet de répulsion orbitale
du point NC. On l'a précédemment qualifié d'attractif orbital, mais c'était en comparaison
de la divergence Lyapunovienne de fond.

La croissance du rayon est donnée dans la figure~\ref{cs3}
%
\begin{figure}[ht]
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/logg27cscol.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=408pt,bbury=300pt,width=12cm,clip=}}
\caption{SLTC~:x versus y au point de NC, en log rayon.}
\label{cs3}
\end{figure}
%
et on retrouve le Lyapunov de 0.95, notre qualification était donc correcte~: il y a
``stabilisation orbitale'' le long du Lyapunov.

\medskip
{\it Au point central}

Si maintenant on se place au point central, on trouve que l'effet sur $xy$ reste nul, et
que la trajectoire des effets dans le plan $x,y$ fuyent le point central en passant
loin du point de convection stable (point C sur la figure~\ref{pc1}).
%
\begin{figure}[ht]
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/sltc27pccol.eps,%
bbllx=50pt,bblly=59pt,bburx=408pt,bbury=300pt,width=12cm,clip=}}
\caption{SLTC~:x versus y au point central.}
\label{pc1}
\end{figure}
%

\bigskip

{\it In fine}, on peut ajouter une remarque en rapport avec les développements méthodologiques
évoqués en syntèse du Lorenz. La croissance le long du premier Lyapunov semble entièrement
due à l'effet répusif mais orbital~(``across'') des points de convection stable, avec des excursions
en-dessous et au-dessus lorsque l'effet strictement répulsif~(``along'') du point central.
C'est en gros ce que l'on attend du formalisme à développer.
\newpage
%
\subsection*{{\bf Annexe~:} Lien entre effets L et non-L de rétroaction}
% .........................................................
%
Comment les effets stationnaires se combinent-t-ils pour constituer la résultante non-L (SLTC)~?
On considère une variation incrémentale de la fonction
%
\begin{eqnarray}
\rho_g(t+\dt,s) &=& \bra{c^{\dagger}(t+\dt)}\int_s ^{t+\dt}{\Phi(t+\dt,\tau)\ket{b(\tau)}}d\tau\nonumber\\
               &=&(\bra{c^{\dagger}(t+\dt)}-\bra{c^{\dagger}(t)}+\bra{c^{\dagger}(t)})\nonumber\\
&&\left[\int_t ^{t+\dt}{\exp(A(t+\dt-\tau))\ket{b(t)}}d\tau+\int_s ^{t}{\Phi(t+\dt,\tau)\ket{b(\tau)}}d\tau\right]\nonumber\\
 &=& (\bra{\Delta c^{\dagger}(t;dt)}+\bra{c^{\dagger}(t)})\\
 &&\left[ A^{-1}(I-\exp(A\dt))\ket{b(t)} +(I+A\dt)\int_s ^t{\Phi(t,\tau)\ket{b(\tau)}}d\tau\right]\nonumber
\end{eqnarray}
%
le facteur à $\bra{c^{\dagger}(t)}$ constante multiplie la partie stationnaire de l'expression entre crochets
pour donnner l'effet SLT~:~$\rho_g ^s(\dt)$, et donne, avec la matrice unité du développement de $\exp(A\dt)$,
l'effet SLTC~:~$\rho_g(t,s)$. On a donc au premier ordre et à $\bra{c^{\dagger}}$ constante une construction
additive de l'effet non-L par les stationnaires, avec un terme en $\dt$ supplémentaire~:
%
\begin{equation}
\rho_g(t+\dt,s) \stackrel{(1)}{\simeq} \rho_g(t,s) + \rho_g ^s(\dt) + \bra{c^{\dagger}}A \dt\int_s ^t{\Phi(t,\tau)\ket{b(\tau)}}d\tau
\end{equation}
%
C'est en particulier la construction de l'effet non-L lorsque le gain est calculé avec un
transfert copie d'une composante d'état. On peut à présent considérer le terme en variation de cette matrice~:
%
\begin{eqnarray}
 +&\stackrel{(2)}{=}& \bra{\Delta c^{\dagger}(t;dt)}\left[ A^{-1}(I-\exp(A\dt))\ket{b(t)} +(I+A\dt+...)\int_s ^t{\Phi(t,\tau)\ket{b(\tau)}}d\tau\right]\nonumber\\
  &\simeq&\bra{\Delta c^{\dagger}(t;dt)} \int_s ^t{\Phi(t,\tau)\ket{b(\tau)}}d\tau\nonumber
\end{eqnarray}
%
en supposant $\dt$ tel que $\bra{\Delta c^{\dagger}(t;dt)}\sim \dt$.

Finalement au premier ordre~:
%
\begin{equation}
\rho_g(t+\dt,s) \stackrel{(1)}{\simeq} \rho_g(t,s) + \rho_g ^s(\dt) + \bra{c^{\dagger}(t)A(t) \dt+\Delta c^{\dagger}(t;dt)}\int_s ^t{\Phi(t,\tau)\ket{b(\tau)}}d\tau
\label{rho1}\end{equation}
%
Ainsi, et même à $\bra{c^{\dagger}}$ constante, on a certes un effet immédiat d'accumulation, mais
complété par un effet cumulatif, et rien ne permet de présager de leur importance relative.

Si on voulait effectuer ce calcul, le choix de $\dt$ serait essentiel pour ``piquer'' la
durée significative de $\rho_g ^s$, et devrait se baser sur la variation des trois Jacobiennes.
On peut éventuellement ajouter au calcul l'evolution des Jacobiennes et reprendre le
développemnt précédent ?
\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\medskip
%...............................................................
\subsection{en résumé : Trois fonctions caractéristiques d'une feedback loop}
Les deux premieres correspondent au systeme~(\ref{ptsig}) et fournissent la réponse du système
à la perturbation $u(t)$. Pour les perturbations canoniques :
%
\begin{itemize}
\item $u(t)= \delta(\tau)$ l'impulsion de Dirac. Dans ce cas $\tilde{u}=1$, la réponse peut être convoluée
avec toute fonction perturbative et
 $\Delta\varphi(t) = \bra{c^{\dagger}}\int_0 ^t\sigma(t,\tau) u(\tau) d\tau$. Le pulse revient a prendre
comme conditions initiales $s(0)=\ket{b(0)}$.
\item $u(t)=\Upsilon(t-\tau)$ la fonction step de Heaviside. Cette perturbation correspond
à la définition du gain de rétroaction, et alors il y a correspondence entre $\sigma$ et
$\displaystyle \frac{1}{1-g}$ ou $\displaystyle \frac{g}{1-g}$ suivant la variante choisie
du système~(\ref{ptsig}) ou~(\ref{ptsig2}).
\end{itemize}
%
{\it Peut-etre alors une remarque sur l'integration du systeme des sensib en meme temps que
trajectoire -- sans aller jusqu'a la discretisation.}

\medskip
{\it Détermination du gain dynamique}.
Pour trouver le gain dynamique non lineaire, il suffit d'intégrer le systéme~(\ref{ptsig})
en boucle ouverte :
%
\begin{eqnarray}
\partial_t s(t) &=& A s(t)  + \ket{b} \Upsilon(t)(t)       \nonumber\\
\sigma(t)  &=&  \bra{c^{\dagger}} s(t)
\label{psig}
\end{eqnarray}
%
qui dans le cas autonome redonne bien
$\sigma(\mu)=\bra{c^{\dagger}}(\mu I -A)^{-1}\ket{b}=g(\mu)$. La forme réponse et gain sont
reliés par la relation $\forall s,t \in \mathcal{R} : \int_s ^t \sigma(\tau)(1-g(t,\tau)) = 1\,$
(ndlr j'attends vos remarques).

%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{L--V avec nourriture limitante pour la proie}
%
Le système modifié est à présent
%
\begin{eqnarray}
\partial_t x  &=& a(x-ex)-a\varphi \nonumber\\
\partial_t y &=&  -cy+c\varphi \\
\varphi &=& xy                   \nonumber
\label{L-Vmod}
\end{eqnarray}
%
ce qui fait qu'en l'absence de proie, ça lapine jusqu'au moment où la nourriture
commence à manquer (terme logistique).
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Gain et stabilité du système}
%
{\it ndlr : Il parait hasardeux de ne pas utiliser une comparaison aux Lyapunov, car le gain renvoie non
seulement a la dynamique que nous mettons en exergue, mais a une analyse d'amplification
de signal, qui ne peut éviter d'induire le lecteur dans la direction de l'analyse de stabilité.
En gros, l'idée est que dans la mesure où on n'est guère capable de rien prédire sur le
comportement asymptotique du gain, on botte en touche par le Lyapunov qui rencontre des
problèmes semblables. Et une ignorance qualifiable de Lyapunovienne semble tout à fait
assumable. {\bf essayer en prenant une moyenne glissante sur $\{s,t\}$ (moyenne de Stockes ?). Ou encore via la
définition d'une fonction de Lyapunov, mais la je vois pas.}}

On suppose que le système a des exposants de Lyapunov stables et intégralement séparables. Alors,
pour $t>s \gg \frac{1}{\lambda_1}$ où $\lambda_1$ est le premier exposant, on peut écrire
%
\begin{eqnarray}
\sigma(t,0) &=& \bra{c^{\dagger}(t)}\int_{0}^{s} {\Phi (t,\tau)\ket{b(\tau)}}\, d\tau + \bra{c^{\dagger}(t)}\int_{s}^{t} {\Phi (t,\tau)\ket{b(\tau)}}\, d\tau\nonumber\\
\sigma(t,0) &\approx&\int_{0}^{s}{ \scal{c^{\dagger}}{u_1} \exp(\lambda_1(t-\tau)\scal{v^{\dagger}_1}{b(\tau)}}\, d\tau \nonumber\\
&&+ \bra{c^{\dagger}(t)}\int_{s}^{t} {\Phi (t,\tau)\ket{b(\tau)}}\, d\tau\nonumber
\label{sigma}
\end{eqnarray}\
%
en posant que la moyenne\footnote{les coefs de $\ket{b}$ sont physiquement bounded, on dit
quoi : physically bounded, or bounded by realisability conditions ?.} de
$\scal{c^{\dagger}}{u_1}\scal{v^{\dagger}_1}{b(\tau)}=\overline{\scal{c^{\dagger}}{b}}^s$
et en appliquant le théoreme de la moyenne (Condorcet, An II, sauf s'il etait deja ecourté)~, on obtient 
%
\begin{eqnarray}
\sigma_g(t,0) &\approx&\frac{1}{\lambda_1}\overline{\scal{c^{\dagger}}{b}_1}^s\exp(\lambda_1 t)[1-\exp(-\lambda_1 s)]\nonumber\\
&&  + \bra{c^{\dagger}(t)}\int_{s}^{t} {\Phi (t,\tau)\ket{b(\tau)}}\, d\tau
\label{sigmareduit}
\end{eqnarray}
%
avec $\ket{v_1}\approx C^{ste}$
(ref : SIAM Journal on Numerical Analysis, Volume 40, Number 2, pp. 516-542
2002 Society for Industrial and Applied Mathematics
Lyapunov Spectral Intervals: Theory and Computation
Luca Dieci, Erik S. Van Vleck ).

ndlr : la on remarque que la forme reduite obtenue est tres semblable a VP Laplace.
(On peut eventuellement faire la somme sur $\lambda_i$ de 1 a $n$). Ou au contraire, on peut
s'etonner de ce parallele, alors que la dynamique complete reside dans les uns, mais seult
le comportement asymptotique dans les autres ?

et donc pour les systemes non chaotiques ($\lambda_1 <0$), il suffit d'integrer $\sigma$ de 0 a quelques
$\displaystyle t= N*\frac{1}{\lambda_1}$ (ou de $s$ a $s+t$).

En tout cas,  $g$ asymptotique depend de t. Je vois pas encore comment
qualifier cette fonction qui devrait - hors bifurcation - etre peu variable, mais si on
trouve rien, on pourra placer ici la botte conjecturale de Goodman\&Marshal.

Si chaotique ($\lambda_1 > 0$) $\sigma$ croît en $\exp(\lambda_1 t)$, sauf si le systeme n'est pas ``détectable
depuis $\varphi$'' ($\ket{b}$ trop creux). Et alors $g$ peu different de 1.

En tout cas, sur un cas concret, on doit pouvoir conclure a la stabilite asymptotique ou pas. Exemple
des GCM avec 2xCO2 ? Mais en restant modestes, parce qeu le testr porte sur une moyenne, et conclusion
conjecturale (sauf si quelqu'un peut avancer la-dessus.)
%
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Discussion conclusive}
%
\end{document}
%
\end

