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%
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\begin{document}
%
\def\todec{{\overline {\overline {\Upsilon  }}}_{,dec} }
\def\tox{{\overline {\overline {\Upsilon  }}}_{,x} }
\def\dt{{\delta t}}
\def\edtaux{{exp (-{\delta t  \over \taux } ) }}
\def\deta{{\delta \eta } }
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% essai pour subsection a la JAM, cad italique a. titre
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%%  {\normalfont\normalsize\itshape}}% % the style
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\title{Introduction à l'adjoint, aux sensibilités, et à d'autres effluents crâniens
par le propagateur\footnote{Al1, Août 2005. Ce texte
repart de morceaux du papier Adjoint et \Minik pour les prolonger. Dernières modifs
d'Avril 2006}\date{Août 2005 (date initiale)}}
\maketitle
%
{\it La forme de ce texte est celle d'un ``brouillon perpétuel'', les modifications successives
sont alors datées en conservant le plan général. Cette forme a été préférée à un ensemble
de textes disjoints. Il s'agit de développements accompagnant la Recherche, mais on s'efforce
de conserver une certaine pédagogie, lorsque vos remarques le permettent.
La version courante est régulièrement remise dans la web ZOOM/entre\_nous\_c\_~...
Il me faut signaler ici les lectures soignées de Patrice Dumas, alias Pat, qui a vérifié chaque
démonstration et me fait régulièrement de nombreuses remarques de rédaction. Merci à lui !}

\medskip
{\it{\bf Argument} La notion de propagateur le long du SLTC
a l'avantage d'être intégrale et de faire le lien entre un système aux dérivées
partielles et la solution générale correspondant au modèle perturbé.
On montre que les deux systèmes de l'adjoint
et du calcul des sensibilités en avant s'introduisent très simplement en utilisant la matrice
de transition d'état, étendue au TEF. Ces résultats ont donné lieu à révision du calcul
des sensibilités en avant et de fournir en particulier une interprétation claire et définitive
des ``transferts de sensibilité''. Ils ont aussi donné lieu à la version de calculs
étendus\footnote{la \Minik~{\bf 1.01}} avançant les propagateurs avec la trajectoire. Par
rapport aux précédents textes, celui-ci fournit le système des sensibilités aux transferts,
donne une interprétation au {\bf dfdpi} permettant de l'étendre au-delà du cas de la sensibilité
paramétrique, et enfin, il propose une généralisation de la notion de
gain de rétroaction aux systèmes non-linéaires, calculé en avant ou en arrière le long de la trajectoire
de référence. Le cas particulier du système linéaire est aussi exploré, donnant lieu à la résolution
en Borel comme cas particulier du formalisme développé. On en profite pour établir quelques liens entre
les éléments propres de la matrice d'avance d'état et les pôles d'une fonction de gain de rétroaction}.

%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Introduction méthodologique par le système de l'espace d'état - hors TEF}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\label{horstef}
%
Comme on va le voir, le propagateur permet d'introduire directement avec
élégance et sobriété à la fois le système des sensibilités et l'adjoint.
L'optique de ce texte est ainsi tracée : il s'agit de décliner la sémantique
introduite par le TEF en la refondant à partir du théorème fondamental
des systèmes dynamiques linéaires, appliqué au Système Linéaire Tangent Circulant (SLTC)
déjà introduit dans d'autres textes (slt,sltc, cf web ZOOM).
Cette introduction donne les clés de la méthode permettant de fonder les
définitions formelles qui seront introduites tout au long du papier.

On rappelle que le long du SLTC on a (hors TEF) :
%
\begin{eqnarray}
\partial_t x(t) &=&  A(t)\, x(t) + B(t)\, u(t)
\label{sltc}\end{eqnarray}
%
Il y correspond un propagateur - appelé aussi résolvante ou matrice de 
transition d'état - tel que
\begin{equation}
x(T) = \Phi (T,0)x(0) + \int_0^{T} {\Phi (T,t)B(t)u(t)} dt
\label{sltphi}\end{equation}
dans laquelle $x(t)=\Delta \eta(t)$ est l'écart à la trajectoire d'une variable considérée,
$u(t)$ la perturbation d'un forçage ayant été appliqué pour trouver la
trajectoire de référence ($\eta(t), t\in [0,T]$).
%
\subsection*{Sensibilité aux états}
% ---------------------------------------------------------------
On considère l'effet d'une perturbation des seules Conditions Initiales (C.I.)
$x(\tau)$, et même d'une seule composante $x_j(\tau)$. Alors
%
\begin{equation}
x(t) = \Phi (t,\tau)x(\tau)
\end{equation}
%
où le vecteur $x(\tau)$ ne comporte qu'une composante non nulle.
On voit donc que $x(t)$ est l'effet à $t$ de cette perturbation de l'état
$x_j(\tau)$, et ainsi que la j-ième colonne de $\Phi$ est le vecteur :
%
\begin{equation}
\frac{\Delta \eta(t)}{\Delta \eta_j(\tau)} = \,\ket{\Phi (t,\tau)_j}
\end{equation}
%
dans laquelle il faut interpréter le terme de gauche comme rapport de variations au sens de Gâteaux.
On définit ainsi la sensibilité des états aux conditions initiales en $\tau=0$ du j-ième état.

Si on considère la définition de $\Phi$
%
\begin{equation}
\partial_t \Phi (t,\tau) = A(t) \Phi (t,\tau);
\qquad  \Phi (\tau,\tau) = I ;
\label{epro}
\end{equation}
%
on voit que ce système peut s'écrire colonne par colonne et s'identifie
au système~(\ref{sltc}) lorsqu'on prend comme état initial
des perturbations la j-ième colonne de la matrice identité (et $B$=0).
On a donc construit l'équation d'évolution des sensibilités à un état initial,
donné par une colonne $s_{\eta}(t,0)$ de $\Phi(t,0)$.
%
\subsection*{Adjoint}
% ---------------------------------------------------------------
%
De ce premier résultat concernant l'interprétation de $\Phi$ par colonnes on tire le second~:
une ligne $\bra{v_i}$ de $\Phi(t,\tau)$ est
l'impact sur $x_i(t)$ d'une perturbation appliquée aux composantes
de $x(\tau)$\footnote{pour le lecteur intrigué par l'utilisation de $\Phi(t,\tau)$ pour propager à la fois
en arrière ou en avant, précisons que nous n'avons pas ici à considérer ses C.I., qui sont en effet différentes
dans un cas par rapport à l'autre, mais
seulement les propriétés d'un opérateur de propagation qui est attaché -- caractéristique --
du SLTC particulier correspondant au système et à une trajectoire de référence.}.
C'est ce qu'on a appelé
le gradient $\nabla_x x_i$ en suivant les notations, par exemple, d'Olivier Talagrand.
On en déduit donc immédiatement que le système adjoint
est l'équation d'évolution d'une ligne du propagateur.
Comment initialiser son évolution ? Le seul gradient déterminé est celui du temps
final $t$,
correspondant à la i-ième ligne de la matrice identité. On est donc
conduit à déterminer $\partial_{\tau} \Phi(t,\tau)$, qui est donné par
%
\begin{equation}
\partial_{\tau} \Phi (t,\tau) = - \Phi (t,\tau) A(\tau)
\label{apro}
\end{equation}
%
Il suffit alors de transposer pour obtenir un système colonne par colonne
du système adjoint :
%
\begin{equation}
\partial_{\tau} \Phi^{\dagger} (t,\tau) = - A^{\dagger}(\tau)\Phi^{\dagger}(t,\tau)
\label{adjpro}
\end{equation}
%
chaque colonne $v_i$ de $\Phi^{\dagger}$ étant un gradient de $x_i$ par rapport aux états antérieurs,
avec un système à intégrer en arrière, initialisé par la i-ième colonne de $I$.
%
\subsection*{Sensibilité à la commande, considérée comme transfert exogène}
% --------------------------------------------------------------------------
%
La formule~(\ref{sltphi}) suggère que la sensibilité au transfert scalaire
 ($u(t)$) est dépendante de la fonction, et pour le cas $u(t)=\varpi\Upsilon(t,0^+)$
(step initial), est une colonne $s$ de l'intégrale :
%
\begin{equation}
s_{\varphi}(t,0) = \int_0^{t} {\Phi_i (t,\tau)B(\tau)}d\tau
\label{sltiphi}\end{equation}
%
Le système différentiel correspondant s'obtient par application de $\partial t$
à~(\ref{sltiphi}) :
%
\begin{equation}
\partial t s_{\varphi}(t,0) = A(t)\int_0 ^{t} {\Phi_i (t,\tau)B(\tau)} d\tau\, +B(t)
 = A(t)s_{\varphi}(t,0)\, + B(t)
\label{sensff}\end{equation}
%
On obtient ainsi un système différent de celui des sensibilité aux états ($s_{\eta}$),
mais qui s'intègre de manière semblable, à la source ($B$) près et aux C.I. nulles.
Que ceux qui n'ont pas encore reconnu le fameux {\bf dfdpi} de stb se dénoncent !

\vspace{1.cm}

{\it{\bf aspects \Minik}  En plus de la sobriété de cette introduction aux sensibilités,
on peut remarquer
qu'il est possible de déterminer le propagateur en résolvant le système
classiquement avec les librairies matricielles qui permettent d'étendre ad libidum
le nombre de vecteurs colonnes. Cette méthode constitue ainsi une alternative
au calcul du propagateur par produits finis (cf manuel \Minik : {\bf sltcirc}), et
d'avoir accès en particulier à $\delta \Phi(t,0)$, mais également à une analyse de sensibilité
paramétrique, ce qui n'est pas sans intérêt.}

\newpage
\vspace{3.5cm}

\hrule

ce résumé d'appréciation de l'approche développée dans ce cahier a été déplacé en cette
fin d'introduction (Mars 06, puis Mars 07).
\vspace{2.cm}
\subsubsection*{en résumé sur l'approche par propagateurs\footnote{Al1, relecture de Mai 2007}}
{\it Avoir basé ce développement sur l'introduction des propagateurs était-il justifié, par
comparaison avec l'approche de Cacuci développée dans le cahier ``Adjoint'' ?
\begin{itemize}
\item hors TEF, on gagne clairement en simplicité, et donc en pédagogie pour définir le Système Linnéaire
Tangent;
\item in TEF et en avant, ça reste clair, et on a gagné la compréhension de ce que sont des transferts
de sensibilité, la justification et la généralisation du {\bf dfdpi};
\item on a aussi compris que les sensibilités en avant diffèrent essentiellement selon qu'elles sont
relatives aux états ou aux transferts, et on a donné une méthode pragmatique simplifiée
pour les obtenir, qui remplace notre précédente approche à base de dérivées partielles difficile à
justifier dans un cadre fonctionnel;
\item pour l'adjoint, par contre, on a vu arriver des difficultés formelles qui conduisent à
préférer l'approche de Cacuci pour la démonstration de la forme finale de $dJ$~(\ref{duuj});
\item le succès véritable de l'approche tient à la proximité formelle des convolutions avec $\Phi$ et
celles de Borel qui fournit le cadre formel de la généralisation de la notion de gain dynamique de rétroaction
pour les systèmes non-$\mathcal{L}$. Et pour y arriver, il s'avère {\it a posteriori} indispensable d'avoir
réussi à TEFiser la notion de propagateur;
\item de ce dernier point de vue, l'analyse par Floquet des systèmes à dynamique périodique constitue
un intermédiaire entre systèmes linéaires et non-$\mathcal{L}$, qui est évident par l'approche propagateurs;
\item reste pour le filtyrage de Kalman, on a pu innover des formules d'avance des variances-covariances
nettement plus pertinente, mais le passage au TEF reste à faire;
\end{itemize}
}
\newpage
%
\section{Sensibilités dans l'espace d'état - transferts du TEF}
% ---------------------------------------------------------------
\label{etatr}
On rappelle que le système dynamique sous TEF est défini par :
%
\begin{eqnarray}
%\left{
\partial_t \eta (t) &=&  g(\eta(t),\varphi(t),h^{\eta}(t)) \nonumber\\
\varphi(t) &=& f(\eta(t),\varphi(t),h^{\varphi}(t))
%\right.
\label{tefbas}
\end{eqnarray}
%
%% \begin{equation}
%% \left \lbrace
%% \begin{array}{l}
%%   \dst \vzeta = A (\veta + \varphi \un) \\
%%      \\
%%   \varphi = \frac{1}{p} <\zeta|1> \\
%%      \\
%%   \veta = \vzeta - \varphi \un \\
%% \end{array}
%% \right .
%% \end{equation}
où $h$ est une loi de commande (exogène), et qu'il se linéarise le long du SLTC en donnant 
%
\begin{equation}
\begin{bmatrix} \partial_t \!\cdot\, -A  & -B \\ -C^{\dagger} & 1-
D\end{bmatrix} \quad 
\begin{bmatrix} \Deta  \\ \Dfi \end{bmatrix} \quad = \quad
\begin{bmatrix} B^u u^{\eta}\\ D^u u^{\varphi} \end{bmatrix}
\label{sltc1} 
\end{equation}
%
où $u$ est une perturbation (exogène) de $h$. Les matrices prennent leur définition la plus simple
des Jacobiennes du TEF :
%
\begin{eqnarray}
A = \partial_{\eta} g &;& B = \partial_{\varphi} g; \nonumber\\
C^{\dagger} = \partial_{\eta} f &;& D = \partial_{\varphi}f ;\nonumber\\
B^u = \partial_{u} g &;& D^u = \partial_{u} f
\label{tefmat}
\end{eqnarray}
%

Suivant le même schéma que précédemment, reprenons l'équation~(\ref{sltc1})
en remplaçant $\Deta$ et $\Dfi$ par $\Phi(t,\tau)$ et $\Psi(t,\tau)$, une matrice
que l'on introduit {\it a priori} arbitrairement :
%
\begin{equation}
\begin{bmatrix} \partial_t \Phi\\ \Psi \end{bmatrix} \quad = \quad
\begin{bmatrix}  A  & B \\ C^{\dagger} & D\end{bmatrix} \quad 
\begin{bmatrix} \Phi  \\ \Psi \end{bmatrix} (t,\tau) 
\label{sltctef} 
\end{equation}
%
les dimensions de la matrice $\Psi$ étant celles de $\ext{\eta}{\varphi}$. Remarquons
d'emblée que ce système est identique, colonne par colonne, à~(\ref{sltc1}), et qu'il est
donc défini si on lui adjoint des C.I. en $\Phi.
$
On constate que l'élimination de $\Psi$ fournit l'équation d'évolution
classique du propagateur :
\begin{equation}
\partial_t \Phi (t,\tau) = [A + B(I-D)^{-1}C^{\dagger}](t)\, \Phi (t,\tau)
\label{tefpro}
\end{equation}
Le système~(\ref{sltctef}) est donc, colonne par colonne, celui des
sensibilités aux états (le système $s_{\eta},\sigma_{\eta}$ de \Minik, avec
les C.I. $\Phi(\tau,\tau)=I$). La matrice $\Psi$ est donc définie par le système
linéaire~(\ref{sltctef})~:
%
\begin{equation}
\left \lbrace
\begin{array}{l}
\partial_t \Phi(t,0) =  A\Phi(t,0) + B\Psi(t,0) \\
\Psi(t,0) = C^{\dagger}\Phi(t,0) + D\Psi(t,0)
\end{array}
\right .
\label{propatef}
\end{equation}
%

%
\subsection{De l'interprétation des transferts de sensibilité}
% ------------------------------------------------------------
\label{sensib}
%
Dans~(\ref{sltctef},\ref{propatef}), une j-ième colonne de $\Phi$ représente l'impact sur
$\eta(t)$ d'une perturbation unité des C.I. en $\eta_j$.
%% $v$ est une ligne (j) de $\Phi(t,\tau)$ donnant le gradient de $\eta_j(t)$ par rapport
%% à un step sur chaque composante de $\eta$ appliqué en $\tau$.
Comment interpréter $\Psi$ ? Partant du résultat\footnote{on reviendra sur la forme explicite
de $B^u$.} :
\begin{equation}
\Deta(t) = \Phi (t,\tau)\Deta(\tau) + \int_{\tau}^{t} {\Phi (t,s)B^u (s)u^{\eta}(s)} ds
\label{resol}
\end{equation}
on veut aboutir au système~(\ref{sltc1}) que l'on réécrit ainsi
%
\begin{equation}
\begin{bmatrix}  \partial_t\Deta  \\ \Dfi \end{bmatrix} \quad =
\begin{bmatrix}   A  & B \\ C^{\dagger} &D \end{bmatrix} \quad 
\begin{bmatrix} \Deta  \\ \Dfi \end{bmatrix} \quad + \quad
\begin{bmatrix} B^u u^{\eta} \\ 0 \end{bmatrix}
\label{sltc3} 
\end{equation}
%
en choisissant de ne garder qu'une perturbation $u^{\eta}$ indépendante (on la suppose
de même dimension que $\varphi$).
Dérivons~(\ref{resol}) par rapport à $t$ en appliquant~(\ref{sltctef})
%
\begin{eqnarray}
\partial_t \Deta(t) =
   A(t)\left[\,\Phi (t,0)\Deta(0) + \int_{0}^{t} {\Phi (t,\tau)B^u (\tau)u^{\eta}(\tau)} d\tau\,\right]
+ B^u (t)u^{\eta}(t)\nonumber\\
 + B(t)\left[\,\Psi (t,0)\Deta(0) + \int_{0}^{t} {\Psi (t,\tau)B^u (\tau)u^{\eta}(\tau)} d\tau\,\right]
\label{resol2}
\end{eqnarray}
%
On reconnaît $\Deta(t)$ dans la première somme, ce qui permet d'identifier avec
le système linéaire~(\ref{sltc3}) en posant 
%
\begin{equation}
\begin{boxed}
{\Dfi(t) = \Psi (t,0)\Deta(0) + \int_{0}^{t} {\Psi (t,\tau)B^u (\tau)u^{\eta}(\tau)} d\tau}
\end{boxed}
\label{resolfi}
\end{equation}
permettant de réécrire :
\begin{eqnarray}
\partial_t \Deta(t) =
   A(t)\Deta(t) + B^u (t)u^{\eta}(t) + B(t)\Dfi(t)
\label{resol3}
\end{eqnarray}
%
On a ainsi l'interprétation de $\Psi(t,0)$ donnant la sensibilité de $\varphi(t)$
à la perturbation des C.I. en $\eta$.
Dans l'égalité précédente, on peut exprimer $\Psi$ grâce à~(\ref{sltctef})
%
\begin{equation}
\Dfi(t) = [C^{\dagger}\Phi + D\Psi]\Deta(0) + \int_{0}^{t}
                                {[C^{\dagger}\Phi + D\Psi]B^u (\tau)u(\tau)} d\tau
\label{resolfi2}
\end{equation}
%
et en identifiant les termes en $\Phi$ et $\Psi$ :
%
\begin{equation}
\Dfi(t) = C^{\dagger}\Deta + D\Dfi
\label{resolfi3}
\end{equation}
%
pour retrouver le système du SLTC~(\ref{resol3},\ref{resolfi3}) identique à~(\ref{sltc3}).
Cette démonstration montre que l'extension au TEF de la notion de propagateur est cohérente
avec l'introduction de $\Psi$ dans~(\ref{sltctef}). Par ailleurs les matrices du propagateur
TEFisé s'intègrent en avant, colonne par colonne, comme le système $s, \sigma$ des sensibilités
aux C.I. d'une composante d'état.

% On en déduit aussi que $w$ est une colonne (k) de $\Psi'(t,\tau)$ donnant le gradient de $\varphi_k(t)$ par rapport
% à un step sur chaque composante de $\eta$ appliqué en $\tau$.
Ceci épuise donc l'interprétation des transferts de sensibilité introduits grâce
au TEF. Ces variables forment une colonne ($\sigma_{\eta}$) de $\Psi(t,\tau)$ et représentent
la sensibilité des transferts aux conditions initiales..
%  ainsi que les variables adjointes aux transferts.
% Ces deux variables représentent respectivement aussi les colonnes et les lignes
% des matrices $\Psi(t,\tau)$ et $\Psi'(t,\tau)$.
%
\subsection{De la perturbation des transferts}
% ------------------------------------------------------------
\label{trpert}
%
Jusqu'alors, seule la perturbation des états intervient. La question qui se
pose est comment obtenir de ces systèmes un gradient de $\eta$ en fonction
d'une perturbation de $\varphi_j$.
%
\subsubsection*{Perturbation impulsive des transferts}
% ....................................................
Une première approche peut s'obtenir de l'examen des formules~(\ref{resol})
et~(\ref{resolfi}). La fonction $u(\tau)$ est une perturbation externe du système; on
voit que le choix d'un pulse\footnote{on rappelle que la distribution de Dirac est définie
par $\int_{-\infty} ^{\infty}{f(\tau)\delta(s-\tau)}d\tau = f(s)$.} $\delta(\tau)$ fournit l'interprétation que :
\begin{itemize}
\item $\Phi(t,\tau)B^u (\tau)$ est la sensibilité de $\Deta(t)$ à un pulse sur $u$
appliqué en~$\tau$;
\item $\Psi(t,\tau)B^u (\tau)$ est la sensibilité de $\Dfi(t)$  à un pulse sur $u$
appliqué en~$\tau$\footnote{ce terme n'est autre que
 $(I-D(t))^{-1}C^{\dagger}(t)\Phi(t,\tau)B^u (\tau)$, ce qui le rend moins magique, puisqu'on
retrouve l'effet d'une perturbation de $u$ à $\tau$, suivi d'une propagation de la perturbation
de l'état, enfin convertie à $t$ en perturbation du transfert.}.
\end{itemize}
%
On peut remarquer que la matrice $\Psi(t,\tau)B^u (\tau)$ est bien carrée.
%La perturbation exogène $u$ reste appliquée aux vitesses d'état, mais apparaît formellement
%comme un transfert supplémentaire via la matrice $B^u$.

{\it La notion de sensibilité à une fonction (ici $h(t)$) semble poser un problème, et encore plus pour
un pulse (pb de mesure dixit jyg); nous renvoyons alors
à Cacuci, qui définit cette sensibilité par une variation d'une ``réponse''
du système à $\varpi \delta(t-0+)$ et propose une méthode de calcul pratique fondée sur la différenciation
de Gâteaux, voir plus loin}.

On peut noter aussi que l'application d'une perturbation à un transfert actif pose un problème physique :
les variables de transferts étant contraintes aux états qui définissent entièrement le
système, perturber $\varphi$ signifie que le {\bf modèle} du transfert est modifié (soit par sa
formulation, soit par adjonction quand c'est possible d'une source exogène). On est encore
renvoyé à l'ample vision de Cacuci des sensibilités du système.

{\it Il ne s'agit dans ce passage que d'une discussion historique qui n'intéressera que
les anciens de l'unsecte.} Il est remarquable que l'on puisse écrire
le système des sensibilités aux u-transferts simplement à partir de~(\ref{sltctef}) en multipliant
à droite par $B^u (\tau)$ :
%
\begin{equation}
\begin{bmatrix} \partial_t [\Phi(t,\tau)B^u(\tau)]\\ \;\;\Psi(t,\tau) B^u (\tau) \end{bmatrix} \quad = \quad
\begin{bmatrix}  A  & B \\ \;C^{\dagger} & D\end{bmatrix} (t)\quad 
\begin{bmatrix} \Phi B^u  \\ \Psi B^u \end{bmatrix}(t,\tau) 
\label{sltctefb} 
\end{equation}
%
grâce auquel on voit que le système des sensibilités aux u-transferts est à la fois différent mais
s'intègre comme celui des sensibilités aux états, en
remarquant cependant le problème de l'initialisation de ce système.
En effet, cette initialisation semble devoir se faire, donc, à partir des colonnes
de $B^u (\tau\!\!=\!\!0)$. On a semble-t-il une alternative au {\bf dfdpi}\footnote{il s'agit d'une source
unité s'appliquant à la variable de transfert de sensibilité associée à un paramètre du modèle, voir
papier {\it sensibilité} de stb  sur le web.} de stb. La vision comparée des
deux définitions de la sensibilité aux transferts mérite quelque développement.

%{\it Réhabilitation du {\bf dfdpi}}
Considérons l'équation des transferts~(\ref{sltc1}) où on applique une perturbation-pulse
$u(t)=\delta(t\!\!-\!\!0^+), D^u = I_j$, où $I_j$ est la j-ième colonne de la matrice unité et $\delta(t)$
un Dirac en une seule composante de $u^{\varphi}$:
%
\begin{equation}
(I-D)\Dfi= C^{\dagger}\Deta + u^{\varphi}
\label{trpulse}
\end{equation}
%
il est bien clair que les contraintes statiques entre composantes du transfert vont ``pulser'' aussi
avec des poids différents d'autres composantes que la j-ième. On est donc conduit à initialiser le système
des sensibilités aux transferts par la matrice $B (I-D)^{-1}$. Dit autrement, le pulse va provoquer,
lors du démarrage de l'intégration des états (au-delà de $0^+$), un step sur plusieurs composantes
de $\eta$. C'est (me semble-t-il) LA formulation correcte du système des sensibilités des états aux
transferts perturbés par une impulsion initiale.

{\it A la relecture (Sept.2005), il ne me semble pas complètement évident que l'impulsion perturbatrice doive
s'appliquer systématiquement via la matrice $D$ aux autres composantes, et le choix est physique. En effet,
la partie statique du modèle découle d'un choix concernant le ``grossissement dynamique'' permettant d'analyser
le problème posé. Il en découle un pas de temps d'intégration de l'ordre du dixième du plus petit temps
caractéristique retenu comme pertinent. De même, la perturbation devrait être considérée dans le cadre
d'une expérience numérique prenant sa motivation d'une véritable expérimentation imaginée. Et la question
de la présence de la matrice $D$ dans l'expression des C.I. devra être tranchée à partir de cette
analyse. On pourra utilement s'inspirer des travaux sur la ``méthode flash'' utilisée en
Sciences de l'Ingénieur (cf Olivier Fudym par exemple).}

Ces précautions étant prises et dans la mesure où la cohérence des dynamiques semble plus conservative avec l'intervention de
la $D$, \Minik l'utilise systématiquement. En effet si on considère par exemple la perturbation
d'une composante de vitesse d'un écoulement fluide incompressible, la matrice $D$ va imposer
l'a-divergence de l'écoulement perturbé. Cette procédure sera prolongée lors de l'initialisation
de l'adjoint.

%
\subsubsection*{Perturbation-marche des transferts}
% .................................................
On a dès l'intro évoqué le rôle de l'intégrale des propagateurs pour propager l'impact
d'une fonction de Heaviside. On peut paraphraser ce qui est dit en perturbation-pulse :
\begin{itemize}
\item $\int_0^t\Phi(t,\tau)B^u (\tau)d\tau$ est la sensibilité de $\Deta(t)$ à un step en $u$
appliqué en~$0^+$;
\item $\int_0^t\Psi(t,\tau)B^u (\tau)d\tau$ est la sensibilité de $\Dfi(t)$  à un step en $u$
appliqué en~$0^+$.
\end{itemize}
 Ce dernier terme n'est autre que
 $(I-D(t))^{-1}C^{\dagger}(t)\int_0^t\Phi(t,\tau)B^u (\tau)d\tau$, qui donne
l'effet d'une marche perturbante $u$ à partir de $t=0$, suivi d'une propagation de la perturbation
de l'état, enfin converti à $t$ en perturbation du transfert.

\vspace{0.3cm}
Comment réintroduire la perturbation ($u_{\varphi}$) aux transferts dans le système~(\ref{sltc3}) ?
Montrons que la solution générale du système des sensibilités est :
%
\begin{eqnarray}
\Deta(t) &=& \Phi (t,\tau)\Deta(\tau) + \int_{\tau}^{t} \Phi (t,s)\left[\,B^u (s)u^{\eta}(s)+B(s)(I-D)^{-1}D^u(s) u^{\varphi}(s)\,\right] ds\nonumber\\
\Dfi(t) &=& \Psi (t,\tau)\Deta(\tau) + \int_{\tau}^{t} {\Psi (t,s)B^u(s) u^{\eta}(s)}\, ds \quad+\, (I-D)^{-1}D^u(t) u^{\varphi}(t)
\label{resolft}
\end{eqnarray}\
%
{\it Pat me demande ici de signaler que la présence d'un Dirac éventuel dans $u^{\varphi}(t)$ dans la deuxième équation
est correcte au sens des distributions, mais nécessite son ``relèvement'' en cellule pour le calcul.}
Le système complet~(\ref{sltc1}) introduit une ``commande'' $u_{\varphi}$ par l'intermédiaire d'une matrice de distribution
entre variables $D^u$. L'équation~(\ref{resolfi3}) devient
%
\begin{equation}
\Dfi(t) = C^{\dagger}\Deta(t) + D\Dfi(t) + D^u u^{\varphi}(t)
\label{resolfi4}
\end{equation}
%
ce qui conduit directement à~(\ref{resolft}). Dans le cas d'une perturbation d'une composante de transfert,
on a $D^u=I$; le développement formel suit alors rigoureusement celui de l'adjoint, et le lecteur peut
directement se reporter à la démonstration du système~(\ref{vadjtot},~\ref{wadjtot}).

{\it {\bf réhabilitation du dfdpi :} Par exemple, si on considère $u^{\varphi}=\varpi\Upsilon(t,0^+)$ comme un transfert-paramètre ($D^u\rightarrow 1$),
on aurait à placer une source unité à la composante correspondante de $\sigma_{\varpi}$, et l'on reconnaît le fameux
{\bf dfdpi} de stb\footnote{on peut tout aussi bien placer une source sous forme de la colonne de $B(t)$
correspondant au transfert $\varpi$ dans l'équation de $s_{\varphi}$.}}.
%
\subsubsection*{Retour à Cacuci}
% ..............................
On peut à ce stade prendre le temps de faire l'exercice de justifier ces résultats en repartant de la formulation
de base de Cacuci, car nous en aurons l'utilité pour l'introduction du gain de rétroaction généralisé.
On considère le système
%
\begin{equation}
\partial_t \eta(t) = g(\eta,\varphi,t) = g(\eta,f(\eta,t),t)
\label{cacuci}
\end{equation}
%
et une réponse $R(t)=\int_0^t{r(\eta,t)}d\tau$.

 On s'intéresse à $\mathcal{V}R$, la variation de la réponse fonctionnelle
à une perturbation de la fonction de rétroaction $f(\eta)\rightarrow f(\eta,t)+h(t)$.
Ce problème classique est résolu en suivant l'approche de Cacuci, basée sur le SLTC.

 On obtient le SLTC correspondant
au problème en appliquant l'opération suivante au système originel :
%
\begin{equation*}
\partial_{\epsilon}\left[\quad\partial_t\,[\eta(t)+\epsilon\Deta(t)] = g(\eta +\epsilon\Deta,f(\eta +\epsilon\Deta,t)+\epsilon h(t),t)\quad\right|_{\epsilon=0}
\end{equation*}
%
qui donne le SLTC :
%
\begin{equation*}
\partial_t \Deta(t) = A(t)\Deta(t) + B(t) [ C^{\dagger}(t)\Deta(t) +h(t) ]
\label{esltcac}
\end{equation*}
%
où on a introduit les notations du TEF. On peut toujours poser 
%
\begin{equation}
\Dfi =  C^{\dagger}\Deta +h(t)
\label{fsltcac}
\end{equation}
%
et résoudre ce système classiquement TEFisé. A présent, la fonction perturbatrice $h(t)$ est quelconque et
peut être choisie suivant le problème physique que l'on pose, ou même suivant les propriétés dynamiques
particulières du système que l'on souhaite révéler par le choix bien inspiré d'une réponse. Ainsi, le système
de la réponse à un pulse ne pourra s'intégrer qu'en déplaçant la source $h$ en $Bh$ sur la cellule.
A l'inverse, la source unité pourra s'appliquer en~(\ref{fsltcac}).

Revenant maintenant à la réponse, l'intégrande pourra s'exprimer par un produit avec un pulse de Dirac
$\delta(t-s)$ pour récupérer
dans $R$ une fonction courante $r(t)$ à un instant $t=s$. Pour évoquer les possibilités offertes
par l'adjonction d'une réponse fonctionnelle au système, remarquons pour finir que rien ne nous
 empêche de prendre par
exemple $r(t)=\varphi(t)$ ! On a alors une panoplie possible d'analyses, permettant soit d'exprimer les
sensibilités en avant via le SLTC, soit en arrière via l'adjoint, lorsque l'on suit directement
l'approche de Cacuci\footnote{cf Adjoint et \Minik sur le web.}.
%
\subsubsection*{Lien entre les sensibilités aux diverses perturbations}
% ....................................................................
%
Considérant~(\ref{resolfi}),
on voit que la sensibilité de $\varphi(t)$ à un step sur $u^{\eta}_j(t)=\Upsilon(t,0^+)$ est
donnée par une colonne de l'intégrale de$\Psi(t,\tau)$. Quel rapport peut avoir cette sensibilité de la variable
à un step avec la sensibilité de l'intégrale de cette variable à un pulse ?

Pour les SLT autonomes vus par l'horreur Borelienne, le résultat est bien sûr immédiat. Rappelons que
la transformée de l'anomalie $x(t)$ provoquée par une perturbation $u(t)$ est liée à la
sensibilité $\sigma$ par
%
\begin{equation}
x(\tau)=\sigma(\tau)\, u(\tau)\sqsubset \sigma\odot u' = \sigma'\odot u \,\, (t)
\label{sltb}
\end{equation}
%
où $\odot$ est le produit de convolution et les fonctions primes des dérivées temporelles. On a
donc la propriété que $\sigma(t-s)$ est la sensibilité de $x(t)$ à un pulse en $u'(t)=\delta(t-s)$, soit
donc à un step de $u=\Upsilon(t-s)$, et que $\sigma'(t-s)$ est celle d'un pulse. Mais alors :
%
\begin{equation}
\tau x(\tau)=\tau \sigma(\tau)\, u(\tau)\sqsubset \int_0 ^t {x(s)}ds = \sigma\odot u (t)
\label{sltbint}
\end{equation}
%
qui signifie que la sensibilité de l'intégrale de la variable perturbée à un pulse est $\sigma$ !
{\it Ainsi, pour les systèmes linéaires, $\sigma$ est à la fois la sensibilité de la variable à un step
et celle de l'intégrale à un pulse.}

Cette propriété se généralise-t-elle aux systèmes non-L ? Considérons la variation de l'intégrale
de $\varphi$; on a 
%
\begin{eqnarray}
\Delta\int_{0}^{t}\varphi(s)ds &=& \int_{0}^{t}\Dfi(s) ds  \nonumber\\
    &=&\int_{0}^{t}ds \{ C^{\dagger}(s)\int_{\tau}^{s} {\Phi (s,\tau)B^u(\tau) u(\tau)}d\tau\}\nonumber
\end{eqnarray}
%
pour un pulse en $\tau=0$, il reste
%
\begin{equation}
\Delta\int_{0}^{t}\varphi(s)ds  = \int_{0}^{t} \{ C^{\dagger}(s)\Phi (s,0)B^u(0))\} ds
\label{sensfint}
\end{equation}
%
(avec éventuellement $C^{\dagger} \rightarrow (I-D)^{-1}C^{\dagger}$).
Ainsi, entre step et pulse, il y a échange sous l'intégrale de $B$ et $C^{\dagger}$, d'où il découle
que la propriété examinée ne s'applique qu'aux systèmes à SLT stationnaires\footnote{contrairement
à ce qu'une version précédente affirmait de manière un peu hâtive --- {\it note du 27 Janvier 2006.}}.
%
\subsubsection*{Obtention {\it a minima} des systèmes de sensibilité}
%.............................. ....................................................
Il peut paraître surprenant\footnote{il s'agit ici d'un règlement de compte vis a vis des
``physiciens'' pour qui la notation de sensibilité avec des dérivées partielles semble
intuitive.} que malgré la diversité des systèmes de sensibilité,
on puisse dans tous les cas les déterminer en dérivant simplement
le système par rapport à une composante, soit de $\Deta$, soit de $\Dfi$, soit même d'une
fonction de perturbation step $h(t)$, comme
le fait stb dans son papier sensibilité. A ceci près quand même qu'il ne s'engage pas sur
la sensibilité aux transferts en général mais seulement dans le cas d'un transfert-paramètre.

Voici la dérivation que nous proposons\footnote{stepH, JYG et Al1 : proposition solennelle du 10 Août
2005 à 18h23 du matin.}. Dans la mesure où les sensibilités sont évaluées à partir de variations
du système au changement, on détermine le SLTC tout d'abord.
Ensuite, on remplace chaque variable du SLTC par son expression définissant une variable de 
sensibilité. Enfin, quand l'élément sensible peut être partout mis en facteur,
on a fini, il suffit alors de vérifier que le système obtenu est bien intégrable, et que l'on sait
écrire ses C.I.

Illustrons la méthode avec la dérivation du système de la sensibilité aux états ($s,\sigma$); dans le
SLTC\footnote{Dans le cas de matrice $D$, $\Dfi \rightarrow (I-D)^{-1}\Dfi$}.
%
\begin{eqnarray}
\partial_t \Deta(t) = A\Deta + B \Dfi \nonumber\\
\Dfi =  C^{\dagger}\Deta        \nonumber
\end{eqnarray}
%
Dans ce cas classique, poser $\displaystyle s(t) = \frac{\Deta(t)}{\Deta_k(0)}$ conduit à remplacer $\Deta(t)$ par
$ s(t) \Deta_k(0)$, et à prendre $s_k(t=0)=1$; de même $\Dfi=\sigma(t)\Deta_k(0)$ :
%
\begin{eqnarray}
\partial_t s(t)\zeta = As(t)\zeta  + B \sigma(t)\zeta  \nonumber\\
\sigma(t)\zeta  =  C^{\dagger}s(t)\zeta       \nonumber
\end{eqnarray}
%
où on a noté pour plus de généricité $\zeta$ comme élément-source de perturbation (ici $\zeta=\Deta_k(0)$).
Dès que l'opérateur $\partial_t \zeta=0$ ou même conserve $\zeta$ en facteur\footnote{conditions plus générales
à confirmer}, on obtient un système dont on veut qu'il soit vérifié $\forall \zeta$, d'où le système différentiel,
où l'on reconnaît une colonne de~(\ref{sltctef}).
La sensibilité à un paramètre s'en déduit classiquement en associant ce paramètre à $\Deta_k(0)$,
mais on peut aussi plus directement poser $\Deta(t)=s(t)\Delta\varpi$ etc, et là on justifie pleinement
la pragmatique de stb.

La généralisation aux fonctions perturbatrices dépendant du temps semble pouvoir être faite en suivant
la méthode de Gâteaux, \cad que l'on évalue les variations du système en réponse à
une amplitude scalaire constante de la fonction $h(t) \rightarrow \zeta h(t)$. Les sensibilités
s'expriment alors en fonction de l'amplitude constante~$\zeta$~:
%
\begin{eqnarray}
\partial_t s(t)\zeta = A s(t)\zeta  + B \sigma(t)\zeta  \nonumber\\
\sigma(t)\zeta  =  C^{\dagger}s(t)\zeta + h(t)\zeta      \nonumber
\end{eqnarray}
%
où $\zeta$ est un scalaire. On conçoit que ça marche bien pour un step, puisqu'on est ramené au
 problème précédent, mais pour un pulse ?
La solution consiste alors à suivre ce qu'on a déjà proposé plus haut : on relève $h(t)=\delta(t-0^+)$ dans
l'équation du dessus, et on est ramené à une perturbation des C.I.

C'est la que l'obtention {\it a minima} du système exige une intuition féroce, alors que lorsqu'on
connaît leur véritable nature, les C.I. sont immédiates~(cf~\ref{trpulse});
%
\begin{itemize}
\item quand $s  \leftrightarrow \Phi$, elles sont celles de $\Phi(0,0)=I$ (sensib. à états);
\item quand $s \leftrightarrow \Phi B(I-D)^{-1}$ elles sont $B(I-D)^{-1}(t=0)$ (pulse sur $\varphi$);
\item et quand $s \leftrightarrow \int \Phi B(I-D)^{-1}d\tau$, elles sont nulles (step);
\end{itemize}
%
{\it En résumé, dans la méthode à base de propagateurs, on part de la solution générale du SLTC, et
on en déduit les PDE. Ici, on postule l'existence de fonctions $s(t),\sigma(t)$, et on vérifie
que le système obtenu est intégrable et correspond à un problème bien posé}.

\vspace{0.5cm}
$\,$\\
\hrule
\newpage
%
\begin{center}
\subsubsection*{en résumé}
% ........................................................
\end{center}
\vspace{0.5cm}
%
On a montré que le système ($s,\sigma$) des sensibilités introduit par l'unsecte correspond en réalité
à au moins trois systèmes différents :
\begin{itemize}
\item un premier système de sensibilité aux C.I. des états ($s^{\eta}, \sigma^{\eta}$), qui s'obtient
colonne par colonne du couple des propagateurs du SLTC du TEF ($\Phi(t,\tau), \Psi(t,\tau)$).
\item deux autres de sensibilité aux transferts ($s^{\varphi}, \sigma^{\varphi}$), qui s'obtiennent colonne
par colonne du couple des propagateurs intégrés (ou non) du
SLTC :
\begin{eqnarray}
\Phi^{\varphi}(t,0) &=&\int_0^t\Phi(t,\tau)B(I-D)^{-1}(\tau)d\tau  \nonumber\\
 \,\Psi^{\varphi}(t,0)&=&(I\!-\!D)^{-1}C^{\dagger}(t)\int_0^t \Phi(t,\tau)B(I-D)^{-1}(\tau)d\tau \nonumber
\end{eqnarray}
\item ces deux derniers systèmes s'intègrent en prenant comme C.I. les colonnes de $B(I\!-\!D)^{-1}(t=0)$ pour les
transferts perturbés par
un pulse, et en ajoutant la source unité à $\sigma$ pour les transferts perturbés par un step;
\item on conçoit que les systèmes de sensibilité à des fonctions plus élaborées du temps (rampe etc)
puisse aussi bien s'obtenir en suivant l'une ou l'autre méthode;
\item on remarque enfin qu'en faisant le choix que $\sigma_{\varphi}(t)$ corresponde à une colonne
d'un propagateur de sensibilité aux transferts du type $\Psi^{\varphi}(t,0)$,
cette variable donne alors directement une fonction du gain non-$\mathcal{L}$ pour les termes
diagonaux;
\end{itemize}

\vspace{0.5cm}
 {\it \Minik : pratiquement, l'ensemble de ces résultats a pu être validé
numériquement (cf annexe, manuel, etc).}

\newpage
%% {\it {\bf Conclusions provisoires} On ne développe pas plus ici le problème de l'initialisation de l'adjoint
%% lorsque la fonction de coût final (coût$\_\Psi$ dépend des transferts, car le problème est
%% semblable à celui de l'intégration en avant, même s'il se complique par le fait que plus d'une
%% composante de transfert peut apparaitre. Et ces conditions initiales semblent devoir se construire
%% à partir des colonnes de $C(I-D^{\dagger})^{-1}$. L'énorme avantage dont dispose
%% l'unsecte\footnote{car les Minikons ne forment pas une secte, font-ils ?} sous la version du
%% \Minik actuel\footnote{version 1.01 de Juin 2005} est de pouvoir vérifier, donc, par quatre algorithmiques
%% différentes que les précédents
%% développements pseudo-mathémathiques fournissent les mêmes résultats. Et pourquoi le cacher ?
%% Ça marche\footnote{enfin, {\bf presque ...}} ! Un tableau de quadruple comparaison est donné annexe).}
%% *** morceau rapporté du début ****
%% 
%% Comme précédemment aussi, il suffit de prendre la dérivée par rapport à $\tau$
%% de $\Phi(t,\tau)$ et de transposer pour obtenir colonne par colonne le
%% modèle adjoint donnant les gradients d'une composante par rapport aux perturbations
%% de $\eta(\tau)$, et obtenir
%% le système adjoint en remarquant que le vecteur colonne $v$ -- adjoint à $\eta$ --  est une ligne
%% de $\Phi$ :
%% %
%% \begin{equation}
%% \begin{bmatrix} -\partial_t \Phi^{\dagger}\\ \Psi'^{\dagger} \end{bmatrix} \quad = \quad
%% \begin{bmatrix}  A^{\dagger}  & C \\ B^{\dagger} & D^{\dagger}\end{bmatrix} \quad 
%% \begin{bmatrix} \Phi^{\dagger}  \\ \Psi'^{\dagger} \end{bmatrix} (\tau,t)
%% \label{sltctefadj} 
%% \end{equation}
%% %
%% où on remarque que les dimensions de $\Psi'$ sont celles de $\Psi^{\dagger}$.
%% A ce stade, il reste que l'introduction de $\Psi$ et $\Psi'$, tout aussi
%% arbitraire que celle de $w$ (la variable adjointe aux  transferts), rend difficile
%% l'interprétation des sensibilités par le TEF pour sa composante en transferts.
%% %% 
%% On peut déjà donner une relation entre $\Psi$ et $\Psi'$ à partir des systèmes :~(\ref{sltctef})
%% %
%% \begin{equation}
%% \Psi(t,\tau)=(I-D)^{-1}C^{\dagger}(t)\, \Phi(t,\tau)
%% \label{sltctefpsi} 
%% \end{equation}
%% %
%% et~(\ref{sltctefadj})
%% %
%% \begin{equation}
%% \Psi'(t,\tau)=\Phi(t,\tau)\,B(I-D)^{-1}(\tau)
%% \label{sltctefpsip} 
%% \end{equation}
%% %
%% qui montrent que
%% %
%% \begin{equation}
%% \Psi(t,\tau)\Psi'(\tau,t)=(I-D)^{-1}C^{\dagger}B(I-D)^{-1}(t)
%% \label{psipsip} 
%% \end{equation}
%% %
%% qui semble exprimer comment les cellules couplent entre eux les transferts de manière instantannée.
%
%
\section{Introduction du système adjoint par le propagateur}
% -------------------------------------------------------------
Notre objectif est ici de justifier
la résolution du système adjoint en adoptant à nouveau le point de vue
intégral, basé sur les propriétés du propagateur, par opposition aux PDE et à la méthode de Cacuci
adoptée dans le papier ``Adjoint et\Minik''. Suivant la méthode
déjà employée, on raisonne d'abord hors TEF, et sur le problème le plus simple de maximiser
une fonction de coût $J$ en les conditions initiales du problème du système~(\ref{sltc}) :
%
\begin{equation}
J = \psi[\eta(T),\varphi(T) ,h(T)] + \int_0 ^T {l[\eta(\tau),\varphi(T),h(\tau)]}\, d\tau
\label{dj}\end{equation}
%
On repart d'abord de la formule  simplifiée (hors $\varphi$ et $h$) :
%
\begin{equation}
dJ = \psi_x(\eta(T))\, x(T) + \int_0 ^T l_x(\eta(\tau))\, x(\tau)\, d\tau
\label{dj2}
\end{equation}
%
dans laquelle les produits scalaires sont implicites.
On précise le problème en ayant en tête les remarques du paragraphe~\ref{horstef} que le problème
est fondamentalement à rebrousse-temps.

Comme nous l'avons proposé dans l'introduction, il suffit de prendre la dérivée par rapport à $\tau$
de $\Phi(t,\tau)$ et de transposer pour obtenir colonne par colonne le
modèle adjoint donnant les gradients d'une composante par rapport aux perturbations
de $\eta(\tau)$, et obtenir
le système adjoint en remarquant que le vecteur colonne $v$ -- adjoint à $\eta$ --  est une ligne
de $\Phi$ :
%
\begin{equation}
-\partial_t \Phi^{\dagger}(\tau,t) = A^{\dagger} (\tau,t)
\label{sltctefadj} 
\end{equation}
%
 Ainsi, on a introduit la variable $v(t)$ (vecteur ligne) représentant
la sensibilité de $J(T)$ à l'état $\eta(t)$ (et sa variation $x(t)$). En remarquant que
$v(T) = \psi_x(\eta(T))$ sont les C.I. du problème rétrograde, l'expression~(\ref{dj2}) s'écrit 
%
\begin{equation}
dJ = v(t)\,x(t) = v(T)\,\Phi(T,t)\, x(t) - \int_T ^t l_x(\eta(\tau))\, \Phi(\tau,t)\, d\tau\,x(t)
\label{dj3}
\end{equation}
%
On cherche à déterminer le vecteur gradient le long du SLTC, \cad \\$\forall x(t),t\in 0,T$; on arrive
donc à la définition du système adjoint
%
\begin{equation}
\bra{v(t)}\, =\, \bra{v(T)}\Phi(T,t) - \int_T ^t \bra{l_x(\eta(\tau))}\, \Phi(\tau,t)\, d\tau
\label{vphi}
\end{equation}
%
Le gradient courant $l_x(t)$ est ainsi déterminé indépendamment de la perturbation
 $x(t)$ de la trajectoire provoquée par une modification des CI $x(0)$.

Pour passer de~(\ref{vphi}) à un système aux EDP dit adjoint, il suffit d'utiliser à rebours le théorème
de la solution fondamentale exprimée par le couple~(\ref{sltc},~\ref{sltphi}), qui permet ici d'écrire
sans réfléchir le système dont~(\ref{vphi}) est solution :
%
\begin{eqnarray}
- \bra{\partial_t v(t)} &=& \bra{v(t)} A(t)\, + \bra{l_x(\eta(t))}
\label{adjbis}
\end{eqnarray}
%
que l'on reconnaît comme la formule définissant le système adjoint hors-TEF.
On vérifie
la fidélité du couple en dérivant classiquement~(\ref{vphi}) par rapport à $t$
%
\begin{equation}
\bra{\partial_t v(t)}\, = -\bra{v(T)}\Phi(T,t)\,A(t)\, - \bra{l_x} + \int_T ^t \bra{l_x(\tau)}\, \Phi(\tau,t)\, d\tau\, A(t)
\label{verif2}
\end{equation}
%
où on a utilisé la règle de dérivation~(\ref{apro}) du propagateur. En mettant la matrice $A(t)$ en facteur a droite,
on reconnaît bien un avatar de~(\ref{adjbis}) en réutilisant~(\ref{vphi}).

La formule~(\ref{vphi}) peut aider me semble-t-il les réfractaires à appréhender le merveilleux du système adjoint, en rappelant
que $\Phi(t,\tau)^{-1} = \Phi(\tau,t)$. Et à nouveau, pourquoi ce type d'introduction aux sensibilités et à l'adjoint
n'est pas donné dans toutes les bonnes crémeries ?
%
\subsubsection*{Sensibilité à la commande}
% ........................................
On prend à présent l'expression~(\ref{dj}) avec commande ($h\rightarrow h+ u$) et hors TEF, donnant
%
\begin{equation*}
dJ = \psi_x(\eta(T) ,h(T))\, x(T) + \int_0 ^T \{l_x(\eta(\tau),h(\tau))\, x(\tau) +
l_u(\eta(\tau),h(\tau))\, u(\tau) \}\, d\tau
\label{djbis}
\end{equation*}
%
dans laquelle il s'agit maintenant de mettre $u(t)$ en facteur pour obtenir
$\nabla_{u(t)} J(T)$\footnote{On peut s'étonner de cette notation un peu synthétique, qui signifie
{\it l'influence sur $J(T)$ de la variation d'une loi de commande $h(t)$, variation ayant démarré en $t$}.
Et bien sûr, il s'agit de l'influence
de cette loi de $t$ à $T$. Il est possible de contourner cette difficulté en utilisant le même procédé
que pour les sensibilités, à savoir, remplacement $u(t)\rightarrow\zeta u(t)$, la loi perturbatrice
de commande u(t) étant considérée comme donnée tout le long de la trajectoire de référence, et adopter la
notation $\nabla_{\zeta} J(T)$.}.
Il faut ainsi remplacer $x(t)$ dans l'équation~(\ref{dj3}) par
%
\begin{equation*}
x(t) =  \Phi(t,0)x(0) + \int_0 ^t \Phi(t,\tau) B(\tau) u(\tau)\, d\tau
\label{u2x}
\end{equation*}
%
ce qui donne
%
\begin{eqnarray}
dJ &=& v(T)\left[\Phi(T,0)x(0) + \int_0 ^T \Phi(T,\tau) B(\tau) u(\tau)\, d\tau\right]+ \\
& & \int_0 ^T l_x(s)\left[ \Phi(s,0)x(0) + \int_0 ^s \Phi(s,\tau) B(\tau) u(\tau)\, d\tau\right]ds
 + \int_0 ^T l_u(\tau)\, u(\tau)\, d\tau \nonumber
\label{dj4}
\end{eqnarray}
%
dans laquelle on peut repérer $v(t)$ donné par~(\ref{vphi}) en regroupant les termes, d'abord :
\begin{equation}
  \scal{v(0)}{x(0)} = \,<\, v(T)\Phi(T,0) + \int_0 ^T l_x(s) \Phi(s,0)\,ds\quad \mid \,x(0)\,>
\end{equation}
%
Ensuite on considère l'intégrale double
\begin{eqnarray}
  \int_0 ^T l_x(s)\int_0 ^s  \Phi(s,\tau))B(\tau)u(\tau) \, d\tau ds& & \\
  &=& \int_0 ^T ds \int_0 ^T l_x(s) \Upsilon(s-\tau)\Phi(s,\tau) B(\tau)u(\tau)\,d\tau\nonumber\\
  &=& \int_0 ^Td\tau \,\int_{\tau} ^T l_x(s) \Phi(s,\tau)\,ds\quad B(\tau)u(\tau)\nonumber
\label{idouble}
\end{eqnarray}
%
où $\Upsilon$ est la fonction de Heaviside pour échanger les signes somme, ce qui permet de repérer 
%
\begin{eqnarray}
  \int_0 ^T \bra{v(\tau)}B(\tau)\ket{u(\tau)}d\tau & & \\
 = \int_0 ^T \!d\tau &&< v(T)\Phi(T,\tau) +\!\int_{\tau} ^T\! l_x(s) \Phi(s,\tau)\,ds|\,\, B(\tau)\ket{u(\tau)}\nonumber\
\label{id2}
\end{eqnarray}
%
et ainsi finalement on obtient :
%
\begin{eqnarray}
dJ   = \scal{v(0)}{x(0)} &+& \int_0 ^T \bra{v(\tau)}B(\tau)\ket{ u(\tau)}\, d\tau \nonumber\\
& &+\quad \int_0 ^T \scal{l_u(\eta(\tau),h(\tau))}{ u(\tau)} \, d\tau
\label{dj6}
\end{eqnarray}
%
où on retrouve bien la formule~(8) du papier ``Adjoint et \Minik'', obtenue en suivant la méthode de Cacuci.
%
\subsection{Passage au TEF}
% -----------------------------
On suit une démarche proche de celle du paragraphe~\ref{sensib}, en réécrivant d'abord la relation
donnant $v(t)$ en vecteur colonne :
%
\begin{equation}
v(t) = \Phi^{\dagger} (T,t)v(T) + \int_{t}^{T} {\Phi^{\dagger} (\tau,t)l_x(\tau)}\, d\tau
\label{vresol}
\end{equation}
Maintenant, on veut aboutir au système adjoint suivant
%
\begin{equation}
\begin{bmatrix}  -\partial_t v  \\ w \end{bmatrix}(t) \quad =
\begin{bmatrix}   A^{\dagger}  & C \\ B^{\dagger} &D^{\dagger} \end{bmatrix} \quad 
\begin{bmatrix} v  \\ w \end{bmatrix} \quad + \quad
\begin{bmatrix} l_x \\ l_y \end{bmatrix}
\label{adj1} 
\end{equation}
%
et dans la mesure où on a introduit une forme de sensibilité $l_y$ nouvelle pour incorporer les transferts, on
postule la nouvelle forme de~(\ref{vresol}) :
\begin{equation}
v(t) = \Phi^{\dagger} (T,t)v(T) + \int_{t}^{T} {\Phi^{\dagger} (\tau,t)\,[l_x(\tau)+C(I-D^{\dagger})^{-1}(\tau)l_y(\tau)\,]}\, d\tau
\label{vresoltef}
\end{equation}
%
Dérivons~(\ref{vresoltef}) par rapport à $t$ en appliquant~(\ref{sltctefadj})
%
\begin{eqnarray}
-\partial_t v(t) &=&
   A^{\dagger}(t)\left[\,\Phi^{\dagger} (T,t)v(T) + \int_{t}^{T} {\Phi^{\dagger} (\tau,t)[l_x(\tau)+C(I-D^{\dagger})^{-1}l_y]} d\tau\,\right]\nonumber\\
&+& l_x(t)+C(t)\,(I-D^{\dagger})^{-1}\, l_y(t)\\
 &+& C(t)\left[\,\Psi'^{\dagger} (T,t)v(T) + \int_{t}^{T} {\Psi'^{\dagger} (\tau,t)[l_x(\tau)+C(I-D^{\dagger})^{-1}l_y]} d\tau\,\right]\nonumber
\label{vresol2}
\end{eqnarray}
%
Attention au fait que $\Psi'^{\dagger}$ n'est pas la transposée de $\Psi$, ce n'est vrai que pour $\Phi$.
On reconnaît $v(t)$ dans le premier crochet, ce qui permet d'identifier avec
le système linéaire~(\ref{adj1}) en posant 
%
\begin{equation}
{w(t) = \Psi'^{\dagger} (T,t)v(T) + \int_{t}^{T} {\Psi'^{\dagger} (\tau,t)[l_x(\tau)+(I-D^{\dagger})^{-1}l_y}]\, d\tau}+(I-D^{\dagger})^{-1}l_y(t)
\label{vresolfi}
\end{equation}
ce qui donne en effet
\begin{eqnarray}
-\partial_t v(t) =
   A^{\dagger}v(t) + Cw(t) + l_x(t)
\label{vresol3}
\end{eqnarray}
%
on a donc justifié le choix de l'introduction du terme en $l_y$ postulé dans~(\ref{vresoltef}).

Dans l'égalité~(\ref{vresolfi}), on peut exprimer $\Psi'^{\dagger}$ grâce à~(\ref{sltctefadj}) encore :
%
\begin{equation}
w(t) = (I-D^{\dagger})^{-1}\left\{B^{\dagger}(t)\left[\Phi^{\dagger}(T,t)v(T) + \int_{t}^{T}{\Phi^{\dagger}(\tau,t)l_x(\tau)} d\tau\right] + l_y(t)\right\}
\label{vresolfi2}
\end{equation}
%
et en identifiant avec $v$ les termes en $\Phi^{\dagger}$ :
%
\begin{equation}
w(t) = B^{\dagger}v + D^{\dagger}w + l_y
\label{vresolfi3}
\end{equation}
%
pour retrouver la deuxième ligne du système adjoint. 
Là on est un peu emmerdés car dans le système en avant, la variable ($\Dfi$) permettait d'interpréter
$\Psi$, alors qu'ici, on a une relation entre $w$ et $\Psi'^{\dagger}$ sans que ni l'une ni l'autre ne soit clairement
significative.

\newpage
On a finalement obtenu les solutions générales du système adjoint suivantes :
%
% \begin{equation}
% \left\{
% \begin{array}{cc}
% v(t) =&  \Phi^{\dagger} (T,t)v(T) + \int_{t}^{T} {\Phi^{\dagger} (\tau,t)\,[l_x(\tau)+C(I-D^{\dagger})^{-1}(\tau)l_y(\tau)\,]}\, d\tau\\
% w(t) =&  \Psi'^{\dagger} (T,t)v(T) + \int_{t}^{T}{\Psi'^{\dagger} (\tau,t)[l_x(\tau)+(I-D^{\dagger})^{-1}l_y]\, d\tau}\\
% &+(I-D^{\dagger})^{-1}l_y(t)
% \end{array}
% \right.
% \label{adjtot}
% \end{equation}
%
\begin{equation}
\begin{boxed}{
v(t) = \Phi^{\dagger} (T,t)v(T) + \int_t ^T {\Phi^{\dagger} (\tau,t)\,[l_x(\tau)+C(I-D^{\dagger})^{-1}(\tau)l_y(\tau)\,]}\, d\tau
}\end{boxed}
\label{vadjtot}
\end{equation}
%
et
%
\begin{equation}
\begin{boxed}{
 w(t) =  \Psi'^{\dagger} (T,t)v(T) + \int_{t}^{T}{\Psi'^{\dagger} (\tau,t)[l_x(\tau)+(I-D^{\dagger})^{-1}l_y]\, d\tau}
+(I-D^{\dagger})^{-1}l_y(t)
}\end{boxed}
\label{wadjtot}
\end{equation}
%

\vspace{0.5cm}
{\it {\bf \Minik} La solution au problème de coût$\_\Psi=\varphi_i(T)$ découle de~(\ref{vadjtot}). Physiquement,
coût$\_\Psi$ ne peut dépendre que de $\eta(t)$. Il ne peut donc être sensible à un transfert que dans la
mesure (voire sémantique ci-après) où cette variation d'un $\varphi_i$ ne serait pas causée par un
$\Delta \eta (T^-)$ : il ne peut donc s'agir que d'un pulse en $l_y$, que l'on remonte dans l'équation de $v$,
d'où il résulte qu'il faut initialiser $v(T)$ avec la i-ème colonne de $C(I-D^{\dagger})^{-1}$.

De manière plus générale, on est conduit à prendre}
%
\begin{equation*}
v(T) = \partial_{\eta} \Psi^{co\hat{u}t} + \sum_{i=1}^m \partial_{\varphi(i)} \Psi^{co\hat{u}t} \ket{C(I-D^{\dagger}(T))}_i
\end{equation*}
%
{\it La vérification pourra se faire par comparaison avec la variable $sigma_i(T)$ et $\Psi(T,0)$
pour des C.I., avec $\sigma$ pour un pulse. Et ensuite, avec le calcul de l'extension pour les step.}

%
\subsubsection*{La variation complète de la fonction de coût $J$}
% ..............................................................
On a montré l'équivalence entre le système des propagateurs de l'adjoint et ses EDP. Par contre, le
passage de l'expresssion de la variation de $J$ de sa forme brute en $\Deta, \Dfi$ aux variables adjointes
et propagateurs est utile pour l'interprétation fine de leur signification.
Il y a malheureusement une difficulté dans la démonstration, du fait que dans l'expression étendue de $dJ$, on remplace
$x$ et $y$ par leur valeur en fonction de $\Phi$ et $\Psi$, alors que $w$ se repère en fonction de $\Psi'$;
et comme on passe peu facilement de l'un à l'autre, je me permets de différer le calcul complet en attendant
un environnement propice (genre le cac 40 au-dessus de 5000 ?).
L'expression complète de $dJ$ est donnée par la méthode Cacuci~(cf Adjoint et \Minik) :
%
\begin{eqnarray}
dJ &=& \scal{v(0)}{x(0)} \nonumber\\
    &+&\int_0 ^T \{\bra{v(\tau)} B^u (\tau) \ket{u^x (\tau)}
    + \scal{l_{ux}(\eta(\tau),h^x(\tau))}{ u^x(\tau)} \}\, d\tau \nonumber \\
    &+&\!\!\!\!\int_0 ^T \{\bra{w(\tau)} D^u (\tau) \ket{u^y(\tau)}
       + \scal{l_{uy}(\eta(\tau),h^y(\tau))}{ u^y(\tau)} \}\, d\tau
\label{duuj}
\end{eqnarray}
%
%
\subsection{Vers une sémantique de l'adjoint}
% -------------------------------------------
%
\subsubsection*{Les variables adjointes}
% .....................................
La formule~(\ref{duuj}) fournit leur sens :
%
\begin{itemize}
\item un pulse de $u^x$ portant sur une seule composante d'état s'exerce sur
$\partial_t \eta_k \Rightarrow v_i(\tau)$ représente la sensibilité de $J(T)$ à un step
sur $\eta_i(t)$ démarrant à $t=\tau$.
\item  et $w_k(\tau)$ la sensibilité de $J$ à un pulse sur $\varphi_k$ à $t=\tau$.
\end{itemize}
%
(On prend $B^u=I$ et $D^u=I$ et on retient une seule composante perturbée par $u(t)=\delta(t-0^+$).
%
\subsubsection*{Un commerce équitable}
% .....................................
En ce qui concerne les EDP du système adjoint, examinons l'influence de la
matrice $C^{\dagger}$ par exemple~:
%
\begin{itemize}
\item  une ligne donne l'influence de $\Deta$ sur une composante $\Dfi_k$ de $\Dfi$;
\item une colonne celle de $\Deta_i$ sur $\Dfi$;
\end{itemize}
%
La question est de remonter au vrai responsable d'une variation de $J$.
Ainsi, si $J$ dépend de $\varphi_k$ ($w_k\ne 0$), et s'il se trouve influencé par
$\Deta_i$, alors c'est $v_i$ qui doit en bénéficier, c'est bien ce qu'exprime
le produit $\scal{w(t)}{C^{\dagger}_i}(t)$ dans l'équation donnant
$\partial_t \bra{v_i}$.
%
\subsubsection*{Les propagateurs de l'adjoint}
% ...........................................
L'examen des égalités~(\ref{vadjtot},\ref{wadjtot}) montre que
%
\begin{itemize}
\item $\Phi^{\dagger}(T,t)$ propage la sensibilité de $\nabla_{\eta(t)}J(T)$ en arrière.
\item  et $\Psi'^{\dagger}$ propage la $\nabla_{\eta(t)}J(T)$ et son impact sur $w(t)$.
\end{itemize}
%
Alors, le système~(\ref{sltctefadj}) est le système des sensibilité de $v, w$ à une variation
de la sensibilité finale immédiate de $J$ à $\Deta(T)$. Pour $\Phi(t,\tau)$, on a la dualité propagation
de sensibilité à $\eta$ en avant, \cad de $\tau$ à $t$, avec $\Phi^{\dagger}(\tau,t)$ qui propage celle de $\eta(t)$
en arrière, \cad de $\tau$ vers $t$. Mais pour le couple $\Psi, \Psi'$, ils ont peu de rapport, puisque le premier
propage la sensibilité des transferts aux états, alors que le second propage en arrière celle des états aux
transferts.

Une relation entre $\Psi$ et $\Psi'$ découle de leurs définitions :
%
\begin{equation}
\Psi(t,\tau)=(I-D)^{-1}C^{\dagger}(t)\, \Phi(t,\tau)
\label{sltctefpsi} 
\end{equation}
%
et
%
\begin{equation}
\Psi'(t,\tau)=\Phi(t,\tau)\,B(I-D)^{-1}(\tau)
\label{sltctefpsip} 
\end{equation}
%
qui montrent que
%
\begin{equation}
\Psi(t,\tau)\Psi'(\tau,t)=(I-D)^{-1}C^{\dagger}B(I-D)^{-1}(t)
\label{psipsip} 
\end{equation}
%
qui semble exprimer comment les cellules couplent entre eux les transferts de manière instantannée.
Ceci dit pour insister sur le peu d'évidence de relation sémantique entre les deux propagateurs.
On devrait en comprendre un peu mieux la relation au cours de la démonstration de la formule~(\ref{duuj}).
\newpage
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Propagateurs du TEF et propriétés dynamiques du système}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
On commence cette partie avec ce qui peut prétendre un un prototype méthodologique
de l'application des propagateurs à l'analyse dynamique des systèmes, et aussi
parce qu'on l'utilise pour proposer une approche du gain de rétroaction pour les
systèmes de Floquet.
%
\subsection{L'analyse de Floquet ({\it inspirée de Mich\ae l Ghil})}
\label{floquet}
%
{\it Cette partie a été réécrite le 14/04/06. La première version était essentiellement une
paraphrase de l'article originel, en étendant le formalisme à la matrice des vecteurs
de Floquet et en corrigeant quelques erreurs de typo ($T\rightarrow t$ à partir des formules~A16).
Après discussion avec Mich\ae l, la nouvelle démonstration prend en compte le fait
qu'un système de Floquet n'est pas stationnaire, et ainsi que la notation $\Phi(t)$ est
impropre. Enfin, les remarques de fin de ce texte suggèrent une approche un peu différente
d'où le nouveau paragraphe. Augmentations du 23/10/06~: Wronskien et partie factorisation.}
                                                        
\medskip
L'analyse de Floquet s'applique aux systèmes dynamiques $\partial_t x = A(t)\, x$ lorsque
la matrice d'avance de phase est périodique : $A(t+T)=A(t) \quad\forall t$.
Les propriétés du propagateur associé sont classiquement obtenues en considérant la
matrice $X(t)$ des solutions fondamentales du système --- qui forme une base de toute les
solutions au système. On suppose d'abord que $X(0)=I$ pour simplifier l'écriture.
Alors, on a 
\begin{eqnarray}
 \partial_t X(t+T) &=& A(t)\,X(t+T) 
\end{eqnarray}
%
qui prouve que $X(t+T)$ est également solution, et peut donc s'exprimer dans la base
 $X(t)$~:
%
\begin{eqnarray}
 X(t+T)&=&X(t)\, M 
\label{xpm}\end{eqnarray}
%
où $M$ est une matrice constante (et régulière, puisque les $X$ le sont par définition).
% .........................................
\subsubsection*{Factorisation de Floquet}
% .........................................
On définit la matrice constante $C$ (sur le corps des complexes) telle que $\displaystyle X(T)=e^{CT}$,
et on a 
\begin{eqnarray}
 X(T)&=&M=e^{CT}     
\end{eqnarray}
%
on peut alors remarquer qu'en définissant la nouvelle matrice $B$ telle que :
%
\begin{eqnarray}
 X(t)&=&B(t)\, e^{Ct}  \nonumber\\
 &\Rightarrow& B(t+T)=B(t) 
\label{bct}\end{eqnarray}
%
On a en effet
%
\begin{eqnarray}
X(t+T)&=&B(t+T)e^{Ct}e^{CT}\nonumber\\
     &=&X(t)\, e^{CT}  \nonumber\\
     &=&B(t)e^{Ct} e^{CT}  \nonumber
\end{eqnarray}
%
La matrice $M=exp(CT)$ est dénommée {\bf matrice de monodromie}\footnote{qui renvoie au sens d'une
dérive monotone de la réponse périodique je suppose.}.
On a ainsi décomposé la solution fondamentale en une partie périodique $B(t)$ et une partie à coefficients
constants $\displaystyle e^{Ct}$. C'est ce qui est appelé la {\bf factorisation de Floquet}.

La stabilité du système est cellée dans les modules des valeurs propres de $C$. On peut utilement
remarquer que par définition, on a 
%
\begin{eqnarray}
 X(t+T)&=&X(t)\,M  \nonumber\\
 X(t+T)X(t)^{-1}&=&X(t)\,M\,X(t)^{-1}  \nonumber\\
 \Phi(t+T,t)&=&X(t)\,M\, X(t)^{-1}\quad\forall t  \nonumber
\label{bctt}\end{eqnarray}
%
si bien que toute propagation\footnote{on rappelle que $\Phi(t,0)=X(t)\, X^{-1}(0)$.}
sur un intervalle $T$ met en \oe uvre une matrice semblable à une même matrice $M$. En
conséquence, les v.p. correspondant à ces transitions par $\Phi(\tau+T,\tau)$~(dîte ``matrice
maille\footnote{cours de Leleux à l'INSTN, 1976, fourni par Alain Jejcic.}'') sont les mêmes.
On peut ainsi caractériser
la stabilité des systèmes de Floquet en analysant une matrice maille prise à partir d'un instant
quelconque, en calculant la $C=\frac{1}{T}\log M$ correspondante. Rien n'indique cependant que
les vecteurs propres aient quelques rapport entre eux, mais ça reste à voir (on le verra plus loin).

La matrice constante $M$ est réelle pour les modèles d'états ($A$ réelle), mais ce n'est pas forcément
le cas de $C$. Cette question est étudiée par les chercheurs en commande optimale, car pour les
applications pratiques il est utile de passer à une factorisation réelle. Ils montrent\footnote{Montagnier
{\it et al} INT. J. CONTROL, 2004} que $C$ est réelle pour les matrices mailles sur $2T$,
et qu'il est toujours possible de trouver une matrice $Y$, dite matrice de Yakubovich, telle que
$\log YM$ soit réelle, avec $(Y\Phi)^2=\Phi^2$, ce qui permet {\it in fine} de caractériser
le système sur seulement une période. Ils posent $Y\Phi=exp(T\,F_Y)$, et montrent alors
que $B_Y(t+T)=B_Y(t)exp(t\,F_Y)B_Y(T)exp(-t\,F_Y)$.
{\it Nous ne suivrons pas plus ici ce fil sauf avis contraire.}

Du fait que tous les propagateurs ``maille'' $\Phi(t+T,t)$ sont semblables, on peut tirer une
propriété maille du Wronskien~:
%
\begin{eqnarray}
 \Phi(t+T,0)&=&\Phi(t+T,t)\Phi(t,0)  \nonumber\\
 W(t+T)&=&W(t) \,det(M)  \nonumber\\
 W(t+T)&=&W(t) e^{T\, Tr(C)}  \nonumber
\label{wronskF}\end{eqnarray}
%
et comme pour le Wronskien, on a $W(T) = exp\int_0 ^T Tr A(t) dt$, celà permet
d'identifier le déterminant de $M$ à cette intégrale prise sur la première période\footnote{cf
SLT\_Al1, on rappelle que $\partial_t W(t) = Tr A(t) W(t)$.}.

Établissons enfin la relation de Floquet sur le propagateur~: 
%
\begin{equation}
\forall t,\tau :\Phi(t+T,\tau+T) = \Phi(t,\tau)
\label{propaF}\end{equation}
%
qui s'écrit en effet $X(t+T)X(\tau+T)^{-1} = X(t)MM^{-1}X(\tau)^{-1}$. Alors que la stationnarité
du propagateur impliquerait la relation~$\forall \tau :\Phi(t+\tau,s+\tau) = \Phi(t,s)$,
on a seulement ici qu'elle n'est vraie que pour~$\tau = T$.

% .........................................
\subsubsection*{Vecteurs de Floquet}
% .........................................
Reprenant la lecture en parallèle de Mich\ae l, la propriété~(\ref{bct}) conduit
à une caractérisation plus fine du système sur une simple période.
On considère alors les vecteurs $Y$ définis à partir des éléments propres du propagateur en $t=T$
--- on pose de plus $\sigma_i =e^{\Lambda_i T}$ ~:
%
\begin{eqnarray}
 \Phi(T,0)Z&=& Z\,e^{\Lambda T} \nonumber\\
 Y(t)&\stackrel{def}{=}&\Phi(t,0)\,Z  \nonumber\\
 Y(0)&=&Z  \nonumber\\
\end{eqnarray}
%
La relation de $Y(t)$ avec sa réplique à $t+T$ est alors
%
\begin{eqnarray}
 Y(t+T)&=&\Phi(t+T,0)\,Z = \Phi(t+T,T)\,\Phi(T,0)\,Z   \nonumber\\
       &=&\Phi(t,0)\,Z\, e^{\Lambda T}    \nonumber\\
 Y(t+T)&=& Y(t)\, e^{\Lambda T}
\label{floq1}\end{eqnarray}
%
Par ailleurs,  $Y$ s'intègre comme le propagateur, car
%
\begin{eqnarray}
 \partial_t Y &=& A(t)\,\Phi(t,0)\, Z=A(t)\, Y(t)
\label{dty}\end{eqnarray}
%
Ainsi~(\ref{floq1}), $Y(t)$ n'est pas périodique mais est ``amorti'' à chaque période par $\displaystyle e^{\Lambda T}$.
On a simplement amélioré la décomposition donnée par~(\ref{bct}) en découplant les modes d'amortissement.

{\it On peut déjà remarquer que le résultat essentiel de l'analyse de Floquet est acquis~: pour un système
autonome, la relation~(\ref{floq1}) est vraie $\forall t$, alors que pour les systèmes non-autonomes
les éléments propres sont dépendants de $t$. Le cas périodique est intermédiaire~: $Y$ est la
matrice des solutions fondamentales du système ayant comme C.I.~: $Y(0)=Z$. Mais alors que
le système n'est plus autonome, la relation~(\ref{floq1}) est vérifiée pour tout $t$ multiple
de la période $T$.}

Il est tentant de construire à partir des $Y$ un autre vecteur non amorti pour capter
la structure du champ associée aux phénomènes fluctuants; ce sont les vecteurs de Floquet $\Psi^F$
que l'on définit en ``dés-amortissant'' $Y$ :
%
\begin{eqnarray}
 \Psi^F (t) &\stackrel{def}{=}& Y(t)e^{-\Lambda t} = \Phi(t,0)Z e^{-\Lambda t}
\label{vfloq}\end{eqnarray}
%
on obtient bien un vecteur périodique, car :
%
\begin{eqnarray}
 \Psi^F (t+T) &=& Y(t+T)\, e^{-\Lambda T}e^{-\Lambda t}   \nonumber\\
             &=& Y(t)e^{-\Lambda t}=\Psi^F (t)   \nonumber
\end{eqnarray}
%
C'est l'un au moins de ces vecteurs que l'on tente de déterminer en avant, mais notre développement considère
l'ensemble de ces vecteurs par souci de généralité\footnote{d'où les permutations de facteurs
avec l'article de Mich\ae l.}~:
%
\begin{eqnarray}
 \partial_t \Psi^F &=& AY \,e^{-\Lambda t}- Y(t)\Lambda e^{-\Lambda t} \nonumber\\
                   &=& A\Psi^F (t) - \Psi^F e^{\Lambda t}\Lambda e^{-\Lambda t}  \nonumber\\
\label{floq2}\end{eqnarray}
%
et du fait de la diagonalité des trois matrices de droite, le résultat final est
%
\begin{equation}
\boxed{
\partial_t \Psi^F = A\Psi^F (t) - \Psi^F \Lambda \quad {\mbox avec}\,\Psi^F(0)=Z   
}
\label{floqfin}\end{equation}
%
Ainsi, connaissant la période $T$ de la matrice d'avance de phase d'un système dynamique linéaire
(ou d'un SLTC), et ayant calculé un ou plusieurs V.P. du propagateur
à $t=T$, on est capable d'intégrer en avant un ou plusieurs vecteurs de Floquet.

Dans le papier de Mich\ae l\footnote{Strong {\it et al, JAS} {\bf 52}, 15 d'Août 95.},
le SLTC est obtenu par soustraction du cycle annuel moyen du modèle
sur 100 ans d'intégration. Le  modèle consiste en une dynamique simplifiée de
l'atmosphère (du genre Saint-Venant), résolu sur une base spectrale, mais peu importe.
La stabilité du cycle
se fait par analyse des parties réelles et imaginaires de $\Lambda$.
L'analyse est véritablement pertinente, puisqu'on obtient un cycle annuel
des variables météos modulé par une activité intra-saisonnière ``moyenne''~($\Psi^F$).

Mich\ae l {\it et al} trouvent
d'une part deux modulations oscillantes amorties, avec des temps d'amortissement de 28 et 148 jours
et une troisième, instable, déstabilisant exponentiellement le cycle saisonnier et excité par les
Jet Streams en hiver (temps de croissance de 54 jours). L'analyse étant conduite sur une centaine d'année,
avec un modèle de dimension 231, exhibe en réalité seulement trois figures principales de
perturbation\footnote{sur 230 possibles, puisque l'une d'elles est associée au cycle annuel lui-même
avec un exposant de Floquet nul. On n'a malheureusement pas d'analyse de la paire de Floquet associée,
car le papier est centré sur la prévision numérique.}.

Ce qui permet aux auteurs
de conclure à une instabilité principale de 28 jours de temps de croissance caractéristique,
à l'origine d'une oscillation
intra-saisonnière, bien observée, de 40 jours de l'Hémisphère Nord (et trouvée sur
$\Psi^F(t)$) et confirme son activité
hivernale au sens large.

\subsubsection*{Floquet et \Minik}
{\it L'intégration du système de Floquet exige bien sûr des calculs en complexe.
Dans la mesure où $Y(t)$ s'intègre comme $\Phi(t,0)$ comme le montre~(\ref{dty}), on passe au TEF
immédiatement, et on peut
en toute simplicité initialiser $\Phi_t(0) = Z$ dans le {\bf ZINIT} et calculer $\Psi^F(t)$
dans {\bf ZSTEER} en reprenant sa définition~(\ref{vfloq}). Cette méthode est ainsi nettement
plus efficace que de passer par l'équation~(\ref{floqfin}).

 Une alternative évite de passer de
manière trop systématique l'ensemble du code en complexes. On envisage plutôt une nouvelle
séquence de calculs post-extensions dans laquelle différents systèmes dont l'avance dépend
des Jacobiennes seront intégrés. Alors, il suffit de remarquer que $\Psi^F(t)=\Phi(t,0)\,Z\,exp(\Lambda t)$
et d'effectuer ce calcul en complexes à partir de l'intégration de l'extension $\Phi$ standard.}

\bigskip
{\bf solution proposée}\hspace{0.12cm}Partant de $\Psi=\Phi Z e^{-\Lambda t}$, on propose une intégration
du système partiel $\Phi^r = \Phi \exp(-\lambda^r t)\,\in\Re$, qui calcule ainsi
un propagateur réduit par le plus grand facteur de Floquet\footnote{cf l'algorithme dît {\bf roduct}
du premier rapport de Céline.}. Le calcul complet des
vecteurs de Floquet se fait alors en complexes~: $\Psi=\Phi^r Z exp(-\Lambda^i t)$, en ne retenant
que la partie imaginaire du plus grand ainsi que tous les autres exposants de Floquet. Ceci permet
de ne pas faire diverger le propagateur en calculant des termes qui d'une part croissent en
$exp(\lambda^r t)$ auquels on appliquerait {\it a posteriori} la réduction $exp(-\lambda^r t)$
du calcul des vecteurs.

Explicitons ces calculs dans \Minik. On se place après calcul des avances de {\bf oker}, en supposant
que $\Phi^r(t,0)$ est en travail. L'avance de ce propagateur réduit s'écrit
%
\begin{equation}
\partial_t \Phi^r = A^\sharp\Phi^r (t,0) - \Phi^r \lambda^r \quad {\mbox avec}\,\Phi^r(0,0)=I;   
\label{phireduit}\end{equation}
%
On laisse {\bf oker} avancer classiquement les colonnes des extensions (rangées dans {\bf Phit\_t})
et mener ainsi au calcul de $\delta X$~:
%
\begin{equation*}
(I-\dts A^\sharp)\delta X = \dt A^\sharp\Phi^r 
\end{equation*}
%
alors que l'avance du réduit demande la résolution de~:
%
\begin{equation*}
\left[I-\dts (A^\sharp-\lambda^r I)\right]\delta\ket{\Phi^r} = \dt (A^\sharp-\lambda^r I)\ket{\Phi^r}
\end{equation*}
%
Il faut compléter le calcul classique en construisant la solution
$\delta Y$ telle que $\delta\Phi^r=\delta X +\delta Y$, soit~:
%
\begin{equation}
\left[I-\dts (A^\sharp-\lambda^r I)\right]\delta\ket{Y} = -\dt \lambda^r(\frac{1}{2}\delta X+\ket{\Phi^r})
\label{phiredfin}\end{equation}
%
Les fans de l'emboîtement pourront l'appliquer en introduisant les variables
$\delta Z = C^\dagger\delta Y + D\delta Z$ avec
%
\begin{equation}
\left[I-\dts(A- \lambda^r I) \right]\delta\ket{Y}-\dts B\delta\ket{Z} = -\dt \lambda^r(\frac{1}{2}\delta X+\ket{\Phi^r})
\end{equation}
%
comme parangon de cellule ($A^\sharp=A+B(I-D)^{-1}C^\dagger$). Avec ce propagateur réduit, on calcule
les Floquet par la formule~: $\Psi=\Phi^r Z exp(-\Lambda t)$ en complexes, où on a annulé le plus grand
exposant réel.

\paragraph{meilleur calcul ?} On pourrait plus élégamment utiliser le propagateur $\Phi$ pour calculer
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
la matrice des vecteurs de Floquets, de même nombre de colonnes à calculer en tenant compte que
les éléments complexes sont conjugués. Les matrices du TEF restant réelles, on propose un calcul
en deux temps~: une avance classique colonne par colonne, qui ne mélange guère les éléments réels
avec les imaginaires, suivie d'une correction par les $\lambda$ --- comme précédemment donc, mais en mieux.

On suppose que $\Psi^r(t)=\Psi^F(t)$ --- \cad formées des mêmes colonnes --- et
$\Psi^r(t+\tau)=\Phi(t+\tau,t)\Psi^r(t)$, ce calcul de $\delta\Psi^r$ séparant les deux étant effectué
dans $\bf oker$. On a alors
%
\begin{eqnarray}
\Psi^F(t+\tau) &=& \Phi(t+\tau,t)Ze^{-\Lambda(t+\tau)} \nonumber\\
\Psi^F(t+\tau) &=& \Phi(t+\tau,t)\Psi^F(t)e^{-\Lambda(\tau)} \nonumber\\
\Psi^F(t+\tau) &=& (\Psi^F(t)+\delta\Psi^r)e^{-\Lambda(\tau)} \nonumber
\label{psiminik2}\end{eqnarray}
%
d'où il suit que 
%
\begin{equation}
\Psi=\Psi^r \exp(-\Lambda\tau).
\end{equation}
%
On a ainsi qu'une corrections avec matrice diagonale. Alternativement, on pourrait avancer
simplement $\Phi(t,0)Z$ et corriger par $\Psi^F(t)=\Phi(t,0)Z\exp(-\Lambda t)$ pour les
exposants très petits --- en ne rangeant alors pas $\Psi^F$ dans le tableau des $\Phi$.

Profitons en pour changer de notation, avec pour vecteur classique de Floquet~: $\Phi^F$, de manière à
dégager le Vecteur de Floquet des transferts sous sa forme $\Psi^F$. D'accord, on en sera un tant
soit peu perturbé, mais il faut bien rendre sa primauté au TEF, ce que Gaston lui-même ne
pouvait prévoir. 

{\it la suite dans les algorithmes des Cahiers de la 102.}
%
% ............................................................................................
\subsubsection*{Remarques sur l'analyse de Floquet pour caractériser la dynamique d'un système}
% ............................................................................................
%
Le cas étudié par
Mich\ae l prend le problème à revers, puisque les résultats obtenus par l'analyse sont ``validés''
par comparaison avec un corpus de connaissance du climat. L'analyse est intéressante en ce qu'elle
fournit une interprétation rigoureuse et quantifiée de mécanismes observés. Mais pour prendre déjà
le problème de la détermination d'une partie périodique d'un système à l'étude, il pourra intrinsèquement
être périodique (comme Lotka-Volterra), pseudo-périodique (comme Lorenz sur un court horizon), ou encore
à coefficient(s) périodique(s) (l'oscillateur de Mathieu), ou forcé par une source cyclique.
On conçoit donc, comme à l'habitude, que l'analyse de Floquet ouvre à de nouvelles solutions, mais
que le plus difficile reste de trouver un problème ... je compte sur vous tous\footnote{\it Amicus certus
in re incerta cernitur}, et comme on n'est si bien servi que par soi-même, signalons que
ce sujet a été bien dégrossi par Céline Conrardy (voir ses deux rapports 2006-2007). L'étude se
poursuit activement à la fois pour interprèter les résultats de StepH sur la date d'application
d'un choc type évènement extrême en rapport avec les cycles économiques. De plus, le modèle planétaire
global de StepH (ClimSI) pour la caractérisation de la rétroaction vapeur d'eau, implémenté dans ZOOM
a été écrit sous \Minik et soumis à des forçages périodiques dans le cadre
du stage de Pablo Garcia Ramos au LMD (Mai-Juin 2007, stage de l'ENSTA).

La justification de l'existence d'un facteur de Floquet unité strict caractérisant les systèmes
périodiques, donc dans un cadre plus restrictif que Floquet qui ne porte que sur la périodicité
de $A(t)$, est liée au fait que la vel d'évolution de l'état est un vecteur de Floquet. On a
en effet~:
%
\begin{eqnarray}
 \zeta &=& \partial_t \eta = g(\eta)\quad\Rightarrow \nonumber\\
 \partial_t \zeta &=& \partial_\eta g\,\partial_t\eta = A(t)\,\zeta\quad [-\,0\,\zeta]\nonumber
\end{eqnarray}
%
qui montre que $\zeta$ avance comme un vecteur de Floquet avec un exposant ($\lambda$) nul~(cf~\ref{floqfin}).
On peut tout autant
dire dans la couche physique que cette propagation $\zeta(t)=\Phi(t,0)\zeta(0)$ étant supposée
périodique, $\zeta(T)=\Phi(T,0)\zeta(0)=1\,\zeta(0)$, ce qui explicite la proposition précédente.

Il reste que à l'usage (Céline avec Lorenz-63 et Stéphane avec NeDym-EvEx), la difficulté est de déterminer
un critère de périodicité d'une trajectoire. On est d'abord parti de l'approche naïve consistant à
minimiser la distance au premier retour~: on crée une {\bf probe} donnant cette distance~:
%
\begin{verbatim}
set_probe   " les dernières composantes ne sont pas périodiques"
< eqn: mu_dist = quad_dist(8,eta(1),eta_ref(1));
>;
\end{verbatim}
%
on a retenu l'état initial dans eta\_ref) et au minimum, on détermine une estimation de la période
et une appréciation de la périodicité.

Bien évidemment, on tente un fit pour améliorer, soit en déterminant les conditions initiales
pour les mettre sur le cycle attracteur, soit un ou plusieurs paramètres. On va voir concrètement
comment faire, mais l'expérience nous a montré que la détermination de la période était au moins
aussi importante que celle des paramètres. Céline a montré que la méthode proposée par Kazantsev
est acceptable. Prenant le cas des conditions initiales, le propagateur complet $\Phi$ donne
la sensibilité de l'état ``final'' qui est celui du minimum au premier retour. Pour ajouter la sensibilité
de cet état à la période, il suffit de considérer le vecteur $\partial_t\eta$ à $t=T$.
On cherche à minimiser la norme de~:
%
\begin{equation}
\ket{\eta(T)}+[\Phi(T,0);\partial_t\eta(T)]\ket{\Deta(0),dT} -\ket{\eta(0)+\Deta(0)}
\end{equation}
%
soit encore~:
%
\begin{equation}
\ket{\eta(T)-\eta(0)} +[\Phi(T,0)-I;\partial_t\eta(T)]\ket{\Deta(0),dT}
\end{equation}
%
Alors, avec le vecteur $dX_0$ formé de $\Deta(0)$ et $dT$ modifiant la période et
l'opérateur de sensibilité $\wp_{\mbox{\tiny{dist}}} = [\Phi-I;\partial_t\eta]$, on a à minimiser~:
%
\begin{equation}
||\wp_{\mbox{\tiny{dist}}}(T,0)dX_0 + (\eta(T)-\eta(0))|| 
\end{equation}
%

Ainsi, la mise à jour après
fit des conditions initiales est complétée par une meilleure estimation de la période, celle-ci
étant la clé d'un calcul pertinent du pas de temps {\bf dt}. Car il s'avère que le passage
au minimum est crucial, et qu'il ne s'agit pas de le rater par un choix mauvais des pas de calcul !
On prendra ainsi un sous-multiple de la période estimée, en avançant à grand pas la trajectoire
loin du minimum et en raffinant quand on s'en approche.

On trouvera cette procédure appliquée
aussi bien dans {\bf lorhcl}~\footnote{cf la +SELF,IF=KAZANTSEV dans \$ZSTEP.} que dans {\bf EvEx},
avec appel à la routine {\bf sgels} de LaPack (least-square fit). Comme pour tout fit, les calculs
nécessitent la double précision\footnote{remarque~: dans le cas où on doit exclure d'attribuer des valeurs négatives
aux C.I.~(pour des raisons physico-numériques), on pourra diminuera, lors premières itérations du fit,
les modifications des paramètres en applicant un poids inférieur à l'unité, cf la variable {\bf poids\_kaz}.}.

\bigskip
La leçon à tirer des résultats n'est pas fameuse, car un fit meilleur que $10^{-18}$ de la
distance au minimum ne fournit un multiplicateur égal à l'unité qu'à une précision difficilement
meilleure que $10^{-3}$ ! Et ainsi, on trouve des vecteurs de Floquet qui semblent
mal initialisés et ne sont que bien peu périodiques, ce qui fait mauvais effet.

D'où l'idée de fitter non pas sur une distance minimum entre états mais sur la vel, celle-ci s'avérant
coïncider avec le V.P. associé à 1 du propagateur maille. On calcule ainsi un écart
sur cette vitesse~:
%
\begin{verbatim}
set_probe   " les dernières composantes ne sont pas périodiques"
< eqn: mu_dist = quad_dist(8,dot_eta(1),dot_eta_bef(1));
>;
\end{verbatim}
%
avec la variable de \Minik~{\bf dot\_eta} qui est fournie avec la version 102\footnote{cf manuel, le
calcul de cette variable a été ajouté pour permettre ce calcul en phase avec les autres variables.}.
Il faut déterminer les sensibilités associées pour minimiser cette fois l'écart entre
les vel $=\partial_t\eta=g(\eta)$~:
%
\begin{equation}
g(\eta(T+\Delta T)+\Phi_T\Deta_0)-g(\eta_0+\Deta_0)
\end{equation}
%
que l'on développe~:
%
\begin{equation}
g(\eta(T))+A_T[\partial_t\eta\Delta T + \Phi_T\Deta_0]-(g(\eta_0)+A_0\Deta_0)
\end{equation}
%
ce qui fait que le nouvel opérateur de sensibilité est à présent
%
\begin{equation}
\wp_{\mbox{\tiny{vel}}} = [A_T\Phi_T-A_0;A_T\partial_t\eta]
\end{equation}
%
qui se simplifie si on accepte de remplacer $A_0$ par $A_T$, qui convergent l'une vers
l'autre\footnote{on a cependant permis de conserver une alpha\_ref dans le code, gérée
par un flag {\bf ZdotEta}, cf manuel et exemples.}.
On trouve alors une simple multiplication de l'opérateur sur la distance par $A_T$ pour
passer au fit sur l'écart entre vels~:
%
\begin{equation}
\wp_{\mbox{\tiny{vel}}} = A_T[\Phi_T-I;\partial_t\eta]=A_T\wp_{\mbox{\tiny{dist}}}
\end{equation}
%
il reste à valider cet algorithme\footnote{Al1, 30 Mars 2007}.

{\bf Remarques finales} Comme suggéré par les commentaires de la {\bf set\_probe}, il est
possible de fitter également des composantes non périodiques (genre compteur temporel)
de l'état. Pour la détermination en sus de paramètres, il suffit d'étendre le propagateur
par le tableau des sensibilités paramétriques ({\bf Phi\_p}) en utilisant l'instruction
{\bf free\_parameters}, ce qui est montré dans l'exercice dit {\bf refiodic}, où on détermine
les C.I. ET le Rayleigh réduit d'un Lorenz-63 pour le rendre périodique.
%
\subsubsection*{Prolongements de Mai 2007}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Les résultats formels qui suivent auraient dû apparaître d'emblée, mais nous devons avouer
qu'ils nous ont été suggérés des résultats de l'application de la théorie de Floquet à
EvEx\footnote{StepH et Al1, le 15 Mai 2007.} !

Ils concernent tout d'abord {\bf l'universalité} des éléments de Floquet, justifiant {\it in fine}
le choix arbitraire de la date des C.I. dans l'article de Mich\ae l~(à un facteur d'amortissement
près quand même).

Considérons deux décompositions de Floquet obtenues avec un décalage de $\tau$ des C.I.~:
%
\begin{eqnarray}
 \Phi(T,0)Z &=& Z\,\Sigma \nonumber\\
 \Phi(T+\tau,\tau)Z' &=& Z'\Sigma' \nonumber
\end{eqnarray}
%
et décomposons la matrice maille décalée
%
\begin{eqnarray}
 \Phi(T+\tau,T)\Phi(T,0)\Phi(\tau,0)^{-1}Z' &=& Z'\Sigma' \nonumber\\
 \Phi(\tau,0)\Phi(T,0)\Phi(\tau,0)^{-1}Z' &=& Z'\Sigma \nonumber\\
 \Phi(T,0)\quad\Phi(\tau,0)^{-1}Z' &=& \Phi(\tau,0)^{-1}Z'\,\Sigma \nonumber
\end{eqnarray}
%
où on a appliqué la propriété de périodicité~(\ref{bctt}) sur le propagateur.
On retrouve aussi que les deux matrices maille sont semblables et ont ainsi les mêmes v.p.
($\Sigma'=\Sigma$).
On constate alors
que $\Phi(\tau,0)^{-1}Z'$ est la matrice des V.P. de $\Phi(T,0)$ qui n'est autre que $Z$~; ainsi
%
\begin{eqnarray}
\Phi(\tau,0)^{-1}Z' &=& Z \nonumber\\
Z' = \Phi(\tau,0)Z &=&\Psi^F(\tau)\Sigma
\label{uniF}\end{eqnarray}
%
Ce résultat est évident si on considère qu'un vecteur de Floquet $\ket{\psi^F(t)}$ représente la perturbation
à $t$ provoquée par une perturbation initiale $\ket{\psi^F(0)}=\ket{z}$, au facteur $\sigma=\exp(\lambda t)$
près.

{\bf remarque subsidiaire}~: attention, car ce résultat montre justement que le choix d'une date
de démarrage déterminant $Z$ est crucial, car $\Phi(\tau,0)$ peut devenir quasi-singulier
pour $\tau>t_{crit}$, date à partir de laquelle des phénomènes peuvent s'être fortement amortis.
Ce qui permet de remarquer que l'analyse de Floquet concerne les effets intra-T qui se propagent
au'delà de $T$ ! (En climato, des phénomènes inter-intra-annuels ...)

\paragraph{Vecteurs propres du propagateur~:} Des relations entre propagateur et Floquet~:
%
\begin{eqnarray}
\Phi^F(t) &=& \Phi(t,0)Z\exp(-\Lambda t)\nonumber\\
\Phi(t,0)   &=& \Phi^F(t)\exp(\Lambda t)Z^{-1}\nonumber
\end{eqnarray}
%
on déduit que
%
\begin{eqnarray}
\Phi(t+T,t) &=& \Phi(t+T,0)\Phi(t,0)^{-1} \nonumber\\
   &=& \Phi^F(t)\exp(\Lambda T)\Phi^{-F}(t)\nonumber
\end{eqnarray}
%
qui dit que\footnote{remarque d'octobre 2009.} les vecteurs de Floquet restent V.P. du propagateur
 sur une maille $\forall t$.

\paragraph{Le cas de la vel~:}
en particulier, en rappelant que la V.P. maille correspondant à la v.p. unité coïncide avec la vel,
on a $\ket{\psi^0(\tau)}=\Phi(\tau,0)\ket{\psi^0(0)}$, ou encore en décomposant le propagateur~:
%
\begin{eqnarray}
\ket{\psi^0(t)} &\stackrel{?}{=}& \Phi(t,0)\ket{z^0}\nonumber\\
\ket{\psi^0(t)} &\stackrel{?}{=}& \Psi(t)e^{\Lambda t}Z^{-1}\ket{z^0}\nonumber\\
\ket{\psi^0(t)} &\equiv& \ket{\psi^0(t)}\nonumber
\end{eqnarray}
%
par sélection d'une seule colonne. On retrouve encore que la vel avance de manière identique
au vecteur maille de Floquet, avec coïncidence à $t=0\, [T]$, ce qui montre que {\bf le vecteur
maille de Floquet n'est autre que la vel}. Ceci à une normalisation près, de même que tout V.P.

Ainsi, alors que on se perdait à comprendre comment le V.P. du propagateur, bien que coïncidant
périodiquement avec la vel à $t=0\,[T]$, puis avec un passage vers la v.p. $=-1$ ou $\pm i$,
pouvait être associé à une paire de vecteurs propres, laquelle ? On a ce résultat simplicîme
en considérant la trajectoire d'un vecteur de Floquet; ce n'est peut-être pas sans rapport avec
ce qui a inspiré Floquet, mais ça reste un mystère.
%
Pour le lecteur circonspect, la figure~\ref{floevex} ci-après montre une composante de ce vecteur maille
superposée à la vel\footnote{cf Evex. On a utilisé $\deta$ pour estimer la  vel, mais on peut à présent
demander un fichier de sortie dit doteta.data.}\footnote{remarquer aussi en légende l'utilisation
de la routnie {\bf filop} qui permet d'effectuer dans gnuplot des opérations entre colonnes
issues de fichiers différents --- j;aoute cette remarque en ce jour du 3 Septembre 2009, ayant
complètement oublié cet opérateur, ce qui m'a obligé de créer des probes dans mini-Clim pour
tout avoir dans un même fichier, d'où la découverte du bug d'Août~: heureux les oublieux,
malheur aux oubliés.}.
%
\begin{figure}[ht]
\centerline{\psfig{figure=PS/EvexFloV0dota.eps,%
bbllx=52pt,bblly=52pt,bburx=550pt,bbury=768pt,width=9.5cm,angle=-90,clip=}}
\caption{Composante de l'emploi du vecteur maille de Floquet comparé à la vel.}
\label{floevex}
\end{figure}
%

Pour compléter ces considérations validant les calculs effectués avec \Minik, signalons que
les vecteurs de Floquet ont été comparés à l'écart entre trajectoires, l'une de référence,
l'autre avec perturbation initiale proportionnées à chaque $\ket{\psi^F(0)}$. On montre l'un de ces
résultats encore obtenus avec EvEx (soit 8 variables d'état)~:
%
\begin{figure}[ht]
\centerline{\psfig{figure=PS/EvexFloPertCompEmploy500.eps,%
bbllx=52pt,bblly=52pt,bburx=550pt,bbury=768pt,width=9.5cm,angle=-90,clip=}}
\caption{Composante de l'emploi du vecteur maille de Floquet comparé à l'anomalie.}
\label{floevexpert}
\end{figure}
%
%
\subsubsection*{Prolongements de Juin 2007\footnote{une chaude après-midi avec
Pablo et StepH.}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Les remarques précédentes sur la vel en tant que vecteur de Floquet ne sont pas
générales. En effet, considérons l'exercice où, partant d'un  modèle (mini-ClimSI)
construit à l'origine pour analyser la rétroaction Vapeur d'Eau en régime stationnaire,
on décide de le soumettre à un forçage périodique (ici la source short wave) pour en
faire une analyse de Floquet.

Dans ce cas, les remarques qui restent valablent concernent la périodicité de la vel,
mais PAS son association à un vecteur de Floquet. En effet, coinsidérons cette fois
le modèle d'état
%
\begin{equation}
\partial_t \eta = g(\eta,s(t)),
\end{equation}
%
avec $\forall t,\quad s(t+T)=s(t)$ le forçage périodique. La vel comme toute perturbation
initiale, avance comme
%
\begin{equation}
\partial_t \nu = A\nu +\partial_s g\, s'(t) =A\nu + B s'(t)
\end{equation}
%
et on cette fois
%
\begin{equation}
\nu(T) = \nu(0) = \Phi(T,0)\nu(0) +\int_0^T{\Phi(T,\tau) B(\tau) s'(\tau)} d\tau
\end{equation}
%
si bien que la vel n'est plus vecteur propre de $\Phi(T,0)$ ! On se retrouve alors
dans la théorie classique de Floquet --- à savoir que $A$ est périodique --- et cette
particularité supplémentaire que l'état est également périodique ne se traduit plus
par la vel vecteur de Floquet. Il s'en faut de la nullité de l'intégrale apportée par
le forçage périodique\footnote{Mars 2008 : mais alors, pourquoi Mich\ae l et al
prétendent trouver un exposant nul ?}.

\paragraph{Floquet et Poincaré.} Ceci dit, on a deux cas intéressants~: le premier où
la périodicité est endogène (comme EvEx), le deuxième où l'espace d'état
perd une ou plusieurs dimensions dans un transitoire initial (Lorenz, ClimSI).
L'ensemble des vecteurs de Floquet restants --- en excluant la vel quand elle en est un ---
forme une section particulière de Poincaré (\cad ne contenant pas la vel). Dans cette
section, les vecteurs de Floquet forment une base --- non orthogonale --- pour l'analyse
des retours dans la section. Le long de chacune de ces directions de Floquet, le point
repasse avec une élongation multipliée par $\exp (\lambda_i T)$.

{\it remarques de octobre 2009}, après quelques essais numériques. On a observé trois cas,
correspondants à des multiplicateurs réels, complexes, mais aussi réels négatifs.
Est-ce raisonnable ? On considère une section 2D de Poincaré, le point noir est la trajectoire
périodique; le cercle unité sépare, pour chaque direction de Floquet, les multiplicateurs
inférieurs ou non à l'unité. La zone verdâtre zigzaguée est censée représenter le multiplicateur
résultant pour chaque direction d'un changement de C.I.
%_______________________________________
\begin{figure}[h]
\begin{minipage}[h]{.33\linewidth}
\psfig{figure=PS/PoinSec.eps,%
bbllx=1pt,bblly=1pt,bburx=250pt,bbury=220pt,width=5cm,clip=}
\caption{Stabilité en section de Pointcaré.}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[h]{.65\linewidth}
Cette courbe verte est nécessairement centro-symétrique.

On a représenté ci-contre une section de Poincaré perpendiculaire à la vel, pour
ne pas y voir le Floquet correspondant, mais les projections de deux autres.

Un modèle intrinsèquement oscillant peut montrer un multiplicateur supérieur à 1;
c'est le cas du Lotka-Volterra. Avec un forçage périodique, tous les mult. sont
inférieurs à 1 en v.a., mais on en a des négatifs, et pourquoi pas en effet,
ça n'empêche pas sa stabilité par convergence oscillante vers zéro.
Dans ce cas, on aura un V.F.(t) réel, mais il faudra appliquer une correction
oscillante.
\end{minipage}\hfill
\end{figure}

C'est donc ces trois cas qu'il faudra prendre en compte dans les algorithmes
de détermination des Floquet\footnote{Raison pour laquelle on conserve les v.p.
en complexes dans la séquence {\bf flo\_vec} de \Minik.}.
%_______________________________________
\newpage
%
\subsubsection*{pour prolonger Floquet (reste après Mai 2007}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{itemize}
\item On peut voir une forte analogie entre la SVD de $Y(t)=[UV^{\dagger}][V\diag{w}V^{\dagger}]$
et la formule~(\ref{vfloq}), à savoir une partie de rotation ou périodique accolée à
une partie ``amortissement''. {\bf $\rightarrow$ à prolonger} voir suite Floquelec
%
\item En particulier, analyser non plus $\Phi(t,0)$ mais en réponse à une rampe
en amorçant par le cas périodique. En gros, peut-on superposer plusieurs types
d'information de structure ?
%
\item Que se passe-t-il lorsque la période $T$ est incertaine ou inconstante\footnote{éternel attribut
du genre, car {\it Ea vero femina est intemperantia}.} ?
%
\item Combiner l'analyse de stb avec sensibilité de $Y$ à un paramètre.
%
\item du 01-02-2006 : Floquet comme situation intermédiaire entre SLT et SLTC : comment extraire
du {\bf noyau effet-en-retour} une partie périodique ? cf en section Gains.
%
\item les temps caractéristiques liés aux $\lambda_i$ sont {\it a priori} déconnectés de $T$;
hors, l'analyse fournit une sensibilité aux perturbations des C.I., autrement
dit à un pulse (à $t=0\quad [T]$). Les éléments propres
majoritaires (sur les 100 ans d'analyse de l'article) ne peuvent être révélés que pour
les instabilités ne décroissant pas trop vite après une excitation occurrent un 15 Juin.
Le spectre pratique des $\lambda$ ne devrait révéler ainsi que des temps de réponse inférieurs à $T$
et supérieurs, disons, à $\frac{T}{100}$;
(cf analyse de Céline, où un V.F. du Lorenz décroît très vite, de telle façon qu'on ne peut
le déterminer).
\item les auteurs le mentionnent : si la période n'est pas bien choisie, on a un diagnostic sortant
de l'analyse, par le fait qu'un multiplicateur de la base doit être l'unité; {\bf à prolonger en direction
série de Fourier\footnote{On a trouvé depuis une piste bibliographique qui suit cette filière,
mais en proposant une analyse de ``Fourier incorporant l'exponentielle de Floquet''
dénommée {\bf décomposition de Floquet-Magnus}, cf Casa {\it et al}, {\bf J. Phys. A}, 2001.} ?}
\item on poursuivra ces commentaires dans le cadre d'une vision alternative consistant à considérer
une {\bf décomposition de Floquet} du propagateur~:
$\displaystyle\Phi(t) = \Psi^F(t)\exp{(\Lambda t)} Z^{-1}$. cf sections Gains.
%
\end{itemize}
%                                                      

\vspace{1.5cm}
Pour tenter une analyse alternative modifiant la sensibilité des résultats à la date initiale,
on va dans un prochain paragraphe tenter une approche par sensibilité à une perturbation marche.
Mais d'abord, pour satisfaire une obsession de l'auteur se réclamant de l'école climatologique,
une approche duale de la théorie de Floquet
\newpage
%
% -------------------------------------------------------------------------------------
\subsection*{L'analyse de Floquelec}
% -------------------------------------------------------------------------------------
%
On insistait dans le cahier ''Élémentaire'' sur la dualité des visions éclairées par décomposition
soit en éléments propres, soit singuliers. Peut-on construire une approche à la Floquet de la SVD ?

De manière analogue à $\Psi^F(t)=\Phi(t,0)Z\exp(-\Lambda t)$ où $Z$ joue le rôle de perturbateur,
on définit
%
\begin{equation}
\Psi^S(t,0)= \Phi(t,0)Ve^{-W t};
\label{flogene4}
\end{equation}
%
à partir de la décomposition SVD de la matrice maille 
$\displaystyle\Phi(T,0)=U e^{WT}V^{\dagger}$ où $V$ est la base des excitations singulières
que l'on peut appeler ``maille''.

On a alors à la période suivante~:
%
\begin{eqnarray}
\Psi^S(t+T,0) &=& \Phi(t+T,T)\Phi(T,0)Ve^{-W(t+T)}\nonumber\\
 &=&  \Phi(t,0)Ue^{-Wt}\nonumber\\
 &=& \Psi^S(t,0)e^{Wt}V^{\dagger}Ue^{-Wt}\nonumber
\label{flosvd}
\end{eqnarray}
%
en retournant~(\ref{flogene4})\footnote{On rappelle que $UU^\dagger=VV^\dagger=I$.}, et on
constate que du fait du passage de la base d'excitation ($V$) à celle de l'effet ($U$),
on perd la périodicité par rotation ($V^{\dagger}U$), rotation qui
est prise en charge par les parties imaginaires de la décomposition modale (de manière
intuitive seulement).

Mais on a une propriété intéressante~: appelant
%
\begin{equation}
R_t=e^{Wt}V^{\dagger}Ue^{-Wt}
\label{flogenes}
\end{equation}
%
cette matrice caractérisant un saut de maille, on a sauf erreur pour $n$ mailles
%
\begin{equation}
R_t^n =e^{Wt}[V^{\dagger}U]^n e^{-Wt}
\label{flogeness}
\end{equation}
%
La matrice $R_t$ prend en charge le passage aux périodes successives des $\ket{\psi^S(t)}$
déterminés sur la première période. Son déterminant reste égal à l'unité mais sa dépendance en $t$
peut être plus ou moins importante.

Ainsi, on est en droit de construire tout aussi bien une théorie singulière de Floquet, moins triviale
certes, qui conduit à étudier les propriétés de $R(t,n)$. On peut parier qu'une série de valeurs
de $n$ rotations passent près de l'identité et montrent une Grand Période bien singulière !
{\bf à poursuivre ?}
%
\paragraph{avance du vecteur} On a en dérivant~(\ref{flogene4})~:
%
\begin{equation}
\partial\Psi^S(t) = A(t)\Psi^S-\Psi^S W
\end{equation}
%
soit une avance de même forme mais réelle.

Que déduire de la vel ? Soit $\upsilon$ le vecteur de norme unité aligné avec la vel~;
on a 
%
\begin{equation}
\upsilon(0)=Ue^{WT}V^\dagger\upsilon(0)
\end{equation}
%
on ne voit pas de rapport entre les V.S. et la vel, mais un système de contraintes entre la
rotation par $UV^\dagger$ et les expansions scalaires sur les axes~:
%
\begin{equation}
\upsilon(0)=\sum_i e^{w_iT}\ket{u_i}\scal{v_i}{\upsilon(0)}
\end{equation}
%
\paragraph{vers une extension fonctionnelle de la SVD}\footnote{Sept 2010.}
\label{flec}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
On se pose la question en rapport avec les EOFs suivante : après construction de la matrice
$MM^\dagger$ des EOF, on a réalisé de fait $\int_0^T\ext{x(t)}{x(t)}dt$. Ce qui donne
les élements propres (ou singuliers) $U\diag{w^2}$. Alors, la fonction vectorielle $\ket{x(t)}$
se peut écrire $\ket{x(t)}=U_T\diag{w_T}V^\dagger(t)$, d'où la question : comment
effectuer cette décomposition et comment l'utiliser\footnote{JYG dit qu'il faut aller voir dans
Dunford et Schwartz's Linear Operators.}.

On pense par exemple au théorème de dissipation.
%
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Propagateur et gain de rétroaction}
\label{PGR}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
On va d'abord étudier le cas particulier du SLT statique (autonome) et faire le lien avec Borel.
Il s'agira ensuite d'étendre la notion de gain de rétroaction aux systèmes non-linéaires.
%
\subsubsection{SLT statique}
% ---------------------------------------------------------------
%
\subsubsection*{SLT et Borel}
%..................................
Dès que la matrice $A$ est indépendante de $t$, le système~(\ref{sltc}) s'intègre et donne
\begin{equation}
\Phi(t,\tau)=exp A(t-\tau)
\end{equation}
%
et la propagation par~(\ref{sltphi}) peut se transformer par Borel (matrice $B$ c$^{ste}$) pour donner
\begin{equation}
\tilde{x}(\tau)= (I-A\tau)^{-1}x(0) + \tau (I-A\tau)^{-1}B\tilde{u}(\tau)
\end{equation}
soit encore
\begin{equation}
(I-A\tau)\tilde{x}(\tau)= x(0) + \tau B\tilde{u}(\tau)
\end{equation}
%
où l'on reconnaît la  transformée de Borel ($\sqsupset$) de~(\ref{sltc}). Ceci découle de la
transformée d'un produit de convolution
$\displaystyle\int_0 ^t f(t-s) g(s) ds \sqsupset \tau \tilde{f}(\tau)\tilde{g}(\tau)$ (théorème de Borel).
On retrouve l'équivalence avec le système du TEF complet~(\ref{sltc3}).
%
\subsubsection*{Gain de rétroaction dynamique}
%..................................
Rappelons l'introduction du gain de rétroaction dans le cadre du TEF Borelien, dans lequel
le SLT statique s'écrit
%
\begin{eqnarray}
(I-\tau A) \Delta\tilde{\eta}(\tau) &=&\tau\ket{b}\Delta\tilde{\varphi}(\tau) \\
\Delta\tilde{\varphi}(\tau)&=&\scal{c^{\dagger}}{\Delta\tilde{\eta}(\tau) } + \tilde{h}(\tau)\nonumber
\label{sltbor}
\end{eqnarray}
%
dans le cas où seul le transfert scalaire $\varphi$ est conservé. L'élimination de la fonction
$\Delta\tilde{\eta}(\tau)$ fournit :
\begin{equation}
(I-\bra{c^{\dagger}}\tau(I-\tau A)^{-1}\ket{b})\Delta\tilde{\varphi}(\tau)=[1-\tilde{g}(\tau)]\Delta\tilde{\varphi}=\tilde{h}(\tau)
\label{gainbor}
\end{equation}
%
d'où, lorsque $\tilde{h}(\tau)=1$ (step), l'expression du gain $\tilde{g}(\tau)$ et sa transformée
%
\begin{equation}
\tilde{g}(\tau) = \bra{c^{\dagger}} \tau(I-\tau A)^{-1}\ket{b} \quad\sqsubset\quad g(t) = \bra{c^{\dagger}}\int_0 ^t \exp( As)ds\ket{b}
\label{gtau}\end{equation}
%
d'où
%
\begin{equation}
\boxed{ g(t) =  \bra{c^{\dagger}}A^{-1}\left( \exp(A t)-I\right)\ket{b} }
\label{gain}
\end{equation}
%
par contre, la réponse effective $\displaystyle f(t) \sqsupset \frac{1}{1-\tilde{g}(\tau)}$ ne
s'exprime pas aussi simplement~(cf~\ref{secrepeff}) --- mais si, on a montré depuis qu'il suffit
de remplacer dans cette formule $A\rightarrow A+\ext{b}{c^\dagger}$ pour obtenir la réponse $\varrho(t)$.

La généralisation au gain non-linéaire peut déjà être induite de~(\ref{gain}), \cad que si la Nature est bien faite,
à $\exp A(t-\tau)$ correspond le propagateur $\Phi(t,\tau)$, d'où la série de conjectures :
%
\begin{itemize}
\item le gain non-$\mathcal{L}$ pourrait être donné par $g(t,0) = \bra{c^{\dagger}(t)}\int_0^t{\Phi(t,\tau)\ket{b(\tau)}}d\tau$ pour
      une perturbation step $\varpi\Upsilon(t-0^+)$;
\item ce gain se définit à partir de $\Dfi-h=g\Dfi$, \cad comme la variation d'une ``réponse'' $r(t)=f(\eta)$ du
système quand on introduit la ``loi de rétroaction'' $f$ : $\varphi = \varpi \rightarrow \varphi = \varpi + f(\eta)$.
\end{itemize}
%
\subsubsection{Généralisation}
% ---------------------------------------------------------------
\label{gainonl}

\vspace{0.4cm}
{\it Premier système}
\vspace{0.3cm}

Comme notre définition courante du gain est liée aux perturbations-step d'un transfert, et considérant
le système~(\ref{resolft}) avec $\Deta(0)$ nul, $u^{\eta}=0$ et $B^u=I_j$, on choisit les variables
suivantes :
%
\begin{eqnarray}
s_g(t,\tau) &=& \int_{\tau}^{t} \Phi (t,s)\ket{b(s)} \, ds\nonumber\\
\varrho(t,\tau) &=& \bra{c^{\dagger}(t)}\int_{\tau}^{t} {\Phi (t,s)\ket{b(s)}}\, ds
\label{sensg}
\end{eqnarray}\
%
correspondant aux propagations d'un step initial $\varpi\Upsilon(t,0^+)$, qui permet donc de calculer
%
\begin{eqnarray}
\Deta &=& s_g(t,\tau)\varpi\nonumber\\
\Dfi &=&\varrho(t,\tau)\varpi\nonumber
\end{eqnarray}
%
et on exprime le système aux DP correspondant 
%
\begin{eqnarray}
\partial_t s_g(t,\tau) &=& \ket{b(t)}+(A(t)+\ext{b(t)}{c^{\dagger}(t)})\int_{\tau}^{t} \Phi (t,s)\ket{b(s)} \, ds\nonumber\\
                       &=&\ket{b(t)}+A(t) \,s_g + \ket{b(t)}\varrho            \nonumber\\
\varrho(t,\tau) &=& \scal{c^{\dagger}(t)}{s_g}
\label{ssensg}
\end{eqnarray}
%
Remarquons que l'on a choisit, suivant nos conjectures, de laisser la source $\ket{b(t)}$ côté cellule. On obtient alors, dans
le cas de la restriction à Borel
\footnote{du fait que $s(0)=0$, Laplace réel s'identifie à Borel dans ce cas
(c'est l'original de la transformée de la perturbation qui change alors).},
le système
%
\begin{eqnarray}
(I-\tau A) \tilde{s_g}(\tau) &=&\tau\ket{b}\tilde{\varrho}(\tau) +\tau\ket{b}\\
\tilde{\varrho}(\tau)&=&\scal{c^{\dagger}}{\tilde{s_g}(\tau) }\nonumber
\label{ssensgbor}
\end{eqnarray}
%
d'où l'élimination de $\tilde{s}$ donne 
\begin{equation}
(1-\tilde{g}(\tau))\,\tilde{\varrho}=\tilde{g}
\label{sgainbor}
\end{equation}
%
et donc on récupère $\displaystyle \mathcal{B}^{-1}\frac{g}{1-g}$ dans la variable $\varrho$. Bref, pas mal visé,
mais à-côté quand même, et j'avoue avoir quelque difficulté à bien comprendre comment une induction aussi
évidente que la nôtre ait pu échouer.

\vspace{0.5cm}
{\it Deuxième système}
\vspace{0.25cm}

On a aussi bien sûr le système adverse obtenu en laissant la source unité dans l'équation de $\sigma$
%
\begin{eqnarray}
(I-\tau A) \tilde{s}_f(\tau) &=&\tau\ket{b}\tilde{\sigma}_f(\tau) \nonumber\\
\tilde{\sigma}_f(\tau)&=&\scal{c^{\dagger}}{\tilde{s}_f(\tau) }+1\nonumber
\end{eqnarray}
%
qui donne alors $\displaystyle \sigma_f(t,\tau)=f=\frac{1}{1-g}(t,\tau)$. Bon choix Mesdames, ...

\vspace{0.5cm}
{\bf remarque~:} On note que $s_g$ et $s_f$ sont identiques, et que $\varrho$ et $\sigma_f$ seuls
diffèrent --- de $\varpi$.
\vspace{0.25cm}

\vspace{0.5cm}
{\it Troisième système}
\vspace{0.25cm}

On a déjà les deux formes de la réponse effective généralisée, manque un calcul
du gain lui-même. Il suffit d'ouvrir la boucle de rétroaction, de remplacer
$\varphi$ par $\ket{b}u(t)$ sur le système, et de conserver
$\varphi=\bra{c^{\dagger}}\Deta$ pour obtenir $g(t,\tau)$ dans la variable $\sigma$ :
Ceci revient à intégrer le système~(\ref{sensg}), mais avec un propagateur
partiel (ou en boucle ouverte) qui s'intègre avec $A(t)$ au lieu de
$A^{spha}=A(t)+\ext{b(t)}{c^{\dagger}}(t)$
%
\begin{eqnarray}
\partial_t s_g(t,\tau) &=& \ket{b(t)}+A(t)\int_{\tau}^{t} \Phi^{\flat} (t,s)\ket{b(s)} \, ds\nonumber\\
                       &=&\ket{b(t)}+A(t) \,s_g             \nonumber\\
\sigma_g(t,\tau) &=& \scal{c^{\dagger}(t)}{s_g}
\label{ssensgg}
\end{eqnarray}
%
\vspace{0.2cm}

Après ces quelques calculs de ``mathématique simpliste''\footnote{Bill Rossow 2005.}, on a une généralisation
aux SLTC non-statiques (ou autonomes) des concepts de gain avec trois systèmes donnant les trois formes intéressantes
pour caractériser la réponse effective d'un système perturbé en général, et plus lorsque
la structure détermine une boucle de rétroaction : le gain de la boucle et ``l'auto-rétro-sensibilité''
de la variable test.

Remarquons encore pour finir que, bien qu'il semble possible de formuler différemment ce système du gain, on reste
contraint par les formules~(\ref{resolft}) avec $\Deta(0)$ nul, et le lien entre $\Phi$ et $(A+BC^{\dagger})$.
Il est laissé au lecteur le soin de généraliser les formules pour $D\ne 0$.

\vspace{0.5cm}
{\it Intérêt de la double approche gain--réponse}
\vspace{0.25cm}

Il faut d'abord remarquer que la relation entre la réponse
$\displaystyle f(t,0)\sqsupset \frac{1}{1-\tilde{g}(\tau)}$
et le gain $g(t,0)\sqsupset \tilde{g}(\tau)$ n'est pas triviale (fait appel a une convolution).
Le point de vue est en fait différent, puisque l'un caractérise la réponse, l'autre un ``écart
relatif en convolution''$\displaystyle(\Delta\varphi-u)\circ\frac{1}{\Delta\varphi}$. Ainsi, dans le cas de
Lotka--Volterra au point d'équilibre ({\it cf papier L-V}), on trouve que $g$ a deux pôles simples
(un négatif et un positif),
alors que $f$ a une paire non-amortie ! On en déduit que le système est instable ET (ou mais) oscillant,
ce qui correspond bien à la notion de stabilité marginale associée aux cycles limites.
Bref, on n'a pas encore épuisé les plaisirs ni l'appât du gain (c'est pas les économistes
qui nous démentiront sur ce point).

%
\subsubsection*{Gain et adjoint ({\it sur le calcul de $g(T,\tau)$ en arrière})}
% ...............................
On peut {\it a priori} envisager le calcul de la fonction de réponse ``en arrière'' $f(T,\tau)$, en
prenant une fonction de coût terminal $J^{|\psi}=\varphi(T)$; mais on rencontre alors la difficulté
de la fonction excitatrice qui est dans ce cas impulsive en $t=\tau$.
Il faudrait peut-être envisager des systèmes adjoints de type intégraux, à la manière des trois
sensibilités.
%
\subsubsection*{Retour sur~(\ref{sensg})}
% ...............................
Lorsqu'on écrit~(\ref{sensg}) comme une colonne de~(\ref{resolft}), pour la perturbation step, on sous-entend
$\Dfi=\sigma_g\Dfi_{ins}$, mais que signifie $\Dfi_{ins}$ ? Pas la même chose que dans la~(\ref{gainbor}).
Dans ce dernier cas, on perturbe le transfert, alors que nous avions choisi de perturber
la cellule. C'est donc le système adverse qui correspond à~(\ref{gainbor}), et on a alors compatibilité
du gain non-$\mathcal{L}$ avec sa restriction par Borel.  Il s'agit en réalité d'un problème de structure
de boucle de rétroaction, que nous nous proposons d'analyser pour tenter une généralisation supplémentaire,
avec l'optique de répondre au programme énoncé dans le papier ``Champs et rétroaction''\footnote{cf
 web ZOOM/entre$\_$nous...}.

\subsection{Gain et éléments propres}
% ..............................................................
Une question récurrente est celle du lien entre éléments propres de la matrice d'avance d'état et le gain
dynamique. Repartant de la formule donnant $g(t)$~(\ref{gtau}), on introduit les V.P gauches et droits
de la matrice $A$ avec l'hypothèse de non-dégénérescence et avec la normalisation $F^{\dagger}E=I$. Alors, on a
%
\begin{equation}
 g(t) = \bra{c^{\dagger}}\int_0 ^t \exp( A\tau)d\tau\ket{b} = \bra{c^{\dagger}}\int_0 ^t E\exp( \Lambda\tau)\, d\tau\, F^{\dagger}\ket{b}   \nonumber
\end{equation}
% 
soit, en développant :
%
\begin{equation}
 g(t) =  \sum_{i=1,n} \scal{c^{\dagger}}{e_i}\scal{f_i}{b}\int_0 ^t\exp( \lambda_i\tau)d\tau 
\end{equation}
%
dans laquelle on peut séparer les termes de ``structure'' (les produits scalaires) de la réponse dynamique
$\displaystyle \frac{1}{\lambda_i}(exp(\lambda_i(t)-1)$, avec $i\in 1,n$ où $n$ est la dimension de l'espace d'état.

Dans ce calcul, il faut remarquer que $A$ est ``incomplète''\footnote{sauf à se restreindre à un système 
ne comportant effectivement qu'un seul transfert scalaire, ce que nous avons noté $A$ n'est en général ni
la $A$ du TEF, ni la $A^{spha}$.},
ce n'est qu'une restriction de la matrice d'avance, par le fait que $\varphi$ (scalaire) reste non éliminé.
La matrice complète est $A^{spha}=A+\ext{b}{c^{\dagger}}$, et les v.p. complètes sont les racines du polynôme
caractéristique de $A^{spha}$ :
%
\begin{eqnarray}
 \mathcal{P}(A^{spha}) &=& det(\mu I -A - \ext{b}{c^{\dagger}}) = det(\mu I-A) det[I-(\mu I -A)^{-1}\ext{b}{c^{\dagger}}]\nonumber\\
                       &=&det(\mu I-A)\, det[1-\bra{c^{\dagger}}(\mu I -A)^{-1}\ket{b}] \nonumber\\
                       &=&det(\mu I-A)\quad (1-\bra{c^{\dagger}}(\mu I -A)^{-1}\ket{b}) \nonumber
\end{eqnarray}
%
où on a utilisé le théorème de jyg sur la permutation circulaire\footnote{on démontre que pour une paire
de matrices $B, C$ $n\times p$, on a $det(I_n + B C^{\dagger}) = det (I_p + C^{\dagger}B)$ en
``décécroismoinsunbisant'' : $det{\begin{bmatrix}I_n & -B \\C^{\dagger} & I_p\end{bmatrix}}$ reste conservé
avec l'une ou l'autre des complémentations de Schür.}, et finalement on obtient 
%
\begin{equation}
\mathcal{P}(A^{spha}) = (1-\tilde{g}(\tau)) \;\mathcal{P}(A)
\label{gainvp}
\end{equation}
%
Ici et dans la suite, on assimile $\tau$ et l'inverse de $\mu$. On obtient ainsi explicitement la
fraction rationnelle en $\mu$ de la réponse
%
\begin{equation}
\boxed{
\frac{1}{1-\tilde{g}(\tau)}= \frac{\mathcal{P}(A)}{\mathcal{P}(A^{spha})}
}\label{gainfracr}
\end{equation}
%
qui montre que cette fraction est simple, mais en $\mu$, pas en $\tau$. On en déduit que sa décomposition en
éléments simples est unique, et qu'il est donc possible de déduire la fonction du temps correspondante.

Les conséquences dérivées de cette formule anodine sont assez inattendues.

Déjà, à partir de~(\ref{gtau}), où $A$ est développée dans la base de ses V.P. :
%
\begin{equation}
\boxed{
\tilde{g}(\tau) = \sum_{i=1} ^{n}\frac{\scal{c^{\dagger}}{e_i}\scal{f_i}{b}}{\mu-\lambda_i}
}\label{debor}
\end{equation}
%
On trouve que les pôles de $\displaystyle \tilde{g}(\frac{1}{\mu})$ sont les v.p. de $A$ --- aux produits
scalaires nuls près. Il est remarquable que la décomposition du gain en éléments simples se décline sur
toutes les v.p. de $A$, alors que la structure (les produits scalaires) effectue {\it in fine} la
pondération entre ces éléments. Le calcul explicite de $\tilde{g}(\tau)$ par la formule~(\ref{debor})
représente une alternative au fit après balayage ({\it le Borel-sweep de \Minik}). Cette formule
est d'autant plus intrigante qu'elle fournit un {\bf gain complexe}\footnote{bien sûr, l'appariement
des paires complexes conjuguées résulte en une fonction réelle, mais on a accès
à la pulsation des instabilités modales. Borel est devenu Laplace.}.

En reportant~(\ref{debor}) dans~(\ref{gainvp}), on devrait trouver la relation entre les traces et
les déterminants.
%
\begin{eqnarray}
\mathcal{P}(A^{spha}) &=&  \prod_{i=1}^n(\mu-\lambda_i)\left( 1- \sum_{i=1} ^{n}\frac{\scal{c^{\dagger}}{e_i}\scal{f_i}{b}}{\mu-\lambda_i}\right)\nonumber\\
                      &=&  \prod_{i=1}^n(\mu-\lambda_i) - \sum_{i=1} ^{n}\prod_{j\ne i}(\mu-\lambda_j)\scal{c^{\dagger}}{e_i}\scal{f_i}{b})\nonumber
\end{eqnarray}
%
La relation entre les traces s'obtient en identifiant les termes en facteur de $\mu^{n-1}$ :
%
\begin{equation}
\boxed{
Tr A^{spha} = Tr A + \sum_{i=1} ^{n} \scal{c^{\dagger}}{e_i}\scal{f_i}{b}
}\label{traces}
\end{equation}
%
et celle entre déterminants, de $\mu^0$ :
%
\begin{equation}
det A^{spha} =\left(1+\sum_{i=1} ^{n}\frac{\scal{c^{\dagger}}{e_i}\scal{f_i}{b}}{\lambda_i}\right) det A 
\label{determinants}
\end{equation}
%

Comment ont varié les V.P. entre $A$ et $A^{spha}$ ? La variation
de $E\rightarrow E+\Delta E$ donne :
%
\begin{equation*}
(A+\ext{b}{c^{\dagger}})(E+\Delta E) = (E+\Delta E)\Lambda
\end{equation*}
%
soit pour la colonne $i$ :
%
\begin{equation*}
(A^{spha}-\lambda_i I)\ket{\Delta e_i} = - \ket{b}\scal{c^{\dagger}}{e_i}
\end{equation*}
%
d'où
%
\begin{equation}
\boxed{
\ket{\Delta e_i} = - (A^{spha}-\lambda_i I)^{-1}\ket{b}\scal{c^{\dagger}}{e_i}
}\label{provar}\end{equation}
%
avec $i\in 1,n$. On pourra trouver utile d'établir les équivalences sur les V.P à
gauche\footnote{il serait intéressant de reprendre tout cet exercice avec la transformée
de Fourier et calcul de l'autocorrélation sur $\Dfi$.}.
%
\subsection{Réponse effective et éléments propres}
% ......................................
\label{secrepeff}
Il n'est on l'a vu pas trivial de passer de l'analyse du gain $\tilde{g}(\tau)$
à la réponse effective $\displaystyle\tilde{f}(\tau)=\frac{\tilde{g}(\tau)}{1-\tilde{g}(\tau)}$.
Repartons alors de la formule~(\ref{sensg}) :
%
\begin{equation}
\sigma_g(t,\tau) = \bra{c^{\dagger}(t)}\int_{\tau}^{t} {\Phi (t,s)\ket{b(s)}}\, ds
\label{sensgbis}
\end{equation}
%
Sa transformée de Borel dans le cas statique est
%
\begin{equation}
\tilde{f}(\tau) = \bra{c^{\dagger}}\frac{\tau}{I-\tau A^{spha}} \ket{b}
\label{repeff}
\end{equation}
%
où apparait cette fois la matrice complète d'avance de phase, dont on peut
extraire les V.P 
%
\begin{equation}
\tilde{f}(\tau) = \sum_{i=1} ^{n}\frac{\scal{c^{\dagger}}{e_i}\scal{f_i}{b}}{\mu-\lambda_i}
\label{repeffvp}
\end{equation}
%
où on a noté $\displaystyle\mu = \frac{1}{\tau}$ et où, contrairement à la section
précédente, les éléments propres sont relatifs à $A^{spha}$. On a ainsi deux calculs
complémentaires fournissant $\tilde{g}(\tau)$ et $\tilde{f}(\tau)$ décomposés en
éléments\footnote{ce qui est drôle je trouve, c'est dans la mesure où on a le passage
entre les E.P. de $A$ et $A^{spha}$, on peut obtenir une formulation du passage
des éléments de $\tilde{g}(\tau)$ à $\tilde{f}(\tau)$ {\bf A FAIRE}, et voire aussi
ce passage dans WVGains~(Al1, Mars 2008).}. On peut également noter que les formules
donnent le gain statique (et la réponse) en prenant simplement $\mu=0$.

{\it remarque pour les amateurs :} \hspace{0.5cm} On obtient très vite la~(\ref{repeffvp})
en appliquant la prise de déterminant à la formule de Woodburry).
%
\subsection{Passage à l'espace physique des fonctions de gain et de réponse}
% .........................................................................
Les formules~(\ref{debor}) et ~(\ref{repeffvp}) fournissent une décomposition en éléments simples
permettant de calculer $g(t)$ et $f(t)$ dans l'espace physique.
%* On peut tout d'abord remarquer que les produits scalaires intervenants dans
%* les amplitudes : $a=\scal{c^{\dagger}}{e_i}\scal{f_i}{b}$ sont réels.\\
Ils illustrent bien
la boucle de rétroaction, car la diagonalisation $A = E\Lambda F^{\dagger}$ indique que
$\ket{b}$ pondère la base de la sensibilité $\ket{f}$ du système à une perturbation $\Delta\varphi$,
et après amplification par $\Lambda$, le transfert reçoit en retour l'effet dans la base $\ket{e}$
du système perturbé, pondéré par $\bra{c^{\dagger}}$, sa sensibilité propre :
%
\begin{equation}
\Delta\varphi \rightarrow \scal{f_i}{b} \rightarrow \lambda_i \rightarrow \scal{c^{\dagger}}{e_i}\rightarrow\Delta\varphi
\end{equation}
%

Contrairement à l'habitude, pour inverser la transformation symbolique,
il semble plus direct de raisonner en variable de Laplace, ici $p=\mu$. Et comme on a la relation
$\mathcal{L}(p) = \displaystyle\frac{1}{p}\mathcal{B}(\frac{1}{p})$, il restera une intégration
après inversion des éléments simples. On a ainsi, dans le cas d'un pôle simple réel ($a$ est réel) :
%
\begin{eqnarray}
\frac{a}{\mu-\lambda} &\subset&  \int_0 ^t{a \exp(\lambda t)}dt\nonumber\\
                      &&=  \frac{a}{\lambda} (\exp(\lambda t)-1)
\end{eqnarray}
%
Dans le cas d'une paire conjuguée, en  posant $a=a_r +i a_i, \lambda = \lambda_r+i\lambda_i$
et $p=\mu-\lambda_r$ :
%
\begin{eqnarray}
\frac{a_r+ia_i}{\mu-\lambda_r -i\lambda_i}&+&\frac{a_r-ia_i}{\mu-\lambda_r +i\lambda_i}  \nonumber\\
 &=& \frac{2pa_r}{p^2 + \lambda_i ^2} - \frac{2a_i\lambda_i}{p^2 + \lambda_i ^2}\nonumber\\
 &\subset& 2 \int_0 ^t{[a_r cos(\lambda_i \tau)-a_i sin(\lambda_i \tau)]\exp(\lambda_r \tau)}d\tau \nonumber\\
                      &&=  \left(\alpha\, cos(\lambda_i t)+\beta sin (\lambda_i t\right))\exp(\lambda_r t)-\alpha
\label{paire1}
\end{eqnarray}
%
avec 
%
\begin{eqnarray}
\alpha &=& 2\frac{a_r\lambda_r + a_i\lambda_i}{\lambda_r ^2 + \lambda_i ^2 } = 2\frac{\Re (a\overline{\lambda})}{\lambda\overline{\lambda}}\nonumber\\
\beta  &=& 2\frac{a_r\lambda_i - a_i\lambda_r}{\lambda_r ^2 + \lambda_i ^2 } = 2\frac{-\Im (a\overline{\lambda})}{\lambda\overline{\lambda}}
\label{paire2}
\end{eqnarray}
%
%
\subsection{Transformée de Fourier de la Réponse effective}
\label{secrepeffourier}
% .........................................................
Cette question\footnote{Al1, 24 octobre 2008.} est d'importance pour étudier l'impact des rétroactions sur la variabilité d'un
système. En climatologie, on a d'une part des analyses de réchauffement climatique en moyennes
saptio-temporelles, et on se pose la question du lien des rétroactions moyennes lentes avec
celles expliquant la variabilité du climat non-perturbé.

Si on suppose que l'échelle d'intérêt est supérieure à quelques semaines en climato, on supppose
que ce ``climat'' est forcé par un bruit météorologique $\varpi(t)$, auquel répond le système
avec ses rétroactions. On soustrait par exemple un cycle saisonnier moyen et on analyse
la variablité des anomalies de $T_s$ par exemple. Cette réponse est donnée par $\DT_s=[1+\varrho(t)]\varpi(t)$.
En supposant ce bruit de Wiener, la variance stochastique $\nu=<\DT_s^2>$ sera donnée par une prise
de moyenne sur $\nu(\tau)=1+2\varrho\varpi + \varrho(t)\varrho(t+\tau)\delta(\tau)$, qui fait
apparaitre une fonction de corrélation. Or cette fonction est associée à la tranformée de Fourier
grâce à la relation $\mathcal{F}[c(f,g)]=\mathcal{F}[f]\mathcal{F}[g]^\ast$, semblable à la convolution en Laplace.

Alors dans le cas d'un SLT, se pose la question de la transformée de Fourier de l'effet--en--retour
connaissant sa Laplace. C'est trivial car l'effet--en--retour est nul pour $t<0$, on passe à Fourier
en changeant $\mu\rightarrow i\omega$.
Et alors $\nu_\varrho(\tau)=\mathcal{F}^{-1}[\varrho(i\omega)\varrho^\ast(i\omega)]$.

Explicitement, les fractions simples réelles deviennent
 $\displaystyle\frac{a\lambda+i a\omega}{\lambda^2-\omega^2}$ et perdent leur réalité. Pour les paires complexes, la situation
se dégrade également par le fait qu'elles ne sont plus adjointes et ainsi leur somme reste complexe.
Plus grave encore, $\varrho(i\omega)\varrho^\ast(i\omega)$ va multiplier deux sommes de ces fractions,
dont cependant nous n'aurons qu'à calculer la partie réelle. Mais ensuite, aller donc faire le lien avec les
effets--en--retour partiels originels ! {\bf une idée de méthode ?}
%
\subsubsection*{Prolongement vers l'analyse de couplage}
% ......................................................
%
En gros, on a deux systèmes avec des matrices avec tous les transferts éliminés, une autre
ou un seul transfert reste. Cela suggère une voie possible vers l'analyse de couplage en conservant
deux transferts ``sous Zeus''. {\bf Ce serait bien que quelqu'un s'y intéresse}.

\vspace{1.5cm}

{\bf Miniker : }{\it La routine Boreleig applique la technique précédente et fournit les expressions
Fortran permettant de calculer les deux fonctions de $\tau$ et de $t$.
 La forme adoptée -- et préconisée
après interaction avec une douzaine de reviewers -- est
 $\displaystyle f(t) = 1 +\frac{g}{1-g} = 1 - \sum a_i(1-exp(\lambda_i t))$\footnote{forme proposée par stepH.}
ou équivalent pour systèmes oscillants : 
$\left[\alpha\, (cos(\lambda_i t)-1)+\beta sin (\lambda_i t)\right]\exp(\lambda_r t)-\alpha(1-\exp(\lambda_r t))$.
Cette forme permet à la fois d'expliquer qu'il s'agit d'une réponse effective à un step,
tout en mettant en exergue
la partie intéressante de la réponse qui est $\displaystyle\frac{g}{1-g}$, \cad l'écart
au step, et pour la partie oscillante une composante démarrant à zéro et la contribution
additionnelle au gain asymptotique\footnote{Novembre 2005 : les deux systèmes donnent
des fonctions en accord numérique satisfaisant, tout en faisant apparaitre des éléments
simples pouvant différer grandement, cf papier Lotka-V.}.}
%
\paragraph{Validation numérique}
%
Avec le souci perpétuel de convaincre le lecteur suspicieux, on donne une comparaison
des calculs par balayage et avec la Boreleig pour le modèle de rétroaction à
la vapeur d'eau\footnote{ClimSI, celui de la thèse de stepH, transporté dans
\Minik, qui comporte quatre variables d'état et 13 transferts très couplés.}~:
%
\begin{figure}[ht]
\centerline{\psfig{figure=PS/Clgtaucomp.eps,%
bbllx=52pt,bblly=52pt,bburx=550pt,bbury=768pt,width=16.5cm,angle=-90,clip=}}
\caption{Comparaison entre deux déterminations de g($\tau$) pour une CMO de 30~m.}
\label{gainstau}
\end{figure}
%

On peut utilement remarquer que StepH trouvait avec le fit deux exponentielles, alors
qu'ici on en a quatre~: trois de 5, 6 et 11 jours, le dernier de 526 jours. Ceci dit à
un moment où la comparaison rigoureuse entre les deux modèles n'est pas définitive.
On a une différence entre les épaisseurs de couche de mélange océanique (ici 30 contre 50~m),
sur la nébulosité basse, etc.

\smallskip
Enfin, une autre comparaison est utile, entre la réponse efficace ($\mathcal{B}^{-1}\frac{g}{1-g}(\tau)$)
calculée par la Boreleig et sa détermination par le SLTC en suivant la trajectoire stationnaire.
La voici {\it in} Fig.~\ref{repefig}.

\begin{figure}[!]
\centerline{\psfig{figure=PS/Clrepeffcomp.eps,%
bbllx=52pt,bblly=52pt,bburx=550pt,bbury=768pt,width=16.5cm,angle=-90,clip=}}
\caption{Comparaison entre deux déterminations de la réponse efficace.}
\label{repefig}
\end{figure}
%
On a cette fois-ci de nouveau quatre exponentielles mais avec 4, 7 et 10 jours, et 3 ans pour la
dernière. L'amplitude du minimum est comparable à celle de StepH, mais la valeur asymptotique
n'est que la moitié en gros de la sienne\footnote{nous poursuivons la chasse aux différences
(dans les dévivées partielles) entre les calculs originels dans ZOOM et ceux de \Minik, on vous
tiendra au courant n'ayez crainte.}. 
\medskip
%
%
%
\subsubsection*{Lien entre effets L et non-L de rétroaction}
% .........................................................
%
Comment les effets stationnaires se combinent-t-ils pour constituer la résultante non-L (SLTC)~?
On considère une variation incrémentale de la fonction
%
\begin{eqnarray}
\rho_g(t+\dt,s) &=& \bra{c^{\dagger}(t+\dt)}\int_s ^{t+\dt}{\Phi(t+\dt,\tau)\ket{b(\tau)}}d\tau\nonumber\\
               &=&(\bra{c^{\dagger}(t+\dt)}-\bra{c^{\dagger}(t)}+\bra{c^{\dagger}(t)})\nonumber\\
&&\left[\int_t ^{t+\dt}{\exp(A(t+\dt-\tau))\ket{b(t)}}d\tau+\int_s ^{t}{\Phi(t+\dt,\tau)\ket{b(\tau)}}d\tau\right]\nonumber\\
 &=& (\bra{\Delta c^{\dagger}(t;dt)}+\bra{c^{\dagger}(t)})\\
 &&\left[ A^{-1}(I-\exp(A\dt))\ket{b(t)} +(I+A\dt)\int_s ^t{\Phi(t,\tau)\ket{b(\tau)}}d\tau\right]\nonumber
\end{eqnarray}
%
le facteur à $\bra{c^{\dagger}(t)}$ constante multiplie la partie stationnaire de l'expression entre crochets
pour donnner l'effet SLT~:~$\rho_g ^s(\dt)$, et donne, avec la matrice unité du développement de $\exp(A\dt)$,
l'effet SLTC~:~$\rho_g(t,s)$. On a donc au premier ordre et à $\bra{c^{\dagger}}$ constante une construction
additive de l'effet non-L par les stationnaires, avec un terme en $\dt$ supplémentaire~:
%
\begin{equation}
\rho_g(t+\dt,s) \stackrel{(1)}{\simeq} \rho_g(t,s) + \rho_g ^s(\dt) + \bra{c^{\dagger}}A \dt\int_s ^t{\Phi(t,\tau)\ket{b(\tau)}}d\tau
\end{equation}
%
C'est en particulier la construction de l'effet non-L lorsque le gain est calculé avec un
transfert copie d'une composante d'état. On peut à présent considérer le terme en variation de cette matrice~:
%
\begin{eqnarray}
 +&\stackrel{(2)}{=}& \bra{\Delta c^{\dagger}(t;dt)}\left[ A^{-1}(I-\exp(A\dt))\ket{b(t)} +(I+A\dt+...)\int_s ^t{\Phi(t,\tau)\ket{b(\tau)}}d\tau\right]\nonumber\\
  &\simeq&\bra{\Delta c^{\dagger}(t;dt)} \int_s ^t{\Phi(t,\tau)\ket{b(\tau)}}d\tau\nonumber
\end{eqnarray}
%
en supposant $\dt$ tel que $\bra{\Delta c^{\dagger}(t;dt)}\sim \dt$.

Finalement au premier ordre~:
%
\begin{equation}
\rho_g(t+\dt,s) \stackrel{(1)}{\simeq} \rho_g(t,s) + \rho_g ^s(\dt) + \bra{c^{\dagger}(t)A(t) \dt+\Delta c^{\dagger}(t;dt)}\int_s ^t{\Phi(t,\tau)\ket{b(\tau)}}d\tau
\label{rho1}\end{equation}
%
Ainsi, et même à $\bra{c^{\dagger}}$ constante, on a certes un effet immédiat d'accumulation, mais
complété par un effet cumulatif, et rien ne permet de présager de leur importance relative.

Si on voulait effectuer ce calcul, le choix de $\dt$ serait essentiel pour ``piquer'' la
durée significative de $\rho_g ^s$, et devrait se baser sur la variation des trois Jacobiennes.
On peut éventuellement ajouter au calcul l'evolution des Jacobiennes et reprendre le
développement précédent ?
%
\subsection{Généralisations extrêmes}\footnote{Juillet 2006,
après examen d'un problème posé par pat.}
% ............................................................
Posons très formellement une généralisation de la formule donnant l'effet de rétroaction,
en reprenant les symboles de la EPL\footnote{Feedback characteristics of nonlinear systems,
by l'unsecte, EPL,~{\bf 81}~(2008)}~:
%
\begin{eqnarray}
\rho_g(t,s) &=& \bra{c^{\dagger}(t)}\int_s ^{t}{\Phi(t,\tau)\ket{b(\tau)}}d\tau\nonumber\\
\longrightarrow&&\nonumber\\
\rho_x(t,s) &=& \bra{c^{\dagger}(t)}\int_s ^{t}{\Phi(t,\tau)B(\tau)\ket{v(\tau)}}d\tau
\label{effextr}\end{eqnarray}
%
où on a encore supposé que tous les transferts --- à l'exception de $\varphi$ scalaire qui
est une recopie --- ont
été éliminés. Dans cette expression, une partie de la matrice $A^{\sharp}$ a été déplacée dans une matrice $B$,
et un vecteur de perturbation est explicitement présent. On peut alors considérer $\rho_x$ comme
un effet de rétroaction. En effet, le remplacement de certaines occurences de la variable sensible
par sa recopie $\varphi$ correspond à ce déplacement de $A^{\sharp}$ vers $B$. Couper ``les rétroactions''
revient à annuller $B$,  et ceci pour un forçage particulier (exogène ou endogène) $\ket{v(t)}$.

La fonction définie par~(\ref{effextr}) est l'écart à $v$ de la réponse du système en boucle fermée
le long de sa trajectoire de référence (elle-même perturbée ou  non, suivant que $v$ est endogène
ou non). Cet effet de rétroaction est à la marge (SLTC), mais le protocole des trois trajectoires
permet de le définir tout aussi bien exactement, 
\cad~: {\bf un effet de rétroaction généralisé le long d'une trajectoire}.
%\newpage

\newpage
%
\subsection{Gain de rétroaction pour les SLT périodiques}\footnote{Janvier 2006,
corrigé en Juillet 2006, puis en Mars 2008--- ajout du forçage et typos.}
% ............................................................
La forme SLT obtenue des diverses fonctions de gains mettent bien en évidence une séparation
entre une structure, donnée par le double produit scalaire constant, et une dynamique
(d'amortissement et d'oscillation). La théorie de Floquet étend cette séparation aux systèmes
non-L mais à Jacobiennes périodiques. Le but du jeu présent consiste à tenter d'introduire
une séparation de ce type dans les trois noyaux de rétroaction.

Des définitions introduites aboutissant à la~(\ref{dty}), on a la relation
%
\begin{equation}
\Phi(t,0) = \Psi^F(t)\exp{(\Lambda t)} Z^{-1}
\label{phif}\end{equation}
%
entre le propagateur, la matrice des vecteurs de Floquet (périodique), la matrice
d'amortissement avec $\Lambda, Z$ éléments propres caractérisant la dynamique de
première période~($[0,T]$)~ :
%
\begin{equation*}
\Phi(T,0) Z= Z\exp{(\Lambda T)}
\end{equation*}
%
{\it attention, la généralisation de la formule~(\ref{phif}) est~:}
%
\begin{equation}
\Phi(t,\tau) = \Psi^F(t)e^{\Lambda(t-\tau)} \Psi^{-F}(\tau)
\label{phift}\end{equation}
%
{\it contrairement à une précédente version !} (on rappelle que $\Psi^{F}(0)=Z$).

Rappelons enfin la propriété caractéristique~$\forall t,\tau~:\Phi(t+T,\tau+T)=\Phi(t,\tau)$
pour tout système tel que $\forall t~:A(t+T)=A(t)$. On a aussi pour toute matrice $X$ de solutions
fondamentales~:
%
\begin{eqnarray}
\Phi(t+T,\tau)&=&X(t)M X^{-1}(\tau)\;;\text{ avec }M=e^{CT}\;,\nonumber\\
\Phi(t,\tau)&=&X(t) X^{-1}(\tau)\,,\text{ passer en Floquet dit que }\nonumber\\
\rightarrow& X(t)&=\Psi^F(t)e^{\Lambda t}Z^{-1}\,, X_0=I \quad(\Psi^F(0)=Z)\,;\nonumber\\
\text{ et que }&& e^{CT}=Ze^{\Lambda T}Z^{-1}\,;\nonumber
\end{eqnarray}
%
Passer en analyse de Floquet consiste alors à prendre une solution fondamentale particulière
du système --- soit dans $[\theta]$, de calculer la sensibilité du système à des perturbations
initiales particulières, simples pour les È.P. réels, avec corrélation pour des complexes.

On va essayer de bien expliciter l'intérêt de cette décomposition-Floquet du propagateur, car
elle représente un paradigme simple d'analyse structurelle du noyau de propagation des perturbations.
On peut y voir une analyse ``le long d'une structure'' hypothétique, ou encore l'amorce d'une
analyse en série de Fourier d'une portion de SLTC... En effet, la susdite décomposition peut
être tout à fait arbitraire, et alors simplement, $\Psi^F$ ne sera pas
périodique\footnote{et alors l'un des multiplicateurs de Floquet ne sera plus égal à l'unité.}.
On a ainsi une piste méthodologique à suivre.
De plus, les applications strictes de la théorie de Floquet sont multiples, à commencer par
l'analyse de stabilité des cycles météorologiques et climatiques, de nombreuses machines
à cycles...

Ce que recèle la décomposition~(\ref{phif}), c'est qu'une perturbation des C.I. le long
d'un V.P. $\ket{z}$ excite une structure, \cad un vecteur de Floquet $\Psi^F(t)$ périodique.
Cette structure, en sa double composante $\{i=1,n\}\times \{0,T\}$, est fixe. On peut la voir
comme un Hovmöller espace $\times$ temps sur une période $(0,T)$ pour un champs d'état discrétisé,
ou par une série de cartes représentant la période.
Cette structure de l'effet de perturbation des C.I. est modulée par un facteur complexe
$\exp(\lambda t)$, avec possible oscillation modulant la structure de base,
de périodes sans rapport direct ou évident avec $T$.

\paragraph{analyse préliminaire}
%.........................
%
La propriété du propagateur $\Phi(t+T,\tau+T)=\Phi(t,\tau)$ découlant de la périodicité de $A$
permet d'étudier ce qui se passe entre la première et la deuxième période~(on conserve
un terme de forçage de même période $s(t)$)~:
%
\begin{eqnarray}
\sigma^F(t+T) &=& \int_0 ^T{\Phi(t+T,\tau)\ket{b(\tau)}s(\tau)}\,d\tau\nonumber\\
       &&+ \int_T ^{T+t}{\Phi(t+T,\tau)\ket{b(\tau)}s(\tau)}\,d\tau\nonumber\\
\sigma^F(t+T) &=& \sigma^F(t) + \int_0 ^T{\Phi(t+T,\tau)\ket{b(\tau)}s(\tau)}\,d\tau\nonumber
\end{eqnarray}
%
en ayant changé de variable d'intégration ($\tau\rightarrow T+\tau$) dans la seconde intégrale et en ayant
pris en compte la périodicité de $\Phi$ et $\ket{b}$. En remarquant à présent maintenant que
$\Phi(t+T,\tau)=\Phi(t+T,T)\Phi(T,\tau)=\Phi(t,0)\Phi(T,\tau)$, on a
%
\begin{equation}
\sigma^F(t+T) = \sigma^F(t) + \Phi(t,0)\sigma^F(T)
\end{equation}
%
soit encore, après $p$ périodes~:
%
\begin{equation}
\sigma^F(t+pT) = \sigma^F(t) + \left[\Phi(t,0)+\Phi(t+T,0) + \cdots +\Phi(t+(p-1)T,0)\right]\sigma^F(T)
\end{equation}
%
ou encore, avec $\Phi(t+nT,0)=\Phi(t,0)\Phi(T,0)^n$~:
%
\begin{equation}
\sigma^F(t+pT) = \sigma^F(t) + \Phi(t,0)\frac{\Phi_T^{p}-I}{\Phi_T-I}\sigma^F(T)\\
\end{equation}
%
On a raisonné sur la sensibilité~$\sigma$, et l'effet en retour s'en déduit classiquement~:
$f^F(t) = \scal{c^{\dagger}(t)}{\sigma^F(t)}$.

A chaque nouvelle période, on a donc un terme intégral qui s'ajoute à l'effet-en-retour précédent.
On a montré~(\ref{xpm} ...) que $\Phi_T\stackrel{\mbox{\tiny{def}}}{=}\Phi(T,0)=M=\exp(CT)$, d'où~:
%
\begin{eqnarray}
\sigma^F(t+pT) &=& \sigma^F(t) + \Phi(t,0)\frac{e^{pCT}-I}{e^{CT}-I}\sigma^F(T)\\
f^F(t+pT) &=& \scal{c^{\dagger}(t)}{\sigma^F(t)} + \bra{c^{\dagger}(t)}\Phi(t,0)\frac{e^{pCT}-I}{e^{CT}-I}\ket{\sigma^F(T)}\nonumber
\end{eqnarray}
%
On trouve ainsi\footnote{La forme fraction est légitime car toutes les matrices commutent.}
que l'effet en retour est modifié par un terme d'amortissement de l'accroissement ``pérodique''
$\sigma^F(T)$ propagé sur la durée $t$ par $\Phi(t,0)$.

\bigskip
L'intérêt de la décomposition de Floquet porte sur l'interprètation de cet effet de propagation de périodicité
lorsque les C.I. sont $Z$ et qu'alors, $\exp(CT)=Z\exp(\Lambda T)Z^{-1}$. On en déduit~:
%
\begin{eqnarray}
\sigma^F(t+pT) &=& \sigma^F(t) + \Phi(t,0)Z\frac{e^{p\Lambda T}-I}{e^{\Lambda T}-I}Z^{-1}\sigma^F(T)\\
f^F(t+pT) &=& \scal{c^{\dagger}(t)}{\sigma^F(t)} + \bra{c^{\dagger}(t)}\Phi(t,0)Z\frac{e^{p\Lambda T}-I}{e^{\Lambda T}-I}Z^{-1}\ket{\sigma^F(T)}\nonumber
\end{eqnarray}
%

\medskip
Si la forme trouvée semble pertinente comme exhibant à la Floquet une réponse périodique corrigée par
un terme cumulatif, on peut s'interroger cependant sur l'intéret de cette forme en contemplant cet exemple
obtenu avec ClimSI sur l'effet-en-retour WV avec cycle saisonnier~:
%
\begin{figure}[ht]
\centerline{\psfig{figure=/data/al1/Pablo/PS/ClCyclStaReEff4b.eps.gz,%
bbllx=60pt,bblly=65pt,bburx=560pt,bbury=750pt,width=13cm,height=10cm,angle=-90,clip=}}
\caption{ClimSI WV feedback model responses.}
\label{Climwvfcp}
\end{figure}
%
quel peut être l'intéret d'une décomposition de cette figure ? Si on s'intéresse à la réponse rapide,
il suffit d'intégrer le système classique; si c'est la partie périodique de la réponse asymptotique,
alors toute l'information se trouve dans le second terme ayant $\sigma^F$ en facteur. Bien sùr, cet exemple
n'est pas un modèle particuièrement pertinent pour Floquet dans la mesure où il n'est pas intrinsèquement
périodique mais forcé par une source cyclique; c'est pourtant un exemple général en analyse du climat.
Et on a quand même alors un système non linéaire dont la matrice $A(t)$ du SLTC est périodique, ce qui
justifie amplement l'approche à la Floquet.

Dans l'exemple du papier du Mich\ae l ceci dit encore, il existe des oscillations dynamiques qui apparaissent
dans les vecteurs de Floquet complexes, ces modes qu'on parvient apparemment à exciter suffisament en
perturbant les C.I. par des vecteurs (ou des paires conjuguées) de $Z$, et cette information apparait
bien dès la première période, alors ?

Alors en premier, il semble y avoir une contradiction entre la vision par effet-en-retour répondant à un forçage
constant, et l'analyse de Floquet qui tire son information de perturbations spécifiques des C.I.
Le premier Floquet --- le plus lent --- représente bien le comportement asymptotique du système !
Faut-il alors combiner les deux, ou bien choisir un forçage périodique spécifique ? Ou même constant mais
égal au premier Floquet $\psi_1^F=\ket{z_1}$, le plus lent ?

Il faudra revenir à cette question stémologique fondamentale, mais on peut espérer tirer des vers du nez
de la décomposition du propagateur à la Floquet et des diverses formes utilisables.

Ceci dit, analysons en parallèle les résultats tirés de l'analyse en É.P du SLT pour en induire
ce qu'on peut au mieux espèrer de ({\it Floquet}).
%
\begin{enumerate}
\item la décomposition en É.P. de $A=C^{ste}$ fournit une sommation de Schür~({\it idem});
\item les sommes représentent une décomposition en éléments simples~({\it en fonctions élémentaires});
\item l'intégration se fait en Laplace ou Borel par $\times\mu$~({\it  numérique});
\item le retour au domaine temporel est alors direct;
\end{enumerate}
%
et rapprochons les deux expressions obtenues; la VP-Borel~(\ref{repeffvp}) du noyau d'effet-en-retour
permet d'écrire
%
\begin{equation}
f^{SLT}(t) = \sum_{i=1} ^{n}\int_0 ^t{\scal{c^{\dagger}}{e_i}\scal{f_i}{b}\exp(\lambda_i\tau)s(\tau)}\,d\tau
\label{repeffvpt}
\end{equation}
%
alors que via~(\ref{phif}) elle peut être ainsi décomposée :
%
\begin{equation}
f^F(t) = \sum_{i=1} ^{n}\int_0 ^t{\scal{c^{\dagger}(t)}{\psi^F_i(t)}\scal{\psi^{-F}_i(\tau)}{b(\tau)}\exp(\lambda^F _i(t-\tau))s(\tau)}\,d\tau
\label{repF}
\end{equation}
%
avec $\bra{\psi^{-F}_i(\tau)}$ vecteurs lignes de l'inverse de $\Psi^{F}(\tau), \bra{c^{\dagger}}$ et $\ket{b}$ périodiques,
comme $\Psi^F$, de période commune $T$. Le passage en éléments propres de Floquet
a simplement permis de sortir $\exp(\lambda_i t)$, dans la décomposition spectrale du propagateur.

On peut dans la première expression remplacer $\tau$ par $(t-\tau)$
sans modifier le résultat, si bien que le parallèle entre les deux approches apparaisse clairement
--- la source seule a été déphasée.
Il apparait que Floquet donne une décomposition comme avec les É.P; les éléments simples sont devenus
des couples $\lambda_i,\;\ket{\psi_i}$. La seule difficulté restante concerne l'intégration, qui
ici est à calculer alors que seule l'exponentielle restait à intégrer du SLT.

On peut alors s'attendre à ce que la périodicité permette de simplifier le calcul général
de l'intégrale en le limitant à une maille temporelle par exemple. Alors, l'appariement
des paires conjuguées devrait fournir les séries temporelles élémentaires composant une réponse
globale ?

\medskip
\paragraph{Floquet donc}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
La question amont, c'est petit peut-on conserver le doublet
{\it structure $\times$ modulation} de Floquet, alors qu'ils sont convolués par l'intégrale\footnote{
il y a en parallèle une discussion synthétisée dans WVsimple ...} ?

On peut déjà s'extasier devant l'analogie entre~(\ref{repeffvpt}) et~(\ref{repF}).
Pour obtenir la modulation exponentielle complexe en facteur, il a fallu cross-normer $F^{\dagger}E=I$
et supposer les v.p. distinctes,
alors que par Floquet, on obtient directement cette forme modale. Ce fait à lui seul justifie
je trouve un approfondissement méthodologique de l'approche.

Que se passe-t-il en passant de $t$ à $t+T$ ? Examinons un terme de la décomposition, correspondant
à une v.p. $\lambda_i$
%
\begin{equation}
f_i ^F(t) = \bra{c^{\dagger}(t)}\int_0 ^t{\ket{\psi^F_i(t)}\scal{\psi^{-F}_i(\tau)}{b(\tau)}\exp{\lambda_i(t-\tau)}s(\tau)}\,d\tau
\label{fF}
\end{equation}
%
on a alors, puisque seule l'exponentielle n'est pas périodique
%
\begin{eqnarray}
f_i ^F(t+T) &=& \bra{c^{\dagger}(t)}\int_0 ^t{\ket{\psi^F_i(t)}\scal{\psi^{-F}_i(\tau)}{b(\tau)}\exp{\lambda_i(t+T-\tau)}s(\tau)}\,d\tau\nonumber\\
       &&+ \bra{c^{\dagger}(t)}\int_t ^{t+T}{\ket{\psi^F_i(t)}\scal{\psi^{-F}_i(\tau)}{b(\tau)}\exp{\lambda_i(t+T-\tau)}s(\tau)}\,d\tau\nonumber
\end{eqnarray}
%
et après un changement de la variable d'intégration~($\tau-t\rightarrow \tau$) de la seconde intégrale 

%
\begin{eqnarray}
f_i ^F(t+T) &=& \exp(\lambda_i T){f}_i ^F(t) \nonumber\\
    && +\bra{c^{\dagger}(t)}\int_0 ^{T}{\ket{\psi^F_i(t}\scal{\psi^{-F}_i(t+\tau)}{b(t+\tau)}\exp{\lambda_i(T-\tau)}s(t+\tau)}\,d\tau\nonumber\\
f_i ^F(t+T) &=& \exp(\lambda_i T)f_i ^F(t) + \overline{f^F _i} (t)
\label{fTF}
\end{eqnarray}
%
avec une fonction $\overline{f^F _i} (t)$ effectuant une intégrale pondérée du produit scalaire
$\scal{\psi^{-F}_i(t+\tau)}{b(t+\tau)}$ sur une période suivant
la variable $t$ et qui est elle-même périodique. Remarquons que puisque $f_i ^F(0)=0$, la formule
vérifie bien $f^F _i(t+T)|_{t=0}=\overline{f^F _i} (T)=f^F _i(T)$.

Après N périodes, on a 
%
\begin{equation}
f_i ^F(t+NT) = \exp(\lambda_i NT)f_i ^F(t) + \overline{f^F _i} (t)\frac{1-\exp\lambda_iNT}{1-\exp\lambda_iT}
\label{fNTF}
\end{equation}
%
avec on l'a vu $\lambda_i T > 1$ pour leur composante réelle\footnote{l'analyse du propagateur de $0$ à $T$
ne donne accès qu'à des temps plus courts.}\footnote{Mars 2008 remarque peut-être
pertinente mais un peu rapide... {\bf à revoir}}. La perturbation step de la définition
de l'effet-en-retour se traduit par une pseudo-convolution qui explique l'absence de modulation non-amortie.
Néanmoins, si le système est périodique, un couple de v.p. $\lambda$ sera de partie réelle nulle. La
composante périodique basique de l'effet-en-retour sera cantonnée à cette paire, alors que les autres
caractériseront la dynamique sous-périodique; n'est-ce pas ce type de décomposition que nous
recherchions ?

\medskip
Ainsi, le calcul de l'effet-en-retour de la première période suffit à déterminer la fonction
{\it ad vitam eternam}, et il en appert que le Lyapunov sera la plus grande partie réelle des $\lambda_i$.

Remarquons finalement que la réponse à un pulse est constituée d'un facteur de structure périodique
modulé par $\exp(\lambda_it)$.

\bigskip
{\it décomposition alternative de l'intégrale}
\smallskip

Voyons ce que l'on obtient avec l'autre décomposition de l'intégrale de $f_i ^F(t+T)$~:
%
\begin{eqnarray}
f_i ^F(t+T) &=& \bra{c^{\dagger}(t)}\int_0 ^T{\ket{\psi^F_i(t)}\scal{\psi^{-F}_i(\tau)}{b(\tau)}\exp{\lambda_i(t+T-\tau)}s(\tau)}\,d\tau\nonumber\\
       &&+ \bra{c^{\dagger}(t)}\int_T ^{T+t}{\ket{\psi^F_i(t)}\scal{\psi^{-F}_i(\tau)}{b(\tau)}\exp{\lambda_i(t+T-\tau)}s(\tau)}\,d\tau\nonumber
\end{eqnarray}
%
avec cette fois le changement de la variable d'intégration~($\tau-T\rightarrow \tau$) de la seconde intégrale
et en prenant en compte la périodicité~: 
%
\begin{eqnarray}
f_i ^F(t+T) &=& \exp(\lambda_i T)\bra{c^{\dagger}(t)}\int_0 ^T{\ket{\psi^F_i(t)}\scal{\psi^{-F}_i(\tau)}{b(\tau)}\exp{\lambda_i(t-\tau)}s(\tau)}\,d\tau \nonumber\\
    && +\bra{c^{\dagger}(t)}\int_0 ^{t}{\ket{\psi^F_i(t)}\scal{\psi^{-F}_i(\tau)}{b(\tau)}\exp{\lambda_i(t-\tau)}s(\tau)}\,d\tau\nonumber\\
f_i ^F(t+T)  &=& f_i(t)+\exp(\lambda_i T)\scal{c^{\dagger}(t)}{\overline{\sigma_i}(t)}
\label{fTF2}
\end{eqnarray}
%
avec cette fois un terme additionnel à l'effet-en-retour de première période faisant intervenir le
vecteur intégral
$\overline{\sigma_i}(t) = \int_0 ^T{\ket{\psi^F_i(t)}\scal{\psi^{-F}_i(\tau)}{b(\tau)}\exp{\lambda_i(t-\tau)}s(\tau)}\,d\tau $.
Après $N$ périodes, on a
%
\begin{equation}
f_i ^F(t+NT) = f_i ^F(t) + \exp(\lambda_iT)\frac{1-\exp\lambda_iNT}{1-\exp\lambda_iT}\scal{c^{\dagger}(t)}{\overline{\sigma_i}(t)}
\label{fNTF2}
\end{equation}
%

Dans les deux décompositions effectuées, on constate que pour caractériser l'effet du passage de période
à période suivante, on a dans (\ref{fNTF}) comme dans (\ref{fNTF2}) une intégrale qui, simplifiée grâce à l'analyse par Floquet, impose
un calcul en variables complexes.

\bigskip
{\it Utilisation pratique}

L'analyse complète de l'impact de l'hypothèse de périodicité prenant en compte $N$ périodes, on est bien
obligés de constater qu'il est nécessaire de passer par la décomposition spectrale de Floquet du propagateur.
Cela exige non seulement le calcul de $\Psi^F(t)$, mais de plus celui de $\Psi^{-F}(t)$.

On est ainsi conduit à une analyse classique de Floquet en premier lieu. Il s'agira d'identifier
les éléments de Floquet avec une interprètation physique du modèle.

Les fonctions dynamiques de rétroaction s'analysent en sus, en commençant par caractériser la première
période. Le problème final est de considérer les modifications successives de ces premiers éléments
jusqu'au comportement asymptotique, la question principale étant l'intégrale intervenant dans l'une ou
l'autre des formules (\ref{fNTF}) et (\ref{fNTF2}).

Le système du calcul d'un élément de l'effet-en-retour s'obtient par dérivation de (\ref{fF})~\footnote{
formule corrigée de Juin 2007.}:
%
\begin{equation}
\left \lbrace
\begin{array}{llll}
d_t \sigma_i ^F(t) &=& A(t)\sigma_i^F(t)&+ \ket{\psi^F_i(t)}\scal{\psi^{-F}_i(t)}{b(t)}\\
f_i ^F(t) &=& \bra{c^{\dagger}(t)}\sigma_i ^F(t)
\label{miniF}\end{array}
\right.
\end{equation}
%
L'intégration de ce système se fait en complexe pour chaque élément de Floquet analysé, mais on doit remarquer
que tous les éléments doivent être calculés auparavant (du fait de $\psi^{-F}_i$)\footnote{On
pourra alternativement intégrer une ligne de $\Psi^{-F}$ par
\begin{equation}
\partial_t \bra{\psi_i^{-F}}=\bra{\psi_i^{-F}} A-\lambda_i\bra{\psi_i^{-F}}
\end{equation}
initialisée par $Z^{-1}$.}

Reste ensuite le calcul de l'intégrale modifiant chacun de ces éléments.
Le moins commode semble être le calcul de $\overline{f_i}(t)$, car on a à dériver la matrice $\ket{b(t)}$;
on se retourne donc vers le calcul de $\overline{\sigma_i}(t)$~: une dérivée temporelle de l'intégrale
dans~(\ref{fTF2}) donne en effet
%
%
\begin{equation}
\left \lbrace
\begin{array}{lll}
d_t \zeta_i ^{F}(t) &=& A(t)\zeta_i^{F}(t)\\
\overline{\sigma_i} ^F(t) &=& \bra{c^{\dagger}(t)}\zeta_i ^{F}(t)
\label{miniF2}\end{array}
\right.
\end{equation}
%
C'est bien le système précédent sans source, celle-ci étant {\it in fine} condensée dans $exp(\lambda_i T)$.
L'intégrale $\overline{\sigma_i} ^F(t)$ étant périodique, l'intégration se fait sur une seule période ---
et une de plus pour vérifier numériquement la formule~(\ref{fNTF2})~\rotatebox{7}{\scalebox{-1.15}[1.]{?}}
\footnote{On doit ici remercier Jacques Frère pour cette solution simple d'évoquer le signe d'ironie proposé en
1899 par le très célèbre poëte Alcanter de Brahm~\rotatebox{7}{\scalebox{-1.15}[1.]{?}}}

\newpage
{\it Un dernier essai et résumé}

En résumé, considérant l'une des formes dynamiques possibles de~(cf~\ref{sensg})~:
%
\begin{equation}
\left \lbrace
\begin{array}{lll}
s_g(t,\tau) &=& \int_{\tau}^{t} \Phi (t,s)\ket{b(s)} \, ds\nonumber\\
\varrho(t,\tau) &=& \bra{c^{\dagger}(t)}\int_{\tau}^{t} {\Phi (t,s)\ket{b(s)}}\, ds
\label{sensgencore}
\end{array}
\right.
\end{equation}
%
%
on espère qu'une décomposition du propagateur {\it à la Floquet} permettra d'affiner le
regard sur les dynamiqes plus fines sous-jacentes au modèle. On a deux décompositions utiles
en pratique --- une seule sera {\it in fine} retenue~:
%
\begin{eqnarray}
\Phi(t,\tau) &=& \sum_i e^{\lambda_i(t-\tau)}\ext{\psi^F_i(t)}{\psi^{-F}_i(\tau)}\nonumber\\
             &=& \sum_i \ext{y_i(t)}{y^{-1}_i(\tau)}\nonumber
\label{sensgencorep}
\end{eqnarray}
%
où nous avons ajouté celle en $Y^F$ liée aux Floquets par~$\ket{\psi_i ^F(t)}=\ket{y_i(t)}\exp(-\lambda_i t)$. 

On doit de plus remplacer les amortissements simples mailles de Floquet par une forme plus complexe, et
pour se faire, déterminer les passages à $t+T$, que l'on renouvelle ici en $Y^F$.

En revenant à la décomposition $Y(t) = \Phi(t,0)Z$ (de \ref{adjes}), avec les propriétés\\
$Y(t+T)=Y(t)\exp(\Lambda T),\quad Y(0)=Z\quad$ et $\Phi(t,\tau)=Y(t)Y^{-1}(\tau)$\footnote{puisque $Y$
est la matrice des solutions fondamentales ayant $Z$ comme C.I.}, on peut écrire~:
%
\begin{eqnarray}
s_i^g(t+T) &=& \int_0 ^T{\sum_i e^{\lambda_i T}\ket{y_i(t)}\scal{y^{-1}_i(\tau)}{b(\tau)}}\,d\tau\nonumber\\
       &&+ \int_T ^{T+t}{ Y(t+T)Y^{-1}(\tau)\ket{b(\tau)}}\,d\tau\nonumber
\end{eqnarray}
%
et après changement dans la deuxième intégrale et en résolvant les périodicités~:
%
\begin{eqnarray}
s_i^g(t+T) &=& s_i^g(t) + e^{\lambda_i T}\overline{\sigma_i} (t)\nonumber\\
\overline{\sigma_i}(t) &=& \ket{y_i(t)}\int_0 ^T{ \scal{y^{-1}_i(\tau)}{b(\tau)}}\,d\tau\nonumber
\end{eqnarray}
%
qui mène directement en amont de la formule~(\ref{fTF2}).

 La décomposition précédente est celle qui permet
de passer aux EDP sans dériver de matrice, et conduit de plus au système déjà TEFisé~($s,\sigma$).
On a ainsi deux déterminations à mener~: i) une réponse de base
(ou maille) de $t=0$ à la période; ii) une fonction d'amortisssement d'une période à
l'autre~:$\overline{\sigma_i}(t)$.

On utilise la forme intégrale du vecteur des sensibilités pour dériver les EDP,
comme ici en $Y$~:
%
\begin{equation}
\left \lbrace
\begin{array}{lll}
\partial_t s_i^g (t) &=& A(t)s_i^g(t) + \ket{y^F_i(t)}\scal{y^{-1}_i(t)}{b(t)}\nonumber\\
\varrho(t,\tau) &=& \bra{c^{\dagger}(t)}s_i^g
\label{miniF3}
\end{array}
\right.
\end{equation}
%

La forme intégrale de $\overline{\sigma_i}(t)$ est déterminée par
 $\partial_t\overline{\sigma_i}(t)=A\overline{\sigma_i}(t)$,
sans source donc; mais il faut encore déterminer $\overline{\sigma_i}(0)$, soit~:
%
\begin{eqnarray}
\overline{\sigma_i}(0) &=& \ket{y_i(0)}\int_0 ^T{ \scal{y^{-1}_i(\tau)}{b(\tau)}}\,d\tau\nonumber\\
              &=& e^{-\lambda_i T}\ket{y_i(T)}\int_0 ^T{ \scal{y^{-1}_i(\tau)}{b(\tau)}}\,d\tau\nonumber\\
              &=& e^{-\lambda_i T} s^g_i(T)
\end{eqnarray}
%
On commence donc par déterminer par intégration de~(\ref{miniF3}) les sensibilités-réponses mailles
de Floquet en avant de $0$ à $T$. On refait un run pour déterminer $\overline{\sigma_i}(t)$
en partant de $\overline{\sigma_i}(0)=e^{-\lambda_i T} s^g_i(T)$; on a alors tous les éléments d'analyse
possible ...
\smallskip
Bref, il y a un peu d'essais concrets à faire avant de trouver ce que l'on cherche, et je compte sur la
nocturne du prochain Zircon pour y contribuer\footnote{des dangers du Floquage à Jussieu, on sera mieux
à Tarbes.}. Ceci dit, on devrait s'orienter vers un vrai calcul des vecteurs tefisés, dans la
mesure où les termes en $-\lambda\ket{\psi}$ régularisent par essence les divergences--contractions
du propagateurs {\it à la roduct}. Ce qui signifie pour \Minik un calcul de type {\bf oker} en complexes, qui serait
effectué après (ou en parallèle) à la résolution standard. L'avance de $\Psi$ complet peut pauser
problème pour les systèmes très contractants --- pour lesquels on ne peut déterminer les
éléments de Floquet ayant déjà numériquement disparu à $T$ --- et il faut probablement se rabattre
sur une avance conjointe des lignes de $\Psi^{-F}$. Pour revenir aux systèmes rapidement contractants,
qui vont exhiber des multiplicateurs de Floquet très faibles menant à une impossibilité numérique
de calculer les V.P. correspondants, que faire ?

{\bf dans WVsimple\footnote{Mai 2010.}, on donne des solutions à la fois pour passer les calculs de matrices complexes
en réels, et pour calculer la réponse cyclique asymptotique sans faire intervenir les composantes
incertaines.} Mais ça relance l'intérêt de l'analyse par SVD, ou comment combiner les Floquets
détectant par leur temps caractéristique des mécanismes, et l'orthogonalité permettant d'évaluer
le ``pourcentage d'explication'' des réponses par leurs composantes.

\bigskip
{\it quid du Wronskien ? fait le 23/10/2006, cf~(\ref{wronskF}).}


\medskip{\it il y a également l'examen dans ce contexte de la notion de ``cycle'' climatologique
(de l'eau, du carbone, de l'énergie mécanique atmosphérique ...}

En entendant par là qu'il est légitime de considérer un modèle qui, en suivant une molécule finalement recyclée
par exemple, sous entend de manière certes très implicite l'idée de récurrence, voire de périodicité.
La question est comment formuler\footnote{cf l'article P.Humbert et al, chap.~6~: On the relative Humidity
of the Atmosphere (note du 13 mai 2009). } un tel modèle ?

\paragraph{une abstraction possible ?} JYG dixit, cf Maslov\footnote{V.P.~Maslov~: Théorie des perturbations
et méthodes asymptotiques, Collection Etudes mathematiques, 1972 Dunod.} On y trouve en effet dès l'introduction
ce qui suit.

Connaissant de la matrice $A$  ses éléments propres, trouver ceux de $A(\epsilon)=A+\epsilon B$,
dont la solution est ``bien connue''; Elle consiste à écrire les vp $\lambda_k(\epsilon)$ de la matrice
$A(\epsilon)$ en série de puissances de $\epsilon$
%
\begin{equation}
\lambda_k(\epsilon)=\lambda_k+\epsilon c_{1k}+\epsilon^2 c_{2k} + ...
\end{equation}
%
où les $\lambda_k$ sont les vp de la matrice ``non-perturbée'' $A=A(0)$, et les coefficients $c_{jk}$ indépendants
de $\epsilon$. On a des problèmes qui concernent $A+\epsilon B)^{-1}$ ou $\exp(A+\epsilon B)$ par exemple.
Des problèmes sans difficultés pour les matrices mais posant pb pour des opérateurs linéaires à valeur dans un
espace de Banach de dimension infinie, dixit Maslov. En dimension finie en effet, les limites pour
$\epsilon\rightarrow 0$ s'identifient aux grandeur prises avec $\epsilon=0$. Pour ces opérateurs évoqués, on a
%
\begin{equation}
(A+\epsilon B)^{-1}=A^{-1}\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\epsilon^k(BA^{-1})^k
\end{equation}
%
etc,..., $A$ et $B$ auto-adjoints, $\lambda_0$ un point isolé de multiplicité $m$, etc. On remarque la formule
en note de bas de page
%
\begin{equation}
(A-z)^{-1}g=\int\sum\frac{\ext{\psi_k(x)}{\psi_k(\zeta)}}{\lambda_k-z}g(\zeta)d\zeta
\end{equation}
%
pour tout $g\in H$ Hilbert.
\newpage
%
\section{Rapport entre structure et gain}
% ---------------------------------------------------------------
%
\subsection{Effet de rétroaction sur champ moyen}\footnote{Février 2006.}
% ..............................................
%
Mettons en exergue la sobriété avec laquelle nous introduisions la notion de boucle de rétroaction
pour la EPL (partant d'un système d'état) :

{\it 
Dans la  méthode que nous proposons, la manière la plus simple de définir une boucle de
rétroaction consiste
%
\begin{enumerate} 
\item à ajouter une variable scalaire $\varphi$ recopiant la variable perturbée du
système originel, \cad d'équation $\phi = \eta_k$ // SLTC $\Dfi = x_k$;
\item changer dans les autres modèles DES occurences choisies de $\eta_k$ en $\varphi$ pour
définir la boucle (pb sémantique).
\end{enumerate}
}
%
et nous prétendions dans la suite que l'ajout de cette variable ({\it de transfert}) introduisait
une souplesse permettant de construire une ``observable'' plus générale. C'est cette ``facilité''
que nous éprouvons ici en  prenant le cas précis d'un sous-vecteur d'état représentant un champ
(discrétisé) d'une grandeur physique.

Vous m'avez entendu plaider depuis quelques temps pour la formulation multi-échelle et introduire une méthode
pour modifier un modèle original de champ par l'introduction d'une prise de moyenne. C'est de cette
méthode que l'on traite ici, parce qu'elle me semble un bon paradigme de cette fameuse
souplesse du choix de l'observable-sonde de la rétroaction. On considére donc un système d'état
(sans transferts ou tout transfert éliminé) dont une partie - mettons là en tête du vecteur d'état -
représente un champ ($\zeta_i = \zeta(x_i), i=1,p$). On introduit alors la moyenne de ce champ :
%
\begin{equation}
\varphi = \frac{1}{p}\sum_i ^p \zeta_i
\label{moyn}
\end{equation}
%
Le problème est qu'il n'existe pas (on le suppose) d'occurence de cette moyenne dans les équations primitives,
et alors, soit on la fait apparaître (par sommation ?) soit il faut trouver une autre méthode.
Mais un essai de sommation, s'il fait apparaître une $\sum_i\partial_t\Deta_i$ à gauche, n'en guère apparaître à droite,
sauf à supposer tous les coefficients $a_{ij}$ d'une colonne égaux, ce qui revient à supposer que chaque trajectoire
de maille partage son SLT avec les autres, hypothèse qui enlève tout son intérêt à la moyenne du champ je trouve.

Alors, pour rendre le système sensible à cette variable, on effectue pour ces $p$ composantes le changement
de variable $\zeta_i\rightarrow\varphi+\eta_i$, d'où la reformulation du SLT :
%
\begin{eqnarray}
\partial_t(\Deta_i+\Dfi) &=& \sum_j a_{ij}(\Deta_j+\Dfi) \nonumber\\
&\rightarrow&\partial_t(\Deta+\ket{b_u}\Dfi) = A\Deta + A\ket{b_u}\Dfi \\
\Dfi &=& \sum_{i=1} ^p (\Deta_i+\frac{1}{p}\Dfi) = \Dfi +\bra{c^{\dagger} _{1/p}}\Deta\nonumber\\
&\rightarrow& 0\Dfi = +\bra{c^{\dagger} _{1/p}}\Deta\nonumber
\end{eqnarray}
%
(on a laissé de côté les autres états pour faire simple\footnote{on peut encore supposer qu'on
les a éliminés, mais alors $\bra{c^{\dagger}}$ et $\ket{b}$ deviennent dépendantes de $t$.}).
Avec ainsi des vecteurs $\ket{b}$ et
$\bra{c^{\dagger}}$ particulièrement simples et constants. Comme il est bien connu dans l'unsecte,
on arrive à une équation de transfert singulière, ce qui n'empêche nullement le système de rester
régulier\footnote{c'est le syndrome du {\bf K}$\_$transfert et de l'adage que {\it la famille ne se
soucie  guère de la singularité de sa branche.}}.

Étant donné que la définition d'une boucle de rétroaction pose avant tout un problème
de structure, on se place dans le cadre le plus simple de formalisation et on examine
la forme SLT-Borel du gain :
%
\begin{eqnarray}
\mu(\tilde{\Deta}+\ket{b_u}\tilde{\Dfi}) &=& A\tilde{\Deta}+A\ket{b_u}\tilde{\Dfi} \nonumber\\
&\rightarrow&\mu\tilde{\Deta} = A\tilde{\Deta} - [\mu I - A]\ket{b_u}]\tilde{\Dfi} \nonumber\\
0\tilde{\Dfi} &= \bra{c^{\dagger} _{1/p}} \tilde{\Deta}\nonumber\\
&\rightarrow& \scal{c^{\dagger} _{1/p}}{b_u}\tilde{\Dfi} =\tilde{\Dfi} = 0\,[+\tilde{u}(\mu)]
\label{sltmoy}\end{eqnarray}
%
où on a posé $\mu=\frac{1}{\tau}$. Le facteur $\ket{b}$ est constitué de composantes unité,
et $\bra{c^{\dagger}}$ de $\frac{1}{p}$, et ainsi $\scal{c^{\dagger}}{b}=1$.
On remarque que l'introduction de la valeur moyenne revient bien à la contrainte
de somme des anomalies ($\Deta$) nulle :

{\it La valeur moyenne est la variable de Lagrange conjuguée à la contrainte de somme
nulle des anomalies.}

Même dans le cas
réaliste avec d'autres cellules, il apparait une difficulté de concevoir la boucle ouverte,
\cad de perturber $\varphi$ sans réaction immédiate des cellules, ce qui semble cohérent avec
la formulation retenue, car avec $\ket{b}$ nul, leur modèle devient impropre
à la détermination d'une évolution découplée de leur état. Ou encore, faut-il perturber la
moyenne SANS que la somme des anomalies reste nulle ? Ça en devient banal dans l'unsecte
que cette ouverture de boucle est difficile !

\vspace{0.2cm}
Faut donc y réfléchir, mais on voit
que la ``souplesse'' introduite est nécessaire, certes, mais pas définitive ... On peut même
ne pas s'empêcher de penser que cette souplesse introduite dans la couche $[\mu]$ ouvre
une vaste étendue sémantique au niveau supérieur $[\theta]$, mais n'est-ce pas là un
effet récurrent du TEF ?

%
\begin{figure}[ht]
\centerline{\psfig{figure=PS/gainsmoy.eps,%
bbllx=0pt,bblly=0pt,bburx=435pt,bbury=300pt,width=8cm,clip=}}
\caption{Structure de boucle pour champ moyen.}
\label{retroM}
\end{figure}
%
En y réfléchissant donc, on peut remarquer qu'une perturbation $\Dfi$ de la valeur moyenne
des $\zeta_k$ laisse inchangées les anomalies $\Deta_k$ --- du moins c'est ce qu'on a jusqu'ici supposé.
La conséquence est alors logique :
pas de rétroaction, puisque l'effet immédiat lui-même de la perturbation est nul ! Et tout aussi
logiquement, gain de rétroaction nul\footnote{cette légère réflexion m'a pris moins d'un week-end ...
J'avais en tête un certain {\it a priori} sur l'existence d'un rapport entre gain moyen et gain
de la  moyenne, alors que ça n'a rien à voir, on y reviendra.}.

%
\vspace{0.3cm}
{\it remarque méthodologique}
\vspace{0.2cm}

Le problème soulevé est clairement lié à la {\it formulation} particulière du modèle, avec ici un
parti-pris de {\it remplacer} les grandeurs par les anomalies. Mais on peut le voir aussi comme
une simple recherche d'intégration sobre d'une observable dans les modèles pour les rendre sensibles
à cette nouvelle variable et pouvoir ainsi déterminer un gain (faire devenir {\it pronostique} comme disent
certains, cette observable introduite {\it diagnostiquement}).

Sinon, en conservant le système
des équations primitives, on connait une manière {\it diagnostique} de déterminer un gain,
en appliquant la méthode du 3\textsuperscript{ème} système du~\ref{PGR}\ref{gainonl}, \cad en coupant le brin aval de $(\Phi)$ et en perturbant la cellule
avec $\ket{b}\Dfi$, on sait qu'on obtient $\Dfi$ en réponse,  qui donne directement
l'effet-en-retour $\varrho(\mu) = \bra{c^{\dagger}} (\mu I -A)\ket{b}$ (la forme habituelle du gain
se trouve donner dans ce cas l'effet-en-retour).

On a donc simplement un problème de formulation pertinente.

\vspace{0.3cm}
{\it un problème sémantique}
\vspace{0.2cm}

\hspace{1.cm}La question étant de poser un problème mettant en \oe uvre une moyenne de champs. 
De quoi traite-t-on ? Il ne peut s'agir, comme on vient de le découvrir, de l'effet-en-retour moyen
de perturbation des anomalies. Par contre, il peut s'agir de l'effet moyen d'une perturbation de
cet ensemble, considéré comme un sous-système, sur une autre partie ? C'est cette structure
que l'on va considérer à présent.

Introduisons alors la différence entre les cellules ($\Deta$), dont le modèle inclut cette grandeur
moyenne ($\Dfi$), et les autres ($\Deta^X$) correspondant au schéma de la fig~\ref{retroM}.
Reformulons le problème en explicitant la séparation entre $x=\tilde{\Deta}$ et $y=\tilde{\Deta}^X$,
à partir de~(\ref{sltmoy}) :
%
\begin{eqnarray}
\mu x &=& A_{xx}x + A_{xy}y -[\mu I - A_{xx}]\ket{b_1}\tilde{\Dfi} \nonumber\\
\mu y &=& A_{yy}y + A_{yx}x + A_{yx}\ket{b_2}\tilde{\Dfi} \nonumber\\
0\;\tilde{\Dfi} &=&\bra{c^{\dagger} _{1/p}} x
\end{eqnarray}
%
on remarque que les $\ket{b_i}=\ket{b_u}$ sont tous deux avec $p$ composantes unité et que l'on
a aussi $\scal{c^{\dagger}}{b_i}=1$. 

La sémantique correcte devrait je crois viser à envisager,
%
\begin{itemize}
\item soit une perturbation des cellules ($\zeta_k$) de somme nulle d'une part ($\Dfi=0$), mais alors
en introduisant un ``bruit statistique''de perturbation,
\item soit au contraire une forme de répartition d'une perturbation de la moyenne sur chaque
cellule (caractérisée par $\Dfi=u(t)$ ET une loi de répartition (qui sera simplement donnée
par $\ket{b}$\footnote{avec $\scal{c^{\dagger}}{b_i}=1$, qui doit pouvoir se justifier en
tant que relation de cohérence entre la répartition de la perturbation moyenne et la
prise de cette moyenne.};
\end{itemize}
%
c'est de ce dernier cas que l'on doit traiter ici. Perturber la moyenne sous-entend bien que
la somme des anomalies doit rester nulle, sinon, on n'a pas perturbé QUE la valeur moyenne.
Autrement dit, sur le schéma~\ref{retroM}, il faut annuler $\ket{b_2}$, et pas $\ket{b_1}$.
La boucle par $\ket{b_1}$ représente la contrainte lagrangienne qui porte sur $\Dfi$, et
dont le gain est nul.

 Devant ce problème
de contenu sémantique de la boucle de rétroaction, un examen semble nécessaire.
Définissons la sémantique générale de la boucle sur le modèle originel:

%
\begin{equation*}
\Deta_{moy} \rightarrow \Delta\zeta_i \rightarrow \textit{ réaction des cellules } \zeta, \Deta^X \textit{ ensemble }
 \rightarrow \Deta_{moy}
\end{equation*}
%
mais avec le modèle modifié, on a :
%
\begin{eqnarray}
\Dfi \qquad\rightarrow&& (\Deta_i+\Dfi)\textit{ ensemble } \rightarrow \textit{ réaction des cellules } \Deta^X\nonumber\\
&&\rightarrow(\Deta+\Dfi)\quad\rightarrow\quad \Dfi  \textit{ (avec } \sum_k{\Deta_k}=0)\label{boucleM}
\end{eqnarray}
%
On devrait trouver que l'élimination des cellules se structure en une somme de gains (boucles
emboitées) dont la somme est nulle, mais subtilement.

Procédons maintenant à cet exercice toujours pénible
de l'élimination. On se demande perpétuellement pourquoi c'est déjà si compliqué avec seulement
deux cellules ! La bon choix consiste à éliminer d'abord $x$, car on sait déjà que ça régularise
l'équation de transfert\footnote{bien évidemment, j'ai commencé par la mauvaise option, d'où
une dizaine d'heures de calculs fastidieux pour une formule finale imbitable, grâce à Woodburry
(j'ai laissé ce calcul en texte caché dans le .tex pour ceux que ça peut amuser).
Et puisque ce texte est partagé par des citoyens de bonne compagnie, je me permets une conjecture
stémologique~: si on est dans le TEF et qu'on trouve malin d'utiliser la Woodburry pour arriver
à ses fins, on doit pouvoir faire plus élégant et plus simple. Ceci parce que la démonstration
de la formule~: $
(M + UV^{\dagger})^{-1} = M^{-1} - M^{-1}U[I+V^{\dagger}M^{-1}U]^{-1}V^{\dagger}M^{-1}$,
vous allez encore rire, se fait dans l'unsecte en ``décécroismoinsunbisant'' la matrice composée :
$\begin{bmatrix}I & -V^{\dagger} \\ U & M\end{bmatrix}\begin{bmatrix}Y \\
 X\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 \\ I\end{bmatrix}$, avec $X$ l'inverse recherchée, $Y$ une
matrice auxiliaire. Une complémentation de Schür donne la définition de $X$,
et la Schür opposée fournit $Y$, que l'on introduit dans le système de la deuxième bande.
Ma conjecture est que cette manipulation doit pouvoir se faire directement dans la matrice du
système structurée par le TEF.}~:
%
\begin{eqnarray}
(\mu I - A_{xx})\; x &=& A_{xy}y\, -\, (\mu I - A_{xx})\ket{b_1}\tilde{\Dfi} \nonumber\\
\rightarrow && x = A_x ^{-1}A_{xy}\;y\quad - \ket{b_1}\tilde{\Dfi} \nonumber\\
\mu y &=&( A_{yy} + A_{yx}A_x ^{-1} A_{xy} )\; y \,-A_{yx}\ket{b_1}\tilde{\Dfi} +A_{yx}\ket{b_2}\tilde{\Dfi} \nonumber\\
0\;\tilde{\Dfi}  &=& \bra{c^{\dagger} _{1/p}} A_x ^{-1} A_{xy}\;y\, -\scal{c^{\dagger} _{1/p}}{b_1}\}\tilde{\Dfi}
\label{sansx}\end{eqnarray}
%
en ayant posé $A_x=(\mu I-A_{xx})$, et en se rappelant que $\scal{c^{\dagger} _{1/p}}{b_1}=1$ : on a bien
régularisé. Il reste plus qu'à éliminer $x$ pour obtenir
%
\begin{equation}
\{\, 1 - \bra{c^{\dagger} _{1/p}} A_x ^{-1} A_{xy} A_{y\underline{x}y} A_{yx}\, (\ket{b_2}-\ket{b_1})\,\}\;\tilde{\Dfi}
= \tilde{u}(\mu)
\label{retromoy}\end{equation}
%
où on a posé~:
%
\begin{equation*}
A_{y\underline{x}y} = (\mu I -A_{yy} -A_{yx}[\mu I - A_{xx}]^{-1} A_{xy})
\end{equation*}
%
Ce résultat parait assez magique, et prend à rebours les accros à la boucle. Celle-ci correspond
au diagramme de la fig.~\ref{diagraM}.
%
\begin{figure}[ht]
\centerline{\psfig{figure=PS/diagramoy.eps,%
bbllx=0pt,bblly=0pt,bburx=315pt,bbury=270pt,width=8cm,clip=}}
\caption{Le gain de champ moyen reste nul.}
\label{diagraM}
\end{figure}
%

\vspace{0.5cm}
{\it analyse du résultat}
\vspace{0.5cm}

\hspace{0.5cm} Remarquons tout d'abord que les bloc-matrices de type $A_{xy}$ sont les parties
de la matrice d'avance {\bf complète} du système originel; c'est heureux (ou logique suivant l'humeur),
parce qu'il est impossible d'éliminer le transfert introduit.
Ensuite, que l'annulation de $\ket{b_1}$ a pour résultat de couper l'effet d'une perturbation
de $\Phi$ sur $x$, et ainsi de permettre un effet sur $\zeta = x + \Phi$, le champ originel.
Alors, à $\ket{b_1}$ nul toujours, les $y$ réagissent, transmettent leur réaction à $x+\Phi$, et de là
à $\Phi$~: le gain cherché correspond bien au résultat~(\ref{retromoy}) avec ce type d'ouverture~:
\smallskip
%
\begin{equation}
\boxed{
g =  \bra{c^{\dagger} _{1/p}} A_x ^{-1} A_{xy} A_{y\underline{x}y} ^{-1} A_{yx}\ket{b_2}
}\label{moygain}\end{equation}

\medskip
On peut aussi se convaincre de sa conformité avec l'analyse sémantique {\it a priori} de cette
boucle~(\ref{boucleM}).

\vspace{0.3cm}
{\it On arrive finalement à cette boucle ``quantique''~:
%
\begin{itemize}
\item en boucle fermée, le gain est nul;
\item en coupant un brin de la fig.\ref{retroM}, le gain est $-g$;
\item en ouvrant l'autre, on trouve $g$ !
\end{itemize}}
%
si on peut pas fabriquer un ordinateur quantique\footnote{pour répondre à une interrogation soulevée,
je la trouve quantique en ce qu'elle comporte un état $(g, -g)$ indéterminé si on ne lui fait
subir une `mesure'~: ici, couper le fil rouge ou bleu.}
 avec ça, c'est à désespérer.

\vspace{0.3cm}
Examinons le mécanisme suivant la boucle exprimé dans~(\ref{moygain})
%
\begin{itemize}
\item $A_{yx}\ket{b_2}$~: la perturbation appliquée à $\zeta$ en moyenne se transforme
en une somme des colonnes de $A_{yx}$, matrice d'influence de $x$ sur $y$;
\item $A_{y\underline{x}y}^{-1}$ est la réponse de la famille $x, y$ (\cad celle de $y$ quand elle inclut
la réaction de $x$ mais sans celle de $\Phi$;
\item $\bra{c^{\dagger} _{1/p}} A_x ^{-1}$~: retour sur $x$ et réponse moyenne par la moyenne
des effets de $x$, ce qui semble cohérent avec un retour sur la valeur moyenne;
\end{itemize}
%
Ainsi, ce mécanisme passe par la vision d'une famille des deux cellules couplées (la famille $U$,
comme Univers, pour les ZOOMophiles). L'attaque à partir de la perturbation de la valeur moyenne
sommée et le retour par $x$ moyenné semblent également pertinente pour se convaincre que $g$ est
bien le gain recherché\footnote{pour les réfractaires à ce genre de sémantique, ils pourront
se contenter de vérifier que l'expression du gain est identique à celle que fournit
la méthode diagnostique sur le système primitif.}.
%%  Comme l'équation de transfert ne porte pas sur $y$, on va éliminer $y$ de $(x)$
%% puis porter le tout avec force et constance dans~($\Dfi$).
%% %
%% \begin{eqnarray}
%% (\mu I - A_{yy})y &=& A_{yx}x + A_{yx}\ket{b_2}\tilde{\Dfi} \nonumber\\
%% (\mu I - A_{xx})x &=& A_{xy}[\mu I - A_{yy}]^{-1} A_{yx}x   \nonumber\\
%%  &&-\{ [\mu I - A_{xx}]\ket{b_1} - A_{xy}[\mu I - A_{yy}]^{-1} A_{yx}\ket{b_2}\}\tilde{\Dfi}\nonumber\\
%% (\mu I - A_{xx} -  A_{x\underline{y}x}) \, x  &=&
%% -\{ [\mu I - A_{xx}]\ket{b_1} - A_{x\underline{y}x}\ket{b_2}\}\tilde{\Dfi}
%% \end{eqnarray}
%% %
%% où on a posé~:
%% %
%% \begin{equation*}
%% A_{x\underline{y}x} = A_{xy}[\mu I - A_{yy}]^{-1} A_{yx}
%% \end{equation*}
%% %
%% Maintenant, si on veut recomposer le terme unité de $(1-g)$ comme dans le cas simple précédent,
%% on a le choix. Le plus simple formellement consiste à accepter l'égalité $\ket{b_1}=\ket{b_2}=$,
%% mais on perd la coupure, et on arrive ainsi de nouveau à $\Dfi = 0$; ou bien
%% on peut par exemple séparer $[\mu I -A_{xx}]$ du reste dans l'inversion de la matrice en
%% facteur à gauche. On utilise la formule de Woodburry rappelée ici\footnote{dans l'unsecte, on démontre
%% très simplement cette formule, vous allez encore rire, en ``décécroismoinsunbisant'', ou dé-Schürant
%% la matrice composée : $\begin{bmatrix}I & -V^{\dagger} \\ U & M\end{bmatrix}\begin{bmatrix}Y \\
%%  X\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 \\ I\end{bmatrix}$, avec $X$ l'inverse recherchée, $Y$ une
%% matrice auxiliaire. Une complémentation de Schür fournit $Y$,
%% que l'on introduit dans le résultat de la Schür opposée.} :
%% %
%% \begin{equation}
%% (M + UV^{\dagger})^{-1} = M^{-1} - M^{-1}U[I+V^{\dagger}M^{-1}U]^{-1}V^{\dagger}M^{-1}
%% \end{equation}\label{woodburry}
%% %
%% à condition de développer $A_{x\underline{y}x}$ sur la base d'éléments propres de $A_{yy}$, \cad
%% ses V.P. cross-normés $\scal{f_i}{e_j}=\delta_{ij}$ et v.p. $\lambda_k$ (et les sempiternelles
%% hypothèses de non-multiplicité) :
%% %
%% \begin{equation*}
%% A_{x\underline{y}x} ^{-1} = E_y[\frac{1}{\mu - \lambda_y}]F^{\dagger}
%% \end{equation*}
%% %
%% avec cette notation de la matrice diagonale $[\mu I - \Lambda_y]^{-1}$.
%% On peut à présent appliquer la Duboisenterrer avec $M = (\mu I - A_{xx})$,
%% $\displaystyle U = A_{xy}E_y [\frac{1}{\mu-\lambda_y}]$ et
%% $V^{\dagger} = F^{\dagger} _y A_{yx}$, pour obtenir (en posant $A_x = (\mu I - A_{xx})$) :
%% %
%% \begin{eqnarray}
%% x = &-& \{A_x ^{-1} + A_x ^{-1} A_{xy} E_y[\frac{1}{\mu - \lambda_y}]
%% \{I_y - F^{\dagger} _y A_{yx} A_x ^{-1} A_{xy} E_y[\frac{1}{\mu - \lambda_y}]\}^{-1}
%% F^{\dagger} _y A_{yx} A_x ^{-1}\}\nonumber\\
%% &&\{A_x\ket{b_1} - A_{x\underline{y}x}\ket{b_2}\}\,\tilde{\Dfi}
%% \end{eqnarray}
%% %
%% en portant dans l'Equation de transfer, on a quatre termes à multiplier par $\bra{c^{\dagger} _{1/p}}$,
%% qui donne l'unité pour le premier, ce qui fournit un ``gain'' de rétroaction formé
%% de trois composants (dont on sait que la somme est nulle, suivant notre remarque sur l'égalité
%% des $\ket{b_i}$). Pour alléger les notations, notons encore 
%% %
%% \begin{equation*}
%% R_{y\underline{x}y} = \{I_y - F^{\dagger} _y A_{yx} A_x ^{-1} A_{xy} E_y[\frac{1}{\mu - \lambda_y}]\}^{-1}
%% \end{equation*}
%% %
%% il reste finalement l'égalité :
%% %
%% \begin{eqnarray}
%% \bra{c^{\dagger} _{1/p}} A_x ^{-1} A_{xy} E_y [\frac{1}{\mu - \lambda_y}] &R_{y\underline{x}y}& F^{\dagger} _y A_{yx}\ket{b_1}\nonumber\\
%%   &=& \bra{c^{\dagger} _{1/p}} A_x ^{-1} A_{x\underline{y}x} \ket{b_2} \\
%%   &&+ \bra{c^{\dagger} _{1/p}} A_x ^{-1} A_{xy} E_y [\frac{1}{\mu - \lambda_y}] R_{y\underline{x}y} F^{\dagger} _y A_{yx} A_x ^{-1}\ket{b_2}\nonumber
%% \end{eqnarray}
%% %
%% {\bf Comme la sémantique reste un peu cachée, c'est le moins que l'on puisse dire, va falloir simplifier
%% les termes. Par exemple, la dissymétrie que l'on a crée en faisant porter à $E$ la matrice des pôles de $y$
%% et les deux formes que l'on peut obtenir indique vraisemblablement l'existence de matrices diagonales
%% cachées ? je suis déjà preneur de vos questions - rectifications - propositions.}

\newpage
{\it Le même sur le SLTC et \Minik}
\vspace{0.3cm}
%

En cohérence avec l'approche proposée, on souhaite éviter l'intégration du propagateur
complet, et globaliser la cellule $(x)$. Justement, il s'est passé un phénomène asez peu banal qui vous a
peut-être échappé lors de l'obtention du système~(\ref{sansx}), c'est que le champ des anomalies est entièrement
déterminé dès que l'on connait le champ $y$ et $\Dfi$ (le $\partial_t$ a disparu) !
La cellule $(x)$ est devenue un transfer\footnote{mais recellant quand même un opérateur
temporel.} ! Dans l'espace physique, on a $(\partial_t -A)\Deta =-(\partial_t -A)\Dfi$,
et chaque composante de l'anomalie évolue de concert avec $\Dfi$. Et cela alors que la perturbation de $\Phi$
est sans effet sur $x$ ! On a là une occasion de vertige dans ce saut quantique qui sépare les couches physique
et mathématique, et je subodore qu'on n'a pas fini d'en reparler, et je me défausse sur le prochain Zircon.

Alors, en considérant sans vertige ce système~(\ref{sansx}) d'où
$x$ a été justement éliminé, et prenant $\ket{b_1}$ nul, il suffit d'intégrer le système suivant~:
%
\begin{equation}
\begin{bmatrix} \partial_t \Phi_y \\ \bra{\psi} \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} (A_{yy} + A_{yx}A_{xx} ^{-1}A_{xy}) & A_{yx}\ket{b_u} \\ \bra{c^{\dagger} _{1/p}}A_{xx} ^{-1}A_{xy} & 0 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} \Phi_y \\ \bra{\psi} \end{bmatrix}
\label{moypropa}\end{equation}
%
qui est le système des propagateurs associés aux C.I. de $y$. La suite en découle en suivant
la méthode des trois systèmes de gain, sauf qu'ici le gain lui-même reste inaccessible du fait
de l'impossibilté de produire la matrice réduite $A^{\flat}$.

 {\it En ce qui concerne \Minik, on a un système à intégrer
non standard, qui ne s'exprime pas comme les extensions aux variables du TEF. Ajoutons-y Floquet,
de mêmes dimensions mais en variables complexes alors qu'on n'a pas l'utilité de passer tout le
code en complexes, pour arriver à la nécessité d'envisager un nouveau bloc de calculs permettant
d'intégrer des systèmes dont les matrices sont calculées à partir des jacobiennes du SLTC. Il
faudra en discuter.}
%
\subsection{Gain moyen}
% .....................
Le problème est le suivant~: une perturbation perturbe un champ de grandeur; comment
caractériser son effet moyen ? et comment cet effet moyen rétroagit-il sur la grandeur
perturbée ? On voit qu'il s'agit d'un pur problème de structuration d'un gain classique, dans
lequel on veut globaliser un élément distribué\footnote{les mouches ? je vois pas ...}.

On considère un système $\mu x = A x$, et on examine la réponse du système à une perturbation
de chaque composante ($k$) d'état tour à tour. On considère ainsi
%
\begin{eqnarray}
\mu x &=& A\; (I-\ext{u_k}{u_k})\; x\;+A\ket{u_k}\tilde{\Dfi_k} \nonumber\\
\tilde{\Dfi_k} &=& \bra{u_k} x\nonumber\\
\end{eqnarray}
%
on rappelle que $x$ est le vecteur des variations $\Deta$  par rapport à la trajectoire de référence,
$\Dfi_k$ scalaire est la seule variable de transfert du système $(k)$, qui recopie la
k\textsuperscript{ème} composante de $x$ (présentation EPL). Le vecteur $\ket{u_k}$ est
le k\textsuperscript{ème} vecteur de la base euclidienne.
Le plus dur est fait, car on a rendu le plus générique possible le système en $k$.

L'élimination de $x$ dans $(\Dfi)$ donne
%
\begin{equation}
(1\, - \bra{u_k}(\;\mu I - A + A\;\ext{u_k}{u_k})^{-1}A\ket{u_k})\;\tilde{\Dfi_k} = \tilde{u}(\mu)
\end{equation}
%
Et alors là, enfin ! Euréka, on conçoit d'emblée la nécessité évidente d'appliquer la
Woodburry flop, démentant ainsi ma précédente conjecture, que je maintiens.
Le gain s'écrit alors
%
\begin{equation}
g_k \;=\;  \bra{u_k}(\;\mu I - A)^{-1}A\ket{u_k} -\,\frac{\bra{u_k}(\;\mu I - A)^{-1}A\ket{u_k}^2}{1+\bra{u_k}(\;\mu I - A)^{-1}A\ket{u_k}}
\end{equation}
%
de forme $g=\frac{m}{1+m},\; m=\bra{u_k}(\;\mu I - A)^{-1}A\ket{u_k}$, d'où l'effet-en-retour moyen~:
%
\begin{equation}
\varrho_{mean} =  \frac{1}{p}\sum_k \bra{u_k}(\;\mu I - A)^{-1}A\ket{u_k}
\label{effmoy}\end{equation}
%
Et pour finir, si on considère la décomposition en éléments propres\footnote{avec les hypothèses et
normalisation classiques.} de $A$, tout se simplifie, du fait que $\sum_k \scal{f_i}{u_k}\scal{u_k}{e_j}=\scal{f_i}{e_j}=\delta_{ij}$,
et on trouve
%
\begin{equation}
\boxed{
\varrho_{mean} =  \frac{1}{p}\sum_k \frac{\lambda_k}{\mu-\lambda_k}
}\label{effmoyvp}\end{equation}
%
Ce résultat est en réalité général, puisque $\sum_k \bra{u_k}M\ket{u_k}=Tr M$
et ainsi égale la somme des v.p., quelle que soit leur multiplicité. On peut comparer
au résultat général de l'equ.(\ref{repeffvp})~:
%
\begin{equation*}
\varrho_{eff} = \sum_{i=1} ^{n}\frac{\scal{c^{\dagger}}{e_i}\scal{f_i}{b}}{\mu-\lambda_i}
\end{equation*}
%
pour imaginer comment la prise de moyenne a englobé les éléments propres de $A$.

\paragraph{Retour sur champ moyen} Lors de l'examen précédent du gain sur
champs moyen, on n'a pas tenté de déterminer l'effet en retour sur champs moyen $\varrho_{\overline{\zeta}}$.
On sait comment obtenir le système qui le détermine, il suffit de modifer~(\ref{sltmoy}) en introduisant
la perturbation au niveau des cellules, \cad en ajoutant à droite $+A\ket{b_u}\epsilon$.
On obtient {\it in fine}
%
\begin{equation}
\varrho_{\overline{\zeta}} = \bra{c^{\dagger} _{1/p}}(\;\mu I - A)^{-1}A\ket{b_u}
\label{rhocm}\end{equation}
%
Cette fois-ci, ce n'est pas la trace de la matrice qui est en jeu, mais la somme de ces coefficients !
La conclusion s'en dégage clairement, c'est $\varrho_{\overline{\zeta}}\ne \varrho_{mean}$~:
{\bf l'effet-en-retour moyen n'est pas celui du champ moyen\footnote{Al1, Mars 2008.} !} Voilà qui
jette un regard éveillé sur la pratique utilisée à partir des résultats de champs moyens de GCM
pour déterminer des gains de rétroaction climatique, non ? S'il apparaît que cette pratique mette en jeu
une information plus riche (tous les coefficients du produit matriciel au lieu de seulement sa trace),
l'aspect fluctuations spatio-temporelles peut très bien perdre de sa trace à cette grande sommation ...

\vspace{0.5cm}
En dépi de l'intérêt manifeste de tout ça, il faut bien voir que ce n'est qu'un commencement
(mais déjà un commencement !) qui doit se prolonger :
\vspace{0.5cm}
%
\begin{itemize}
\item les V.P. de $A$ retrouvent leur influence dès qu'on étend le système à plusieurs sous-systèmes;
\item on peut s'intéresser à la réponse moyenne d'une partie lorsque la valeur moyenne
du champ d'une partie adverse est perturbée, etc
\item et tenter de croiser ces deux approches sur chaque système;
\item d'autres observables sont tout aussi pertinentes, à commencer par
la prise d'EOF, de structures singulières et autres décompositions globalisantes,
et ceci pour la moyenne de l'effet comme de l'effet moyen;
\item faudrait essayer de voir ce qui se passe à la limite où la discétisation spatiale
d'un domaine $\rightarrow \inf$
\item établir le lien entre notre approche du gain et celle de René Thomas, cf
C.~Letellier et O.~Vallée {\it in} J. Phys. A: Math. Gen. {\bf 36} (2003) 11229-11245.
Ces braves gens parlent de l'ensemble des F-B Loop qualitatives définies
par la structure de la matrice Jacobienne\footnote{Ils prétendent en particulier que Jacob
aurait trouvé sa matrice en descendant une i-échelle ({\it à~vérifier}).};
\end{itemize}
%
\vspace{1.cm}

\hrule
\vspace{1.cm}
{\it Bref, devant l'ampleur des développements droit devant pour arriver à produire des résultats
physiques à partir des modèles maillés, et du peu de chemin parcouru, on peut conclure
à un nouvel échec de l'unsecte\footnote{Ouf ! de justesse : mais \flqq un petit échec pour l'unsecte,
un grand pour l'Humanité \frqq.}.}
%
\subsection{Extensions au SLTC}
% ..........................
L'expression\footnote{Al1, Mars 2008.} des effets-en-retour s'écrit plus généralement dans le cas de la réponse moyenne~:
%
\begin{equation}
\varrho_{mean}(t,0) =\frac{1}{p}\sum_k\bra{u_k}\int_0^t\Phi(t,\tau)A(\tau)\ket{u_k}\varpi(\tau) \,d\tau
\end{equation}
%
On voit dans l'intégrale apparaître $\partial_\tau\Phi(t,\tau)$ au signe près, si bien que
l'intégration donne, avec une perturbation canonique $\varpi=1$~:
%
\begin{equation}
\varrho_{mean}(t,0) =\frac{1}{p}\sum_k\bra{u_k}(I-\Phi(t,0))\ket{u_k}=1-\textit{Tr}\,\Phi(t,0)
\end{equation}
%
résultat sympatique de par sa simplicité formelle.

Du côté des champs moyens, on peut généraliser~(\ref{rhocm})~:
%
\begin{eqnarray}
\varrho_{\overline{\zeta}}(t,0) &=&\bra{c^\dagger_{1/p}}(I-\Phi(t,0))\ket{b_u}=1-\textit{Tr}\,\Phi(t,0)-\sum_{i\ne j}\,\Phi_{i,j}(t,0)\nonumber\\
\varrho_{\overline{\zeta}}(t,0) &=&\varrho_{mean}(t,0)-\sum_{i\ne j}\,\Phi_{i,j}(t,0)
\label{comprho}\end{eqnarray}
%
Cette différence entre les deux effets mis en évidence ne pourra manquer d'avoir de grandes
répercussions à la prise de moyenne temporelle, avec {a priori}
$\displaystyle\lim_{\tau,(t-\tau)\rightarrow\infty}\varrho_{mean}(t,\tau)$
allant bon gré mal gré vers son Lyapunov, la dynamique de l'effet-en-retour sur
champs moyens restant plus complexe.

\vspace{0.3cm}
On peut remarquer que l'on aura très généralement cette simplification de l'intégrale en applicant
la méthode EPL de création de boucles de rétroaction, puisqu'on prétend pouvoir ``sortir'' de
la grande matrice $A$ les éléments sensibles pour construire le $\ket{b}$, ce qui peut toujours
se faire à partir de  $A\ext{u_k}{\kappa_k}$, qui sélectionne la liste $\kappa_k$ (formée d'éléments
unité) des coefficients de la k\textsuperscript{ème} colonne de $A$. Ceci génère du $\ket{b}=A\ket{u_k}$
et du $\bra{c^\dagger}=\bra{\kappa_k}$, d'où la simplification.
\newpage
%
\subsection{Boucle et Gains}
% ..........................
L'interprétation commune de l'unsecte concernant la sémantique du gain de la
formule~(\ref{gainbor}) consiste à dire qu'ouvrir la boucle de rétroaction
revient à rendre les cellules insensibles aux variations du transfert, soit
à annuler $\ket{b}$. Ce n'est pas strictement exact, et pour le voir, on
considère les deux ouvertures (amont ou aval) de la boucle du schéma~\ref{retro2}.
%
\begin{figure}[ht]
\centerline{\psfig{figure=PS/deuxgains.eps,%
bbllx=0pt,bblly=0pt,bburx=645pt,bbury=286pt,width=12cm,clip=}}
\caption{Deux modes d'ouverture de boucle.}
\label{retro2}
\end{figure}
%
Dans le cas de gauche (aval), l'insensibilité du système au modèle des variations
de $\varphi$ permet de remplacer ce modèle par une source exogène de perturbations.
Dans le système du SLT~(\ref{sltbor}), il faut donc appliquer directement la source ($\ket{b}h$)
aux cellules ($\ket{b}\ne 0$). On a dans ce cas la réponse de $\varphi$ à $h(\tau)$ en
boucle ouverte :
%
\begin{equation}
\Delta^o \tilde{\varphi}(\tau) =\bra{c^{\dagger}}\tau(I-A\tau)^{-1}\ket{b} \,\tilde{h}(\tau)=\tilde{g}(\tau)\,\tilde{h}(\tau)
\end{equation}
%
Le gain module ainsi la perturbation, et on a en boucle fermée
%
\begin{equation}
\Delta\tilde{\varphi}(\tau) =\frac{\tilde{g}(\tau)}{1-\tilde{g}(\tau)}\,\tilde{h}(\tau)
\end{equation}
%
c'est ce mode d'ouverture de boucle qui nous a permis de définir le gain par la
formulation~(\ref{ssensgg}).

Dans le  cas amont, c'est $\bra{c^{\dagger}}$ qu'il faut annuler\footnote{ce qui est sans
inconvénient car le terme de droite de l'équation des cellules est nul.} : le modèle de
$\varphi$ est modifié et remplacé par $\Delta\varphi^o=h$, et on a 
%
\begin{equation}
\Delta\tilde{\varphi}(\tau) =\frac{1}{1-\tilde{g}(\tau)}\,\tilde{h}(\tau)
\end{equation}
%
Les deux diagrammes correspondants sont alors donnés par la Fig~\ref{retro3}.
%
\begin{figure}[ht]
\centerline{\psfig{figure=PS/deuxdiagram.eps,%
bbllx=0pt,bblly=264pt,bburx=680pt,bbury=500pt,width=13cm,clip=}}
\caption{Les deux diagrammes associés aux deux ruptures de rétroaction.}
\label{retro3}
\end{figure}
%

Pour tenter une généralisation sur la dimension du gain, on prend à présent le point de vue du
reste du système, ici côté cellule, et l'expression correspondant au diagramme de gauche est :
%
\begin{equation*}
[I-\tau(A+\ext{b}{c^{\dagger}})]\Delta\tilde{\eta}(\tau) =\tau\ket{b}\tilde{h}(\tau)
\end{equation*}
%
et en boucle ouverte $(\bra{c^{\dagger}}=0$) :
%
\begin{equation*}
[I-\tau A]\Delta\tilde{\eta}_{ins}(\tau) =\tau\ket{b}\tilde{h}(\tau)
\end{equation*}
%
si bien que
%
\begin{equation}
[I-\tilde{G}(\tau)]\,\Delta\tilde{\eta}(\tau) = \Delta\tilde{\eta}_{ins}(\tau)
\label{celg}\end{equation}
%
où on a cette fois une matrice de gain
%
\begin{equation*}
 \tilde{G}(\tau) = \tau(I-A\tau)^{-1}\ext{b}{c^{\dagger}}
\end{equation*}
qui est remarquable par
le simple fait que $det(1-\tilde{G}(\tau)) = 1-\tilde{g}(\tau)$.

\vspace{0.25cm}
Le gain statique, \cad quand $\displaystyle \mu=\frac{1}{\tau}\rightarrow 0$ est défini par\\
$det(I-A^{-1}\ext{b}{c^{\dagger}})=1-\bra{c^{\dagger}} A^{-1}\ket{b}$.

 Le premier petit temps
caractéristique est donné par le facteur du terme en $-\mu^{n-1}$. On a
%
\begin{equation*}
det (I-(\mu I- A)^{-1}\ext{b}{c^{\dagger}}) = \frac{det(\mu I - A -\ext{b}{c^{\dagger}})}{det(\mu I -A)}
\end{equation*}
%
et on trouve que
%
\begin{equation*}
\lim_{\displaystyle \tau\rightarrow 0}\tilde{g}(\tau) = \frac{\scal{c^{\dagger}}{b}}{1-\tau Tr A}
\end{equation*}
%
en effet $Tr \ext{b}{c^{\dagger}}=\scal{c^{\dagger}}{b}$.

Ainsi, si on veut caractériser une boucle de rétroaction, dans laquelle il ne sera peut-être ni
évident, ni souhaitable, d'introduire un transfert scalaire, il faudra chercher ces caractéristiques
à partir des invariants de la boucle, et leur trouver un sens physique convaincant.

{\it Sinon, c'est Bill qui aura raison.}
%
\subsection*{Invariants de boucle}
%
L'exemple précédent servait d'illustration paradigmatique d'une boucle plus générale alternant
éléments inertes et transferts vectoriels du système structuré par la recherche d'un mécanisme
interprétatif.

Dans la fig.~\ref{boucle1}, on a orienté tous les transferts de la boucle pour laisser
le triple choix de la coupure. Le système résiduel du schéma suppose que tout autre transfert
du système originel a été éliminé -- ce qui montre bien la difficulté de choisir une boucle
pertinente en conservant les orientations des tranferts sélectionnés, ceci dit en passant.
%
\begin{figure}[ht]
\centerline{\psfig{figure=PS/gainmat.eps,%
bbllx=1pt,bblly=1pt,bburx=655pt,bbury=455pt,width=11.3cm,clip=}}
\caption{Boucle à trois gains.}
\label{boucle1}
\end{figure}
%
Il reste donc, pour les parties inertes 
%
\begin{eqnarray}
\left[I-\tau A_a\right] \Delta \tilde{\eta}_a &=& \tau \ket{b} \Delta\tilde{\varphi}\,+. \nonumber\\
\left[I-\tau A_b\right] \Delta \tilde{\eta}_b &=& \tau \,B_b \,\Delta\tilde{\varphi}_1\,+. \nonumber\\
\left[I-\tau A_c\right] \Delta \tilde{\eta}_c &=& \tau \,B_c \,\Delta\tilde{\varphi}_2\,+.
\end{eqnarray}
%
où on a laissé vacantes les possibles perturbations. Pour les transferts :
%
\begin{eqnarray}
\Delta\tilde{\varphi}&=&\bra{c^{\dagger}}\Delta \tilde{\eta}_c\,+. \nonumber\\
\Delta\tilde{\varphi_1}&=&C^{\dagger}_1\,\Delta \tilde{\eta}_a\,+. \nonumber\\
\Delta\tilde{\varphi_2}&=&C^{\dagger}_2\,\Delta \tilde{\eta}_b\,+. 
\end{eqnarray}
%
Les trois coupures possibles mènent à trois gains -- un scalaire et deux matrices :
%
\begin{eqnarray}
\tilde{g}(\tau)&=& \bra{c^{\dagger}}\tau(I-\tau A_c)^{-1}B_c C^{\dagger}_2\tau(I-\tau A_b)^{-1}B_b C^{\dagger}_1\tau(I-\tau A_a)^{-1}\ket{b}\nonumber\\
\tilde{G_1}(\tau)&=&  C^{\dagger}_1\tau(I-\tau A_a)^{-1}\ket{b}\bra{c^{\dagger}}\tau(I-\tau A_c)^{-1}B_c C^{\dagger}_2\tau(I-\tau A_b)^{-1}B_b \\
\tilde{G_2}(\tau)&=& C^{\dagger}_2\tau(I-\tau A_b)^{-1}B_b C^{\dagger}_1\tau(I-\tau A_a)^{-1}\ket{b}\bra{c^{\dagger}}\tau(I-\tau A_c)^{-1}B_c \nonumber
\label{g3}\end{eqnarray}
%
Les éléments invariants de la boucle déjà répertoriés sont liés au théorème de
jyg\footnote{Tarbes, Juillet 2003; c'était l'année d'après l'estocade mortelle sur le signe du binôme
en fonction des racines.} a propos de l'invariance de $det(I+M)$ par permutation circulaire
des matrices produisant $M$\footnote{c'est beau le Français, quand même.}. Il découle de cette
propriété celle de l'invariance du spectre des matrices de gain ($M$ et $sI+M$ ont mêmes V.P. et
même spectre décalé ($\lambda_i\rightarrow \lambda_i+s$).
 
\vspace{0.8cm}
\hrule
\vspace{0.8cm}
Bref et pour tourner court ce long papier, il va falloir construire un programme du genre ici proposé :
\begin{itemize}
\item compléter si possible les invariants;
\item utiliser ces invariants pour caractériser de façon la plus synthétique les propriétés
de stabilité aux perturbations de mécanismes liés à la boucle;
\item idem sur une réponse dynamique;
\item généraliser les liens établis ci-dessus entre éléments propres et pôle(s) des $\tilde{G}_i(\tau)$;
\item dans les cas d'absence de transfert scalaire, essayer d'utiliser les moyennes de composantes
pour caractériser encore un gain scalaire de boucle;
\item et passer en non\_$\mathcal{L}$ en suivant la démarche du~\ref{gainonl};
\end{itemize}
 {\it Par exemple, le
déterminant de $\Phi(t,0)$ donne la manière dont un volume de perturbations $\prod_i \Delta\eta_i(t=0)$
varie le long de la trajectoire\footnote{à ce sujet, le wronskien est en standard
dans la \Minik 101e, le résultat est la dernière colonne de {\bf res.data}.}.
rapport aux Lyapunov;}
%
\section{La normalisation}
% ------------------------------------------------
%
Ces considérations\footnote{Al1, Avril 2007.} proviennent de l'expérience numérique du fit
d'un système pour le rendre périodique. On utilise par exemple un écart quadratique
sur les états pour déterminer le premier retour, et, en utilisant le propagateur d'état $\Phi$,
on affine les C.I., mais aussi la période, etc (cf Floquet). Lorsque les composantes
de l'état sont dans des rapports numérique de $1.$ à $10^6$ et plus, on pense naturellement
à utiliser une normalisation pour travailler avec un écart équilibrant le poids des
variables (fonction {\bf quad\_dist\_nrm}). On peut alors constater que le calcul
des éléments propres avec LaPack fait un scaling ressemblant fort à la normalisation ``naturelle''.
Cette observation, jointe au fait qu'un système (non-L) rendu périodique aura nécessairement
un exposant de Floquet positif (sinon il ne pourrait être périodique), on est conduit à
penser à utiliser ces normalisations\footnote{déjà introduites, cf {\bf oeta\_norm, off\_norm}.}
pour faire avancer le système.

Ainsi, on a successivement
%
\begin{eqnarray}
\partial_t w_e^{-1}\Deta&=&w_e^{-1}A^\sharp w_e w_e^{-1}\Deta\nonumber\\
\partial_t w_e^{-1}\Phi w_e&=&w_e^{-1}A^\sharp w_e w_e^{-1}\Phi w_e\nonumber\\
\end{eqnarray}
%
ceci hors TEF avec $w_e$ construite en mettant le vecteur de normalisation sur la diagonale.
Pour arriver au TEF, il suffit de faire de même avec les transferts, si bien que
les matrices Jacobiennes deviennent
%
\begin{eqnarray}
H\rightarrow w_e^{-1}H w_e,\quad B_b\rightarrow w_e^{-1}Bb w_f\nonumber\\
D\rightarrow w_f^{-1}D w_f,\quad C^\dagger\rightarrow w_f^{-1}C^\dagger w_f\nonumber\\
\end{eqnarray}
%
A la sortie de {\bf oker}, il suffit de calculer les variations en renormalisant, mais
par contre dans un fit, on garde le propagateur reconditionné, à condition de calculer
des écarts normalisés\footnote{voir ce qui se passe pour les propagateurs partiels
et divers.}.

Voilà donc une possibilité à explorer dans l'avenir, en notant que cette métrique
ayant pour but de régulariser le propagateur n'exclue pas, bien au contraire,
d'utiliser la technique du {\bf roductor} pour éviter la croissance trop rapide
des normes de $\Phi$.
\newpage
%
\section{L'irruption de la Réalité dans le modèle}
% ------------------------------------------------
%

{\it Saluons ici l'entrée d'un monde étrange et pénétrant que l'unsecte fréquente
le moins possible quand les contrats ne l'y pousse pas. Bienvenue donc au Phanéron.}
%
\subsection{Observabilité, contrôlabilité et filtre de Kalman}
% ---------------------------------------------------------------
%
{\it On peut mettre en exergue ici une question d'Olivier Talagrand,
de Juin 1994 :\\ \og peut-on observer l'atmosphère à partir de l'océan, et
réciproquement ? \fg}.

On associe ici le filtre de Kalman à la notion d'observabilité dans la mesure où le filtre
effectue une reconstruction de l'état d'une part, et pour introduire la notion de mesures
bruitées par ailleurs, qui nous a jusqu'alors échappé. Et comme, de plus, le filtre
a pour objet de commander le système à coller aux mesures, la notion de contrôlabilité y est
nécessairement convoquée\footnote{d'ailleurs, Luenberger affirme que ces notions d'observabilité
et de contrôlabilité ont été introduites par Kalman lui-même.}.

La théorie classique d'observabilité des systèmes linéaires pose le problème de l'estimation
d'une trajectoire des états antérieure à une série temporelle de mesures d'observables -- en nombre
restreint -- du système. Son extension dans le cadre des systèmes non-$\mathcal{L}$ selon
notre méthode du SLTC nous dirige en fait plutôt vers l'assimilation d'une portion de trajectoire.

Cependant, en associant l'état du système linéaire à sa variation sur le SLTC, on pourra
envisager quelques problèmes à revisiter dans ce cadre :
%
\begin{itemize}
\item supposons qu'un système, stabilisé par une rétroaction, se trouve modifié par une cause
externe (Katrina a rompu une voie de rétroaction). On peut poser le problème du remplacement
provisoire de la voie par une commande restaurant la stabilité originelle. Cette approche
pourrait conduire à une nouvelle définition du gain liée à la contrôlabilité.
\item dans quelles conditions d'observation l'effet d'une rétroaction est-elle observable ?
\item quel appareil de mesure permettrait d'estimer un grand Lyapunov du système ?
\end{itemize}
%

On va commencer par résumer l'approche de Kalman pour bien assimiler son traitement du bruit.

L'approche suppose d'abord que le modèle d'un système ``réel'' est correct -- \cad que les
matrices Jacobiennes sont exactes dès que l'état est connu. Ce que le système réel a en supplément,
c'est une source de bruit (blanc dans le cadre strict) avec des corrélations simples. Le
premier objectif du filtre est d'atteindre la meilleure estimation de l'état courant du modèle
en fonction des aléas (c'est la partie {\bf reconstruction} ou filtre).
Ensuite, il s'agit de calculer une ``matrice de gain'' permettant
au modèle d'utiliser au mieux la série de mesures antérieures pour prédire son évolution
(c'est la partie {\bf innovation}).

Le modèle est décrit d'emblée dans le cadre du TEF, avec des ``observables'' $\mu$, que l'on
définit comme des transferts supplémentaires ayant la particularité de ne pas provoquer
de matrice $B$ ou $D$ (comme les ``probes'' de ZOOM). Il est peut-être utile de
leur permettre d'être entre-elles couplées par une matrice $D$. On pose donc
%
\begin{equation}
\left \lbrace
\begin{array}{l}
\partial_t \eta (t) =  g(\eta(t),\varphi(t),h^{\eta}(t)) \\
\varphi(t) = f(\eta(t),\varphi(t),h^{\varphi}(t)) \\
\mu(t) = p(\eta(t),\varphi(t),\mu(t))
\end{array}
\right .
\label{tefkal}
\end{equation}
%
Le modèle du ``Monde réel'' est censé répondre au même modèle, mais bruité (modèle
de Kalman) :
%
\begin{equation}
\left \lbrace
\begin{array}{l}
\partial_t \check{\eta} (t) =  \check{g}(\check{\eta}(t),\check{\varphi}(t),\check{h}^{\eta}(t),U) \\
\check{\varphi}(t) = \check{f}(\check{\eta}(t),\check{\varphi}(t)\check{h}^{\varphi}(t),V) \\
\check{\mu}(t) = \check{p}(\check{\eta}(t),\check{\varphi}(t),\check{\mu}(t),\check{h}^{\eta}(t),\check{h}^{\varphi}(t))+W 
\end{array}
\right .
\label{tefreal}
\end{equation}
%
Le vecteur $\check{\mu}$ représente des mesures (bruitées) des observables, et
$U$, $V$ et $W$ sont des variables aléatoires centrées telles que
%
\begin{equation}
Esp(\ext{V,U,W}{V^{\dagger},U^{\dagger},W^{\dagger}}) = \begin{bmatrix} Q & T & S \\
 T^{\dagger} & O & L \\ S^{\dagger} & L^{\dagger} & R
\end{bmatrix}
\label{covar} 
\end{equation}
%
expression qui définit l'espérance mathématique des variances--covariances du bruit, sans
corrélation temporelle\footnote{plus précisément, on suppose que $U,V,W$ sont les ``dérivées
d'un processus de Wiener''.}. On suppose que les séquences $U,V,W$ sont
indépendantes du passé du système $\check{\eta},\check{\varphi},\check{h},\check{\mu}(\tau), \tau < t$,
ainsi que de la commande $h(t)$.

On introduit à présent les variables-écart $x=\check{\eta}-\eta$, $z=\check{\varphi}-\varphi$ et $y=\check{\mu}-\mu$,
de manière à travailler sur le SLTC et linéariser le problème. En dérivant le SLTC de chaque modèle et par
soustraction du modèle au réel, on obtient :
%
\begin{equation}
\begin{bmatrix} \partial_t x  \\ z \\ y\ \end{bmatrix} \quad = \quad
\begin{bmatrix}  A  & B & 0\\ C^{\dagger} & D & 0\\ C^{\dagger}_{\mu} &D_{\mu\varphi}&D_{\mu}\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} x\\ z \\ y \end{bmatrix} \quad +\quad
\begin{bmatrix} M V\\ N U \\ W \end{bmatrix}
\label{sltckal} 
\end{equation}
%
On voit que le SLTC obtenu est basé sur une hypothèse plus forte que d'habitude, car il
est ici supposé que le modèle ``colle'' suffisamment au réel pour que les deux modèles
partagent le même, et ceci malgré le bruit. Il s'agira de vérifier que filtre n'invalide pas
cette hypothèse. Vu de la {\it Physis}, on inclue dans $U, V$ les phénomènes non pris en compte
ou négligés ou inconnus dans le modèle, et l'amplitude $M, N$ sera choisie en fonction de la confiance
que l'on accorde au modèle.
Le bruit de mesure $W$ inclura à la fois la confiance dans le modèle de l'appareillage de mesure
en plus des erreurs de mesure elles-mêmes.

Pour décrire le principe du filtre de Kalman sans trop s'encombrer
de symboles, on raisonne d'abord hors TEF.
%
\subsubsection*{Hors TEF}
% .......................
La solution pour que le filtre s'ajuste au modèle de Kalman est cherchée sous la forme 
%
\begin{equation}
\left \lbrace
\begin{array}{l}
\partial_t \Deta(t) =  A(t) \Deta  + K(t) (\check{\mu}-\mu)(t) \\
           \Delta\mu(t) =  C^{\dagger}_{\mu}(t)\Deta 
\end{array}
\right .
\label{sltk}
\end{equation}
%
sous cette dernière forme, le SLTC du modèle est classique, et est associé à une variation
de $K$ par exemple, matrice de gain qui porte sur la dernière information reçue de la mesure,
sous la forme écart modèle--mesure (dit vecteur {\bf innovation}). Dit autrement, on suppose que $K(\tau), \tau<t$ a été
optimalisée, et qu'on a déjà le meilleur modèle passé (\cad la meilleure séquence de gains).
On cherche juste à optimaliser
l'évolution du modèle en utilisant au mieux la dernière mesure $\check{\mu}(t)$. Le
vecteur $u$ est classiquement associé à une commande ou source ou forçage externe, que l'on suppose
connue.

Deux problèmes se posent conjointement, le premier concernant l'évolution de la matrice $P$ de var-covar
de $\ext{x}{x}$, qui dépend de l'incertitude de mesure et de la correction tentée, le deuxième étant
d'obtenir la meilleure correction possible.

L'optimum est obtenu en cherchant à minimiser l'espérance de la norme euclidienne
de l'évolution de l'erreur de modèle, fonction de la dernière information (vecteur innovation).
Il s'agit d'une covariance d'ensemble, \cad instantanée mais prenant en
compte l'ensemble des réalisations possibles des variables aléatoires. On va donc chercher $K(t)$
qui minimise l'espérance $Esp(\scal{x}{x})$, avec :
%
\begin{equation}
\partial_t x =  A x + M V  - K ( C^{\dagger}_{\mu} x + W)
\label{kalkopt} 
\end{equation}
%
SLTC où seules apparaissent des variables aléatoires, soit encore, en posant\\ $A^s = A - K C^{\dagger}_{\mu}$ :
%
\begin{equation}
\partial_t x =  A^s x + M V  - K W = A^s x + F
\label{kalkopt2} 
\end{equation}
%
où on a encore posé $F=MV-KW$ pour alléger le développement conduisant à la détermination de $P$. On va
avec le même souci supposer que $x(t)$ est centrée. Alors, la solution de~(\ref{kalkopt2}) est
classiquement
%
\begin{equation}
x(t) = \Phi(t,0) x(t_0) + \int_{0} ^t {\Phi(t,\tau)F(\tau)}d\tau
\label{kalphi} 
\end{equation}
%
Ainsi, l'écart $x(t)$ devrait ne pas croître si la matrice $A^s=A-KC^{\dagger}_{\mu}(\tau)$ est
stable. $\Phi(t,\tau)$ est comme d'hab défini par $\partial_t\Phi(t,\tau)=A^s\Phi(t,\tau)$.
La matrice de var-covar d'écart entre états est donnée par
%
\begin{eqnarray}
Esp\ext{x}{x}(t) &=& \Phi(t,0) P(0)\Phi^{\dagger}(t,0)\\
                 && + \int_{0} ^t {\Phi(t,\tau)Esp\ket{F(\tau)}}d\tau\bra{x(0)}\Phi^{\dagger}(t,0) \nonumber\\
                 && + \Phi(t,0) \ket{x(t_0)} \int_{0} ^t {Esp\bra{F(\tau)}\Phi^{\dagger}(t,\tau)d\tau} \nonumber\\
                 && + \int_{0} ^t\!\! d\tau\int_{0} ^t\!\! ds\,\,{\Phi(t,\tau)Esp\ket{F(\tau)}\bra{F(s)}\Phi^{\dagger}(t,s)}\nonumber
\label{kalP} 
\end{eqnarray}
%
et avec l'hypothèse d'absence de corrélation temporelle entre les sources de
bruit (Esp $\ext{F(\tau)}{F(s)} = Z(\tau) \delta(\tau-S)$, il reste
%
\begin{equation}
\boxed{
P(t) = \Phi(t,0) P(0)\Phi^{\dagger}(t,0) + \int_{0} ^t {\Phi(t,\tau)Z(\tau)\Phi^{\dagger}(t,\tau)}\, d\tau
}\label{kalP2} 
\end{equation}
%
où on a posé $Z=Esp(\ext{F}{F})$, qui dépendra du temps en général. Il ne reste plus qu'à dériver $P$ :
%
\begin{equation}
\partial_t P(t) = A^s P+PA^{s\dagger}(t) + Z(t)
\label{Lyak} 
\end{equation}
%
pour trouver l'équation dite de Lyapunov\footnote{que ceux qui n'apprécient pas l'intérêt du propagateur
pour aboutir à ce résultat se dénoncent zirconnement.}. Il ne reste alors plus qu'à revenir aux symboles
du modèle initial~(\ref{kalkopt}) :
%
\begin{equation}
\partial_t P(t) = (A - K C^{\dagger}_{\mu})P+P(A^{\dagger} - C_{\mu}K^{\dagger}_{\mu}) + 
                  Esp\ext{MV-KW}{MV-KW}
\label{Lyak2} 
\end{equation}
%
qui donne finalement
%
\begin{equation}
\boxed{
\begin{array}{cc}
\partial_t P(t) \quad =& (A - K C^{\dagger}_{\mu})P+P(A^{\dagger} - C_{\mu}K^{\dagger}_{\mu}) \\ 
                  & +MQM^{\dagger} + KRK^{\dagger}-MSK^{\dagger}-KS^{\dagger}M^{\dagger}
\end{array}}
\label{Lyak3} 
\end{equation}
%
ce qui donne bien les formules habituelles.
{\it Le cas traité dans \Minik correspond en gros à cette équation mais avec $S=0$. De plus, les mesures
n'impactent pas directement l'évolution de $P$, qui est brutalement remis à jour à chaque rencontre
d'un évènement de mesure. {\it Faudra discuter de cet aspect avec Pat.}

 La matrice $A$ est
prise comme la $A^{spha}$. Pat a choisit une écriture de $P$ sous forme vecteur, entraînant
une redistribution des matrices en facteur, puis d'une intégration temporelle suivant
la méthode en pseudo Crank-Nicolson du TEF. Note de Mars 2006~: ce n'est pas la bonne solution,
voir en section~\ref{minikalman}}.

Il reste à déterminer le gain optimal $K(t)$ pour accomplir cette introduction réduite au filtre de Kalman
\footnote{On aurait en effet pu introduire la moyenne de $x(t)$ et la trimballer dans des termes qui
s'annulent dans~(\ref{kalP}), mais aussi, et c'est un peu plus délicat, montrer l'indépendance
assumée entre $x(t)$ et l'ensemble des mesures et des commandes passées, mais également indépendant
de l'état reconstruit $\eta(t)$, etc.}

On veut choisir $K(t)$ minimisant $Esp\scal{x}{x}= Tr P$, qui reste positive. Il suffit de
minimiser depuis le début $Tr \partial_t  P$. Pour ceux qui comme moi, voient mal ce que ça peut
donner, commençons par établir la formule générale suivante pour un produit de matrices de dimension
$n\times n$, en utilisant les vecteurs de la base euclidienne $\ket{e_i}$ :
%
\begin{eqnarray}
Tr BA &=& \sum_{i=1}^n \bra{e_i}BA\ket{e_i} \quad\quad\rightarrow\nonumber\\
\partial_{a_{jk}}Tr BA &=& \sum_i \sum_l b_{il}\,\partial_{a_{jk}}a_{li}\nonumber\\
(\nabla_A Tr BA)_{kj}   &=& b_{kj}
\label{dttr}
\end{eqnarray}
%
où on a par convention posé la transposée du gradient (\cad par lignes) et donc :
%
\begin{equation}
\nabla_A Tr BA = B
\label{gradtr} 
\end{equation}
%
Pour appliquer cette opération à~(\ref{Lyak3}), on la réécrit en ordonnant en puissances de~$K$
%
\begin{equation}
\begin{array}{cc}
\partial_t P(t) \quad =& KRK^{\dagger} -(K C^{\dagger}_{\mu}P+P C_{\mu}K^{\dagger}) - (KS^{\dagger}M^{\dagger}+MSK^{\dagger})\nonumber\\
                       &+(AP+PA^{\dagger})+MQM^{\dagger}
\end{array}
\label{Lyak4} 
\end{equation}
%
et enfin :
%
\begin{equation}
\nabla_K [Tr \partial_t P](t) = 2(K(t)R - P(t) C_{\mu}(t) - MS)
\label{kopt} 
\end{equation}
%
dont l'annulation fournit la matrice optimale de gain
%
\begin{equation}
\boxed{
K(t) = (P(t)C_{\mu}(t) + MS)R^{-1}
}\label{koptfin} 
\end{equation}
%
La régularité demandée de $R$ exige l'existence d'une source de bruit indépendante pour
chaque mesure scalaire.
%

{\bf Miniker : ATTENTION }{\it Après remplacement de $K$ par sa valeur dans~(\ref{Lyak4}),
et son intégration à la TEF, on aura une forme $dP=AdP+dPA^{\dagger}+S$, avec
$dP$ et $S$ symétriques. Si on intègre $\displaystyle dX=A dX+\frac{1}{2}S$,
il suffit de prendre $dP=dX+dX^{\dagger}$, {\bf NON}\footnote{pas vraiment, la dissociation
est bien valable en DP, mais dépend du scéma d'intégration, cf section~\ref{minikalman}.} ?}

Cette remarque purement algorithmique peut amorcer une remontée en posant
l'interprétation de cette matrice semi-$P$, d'où le paragraphe suivant.
%
\subsection{Liens ino\"uis entre Kalman et les propagateurs, et intégration du système\\
(Février 2006)}
% ------------------------------------------------------------------------------------
\label{minikalman}
Il y a une règle à suivre pour obtenir sans coup férir la forme TEF, et il faut abandonner
l'explication par les trapèzes de l'intégration des EDP du TEF. Il faut suivre les principes
du papier déjà ancien ``Cellules généralisées'' et approximer localement la solution
générale donnée par application des propagateurs. Ça parait artificiel pour les
cellules, mais ici ça devient indispensable. Ce qui cloche quand on applique un pseudo
Crank-Nicolson pour intégrer~(\ref{Lyak3}), c'est que la variable est déjà quadratique.
Il faut alors repartir de la forme intégrale~(\ref{kalP2}, avec $\Phi(t+\dt,t)\simeq\exp(A(t)\dt$) entre $t$ et $t+\dt$~:
%
\begin{equation}
P(t+\dt) = \exp(A\dt) P(t)\exp(A^{\dagger}\dt) + \int_{t} ^{t+\dt} {\exp(A\tau)Z\exp(A^{\dagger}\tau)}\, d\tau
\label{Ptef1} 
\end{equation}
%
l'étape suivante, qui correspond au TEF bien construit, est d'utiliser une approximation de Padé
de l'exponentielle~: $\displaystyle\exp(At)\simeq\frac{I+0.5At}{I-0.5At}$ qui est, en accord
avec le TEF, une approximation à l'ordre 2. Oublions d'abord l'intégrale de~(\ref{Ptef1}), on
calcule,  en posant $\tau=0.5\dt$ pour alléger.
%
\begin{equation}
(I-\tau A)(P(t)+dP)(I-\tau A^{\dagger}) = (I+\tau A) P(t)(I+\tau A^{\dagger})
\label{semiPtef}\end{equation}
%
on remarque que cette forme assure à la fois la symétrie et la positivité de $P+dP$.
Après élimination et regroupement, on obtient~:
%
\begin{equation}
dP = [I-\tau A]^{-1} [A(t)P(t)+P(t)A^{\dagger}(t)]\,[I-\tau A^{\dagger}]^{-1}\,\dt
\label{Ptef2} 
\end{equation}
%
Il est à noter que le terme en $\dt^2$ s'élimine, ce qui assure que l'on conserve l'odre 2
du Padé.

Après ce succès incontestable, il faut enfin arriver à un échec difficilement supportable, qui
concerne le terme intégral de~(\ref{Ptef1}), malgré une heure de recherches au tableau avec
Pat\footnote{voir quand même Penland Matrosova J.of C. 94, qui utilisent la relation Fluctuation-Dissipation
en forçage bruité stationnaire qui permet de remplacer $Z$ par $-(AP+PA^\dagger)$, et d'obtenir
comme intégrande la dérivée temporelle de $\exp(-A\tau)P\exp(-A^\dagger\tau)$, {\bf à creuser}, al1 le 22/04/09.
Non, je vois pas le 13 mai 2009, mais on peut décomposer les $A$ en $\sum_i\lambda_i\ext{e_i}{f_i}$, ce
qui dans la double somme permet d'intégrer les $\exp(\lambda_i+\bar{\lambda_j})\tau$; numériquement
ça semble laborieux, et je ne vois guère sur la forme intégrée d'identification possible d'une
forme compacte, les $\frac{1}{\lambda_i+\bar{\lambda}_j}$ mélangeant les deux exponentielles de
matrice.}.
En attendant l'inspiration qui ne saurait manquer à l'unsecte, on peut préconniser deux
formes au choix, soit ajouter bêtement $Z$ au double terme en~P, soit~:
$[I+\tau A\,]\, Z\, [I+\tau A^{\dagger}\,]$. Dans les deux cas $P+dP$ conserve les propriétés
de $P$, et $dP$ est symétrique. Le plus simple étant le mieux, on arrive donc à l'équation
d'évolution de la matrice de covariance des états~:
%
\begin{equation}
\boxed{
dP = [I-\tau A]^{-1}\, \left[\, A(t)P(t)+P(t)A^{\dagger}(t)+Z\,\right]\,\,[I-\tau A^{\dagger}]^{-1}\,\dt
}\label{Ptef} 
\end{equation}
%
qui est LA forme TEF de l'EDP~(\ref{Lyak}).

{\it Avec le schéma antérieur de Pat (et moi d'ailleurs, nul n'est parfait), $dP$ restait bien
symétrique, mais la
positivité de $P+dP$ n'était pas assurée, ce qui sans tenir compte de l'aspect quadratique de $P$,
peut surprendre, avec un Crank-Nicolson à l'ordre 2; mais c'est peut-être dans l'élimination
du terme en $\dt^2$ que réside l'avantage. Pat a depuis~(Mars) essayé cette nouvelle forme hors - TEF
bien sûr, \cad avec la matrice $A^{spha}$, et ça marche mieux en effet (du point de vue de la conservation
de la positivité).

Cela prouve en tout cas simplement, comme on en est
tous convaincus, que les formes intégrales sont physiques et sans pareilles, alors que la forme EDP est un artifice
mathématique. On retrouve pour l'aspect temporel ici en cause
l'avantage indiscutable de la formulation par les Volumes Finis pour l'aspect spatial. Ah, si
les mécaniciens français le savaient, que d'erreurs et perte de temps évitées ! et celà malgré
les efforts inspirés de R.~Temam.}
%
\subsubsection{premier essai de TEFisation}
%------------------------------------------
Disons d'emblée que Woodburryser~(\ref{Ptef}) permet certes d'introduire les matrices du TEF, mais
sans emboitement évident. L'espoir réside dans les propriétés des covarMx.
On repart de~(\ref{semiPtef}), \cad sans source\footnote{je trouve pas avec.}.
On calcule un Cholevsky de $P=XX^{\dagger}$.

On cherche $dX$ tel que
$P+dP = (X+dX)(X^{\dagger}+dX^{\dagger})$. Si maintenant on résoud le système
$(I-\tau A)(X+dX) = (I+\tau A)X$, on aura bien
%
\begin{equation*}
(I-\tau A)\,(X+dX)(X^{\dagger}+dX^{\dagger})\,(I-\tau A^{\dagger}) = (I+\tau A) XX^{\dagger}(I+\tau A^{\dagger})
\end{equation*}
%
identique à~(\ref{semiPtef}). On peut soustraire $P=XX^{\dagger}$ de chaque coté, ce qui
donne {\it in fine} une détermination de $dP$~:
%
\begin{equation*}
dP = XdX^{\dagger}+ dXX^{\dagger} + dXdX^{\dagger}
\end{equation*}
%
le système à résoudre est maintenant simplifié en X et devient
%
\begin{equation*}
\left \lbrace
\begin{array}{l}
(I-\tau A)dX -\tau B dY = \tau A X \\
dY = C^{\dagger} dX
\end{array}
\right .
\end{equation*}
%
le symbole $dY$ étant pas choisi juste pour faire joli, car avec un $\tau B Y$ en plus à droite,
ce serait le système du propagateur d'état, et on saurait même où mettre la matrice $D$ !
Ce qui suggère fortement une possibilité d'introduire la source $Z$,
mais là, je craque parce que le Cholevsky de la somme n'étant pas la somme des Chauds-les-Skis, on 
peut vite se casser une patte à trois canards grippés, et j'ose pas imaginer les conséquences.
%
\subsubsection{comment la source mène à rupture}
%-----------------------------------------------
Le problème de la source $Z$ est que son adjonction à $P\rightarrow P+Z\dt$ va introduire par
produit des transposées les termes croisés $PZ^{\dagger}, P^{\dagger}Z$ qui n'ont guère l'intention
d'être nuls. Maintenant, à reconsidérer notre Cholevsky $P=XX^{\dagger}$, on est conduit
à une interprètation plus large~: et si, au lieu des $n$ vecteurs-colonnes de $X$ on suivait
carrément un nombre $p$ d'écarts $\ket{x_i}$ représentants un emsemble aux propriétés
statistiques données par $P$ ? Il suffirait alors de tirer les bruits par Monte-Carlo
avec les bonnes propriétés ? Eh bien Ô lecteur attentif, nous venons ensemble de
ré-inventer une idée de Geir Evensen, citoyen de Norvégie, qui a baptisé cette approche
en 1994 de {\bf Ensemble Kalman Filtering} (EnsKF)\footnote{je dois cette découverte
bibliographique à Pat bien sùr.}. Les travaux théoriques qui ont été menés depuis lors
ont aboutis à n'y trouver que des avantages, particulièrement pour les systèmes non-L.

En ce qui nous concerne, nous nous retrouvons donc en plein TEF sans acrobaties, et on va pouvoir
repartir du système~(\ref{sltckal}) directement, ce que nous ferons au paragraphe~\ref{EnsKF},
après quelques digressions.
%
\subsubsection{une solution pour la MK2 ?}
%-----------------------------------------
Le problème est d'éviter le calcul de Kalman par la $A^{spha}$; il s'agit plus d'emboîter
l'avance de $P$ que de véritablement TEFiser --- tant que ça nous échappe en tout cas.
En reconsidérant LA solution~(\ref{Ptef}), on propose\footnote{Al1, 8 Mai 2008.}~:
%
\begin{itemize}
\item on Cholevskyze $P=XX^\dagger$ et $Z=TT^\dagger$;
\item on résoud les systèmes
\begin{enumerate}
\item $(I-\tau H^\sharp)J = H^\sharp X$;
\item  $(I-\tau H^\sharp)K = X$;
\item  $(I-\tau H^\sharp)L= T$;
\end{enumerate}
\item alors on $\delta P = [J K^\dagger + KJ^\dagger + LL^\dagger]\;\delta t$;
\end{itemize}
%
qui donne le même développement en assurant la symétrie, mais pas la positivité
--- pas plus que la~(\ref{Ptef}) d'ailleurs, ni moins.

En effet, on a à calculer $dP$ à partir de trois termes ($H$ est $H^\sharp$ et $K'=K^\dagger$)~:
%
\begin{eqnarray}
\frac{1}{\dt}dP &=& \overbrace{[I-\tau H]^{-1}\, H X}^{\mbox{J}}\overbrace{X^\dagger\,[I-\tau H^{\dagger}]^{-1}}^{\mbox{K'}} 
+\overbrace{[I-\tau H]^{-1}\, X}^{\mbox{K}} \overbrace{X^\dagger H^{\dagger}\,[I-\tau H^{\dagger}]^{-1}}^{\mbox{J'}}\nonumber\\
 &&+ \overbrace{[I-\tau H]^{-1}\, T}^{\mbox{L}} \overbrace{T^\dagger \,\,[I-\tau H^{\dagger}]^{-1}}^{\mbox{L'}}\nonumber\\
 &=& J K^\dagger+ KJ^\dagger+LL^\dagger
\end{eqnarray}
%


On peut dès lors TEFiser chaque système et résoudre en une seule fois
le système linéaire des $3n$ colonnes classiquement, non ? Le premier système devient
par exemple~:
%
\begin{equation}
\begin{bmatrix} I-\tau H & -\tau B_b \\ -C^\dagger & I-D \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} J\\ J_\phi \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}  HX \\ \frac{1}{\tau}C^\dagger X \end{bmatrix}
\end{equation}
%
d'où l'élimination de $J_\varphi$ redonne bien la matrice
$A^\sharp=A+B(I-D)^{-1}C^\dagger$ à gauche et
 $H^\sharp=H+B_b(I-D)^{-1}C^\dagger$ à droite.
%
\paragraph{remarque} Comme Pat me l'a fait remarqué\footnote{communication personnelle du 28 mai 2008.},
 il n'est fait aucune mention à ce que le Cholesky, il factorise avec des matrices triangulaires~($X$).
Dans les précédents algorithmes, rien ne permet d'assurer la conservation de cette forme.
En fait, j'avais plutôt en tête une SVD~(encore une fois), qui permet alors d'affirmer que
 --- posant $P=Uw^2U^\dagger$ --- les
vecteurs colonnes $w_i\ket{u_i}$ fournissent les directions principales (les EOFs) de l'ensemble
des écarts aléatoires à la moyenne, avec une variance donnée par $w^2_i$. Il est ainsi Tantalant
de faire avancer les fluctuations significatives seulement, et de reconstruire $P(t+\delta t)$ ensuite.
Il me semble que le seul problème est de définir une source de bruit le long de chaque axe ?
Qu'en-dis-tu Patrice, ça doit bien être évoqué dans la pratique de l'EnsKf ? En tout cas, je défendrai
ce point de vue au prochain Zircon~: il me semble que les Aléoutiens pourraient faire l'effort
de décoller des couches mathématico-numériques où ils ont (probablement) bien du mal à définir
bruits et matrices procurant du sens, et à définir ces bruits le long de directions singulières
dans l'espace tangent. Ce qui interpelle encore sur une articulation avec l'analyse en Floquet
ou analogue.
%
\subsubsection{L'approche de Nicolas Bouleau}
%-------------------------------------------
Comme on l'a vu {\it de visu} au Zircon de l'applaudie, l'introduction
de variables aléatoires induit --- selon N.~Bouleau --- un biais de la
variable, en provenance des non linéarités propageant la variance.
On va voir comment appliquer ce point de vue au TEF.

Soit donc, et d'abord hors TEF pour raccourcir, l'évolution des états
$\partial_t\eta=g(\eta)$. La variable est aléatoire, de matrice de var-covar
$P$. On va estimer l'impact de la variance sur la vel.

On considère l'anomalie $x$ autour de la trajectoire moyenne, et on 
développe au deuxième ordre avant de prendre la moyenne d'ensemble~:
%
\begin{equation}
\partial_t x_i = a_{ij} x_j +\frac{1}{2}\sum_k \partial_k a_{ij}\; x_jx_k
\label{sysbouleau}\end{equation}
%
où on a explicité les coefficients de $A$ dérivés par rapport à la composante
$k$ de $\eta$\footnote{On propose de noter ça
 $\partial_t x = A x +\frac{1}{2}\bra{x}\nabla_xA\ket{x}$, chaque composante i\textsuperscript{ème}
du vecteur $\partial_t x$ est $\scal{A_i}{x}+\bra{x}(\ket{\nabla_x}\bra{A_i})\ket{x}$.}.
On constate que la prise de espérance introduit en effet
une source de vel supplémentaire, que l'on peut alors inclure dans
la vel de l'état pour conserver une moyenne nulle aux anomalies --- c'est
le biais dont traite N.~Bouleau. On peut constater que c'est la k\textsuperscript{ième}
ligne (ou colonne) de $P$ qui intervient.

Alors, en passant au TEF, on  aura pour chaque source $S_k$~:
%
\begin{equation}
S_k = \left[H_k +B_k(I-D)^{-1}C^\dagger+B(I-D)^{-1}D_k(I-D)^{-1}C^\dagger+B(I-D)^{-1}C^\dagger_k\right]\ket{p_k}
\end{equation}
%
Et ainsi, avec ou sans emboîtement, on calculera dans une boucle sur $k$ les matrices en
utilisant la dérivation multiple~: $H_k=\partial_\eta\partial_k g(\eta,\varphi)$,
ou $C^\dagger_k=\partial_\varphi\partial_k f(\eta,\varphi)$, etc.
Puis il faudra avec la navette résoudre successivement~:
%
\begin{enumerate}
\item $(I-D)u_k=C^\dagger \ket{p_k}$;
\item $(I-D)v_k=C^\dagger_k \ket{p_k}$;
\item $(I-D)w_k=D_k u_k$;
\end{enumerate}
%
chaque terme source alors sera donné par~:
%
\begin{equation}
S_k = H_k\ket{p_k} + B_k u_k + B[v_k+w_k]
\end{equation}
%
Si bien que finalement l'évolution à la TEF sera augmentée~:
%
\begin{equation}
(I-\frac{1}{2}\dt H)\deta + B\dfi = [f +\frac{1}{2}\sum_k S_k]\dt
\end{equation}
%
et sans changement pour les transferts. Ceci devrait accompagner toute famille Kalman,
mais on pourrait déjà éprouver ce calcul dans la {\bf 102}, et le fit effectué par Pat
serait l'exercice idéal ! Confirmation de l'intéressé acquise.

Ceci dit, on peut voir le système augmenté ~(\ref{sysbouleau}) comme comportant une source de bruit
tendant à biaiser l'évolution de la moyenne, avec un impact sur le SLTC~:
%
\begin{equation}
\Delta x =\Phi(t,0)x(0)+ \int_0^t \Phi(t,\tau)\left[f(\tau)+\frac{1}{2}\sum_k S_k\right]d\tau
\end{equation}
% 
mais peut-on alternativement modifier l'évolution du propagateur pour débiaiser ?
Il faudrait alors modifier $A\rightarrow A+\nabla_x y$, avec $y$ laissé en provision,
et le système deviendrait~:
%
\begin{equation}
\partial_t x_i = a_{ij} x_j +\frac{1}{2}\sum_k \partial_k a_{ij}\; x_jy_k
\label{sysbouleau2}\end{equation}
%
en donnant un sens à $y$ pour que $Esp \ext{y}{x}=Esp\ext{x}{x}$ mais avec $\bra{y}\nabla_xA$
représentant l'énervement de $A$ pour que $\ket{x}$ sorte du biais. Ou encore, pourquoi ne pas
minimiser la variance, ce que l'on obtiendrait avec une matrice de gain optimale de Kalman ?
Comment évaluer ces approches\footnote{questions du 15 mai 2009.} ?  Plus généralement,
l'approche de N.~Bouleau est-elle {\it physiquement} pertinente, sachant que l'effet des non-linéarités
porte à la fois sur la moyenne et la dénormalisation des distributions ? N'est-il pas
fécond d'envisager ici une {\bf évolution de la médiane} ?
%
%
\subsection{Le théorème de fluctuation-dissipation}
% ------------------------------------------------
Il s'agit du lien entre matrice de var-covar et propagateur\footnote{Kerséoc'h
le 15/09/2009.}.
On examine la corrélation retardée $\ext{\Deta(t)}{\Deta(0)}$; dans
le cas des faibles amplitudes de fluctuation, on peut écrire
%
\begin{equation}
\ext{\Deta(t)}{\Deta(0)}=\Phi(t,0)\ext{\Deta(0)}{\Deta(0)}
\label{dissip}\end{equation}
%
et ainsi déterminer $\Phi(t,0)$. Le théorème précédent est démontré par
C.E.Leith~(in JAS 32, 1975) pour un système à deux intégrale quadratiques
de mouvement (mettons, énergie et enstrophie) bien sùr pour de faibles perturbation et
pdf normales. L'argument le plus clair sur la validité du théorème pour le climat
tiend au fait qu'un modèle d Markov d'ordre 1 est un bon prédicteur du climat.
Or un tel modèle est généré exactement par un équation de Langevin ayant une
simple viscosité, celui vérifiant strictement le théorème.
Ce problème est posé par
Cécile Penland ref ... Ce qui pose d'emblée le problème de l'emboîtement de $\Phi$
ou décomposition lent-rapide si on ne considère que des grandeurs
``significatives'' à corrèler ? Leith considère d'ailleurs que les variables
à corrèler sont directement issues d'une analyse en EOF.
Et revoir à cette question la SVD de Floquelec~(cf~\ref{flec}).
%
\paragraph{L'approche de Cécile Penland}
%.......................................
\footnote{elle dit : voir Kloeden,P. and Platen,E. pour leur Numerical Solutions of SDEs,
Springer Verlag, 292p.}
%
\newpage
%
\subsection{Contrôlabilité et SLTC}
% --------------------------------------------------------
%
\subsubsection{Introduction via la détermination de paramètres}
% .......................................................
On peut considérer que la détermination de paramètres minimisant un coût comme
un cas particulier de commande, l'objectif portant sur le vecteur d'état; il s'agit
donc bien d'un problème de contrôlabilité.
%

On se fixe l'objectif de modifier l'état final $\eta(T)\rightarrow\eta(T)+x_1$,
en modifiant le vecteur des paramètres $\varpi\rightarrow\varpi+\Delta\varpi$.

Le SLTC est donné par
%
\begin{equation}
\partial_t \begin{bmatrix} \Dpi \\ \Deta(t) \end{bmatrix} \quad = \quad
\begin{bmatrix}  0 & 0 \\ B & A\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} \Dpi\\ \Deta(t)\end{bmatrix}
\label{sltcetaT} 
\end{equation}
%
On connait la solution en avant, donnée par les propagateurs $\Phi(T,0), \Psi(T,0)$ tels
que
%
\begin{eqnarray}
\partial_t \Phi(t,0) = A \Phi(t,0) \nonumber\\
\Psi(t,0) = \int_0^t{\Phi(\tau,0)B(\tau)}d\tau \nonumber
\label{propetaT} 
\end{eqnarray}
%
la solution en arrière du SLTC donne :
%
\begin{equation*}
\begin{bmatrix} \Dpi \\ \Deta(0) \end{bmatrix} \quad = \quad
\begin{bmatrix}  I & 0 \\ \Psi(T,0) & \Phi(T,0) \end{bmatrix}^{-1}
\begin{bmatrix} \Dpi\\ \Deta(T) \end{bmatrix}
\label{propetaT1} 
\end{equation*}
%
soit, en effectuant l'inversion et avec la valeur cherchée $\Deta(T)=x_1$ :
%
\begin{equation}
\begin{bmatrix} \Dpi \\ \Deta(0) \end{bmatrix} \quad = \quad
\begin{bmatrix}  I & 0 \\ -\Phi^{-1}\Psi & \Phi^{-1} \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} \Dpi\\ x_1 \end{bmatrix}
\label{propetaT2} 
\end{equation}
%
Il semble alors possible de rechercher l'optimum en $\Dpi$ qui minimise $\scal{\Deta}{\Deta}$
initial. 
Mieux, on sait que le choix des C.I. en $\eta$ est soluble, car par construction $\Phi$ est
d'ordre $n$, ce qui mène à un résidu nul par contrôle des C.I.
Par contre, l'ordre de $\Psi$ dépend de la matrice $B(\tau)$. On aura donc
un résidu -- équivalent à la nécessité de modifier des C.I. -- suivant le degré de
contrôlabilité du système, mesuré par l'ordre de $\Psi(T,0)$. On peut même proposer un
critère de contrôlabilité du système par des paramètres basé à la fois sur la dimension
de l'espace vectoriel des C.I. nécessaire à l'annulation du résidu final et sur $\scal{\Deta_0}{\Deta_0}$.

On a finalement
%
\begin{equation*}
\Deta(0) = \Phi^{-1}\ket{x_1} - \Phi^{-1}\Psi\ket{\Dpi}
\label{deta0} 
\end{equation*}
%
et le résidu est donné par 
%
\begin{eqnarray}
<\Deta^2(0)>\quad =&& \bra{\Dpi}\Psi^{\dagger}[\Phi\Phi^{\dagger}]^{-1}\Psi\ket{\Dpi}\nonumber\\
                &-&2\bra{x_1}[\Phi\Phi^{\dagger}]^{-1}\Psi\ket{\Dpi}       \nonumber\\
               &+&\bra{x_1}[\Phi\Phi^{\dagger}]^{-1}\ket{x_1}  \nonumber
\label{q2} 
\end{eqnarray}
%
dont le minimum en $\Dpi$ est obtenu pour
%
\begin{equation}
\Psi^{\dagger}[\Phi\Phi^{\dagger}]^{-1}\Psi\ket{\Dpi}=\Psi^{\dagger}[\Phi\Phi^{\dagger}]^{-1}\ket{x_1}
\label{q2min} 
\end{equation}
%
L'analogie avec les Moindres Carrés est patente, avec $\Psi \leftrightarrow\nabla_{\varpi}M$,
et $\Phi\Phi^{\dagger}$ qui remplace la matrice de covariance $P$ (ou $V$ dans le texte Estimation).
Dans le cas où $x_1$ est un écart-type final, cette matrice représente d'ailleurs la var-covar
d'incertitude sur les C.I.
%
On peut aussi faire la remarque que l'objectif du $x_1$ final est équivalent à celui d'un minimum
de $\displaystyle J=\frac{1}{2}(\eta(T)-\eta_1)^2$, qui conduit à initialiser $\nabla_{\eta}J$
par $x_1=\eta(T)-\eta_1$. Ceci suggère que pour passer au problème classique de la minimisation
paramétrique d'un écart quadratique, on  puisse se fixer comme objectif chacun des écarts
$\eta(t_i)-\mu_i$ de l'état courant avec une série de mesures $\mu_i$, et appliquer
une simple somme à la formule~(\ref{q2min}) pour trouver la solution (d'une itération en $\Dpi$).

{\it Remarque pour ceux qui restent dans l'ombre en trouvant encumouchesque\footnote{on peut aussi proposer
``enculouche'' ?} cette approche de la
détermination paramétrique. Classiquement, la valeur optimale de $\Dpi$ est celle qui minimise, par exemple,
le résidu final. Ici, on propose un critère portant sur un résidu initial, le final étant nul pour
un SLTC régulier.
On peut qualifier cette approche de Lagrangienne, dans la mesure où on ramène chaque écart en $t>0$
à la modification des C.I. nécessaire pour le combler. On va voir l'intéret de cette approche lors du
traitement de la contrôlabilité par une commande}.
%
\subsubsection{Contrôlabilité (définitions)}
% .......................................................
On remplace à présent le contrôle de l'état précédent (un ajustement de paramètres), par une loi
$u(t)$\footnote{cette introduction est directement inspirée de
Farell et Ioannou, {\it J.Atmos.Sci.} {\bf 58}, (2001)}.
Plus précisément, on pose le problème de la détermination d'un état initial -- ou d'un écart $x_0$
à un état de référence $\eta_0$ par application de $u(t),t\in -\infty,0$~:
%
\begin{equation}
\partial_t x = A x + u(t),\quad t<0
\label{obpar}\end{equation}
%
Le critère classique de contrôlabilité repose sur le rang de $\Phi(0,-\tau)$ qui permettra à son espace
image partant de $u$ de saturer $x_0$.

Luenberger~(1969) propose d'ajouter un peu plus de sens à cette définition, en considérant
un coût ``énergétique''\footnote{intégrale où une norme non euclidienne pourra être choisie sur des
critères physiques.} $\mathcal{C} = \int_{-\infty} ^0 \scal{u}{u}(t)dt$.
Il pose alors le problème de la minimisation de $\mathcal{C}$ pour atteindre $x_0$. Ceci remplace dans
le cas standard discontinu la contrainte portant sur l'existence d'un nombre limité d'instants
d'application d'une loi de commande pour atteindre l'objectif.

Luenberger a montré que la commande optimale a un coût (minimal) $\mathcal{C}(\tilde{u}) = \bra{x_0}P^{-1}\ket{x_0}$.
Dans cette formule, $P=\int_{-\infty} ^0 \Phi(0,\tau)\Phi^{\dagger}(0,\tau)d\tau$ est
la matrice dîte de covariance --- qui correspond en réalité à la même définition que dans~(\ref{kalP}) où
$P(0,-\infty)=0$ et bien sûr $K=0$, avec une source de bruit blanc unitaire~($Z=I$).

\medskip
{\bf Rq. et définition.} \hspace{0.3cm} {\it Dans le cas autonome, seul cas qui sera formellement traité,
on aura ainsi la définition~:
$\displaystyle P=\int_0 ^{\infty}{ \exp A\tau\exp A^{\dagger}\tau }d\tau$. Dans le cas stochastique
où la commande $u(t)$ est remplacée par un bruit blanc $u\rightarrow B w(t)$, on apelle
{\bf Grammien de contrôlabilité} la matrice
 $\int_0 ^{\infty}\exp(At)\, BB^{\dagger}\,\exp(A^{\dagger}t) \, dt$}.

\medskip
Pour vérifier l'expression de l'optimum de $u$, on forme l'expression~:
%
\begin{eqnarray}
\partial_t \bra{x(t)}P^{-1}\ket{x(t)} &=& \bra{x(t)}(A^{\dagger}P^{-1}+P^{-1}A)\ket{x(t)}\nonumber\\
          &&+ \bra{u(t)}P^{-1}\ket{x(t)} + [P^{-1}\ket{x(t)}]^{\dagger}\ket{u(t)}
\label{equ1}\end{eqnarray}
%
Maintenant, on considére un système autonome ($A=C^{cste}$). S'il est de plus asymptotiquement stable,
$P$ vérifie l'égalité $AP+PA^{\dagger}=-I$. (Ceci s'obtient en incorporant ces hypothèses dans
la formule~(\ref{Lyak}) et la stationnarité de $P(\tau)$; on peut aussi simplement
analyser sous sa forme autonome, cf cahiers Elémentaire).
Alors le premier terme à droite de~(\ref{equ1})
devient $-\bra{x}P^{-2}\ket{x}$; on effectue alors l'intégration en complètant le carré de
$u(t)-P^{-1}x(t)$ et on obtient, avec $x(-\infty)=0$~:
%
\begin{eqnarray}
\bra{x_0}P^{-1}\ket{x_0} &=& \int_{-\infty} ^0\scal{u(t)}{u(t)}dt\nonumber\\
          &&- \int_{-\infty} ^0\scal{u(t)-P^{-1}x(t)}{u(t)-P^{-1}x(t)} dt\nonumber\\
           =&& \mathcal{C}(u)- \int_{-\infty} ^0\scal{u(t)-P^{-1}x(t)}{u(t)-P^{-1}x(t)} dt
\label{equ2}\end{eqnarray}
%
on en déduit que $\mathcal{C}(u) \!\ge \,\,\bra{x_0}P^{-1}\ket{x_0}$, et que le minimum (ce
terme de droite)  est atteint pour la loi optimale~:
$\tilde{u}(t)=P^{-1}x(t)$. Avec cette loi, le système avance par
%
\begin{equation}
\partial_t x = [A +P^{-1}]x,\quad t<0
\end{equation}
%
ce qui fait que $x(t)$ est donné par $\displaystyle\quad x(t) = e^{(A+P^{-1})t}\,x_0\quad$ et alors\\
$\displaystyle\quad\tilde{u}(t)=P^{-1}e^{(A+P^{-1})t}x_0$. Mais avec la relation de Lyapunov, on a
$A+P^{-1} =PA^{\dagger}P^{-1}$, dont l'exponentielle est~: $P\exp(A^{\dagger})P^{-1}$, et
ainsi\footnote{résultat correct, {\bf et non pas} celui de Farell et Ioannou --- on se demande
ce que font les reviewers...}
%
\begin{equation}
\quad\tilde{u}(t)=e^{A^{\dagger}t}P^{-1}x_0
\end{equation}
%
On peut voir que dans la cas où la commande passe par $Bu(t)$ dans (\ref{obpar}), la
relation de stabilité asymptotique devient $AP+PA^{\dagger}=-BB^{\dagger}$, et la commande optimale devient
%
\begin{equation}
\quad\tilde{u}(t)=B^{\dagger}P^{-1}e^{(A+B^{\dagger}P^{-1})t}x_0
\end{equation}
%
que l'on trouve à partir de la même expression~(\ref{equ1}), en faisant apparaitre le carré de
$\ket{u-B^{\dagger}P^{-1}x}$.

Le cas non-autonome ne permet pas d'obtenir une solution analytique
mais l'utilisation de l'équation de Lyapunov et de stabilité asymptotique permet certainement
de démontrer l'existence d'une solution mettant évidemment en \oe uvre $P(t)$.
Il peut dans ce cas être utile de
considérer un délai $T$ avant vérification de l'état et poser un problème plus réaliste~:\\
`` trouver $min_T, min_u\, {\mathcal{C}(u,T)}\quad /\quad \|x-x_0\|<\epsilon$ ''.

En conclusion, il apparait que la matrice de covariance $P$ fonction ou non d'un temps de propagation,
caractérise la contrôabilité d'un système par son intervention, soit dans un résidu sur la cible
état (\ref{q2}), soit dans un coût d'application d'une loi de commande, le cas paramétrique étant
assimilable à une commande impulsive.

{\it Finalement, $P$ est l'opérateur qui donne des réponses optimales. On comprend qu'il représente
une caractéristique essentielle de la dynamique d'un système, et une SVD de cet opérateur aura
l'intérêt de hiérarchiser ces réponses, soit en ce qu'elles permettent un pilotage, soit comme
variance expliquée d'une dynamique. La réduction de la dimension de $P$ devra donc être considérée
lors de la réduction de modèle. De même le problème liminaire de la ``contrôlabilité de l'océan
par l'atmosphère'' devrait s'appuyer sur l'analyse du même opérateur\footnote{L'idéal serait
non pas de trouver un $x_0 ^o$ mais de travailler en EOF, comme dans les EOF TEFisées
du papier Gains$\_$3b. On peut déjà commencer avec le problème précédent en essayant avec 
$x_0\rightarrow EOF_1 $.}. On peut encore rappeler ici
que les V.S. de la matrice de covariance fournissent les structures optimales de réponse à un bruit,
à savoir, les EOFs.}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Observabilité et SLTC}
% ----------------------------------------------------
Autant introduire ici cette notion duale de la précédente. Rappelons la définition standard qui
énonce qu'un système est observable (à travers une mesure) si un nombre fini d'observations
suffit à reconstituer son état initial. Le passage au SLTC consistera donc à reconstituer
une perturbation de son état initial de référence, connaissant une série de mesure --- infinie
ou non. Il y correspond en stochastique la détermination de l'incertitude initiale (la matrice
de covariance de l'état initial), la mesure pouvant être de plus bruitée --- pourquoi se priver ?

La première question me semble devoir justifier la dualité entre observabilité et contrôabilité,
au-delà de leur analogie évidente. Alors que celle-ci privilégiait la commande la plus influente
sur l'état, celle-là devrait {\it a priori} montrer la sensibilité de la mesure à l'état.

\medskip
{\bf Dualité Obs-Com.}\hspace{0.3cm} Considérons un SLTC complet entrée/sortie comprenant
une commande (entrée $z=u$) et une observable (sortie $y$) --- et comme d'hab on note $x=\Deta$.
On peut le formuler ainsi
%
\begin{equation}
\begin{bmatrix} u(t)\\ \partial_t x\\ 0 \end{bmatrix} \quad = \quad
\begin{bmatrix} I & 0 & 0\\ B & A & 0\\ 0 & -C^{\dagger} & I\end{bmatrix} \quad 
\begin{bmatrix} z  \\ x \\ y \end{bmatrix}
\label{sltces} 
\end{equation}
%
La notion de commandabilité est liée à la sensibilité des conditions terminales de $x(t=0)$ à la commande
appliquée à partir de $-\infty$ --- pour rester conforme à la convention.
En prenant une composante (k$^{ieme}$) de $u(t)$ impulsive $=\delta(t)$, on a $x_{\delta}(0;t) = \Phi(0,t)B(t)e_k$
(avec $e_k$ vecteur de la base eulerienne de l'espace d'état). 
Le grammien de contrôlabilité peut alors s'écrire
%
\begin{equation}
\mathcal{W}_c = \int_{-\infty} ^0 \ext{x_{\delta}(0;\tau)}{x_{\delta}(0;\tau)} d\tau
\end{equation}
%      
faisant apparaître la var-covar de l'anomalie terminale de l'état.

On considère à présent le système adjoint de~(\ref{sltces})
%
\begin{equation}
\begin{bmatrix} 0\\ -\partial_t v\\ e(t) \end{bmatrix} \quad = \quad
\begin{bmatrix} I & B^{\dagger} & 0\\ 0 & A^{\dagger} & -C^{\dagger}\\ 0 & 0 & I\end{bmatrix} \quad 
\begin{bmatrix} \zeta  \\ v \\ w \end{bmatrix}
\label{adjes} 
\end{equation}
%
Dans ce système, la variable $w$ adjointe à l'observable représente la sensibilité de la mesure
aux C.I. La notion d'obervabilité conduit alors à considérer la covariance de cette sensibilité
$w(t;0) = \Phi^{\dagger}(t,0)C(t)e_k$, permettant de formuler le grammien d'obs ainsi
%
\begin{equation}
\mathcal{W}_o = \int^{\infty} _0 \ext{w(\tau;0)}{w(\tau;0)} d\tau
\end{equation}
%
la dualité est complète si on se souviens de l'équivalence entre une commande impulsive initiale
et des conditions intiales. Le système adjoint~(\ref{adjes}) conduit d'ailleurs à la définition
du grammien d'obs duale de cntrl~:
 $\displaystyle\mathcal{W}_o = \int_0 ^{\infty}\Phi^{\dagger}(\tau,0)C(\tau)C^{\dagger}(\tau)\Phi(\tau,0)d\tau$.

La dualité est ainsi établie sous la forme $u(t)\rightarrow x_0,\, t\in\! \quad ]-\infty,0]$ pour cntrl
 et $x_0\rightarrow w(t), \, t\in\! \quad [0,\infty[$ pour obs.

On peut encore remarquer que du point de vue des sensibilités entrée-sortie, prenant le cas d'observabilité max
$C^{\dagger}=I$ et de manière duale de totale contrôlabilité $B=I$, la décomposition en éléments singulier
du propagateur $\Phi = U [w] V^{\dagger}$ montre que le grammien d'obs privilégie la base d'excitabilité
du système ($V$), alors que son dual met en exergue sa réponse ($U$). La décomposition en {\bf structures singulières}
dîte {\bf de Hankel} s'applique à rendre ces deux aspects identiques en cherchant un changement de base de
l'espace d'état particulier, ce qui revient à modifier l'échelle des composantes d'état
(scaling\footnote{on pourrait proposer ``escaler'', du vieux Français; l'origine de tout ça étant
en référence avec ``coquille'' et la coupe des balances (vous pourrez pas dire qu'on perd
son temps à lire les Cahiers...}). On cherchera ainsi
une échelle (une norme) équilibrée entre les deux aspects duaux (balancing\footnote{quand je vous le disais
{\it ibidem}.}). On conçoit {\it a priori}
l'importance de cet équilibrage pour la réduction de modèles (cf cahiers Elémentaire sur la conjecture
de Goodman et Marshall).

{\it exercice~: montrer que la duale de l'interprétation de P minisant $\int_{-\infty} ^0\scal{u}{u} dt$ pour atteindre $x_0$
est que $Q$ maximise  $\int^{+\infty} _0\scal{w}{w}$ dt pour $x_0$ donné. Ça semble être un résultat non publié.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Moindres carrés et Kalman}
%
L'astuce du filtre de Kalman consiste à établir une rétroaction explicite des mesures sur l'état
à reconstruire via la matrice de gain $K(t)$. Cela permet de minimiser la var-cov sur $\ket{x}$ au
lieu de $\ket{y}$, l'écart à la mesure. Dans le  cas des moindres carrés, le terme correctif est
remplacé par une dépendance en $\varpi$, et la rétroaction est externe, via l'algorithme de
la minimisation. Ceci dit, rien n'empêche de boucler par $K$, pourvu que $K(t)$ ne dépende que
de $\varpi$ et des mesures précédentes. On va ainsi essayer d'expliciter une telle solution,
qui utilise $P$ en lieu et place de $[\Phi\Phi^{\dagger}]$ dans la formule de Newton\footnote{cf papier
Estimation des Cahiers TEF-ZOOM sur le web}.

{\bf Patrice, tu ne veux pas t'y coller ?}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Approche ensembliste du filtre de Kalman étendu\\ (Mars 2006)}
\label{EnsKF}
%
Pour l'instant, il devrait s'agir d'une discussion visant à ne garder du système~(\ref{sltckal}) que
les termes et matrices statistiques qui font sens dans notre pratique, ce qui devrait au premier
chef interpeller les vrais expérimentateurs de l'unsecte ! Espérons que cet appel ne restera pas vain.

\medskip
{\it le tirage par Monte-Carlo}

En remarque liminaire, il faut se garder d'oublier ce que la pratique du radiatif nous a appris,
à savoir que la méthode de Monte-Carlo appliquée aveuglément est improductive~: il
suffit de rappeler qu'elle ne converge qu'en $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{p}}$.
Mais on connait aussi ses avantages pour suivre la physique des problèmes, et ainsi de rester
maître de son pilotage.
Il semble nécessaire de nous livrer à une étude prospective approfondie du type de problème que
nous voulons résoudre pour en tirer tout le parti.

Le premier problème est le tirage avec des propriétés de covariance données.
Il me semble qu'une SVD des matrice de var-cov ($W=Uw^2U^{\dagger}$) donne une solution
par tirage de $pn$ V.A. gaussiennes-centrées indépendantes des $w_i$ (?), et Lapack
fournit une bonne base pour ça. Suivant la dimentionnalité du problème, on pourra sélectionner
un nombre inférieur à $p$ de vecteurs singuliers pour approximer $P$ (ceci pour les systèmes maillés en
particulier). À ce sujet d'ailleurs, il n'est pas interdit d'envisager {\it a priori}
que la dimension du bruit soit inférieure à $n$. Avec en tête que le problème n'est pas
d'obtenir une bonne approximation de $P$~(artefact mathématique), mais un traitement correct
du problème - la différence tenant tout simplement à ce que $P$ est en général elle-même mal connue !

On doit également tirer dans de bonnes directions, car on sait
que c'est essentiel pour obtenir un Monte-Carlo performant.
Celles-ci convoquent nécessairement les directions de sensibilités maximales du modèle, données
encore par les vecteurs singuliers de $A+A^{\dagger}$, cf papier SLTC$\_$al1 sur le SLT Circulant.
En effet, on a en général à faire à des modèles contractants (Wronskien décroissant), ce
qui a pour effet de restreindre la largeur de l'ensemble suivit, qui devient donc de moins en
moins représentatif par réduction de dimension de l'espace de phase exploré par l'ensemble.

Ce qui est dit sur $P$ concerne tout autant les bruits de mesure avec d'autres contraintes.

La conclusion est que, contrairement à ce qui a déjà été implémenté dans \Minik jusqu'alors,
la collaboration est sollicitée avant tout codage (en-dehors des essais de principe que
Pat fait en parallèle).

\bigskip
{\bf J'espère qu'on va pouvoir démarrer sérieusement tout ça en Mai ?} \\({\it Note post mortem~:
des mouvements au CIRED sans rapport avec ceux du CPE ont conduit à différer ce programme}).

et vous propose comme premier objectif de discuter exhaustivement du papier de revue
par le découvreur de la méthode après dix années d'applications diverses par plusieurs auteurs
(avec une forte contribution de l'école française)~:

The Ensemble Kalman Filter~: theoretical formulation and practical implementation,
{\it in} Ocean Dynamics~(2003)~{\bf 53}, 343-367.

Il serait utile de confronter les idées de l'article aux problèmes concrets des membres de l'unsecte.

{\it Post coïtum Scriptum} Rien n'est encore décidé de la forme que prendra le ``Mini-Kalman'', il s'agit justement
de considérer les avantages respectifs de plusieurs méthodes en profitant d'un contexte porteur.
\newpage
%
\subsection{Recul stratégique sur l'approche ensembliste}
% ------------------------------------------------------
On va se livrer à un rappel stémologique et historique du glissement
méthodologique qui a conduit à une approche ensembliste des systèmes
physiques. Juste pour tenter d'en avoir une vision synthétique\footnote{Al1, Mars 2006, qui
se lance dans un domaine dont il ignore tout et demande donc d'abord de la mansuétude,
mais surtout des suggestions-corrections, voire une co-rédaction par mieux
qualifié.}.
%
\subsubsection{La vision de Gibbs -- Einstein}
% ................................................
On traite des systèmes dynamiques dont les conditions initiales (C.I.)
sont incertaines. L'espace de référence est l'espace de phase ({\it gén.} d'états),
dans lequel on considére une densité continue $\varrho(p,q)$
des états possibles. En bref, si $\mathcal{H}(p,q)$ est l'Hamiltonien du système
mécanique, le système~:
%
\begin{eqnarray*}
d_t q = \nabla_p ^t \mathcal{H}&;&\qquad d_t p = -\nabla_q ^t \mathcal{H};
\end{eqnarray*}
%
fournit l'évolution du système. De même, l'évolution de toute fonction scalaire $f(p,q)$
est donnée par
%
\begin{eqnarray}
d_t f &=& \scal{\nabla_q f}{\nabla_p ^t \mathcal{H}}-\scal{\nabla_p f}{\nabla_q ^t \mathcal{H}}\nonumber\\
      &=& \left[f,\mathcal{H}\right]\nonumber
\end{eqnarray}
%
où on a introduit l'opérateur crochet de Poisson. La conservation de l'énergie se déduit des
équations de Hamilton puisque $d_t\mathcal{H} =\left[\mathcal{H},\mathcal{H}\right]=0$.

Maintenant, on considère l'ensemble des systèmes (dit {\it ensemble représentatif}) pouvant évoluer
avec le même Hamiltonien, représenté par une densité $\varrho(p,q)$ normalisée~: $\int{\varrho(p,q)} dp\, dq = 1$,
qui est donc une pdf. On a donc ``incompressibilité'' de ce nuage d'états~: $d_t\varrho + \varrho\, div\,v =0$,
ce qui entraîne $d_t\varrho = 0$ d'où $\partial_t\varrho=\left[\mathcal{H},\varrho\right]$. Le vecteur $v$
est ici bien sûr~: $v=\displaystyle d_t\!\begin{bmatrix}p\\q\end{bmatrix}\,\Rightarrow \, div\,v=0$.

L'équation de Liouville faisant partie de cet écrèmage, on introduit l'opérateur de Liouville
par simple multiplication\footnote{c'est juste pour le rendre Hermitien.} par le nombre imaginaire $\mathfrak{i}$~:
%
\begin{equation}
\left \lbrace
\begin{array}{l}
\mathfrak{i}\,d_t \varrho = L\varrho            \\
L = -\mathfrak{i}\scal{\nabla_p \mathcal{H}}{\nabla_q ^t \centerdot}+ \mathfrak{i} \scal{\nabla_q \mathcal{H}}{\nabla_p ^t \centerdot}
\end{array}
\right.
\end{equation}
%
Bref, c'est une première étape où on considère des propriétés moyennes de type~:\\ $<A> = \int{A(p,q)}dp\,dq$.
La difficulté de généralisation concerne évidemment la recherche de fonctions d'état liées aux invariants
d'un système général, de même que des fonctions de Lyapunov contraignant globalement l'évolution du système.
Lorsque l'énergie du système n'est pas conservée, comme dans les systèmes dissipatifs, le ``volume initial''
de la distribution des états ira en se contractant, et on trouvera un Wronskien décroissant. L'évolution
de la matrice $P$ de var-covar permettra de suivre plus finement encore les caractéristiques du nuage
ensembliste des états probables. En construisant notre approche élémentaire des outils de \Minik, on traitera
ainsi en premier de ce cas des C.I. incertaines.
%
\subsubsection{Ergodicité}
% ................................................
Après son théorème des trois corps, qui a montré que des systèmes ne sont
pas intégrables en général -- et pour notre plus grand bien -- Poincaré
montre que ces systèmes repassent par le voisinage de tout point de l'espace des phase~:
c'est l'aspect {\it ergodique} de systèmes non-intégrables (déjà introduit par Maxwell et Boltzmann).

Ces systèmes restent simples dans le sens où le volume est conservé, mais alors que deux points voisins
peuvent le rester, le volume peut aussi prendre des allures filamenteuses (Hopf avec les systèmes
de mélange).

La complexité aujourd'hui bien reconnue grâce au calcul numérique, de systèmes ni intégrables ni ergodiques
sont la base des études de Kolmogoroff, Lyapunov, Mandelbrot, etc (sections de Poincaré, K-flows,
biffurcations, résonnances,...). Au delà de la mécanique,
le modèle de Lorenz représente un prototype de ces systèmes\footnote{je ne garanti pas
l'exactitude historique avec des oublis importants comme Arnold, Neumann et d'autres,
voir par exemple Priogine 1980~: {\it From Beeing to Becoming.}. {\bf J'attends avec impatience
des améliorations proposées par les professeurs de l'unsecte.}}.

L'important pour cet écrèmage est la reconnaissance d'une irruption de {\it l'imprédictibilité}
déjà pour des systèmes déterministes, et ainsi d'un certain {\it hasard} en modélisation d'une part,
et de l'autre qu'une approche ensembliste est dès lors possible pour tenter d'appréhender
des éléments de structure des états possibles.
%
\subsubsection{Le mouvement Brownien et l'équation de Langevin}
% ..............................................................
Ici, on quitte le monde mathématique de nos chers mécaniciens, et le ``vrai'' {\it Hasard}
fait son entrée, dans le monde de la physique expérimentale. Le mouvement Brownien
est phénoménologiquement interprété ainsi par Langevin~:
%
\begin{equation*}
m\, d_t u = -\alpha u + F(t) + F_{ext}
\end{equation*}
%
équation du moment (1D) dans laquelle, en plus du champ de forces extérieures, l'effet de petite échelle
est {\it paramétré} par le couple~: freinage visqueux ($-\alpha$) $\times$ force ``aléatoire'' $F(t)$.
En laissant de côté le problème stémologique de coupure d'échelle, ici implicite, qui est
effectué par l'appareil de mesure (résolution spatio-temporelle), on reste dans un contexte
déterministe d'évolution en ayant reporté l'irruption du hasard dans les propriétés de $F(t)$.

On peut dès lors introduire des hypothèses stochastiques, et le mouvement Brownien conduit
au choix~: $<F(t)>=0;\quad <F(t+\tau)F(t)>=g\delta(\tau)$, \cad de stationnarité de l'autocorrélation
et de son caractère erratique. On peut noter que le choix de la fonction $\delta$ implique
que l'espace mathématique exclue de fait les échelles moléculaires. Ceci se traduira par
la non-dérivabilité de $F(t)$, si bien que la forme physiquement correcte de l'équation de
Langevin est~:
%
\begin{equation*}
m\, \frac{\Delta u}{\Delta t} + \alpha \Delta u = F_{ext} +\frac{1}{\Delta t}\int_t ^{t+\Delta t}{ F(\tau)} d\tau
\end{equation*}
%
avec $\tau_m\ll\Delta t \ll\tau_M$, entre les échelles micro- et macroscopique~({\it resp.}
moléculaire, et celle du mouvement des particules observables).
L'aucorrélation {\it physique} est alors calculée
avec $\displaystyle\bar{F}_{\Delta t} = \frac{1}{\Delta t}\int_t ^{t+\Delta t}{ F(\tau)} d\tau$~:
%
\begin{equation*}
C_{FF}(t-t')=<\bar{F}_{\Delta t}\bar{F}_{\Delta t'}>
\end{equation*}
%
qui a pour effet de remplacer le pulse de Dirac par une fonction triangle de largeur $2\Delta t$.

C'est justement ce genre de problème de correspondance entre les couches physique et mathématique
qui a conduit au champ des {\it équations stochastiques}, en suivant l'approche lumineuse
de Bébert\footnote{une de plus d'Einstein, qui avait souhaité prendre cet alias dans la collaboration.}.
Son raisonnement (1905) est le suivant~: soit une particule (Brownienne en 1D) effectuant
un déplacement aléatoire par saut $\Delta$ au bout de chaque intervalle de temps $\Delta t$. Soit $\phi$ la pdf associée~:
%
\begin{equation}
\phi(\Delta)d\Delta = p\{ \, x(t+\Delta t)-x(t)\, \in [\Delta,\Delta+d\Delta]\,\}
\end{equation}
%
avec indifférence au sens du déplacement~($\phi(-\Delta)=\phi(\Delta)$). Soit par ailleurs
$f(x,t)$ la densité des particules; alors~:
%
\begin{equation}
f(x,t+\Delta t) dx  = \left( \, \int_{-\infty} ^{+\infty}{\phi(\Delta) f(x-\Delta,t)}d\Delta\,\right) dx
\label{einst}\end{equation}
%
\cad que l'on retrouve en $x$ après un saut aléatoire, les particules qui étaient auparavent
en $x-\Delta$. L'hypothèse (la propriété stochastique du mouvement Brownien) fondamentale
est alors que les sauts étant centrés sur de faibles valeurs (diffusion lente) et $\tau$ petit,
il est légitime de faire des développements limités sur ces deux paramètres~:
%
\begin{equation*}
\left \lbrace
\begin{array}{l}
f(x,t+\Delta t) \simeq f(x,t) + \Delta t\,\partial_t f+ ...\\
\displaystyle f(x-\Delta,t) \,\simeq f(x,t) - \Delta \,\partial_x f + \frac{\Delta^2}{2}\partial_x ^2 f ...
\end{array}
\right.
\end{equation*}
%
en reportant dans~(\ref{einst}) et avec la normalisation et la parité de $\phi$, on trouve
la loi de diffusion de Fick~:
%
\begin{equation}
\left \lbrace
\begin{array}{l}
\displaystyle\partial_t f = D \,\partial_x ^2 f \\
\displaystyle D \, = \frac{1}{2\Delta t}\int_{-\infty} ^{+\infty} {\Delta^2\phi(\Delta)}\, d\Delta
\end{array}
\right.
\label{diffl}\end{equation}
%
et c'est ainsi qu'en toute simplicité Bébert jetais les grandes bases méthodologiques du
développement de Kramers-Moyal aboutissant à l'équation de Fokker-Planck.

En ce qui nous concerne, le problème de la modélisation est tout entier compris dans
l'existence de l'intégrale~(\ref{diffl}) exprimant la variance de $\Delta$, qui dépendra
des propriétés stochastiques de cette variable aléatoire.
%
\subsubsection{où on arrive à l'équation de Fokker-Planck}
% ........................................................
Nous arrivons enfin à la vision probabiliste des systèmes aléatoires, en passant par
les processus de Markov, l'équation maîtresse des systèmes Markoviens, et le développement
de Kramers-Moyal permettant dans un cadre plus restrictif l'introduction de Fokker-Planck.
Ainsi, en plus de la modélisation des valeurs moyennes (d'ensemble) des états du système
dynamique, le but de l'étude des équations stochastiques est de leur  adjoindre un modèle
d'évolution de leurs pdf.

\vspace{0.5cm}
{\it processus de Markov}

 C'est le type de processus de transition d'état qui correspond
aux modèles d'états. Considérons la formule
%
\begin{equation*}
p_2(y_1,t_1;y_2,t_2) = W(y_1,t_1 | y_2,t_2) p(y_2,t_2)
\end{equation*}
%
dans laquelle $p_2$ est la pdf conditionnelle donnant l'état $y_1$ au temps $t_1$
sachant qu'au temps $t_2$ il était $y_2$, avec $p$ la pdf d'état, et $W$ la probabilité
de transition, qui dépend de $t$. Cette relation suppose que la transition est déterminée
par l'état courant, et ne dépend pas du passé~: c'est la définition d'un processus Markovien.
En sommant $p_2$ sur $y_2$, on obtient $p(y_1)$.

L'équation de bilan des transitions donne ce que l'on appelle {\it l'équation maîtresse}
du processus aléatoire~:
%
\begin{equation}
\partial_t p(y,t) = \int dy'[W(y | y') p(y',t)- W(y' | y) p(y,t)]
\label{maitresse}\end{equation}
%
qui fait le bilan des arrivées de l'état en $y$~($y'\leadsto y$)  et des départs ($y\leadsto y'$).
On peut voir dans la probabilité de transition $W$ le pendant probabiliste du propagateur $\Phi$
de transition déterministe d'état~: les deux se composent par multiplication.

\vspace{0.5cm}
\newpage
{\it Développement de Kramers-Moyal et équation de Fokker-Planck}

Considérons l'équation maîtresse~(\ref{maitresse}) sous sa forme physique~:
%
\begin{equation}
p(y,t+\Delta t) = \int d\Delta y\, [\, W(y,t+\Delta t | y-\Delta y,t) p(y-\Delta y,t)\, ]
\end{equation}
%
on suit alors Einstein dans son hypothèse de diffusion lente, en supposant que les transitions
sont très centrées sur les faibles valeurs de $\Delta y$ lorsque $\Delta t$ reste faible
($W$ est une courbe en cloche). De plus, on fait l'hypothèse que cette fonction de transition
dépend faiblement de l'état. On peut alors faire un développement limité de l'intégrande,
que nous centrons en $y+\Delta y$~:
%
\begin{eqnarray}
W(y,t+\Delta t | y-\Delta y,t)p(y-\Delta y,t) &=& W(y+\Delta y,t+\Delta t | y,t)p(y,t)\\
                              &+& \sum_{n=1} ^{+\infty}\frac{-1^n}{n!}\Delta y^n \partial_y ^n [W(y+\Delta y,t+\Delta t | y,t)p(y,t)]\nonumber
\end{eqnarray}
%
on arrive alors au développement de {\bf Kramers-Moyal} suivant
%
\begin{equation}
\left \lbrace
\begin{array}{l}
\displaystyle\partial_t p(y,t) = \sum_{n=1} ^{+\infty}(-1)^n \partial_y ^n [M_n(y)p(y,t)] \\
\displaystyle M_n(y) = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\,\frac{1}{n!}\frac{1}{\Delta t}\int d\Delta y\,[\Delta y^n  W(y+\Delta y,t+\Delta t | y,t)]
\end{array}
\right.
\label{K-M}\end{equation}
%
avec les moments de la distribution de $\Delta y$ qui sont pris avec la proba de transition $W$.

L'analyse au premier ordre en $\Delta t$ de cette équation utilise le fait -- qu'on aurait pu
montrer explicitement pour le mouvement Brownien et que l'on retrouvera plus loin -- que
à la fois la dérive ($<\Delta y>$) et l'écart quadratique ($<\Delta y^2>$) sont proportionnels
à $\Delta t$ (cas du processus de Wiener). L'équation de {\bf Fokker-Planck} résultante est donc
un développement au premier ordre seulement en temps, en effaçant les moments d'ordre
supérieur~(dynamique lente)~:
%
\begin{equation}
\partial_t p(y,t) = -\partial_y [M_1(y)p(y,t)]\, +\, \partial_y ^2 [M_2(y)p(y,t)] = -\mathcal{L}_{FP}\, p(y,t)
\label{F-P}\end{equation}
%
Ben voilà, rendre un modèle stochastique revient à ajouter une équation de ce type pour
chaque composante d'état et modéliser les moments $M$ ... (hein ?). On peut déjà simplement
la TEFiser en considérant -- ce qui est classique -- le courant $J(y,t) = M_1(y)p(y,t)]\, -\, \partial_y [M_2(y)p(y,t)$,
d'où $\partial_t p(y,t) + div (J(y,t) = 0$.

\vspace{0.5cm}
{\it Lien avec le propagateur}

{\bf (sorry folks, ce sera pour plus tard).} 
\newpage
%
\subsection{Parcours aléatoire possible dans la jungle stochastique}
% -----------------------------------------------------------------
%
\begin{itemize}
%--------------
\item l'équation de Liouville\footnote{cf Ehrendorfer~:
                                    the Liouville equation and atmospheric predicatbility.};
%
\begin{itemize}
\item résultat de Liouville~: l'équation du Wronskien;
\item le théorème de transport, parallèle au théorème fondamental de la méca flu;
\item l'équation de Liouville (pdf);
\item passage à Fokker-Planck;
\item intro aux equations dynamiques stochastiques
\item que modéliser dans MK2 ?
\end{itemize}
\item le Mouvement Brownien;
\begin{itemize}
\item équation de Langevin;
\item Itô {\it versus} Stratonovitch;
\item Einstein {\it versus} Stratonovitch;
\item processus de Markov et équation maîtresse;
\item développement de Kramers' Moyal;
\item l'équation de Fokker-Planck;
\item traitement d'exemples;
\item quoi pour \Minik ?
\end{itemize}
\item analyse de Cécile Penland\footnote{MWR 89, J. of Cl. 94 etc};
\begin{itemize}
\item relation de Lyapunov;
\item propagateur et matrice var-covar~: la relation fluctuation-diffusion\footnote{ Leith JAS 75., Bell JAS 80};
\item analyse de données et détermination de modèle tangeant (EOF et POPs);
\item implication sur l'analyse des sensibilités climatiques;
\end{itemize}
\item réduction de modèle, décomposition lent/rapide
\begin{itemize}
\item l'approche Farell-Ioannou\footnote{JAS 2000 ?};
\item l'analyse de Hasselmann;
\item l'approche Majda;
\item l'approche Nicolas Bouleau;
\end{itemize}
\item modèles stochastiques du climat (revue)\footnote{Monahan 98~: Stochastic Climate Models.};
\item articulations avec les gains et Floquet;
\item les résultats de Patrice;
\begin{itemize}
\item filtre de Kalman et fits variés;
\item conclusions, ce qui marche, ce qui marche pas bien, ce qui serait mieux;
\item plans pour MK2;
\end{itemize}
\end{itemize}
%------------
%
\newpage
\appendix{\bf ANNEXE : La quadruple comparaison}
\label{triplec}
%%------------                                   
% 

\vspace{0.8cm}
{\bf Sensibilités aux états}

\vspace{0.4cm}
D'abord, la quadruple comparaison sur $\Phi(T,0)$ dans l'exo {\bf grasdouble} portant sur
1000 pas de temps de 0.01 unité :
%\footnotesize
\begin{verbatim}
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
+++++++ Re vérification de Phi / sens vadj ++++++++++++++++++++++
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
PHI_tr : time  0.1000013E+02
par integration en avant (nxp=np extension version 101)
  0.61537E+00  0.12344E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.30547E+00
  0.12337E+00  0.24768E-01  0.00000E+00  0.00000E+00  0.24543E+00
  0.00000E+00  0.00000E+00  0.11618E+01  0.00000E+00  0.00000E+00
  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.11700E+01  0.00000E+00
  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.10000E+01
le meme en double precision (identique)
par sltcirc
  0.61537E+00  0.12344E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.30547E+00
  0.12337E+00  0.24770E-01  0.00000E+00  0.00000E+00  0.24543E+00
  0.00000E+00  0.00000E+00  0.11618E+01  0.00000E+00  0.00000E+00
  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.11700E+01  0.00000E+00
  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.10000E+01
par sens
  0.61535E+00  0.12343E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.30543E+00
  0.12337E+00  0.24765E-01  0.00000E+00  0.00000E+00  0.24542E+00
  0.00000E+00  0.00000E+00  0.11618E+01  0.00000E+00  0.00000E+00
  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.11700E+01  0.00000E+00
  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.10000E+01
par vadj
  0.61519E+00  0.12341E+00 -0.23374E-09  0.00000E+00  0.30552E+00
  0.12299E+00  0.24693E-01 -0.25454E-09  0.00000E+00  0.24477E+00
  0.00000E+00  0.00000E+00  0.11618E+01  0.00000E+00  0.00000E+00
  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.11700E+01  0.00000E+00
  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.10000E+01
en double precisison 3eme colonne :
                            0.44039E-18
                            0.48990E-18
                            0.11618E+01
                            0.00000E+00
                            0.00000E+00
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
\end{verbatim}
%\normalsize
On peut se contenter d'un accord entre $10^{-3}$ et  $10^{-4}$ près ?
Il est a remarquer que les $E-09$ de vadj là où on attend zero ($E-18$ en double)
proviennent de l'inversion
de $(I-D)$, malgré l'utilisation de {\bf LaPack}; on va peut-être tenter
un ``driver expert'' de Lapack. Reste le cas du Lorenz 63 (l'exo lorhcl) qui semble
séparer ces accords, et c'est à regarder de plus près.
\newpage
Sur la matrice $\Psi(T,0)$ introduite par le TEF :
%\footnotesize
\begin{verbatim}
===========================================================================
avance de Phi/Psi par integration des extensions (version 101)

 -0.16097E-02   -0.32257E-03    0.00000E+00    0.00000E+00   0.00000E+00
 -0.58627E-03   -0.11895E-03    0.00000E+00    0.00000E+00   0.00000E+00
  0.00000E+00    0.00000E+00    0.00000E+00    0.00000E+00   0.00000E+00
  0.00000E+00    0.00000E+00    0.00000E+00    0.00000E+00   0.00000E+00
  0.24688E-01    0.49536E-02    0.00000E+00    0.00000E+00   0.00000E+00
  0.00000E+00    0.00000E+00    0.00000E+00    0.00000E+00   0.00000E+00
  0.90176E+00    0.18079E+00    0.60368E+02    0.71450E-02   0.00000E+00
  0.18089E+00    0.36295E-01    0.33794E+02    0.39998E-02   0.00000E+00

off line (par sltcirc a l'aide du fichier psiout, et alpha)
  Psi 8x5      dff/deta
 -0.1609109E-02 -0.3224513E-03  0.0000000E+00  0.0000000E+00  0.0000000E+00
 -0.5846123E-03 -0.1186602E-03  0.0000000E+00  0.0000000E+00  0.0000000E+00
  0.0000000E+00  0.0000000E+00  0.0000000E+00  0.0000000E+00  0.0000000E+00
  0.0000000E+00  0.0000000E+00  0.0000000E+00  0.0000000E+00  0.0000000E+00
  0.2467224E-01  0.4950750E-02  0.0000000E+00  0.0000000E+00  0.0000000E+00
  0.0000000E+00  0.0000000E+00  0.0000000E+00  0.0000000E+00  0.0000000E+00
  0.9013297E+00  0.1807056E+00  0.6037712E+02  0.7146083E-02  0.0000000E+00
  0.1807729E+00  0.3627402E-01  0.3379943E+02  0.4000415E-02  0.0000000E+00

  dff/dEta par sigma quand sens(i)=1
 -0.16097E-02   -0.32257E-03    0.00000E+00     0.00000E+00
 -0.58555E-03   -0.11881E-03    0.00000E+00     0.00000E+00
  0.00000E+00    0.00000E+00    0.00000E+00     0.00000E+00
  0.00000E+00    0.00000E+00    0.00000E+00     0.00000E+00     nulle
  0.24685E-01    0.49531E-02    0.00000E+00     0.00000E+00
  0.00000E+00    0.00000E+00    0.00000E+00     0.00000E+00
  0.90173E+00    0.18078E+00    0.60366E+02     0.71449E-02
  0.18087E+00    0.36291E-01    0.33793E+02     0.39998E-02

  wadj (vadj(T)=CDm1)
 -0.16253E-02   -0.32480E-03    0.00000E+00     0.00000E+00
 -0.59214E-03   -0.11981E-03    0.00000E+00     0.00000E+00
  0.33251E-21    0.66534E-22    0.00000E+00     0.00000E+00     nulle
  0.00000E+00    0.00000E+00    0.00000E+00     0.00000E+00
  0.24928E-01    0.49880E-02    0.00000E+00     0.00000E+00
  0.00000E+00    0.00000E+00    0.00000E+00     0.00000E+00
  0.91051E+00    0.18204E+00    0.60972E+02     0.72164E-02
  0.18265E+00    0.36547E-01    0.34132E+02     0.40398E-02
               
===========================================================================
\end{verbatim}
%\normalsize
On valide ainsi le lien sigma avec sens(i)=1 et Psi de l'extension TEF du propagateur.
De même l'initialisation de l'adjoint par impulsion sur $J^{\Psi}$ de $\varphi(T)$, qui
a peu de rapport avec l'avance de $\Psi(0,\tau)$, en tout cas aucun dans le programme.
\newpage
{\bf Sensibilités aux transferts pulsés}

Matrice $\Phi B(I-D)^{-1}$ du système des sensibilité aux transferts : 

\scriptsize
\begin{verbatim}
====================================================================================================

  PhiBDm1 5x 8
  0.1230153E+02  0.1183827E+01 -0.2022803E+02 -0.1348535E+02  0.6150763E+00  0.5904732E+01  0.0  0.0
  0.2467224E+01  0.2376360E+00 -0.4057290E+01 -0.2704860E+01  0.1233612E+00  0.1184267E+01  0.0  0.0
  0.0000000E+00  0.0000000E+00  0.1162008E+01  0.0000000E+00  0.0000000E+00  0.0000000E+00  0.0  0.0
  0.0000000E+00  0.0000000E+00  0.0000000E+00  0.6591275E+04  0.0000000E+00  0.0000000E+00  0.0  0.0
  0.6114376E+01  0.2356612E+01 -0.1270648E+02 -0.8470988E+01  0.1305719E+01  0.1253490E+02  0.0  0.0

                                par sens pour dfdpi(k)=1 transformé en C.I.
  0.12307E+02    0.11843E+01   -0.20237E+02  -0.13491E+02     0.61535E+00    0.59073E+01
  0.24685E+01    0.23775E+00   -0.40594E+01  -0.27063E+01     0.12343E+00    0.11849E+01
  0.00000E+00    0.00000E+00    0.11618E+01   0.00000E+00     0.00000E+00    0.00000E+00
  0.00000E+00    0.00000E+00    0.00000E+00   0.65902E+04     0.00000E+00    0.00000E+00
  0.61087E+01    0.23560E+01   -0.12697E+02  -0.84647E+01     0.13054E+01    0.12532E+02

                                par wadj pour cout_J=eta(i)
  0.12304E+02    0.11807E+01   -0.20227E+02  -0.13485E+02     0.61519E+00    0.59058E+01    0.0  0.0
  0.24681E+01    0.23705E+00   -0.40578E+01  -0.27052E+01     0.12341E+00    0.11847E+01    0.0  0.0
 -0.46748E-08   -0.24435E-08    0.11618E+01   0.71184E-08    -0.28306E-08   -0.27174E-07    0.0  0.0
  0.00000E+00    0.00000E+00    0.00000E+00   0.65902E+04     0.00000E+00    0.00000E+00    0.0  0.0
  0.61104E+01    0.23498E+01   -0.12690E+02  -0.84602E+01     0.13055E+01    0.12533E+02    0.0  0.0

====================================================================================================
\end{verbatim}
\normalsize
Dans la mesure où la procédure par l'adjoint, qui porte sur $J=\eta_i(T)$ est standard, on peut voir dans
l'accord précédent une validation numérique de la justification pseudo-mathématique de l'initialisation
du système des sensibilités aux transferts-pulsants.

\newpage
\vspace{1.5cm}
{\bf Sensibilité de $\varphi(T)$ :}

\scriptsize
\begin{verbatim}
=====================================================================================================
essai de sensib de tr a tr-pulse apres implementation adjoint  Fri Aug 19 19:12:26 CEST 2005           Al1

sltcirc :
  PsiBDm1 8x 8
 -0.3218217E-01 -0.3095533E-02  0.5291656E-01  0.3527771E-01 -0.1609109E-02 -0.1544744E-01 
 -0.1169225E-01 -0.1139138E-02  0.1924708E-01  0.1283138E-01 -0.5846123E-03 -0.5612278E-02 
  0.0000000E+00  0.0000000E+00  0.0000000E+00  0.0000000E+00  0.0000000E+00  0.0000000E+00 
  0.0000000E+00  0.0000000E+00  0.0000000E+00  0.0000000E+00  0.0000000E+00  0.0000000E+00   2 nulles
  0.4934448E+00  0.4752721E-01 -0.8114579E+00 -0.5409720E+00  0.2467224E-01  0.2368535E+00 
  0.0000000E+00  0.0000000E+00  0.0000000E+00  0.0000000E+00  0.0000000E+00  0.0000000E+00 
  0.1802659E+02  0.1734774E+01  0.3073507E+02  0.2049038E+02  0.9013297E+00  0.8652765E+01 
  0.3615457E+01  0.3482306E+00  0.2785390E+02  0.1856945E+02  0.1807729E+00  0.1735419E+01 

par sigma avec dfdpi(j)=1 -> transformé en C.I. (pulse)    
 -0.32197E-01   -0.31112E-02    0.52963E-01    0.35309E-01   -0.16099E-02   -0.15455E-01   
 -0.11712E-01   -0.11459E-02    0.19287E-01    0.12858E-01   -0.58560E-03   -0.56218E-02   
  0.00000E+00    0.00000E+00    0.00000E+00    0.00000E+00    0.00000E+00    0.00000E+00   
  0.00000E+00    0.00000E+00    0.00000E+00    0.00000E+00    0.00000E+00    0.00000E+00   
  0.49374E+00    0.47772E-01   -0.81227E+00   -0.54151E+00    0.24687E-01    0.23700E+00      //
  0.00000E+00    0.00000E+00    0.00000E+00    0.00000E+00    0.00000E+00    0.00000E+00   
  0.18036E+02    0.17436E+01    0.30706E+02    0.20472E+02    0.90180E+00    0.86573E+01   
  0.36176E+01    0.35002E+00    0.27847E+02    0.18565E+02    0.18088E+00    0.17365E+01   
en double
 -0.32197E-01   -0.31112E-02    0.52963E-01
 -0.11712E-01   -0.11459E-02    0.19287E-01
  0.00000E+00    0.00000E+00    0.00000E+00
  0.00000E+00    0.00000E+00    0.00000E+00
  0.49374E+00    0.47772E-01   -0.81227E+00
  0.00000E+00    0.00000E+00    0.00000E+00
  0.18036E+02    0.17436E+01    0.30708E+02
  0.36176E+01    0.35002E+00    0.27848E+02

par wadj  cout_Psi(T) = ff(j) -> vadj(T)=colonne de CDm1
 -0.32507E-01   -0.31181E-02    0.53437E-01    0.35625E-01   -0.16253E-02   -0.15603E-01   
 -0.11843E-01   -0.11502E-02    0.19489E-01    0.12993E-01   -0.59214E-03   -0.56845E-02   
 -0.35723E-11   -0.34310E-12    0.58731E-11    0.39154E-11   -0.17861E-12   -0.17147E-11      //
  0.00000E+00    0.00000E+00    0.00000E+00    0.00000E+00    0.00000E+00    0.00000E+00   
  0.49856E+00    0.47885E-01   -0.81967E+00   -0.54645E+00    0.24928E-01    0.23931E+00   
  0.00000E+00    0.00000E+00    0.00000E+00    0.00000E+00    0.00000E+00    0.00000E+00   
  0.18210E+02    0.17475E+01    0.31035E+02    0.20690E+02    0.91051E+00    0.87409E+01   
  0.36530E+01    0.35085E+00    0.28127E+02    0.18751E+02    0.18265E+00    0.17534E+01   
en double 
 -0.32507E-01   -0.31181E-02    0.53438E-01    0.35625E-01   -0.16254E-02   -0.15603E-01   
 -0.11843E-01   -0.11502E-02    0.19490E-01    0.12993E-01   -0.59214E-03   -0.56846E-02   
  0.66503E-20    0.63873E-21   -0.10933E-19   -0.72890E-20    0.33251E-21    0.31921E-20   

  ACCORD SIGMA x PsiB(I-D)m1 x w adjoint (mode pulse)
====================================================================================================
\end{verbatim}
\normalsize
On peut remarquer méchamment que les résultats sltcirc et sigma ne sont guères indépendants, car le système des
sensibilités calcule essentiellement $\Phi$ par colonne, et que le passage de $\eta$ à $\varphi$ par les matrices
du TEF sont les mêmes qui servent à initialiser {\bf sens}. Mais comme cette procédure est numériquement
validée par la comparaison sur $\Phi B(I-D)^{-1}$, on peut y voir la confirmation que les matrices de type $\Psi$
introduites par le TEF sont d'interprétation conforme à ce qui en a été dit. Et l'initialisation de l'adjoint
utilise la matrice $(I-D)^{-1}C^{\dagger}$ et non $B(I-D)^{-1}$, ce qui rend la dépendance entre les intégrations avant et arrière
plus subtile.
\newpage
\vspace{0.5cm}
{\bf Effets d'un pulse sur l'intégrale $\int_0 ^T {\varphi(\tau) d\tau}$}

\vspace{0.5cm}
On a définit une cellule $\eta(5)$ qui intègre une composante de transfert. Par ailleurs, on prend
comme fonction de coût l'intégrale d'une composante. Dans les deux cas, on a la sensibilité de l'intégrale
d'une variable à un pulse initial. On trouve ainsi :

Pour ff(1) intégrée, réponses :
\scriptsize
\begin{verbatim}
par wadj  (Transposé comme sens / Psit)
  0.44851E+00  0.43020E-01 -0.73730E+00 -0.49153E+00  0.22426E-01  0.21529E+00  0.00000E+00  0.00000E+00
  0.15993E+00  0.15442E-01 -0.26306E+00 -0.17537E+00  0.79966E-02  0.76767E-01  0.00000E+00  0.00000E+00
 -0.40202E-08 -0.21028E-08  0.10000E+01  0.61230E-08 -0.24362E-08 -0.23387E-07  0.00000E+00  0.00000E+00
  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.10000E+01  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00
  0.61055E+01  0.23493E+01 -0.12682E+02 -0.84548E+01  0.13053E+01  0.12531E+02  0.00000E+00  0.00000E+00
  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.10000E+01  0.00000E+00  0.00000E+00
> 0.18759E+03  0.16171E+02  0.13139E+03  0.87597E+02  0.93793E+01  0.90041E+02  0.10000E+01  0.00000E+00
  0.37081E+02  0.12696E+02  0.18618E+03  0.12412E+03  0.18540E+01  0.17799E+02  0.00000E+00  0.10000E+01
la 7eme ligne, dt/10 en double
  0.18780E+03  0.16229E+02  0.13163E+03  0.87756E+02  0.93898E+01  0.90142E+02  0.10000E+01  0.00000E+00

par sens(5)
 0.44807E+00   0.43324E-01 -0.73709E+00               0.22403E-01
 0.16058E+00   0.10844E-01 -0.25713E+00 -0.17142E+00  0.80289E-02  0.77077E-01
 0.00000E+00
 0.00000E+00
 0.61092E+01   0.23670E+01 -0.12714E+02 -0.84762E+01  0.13055E+01  0.12532E+02
\end{verbatim}
\normalsize
%
Ce qui suffit à montrer encore la pertinence de la méthode de transformation d'un pulse en C.I. en $s$.
%
\newpage
\vspace{1.cm}
{\bf Effets du step sur la variable $\varphi(t)$}
On utilise les extensions avec variables intégrées, et ainsi C.I. nulles, on regarde $\Psi$ avec
une source permanente, la matrice unité {\bf dfdpi}.

On a vu dans ce cas que l'on récupère sur
la diagonale une réponse de type $\displaystyle \frac{1}{1-g}$.
\scriptsize
\begin{verbatim}
========= Psit =========================================================================================
  0.47745E+00  0.16819E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.64345E+01  0.00000E+00  0.27205E+03  0.47145E+02
  0.51991E-01  0.19592E-01  0.00000E+00  0.00000E+00  0.36062E+01  0.00000E+00  0.28510E+02  0.26422E+02
 -0.79417E+00 -0.28167E+00  0.10000E+01  0.00000E+00 -0.15061E+02  0.00000E+00  0.15281E+03  0.22758E+03
 -0.52944E+00 -0.18778E+00  0.00000E+00  0.10000E+01 -0.10041E+02  0.00000E+00  0.10188E+03  0.15172E+03
  0.14812E-01  0.55012E-02  0.00000E+00  0.00000E+00  0.12724E+01  0.00000E+00  0.11329E+02  0.19955E+01
  0.24923E+00  0.90635E-01  0.00000E+00  0.00000E+00  0.19240E+02  0.10000E+01  0.16223E+03  0.28322E+02
  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.10000E+01  0.00000E+00
  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.10000E+01

dt/10 en double precision
  0.47742E+00  0.16827E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.64346E+01  0.00000E+00  0.27207E+03  0.47146E+02
  0.51989E-01  0.19581E-01  0.00000E+00  0.00000E+00  0.36063E+01  0.00000E+00  0.28513E+02  0.26423E+02
 -0.79411E+00 -0.28177E+00  0.10000E+01  0.00000E+00 -0.15061E+02  0.00000E+00  0.15281E+03  0.22759E+03
 -0.52940E+00 -0.18785E+00  0.00000E+00  0.10000E+01 -0.10041E+02  0.00000E+00  0.10187E+03  0.15172E+03
  0.14812E-01  0.55042E-02  0.00000E+00  0.00000E+00  0.12723E+01  0.00000E+00  0.11329E+02  0.19955E+01
  0.24921E+00  0.90675E-01  0.00000E+00  0.00000E+00  0.19240E+02  0.10000E+01  0.16224E+03  0.28323E+02
  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.10000E+01  0.00000E+00
  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.10000E+01
======== Psit + dPsit ==================================================================================
  0.47720E+00  0.16833E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.64373E+01  0.00000E+00  0.27218E+03  0.47166E+02
  0.51969E-01  0.19557E-01  0.00000E+00  0.00000E+00  0.36066E+01  0.00000E+00  0.28524E+02  0.26426E+02
 -0.79375E+00 -0.28183E+00  0.10000E+01  0.00000E+00 -0.15066E+02  0.00000E+00  0.15295E+03  0.22774E+03
 -0.52917E+00 -0.18788E+00  0.00000E+00  0.10000E+01 -0.10044E+02  0.00000E+00  0.10197E+03  0.15183E+03
  0.14804E-01  0.55059E-02  0.00000E+00  0.00000E+00  0.12725E+01  0.00000E+00  0.11333E+02  0.19962E+01
  0.24910E+00  0.90706E-01  0.00000E+00  0.00000E+00  0.19241E+02  0.10000E+01  0.16230E+03  0.28333E+02
  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.10000E+01  0.00000E+00
  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.10000E+01

======== Psit avec source permanente de Phit Gam -> + BDm1 =============================================
 -0.52255E+00  0.16819E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.64345E+01  0.00000E+00  0.27205E+03  0.47145E+02
  0.51991E-01 -0.98041E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.36062E+01  0.00000E+00  0.28510E+02  0.26422E+02
  0.70583E+00  0.12183E+01  0.00000E+00  0.00000E+00 -0.15061E+02  0.00000E+00  0.15281E+03  0.22758E+03
  0.47056E+00  0.81222E+00  0.00000E+00  0.00000E+00 -0.10041E+02  0.00000E+00  0.10188E+03  0.15172E+03
 -0.21599E-01  0.55012E-02  0.00000E+00  0.00000E+00  0.27236E+00  0.00000E+00  0.11329E+02  0.19955E+01
 -0.31057E+00  0.90635E-01  0.00000E+00  0.00000E+00  0.38654E+01  0.00000E+00  0.16223E+03  0.28322E+02
  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00
  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00
========================================================================================================                                                                              
\end{verbatim}
\normalsize
Comme on l'a dit dans le texte, on trouve que la dernière matrice est du type $\displaystyle \frac{g}{1-g}$,
sur la diagonale, ce qui se vérifie bien; on a aussi donné la matrice avec source unité mais calculée à chaque
pas, non pas de sa relation d'avec $\Phi$, mais en incrémentant : $\Psi+d\Psi$ à la sortie de {\bf ker},
ceci pour donner une idée de l'impact des non-linéarités.

En ce qui concerne la relation ''pulse sur int'' et ''step sur var'', qui ici n'est pas
l'équivalence, puisque dans ce modèle ni $B$ ni $C^{\dagger}$ ne sont constantes, il apparait quand
même une similitude des rtésultats, et la propriété stricte d'égalité pour le systèmes linéaires peut
donc servir à obtenir une information grossière dans le cas plus général (cf tableau page précédente);
il suffit d'abord de considérer les variations des trois matrices $B, C^{\dagger}$ et $D$ le
long de la trajectoire pour évaluer sa pertinence.

\vspace{1.cm}
\newpage
\appendix{\bf Comparaison Bsweep Boreleig}
\label{doublec}
%%------------                                   
% 

La comparaison est effectuée avec trois masselottes quasi non amorties. La variable de Borel
est multipliee 100 fois par $2^{0.25}$ de $\tau=0.05$ à $141079$~.
\scriptsize
\begin{verbatim}
  g(tau) Bsweep    synthe  =>  g/1-g        frep(tau) synthe
                       2 poles    (+ un double 0)
                       2 paires             3 paires
  -2.5035E-05    -2.6746E-05 -2.6746E-05   -2.4973E-05
  -3.5406E-05    -3.7417E-05 -3.7415E-05   -3.5310E-05
  -4.9951E-05    -5.2432E-05 -5.2430E-05   -4.9923E-05
  -7.0696E-05    -7.3569E-05 -7.3564E-05   -7.0581E-05
  -9.9788E-05    -1.0333E-04 -1.0332E-04   -9.9779E-05
  -1.4116E-04    -1.4528E-04 -1.4525E-04   -1.4104E-04
  -1.9954E-04    -2.0441E-04 -2.0437E-04   -1.9935E-04
  -2.8183E-04    -2.8776E-04 -2.8768E-04   -2.8173E-04
  -3.9814E-04    -4.0534E-04 -4.0517E-04   -3.9809E-04
  -5.6269E-04    -5.7112E-04 -5.7079E-04   -5.6237E-04
  -7.9486E-04    -8.0489E-04 -8.0424E-04   -7.9424E-04
  -1.1226E-03    -1.1345E-03 -1.1332E-03   -1.1213E-03
  -1.5849E-03    -1.5990E-03 -1.5964E-03   -1.5823E-03
  -2.2365E-03    -2.2533E-03 -2.2483E-03   -2.2315E-03
  -3.1545E-03    -3.1744E-03 -3.1644E-03   -3.1445E-03
  -4.4460E-03    -4.4699E-03 -4.4500E-03   -4.4264E-03
  -6.2610E-03    -6.2893E-03 -6.2500E-03   -6.2220E-03
  -8.8066E-03    -8.8402E-03 -8.7628E-03   -8.7296E-03
  -1.2369E-02    -1.2409E-02 -1.2257E-02   -1.2217E-02
  -1.7338E-02    -1.7385E-02 -1.7088E-02   -1.7042E-02
  -2.4242E-02    -2.4299E-02 -2.3722E-02   -2.3668E-02
  -3.3788E-02    -3.3855E-02 -3.2746E-02   -3.2683E-02
  -4.6900E-02    -4.6980E-02 -4.4872E-02   -4.4798E-02
  -6.4769E-02    -6.4864E-02 -6.0913E-02   -6.0828E-02
  -8.8890E-02    -8.9003E-02 -8.1729E-02   -8.1632E-02
  -1.2109E-01    -1.2122E-01 -1.0812E-01   -1.0801E-01
  -1.6355E-01    -1.6371E-01 -1.4068E-01   -1.4056E-01
  -2.1884E-01    -2.1903E-01 -1.7967E-01   -1.7954E-01
  -2.8995E-01    -2.9018E-01 -2.2491E-01   -2.2477E-01
  -3.8057E-01    -3.8083E-01 -2.7580E-01   -2.7565E-01
  -4.9547E-01    -4.9578E-01 -3.3145E-01   -3.3130E-01
  -6.4139E-01    -6.4176E-01 -3.9090E-01   -3.9074E-01
  -8.2830E-01    -8.2874E-01 -4.5318E-01   -4.5302E-01
  -1.0711E+00    -1.0717E+00 -5.1730E-01   -5.1715E-01
  -1.3919E+00    -1.3925E+00 -5.8203E-01   -5.8189E-01
  -1.8220E+00    -1.8228E+00 -6.4574E-01   -6.4561E-01
  -2.4056E+00    -2.4065E+00 -7.0644E-01   -7.0633E-01
  -3.2031E+00    -3.2041E+00 -7.6214E-01   -7.6204E-01
  -4.2963E+00    -4.2975E+00 -8.1123E-01   -8.1115E-01
  -5.7950E+00    -5.7965E+00 -8.5286E-01   -8.5279E-01

    o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 

  -4.3789E+04    -4.3557E+04 -9.9998E-01   -9.9993E-01
  -5.2129E+04    -5.1801E+04 -9.9998E-01   -9.9993E-01
  -6.2049E+04    -6.1584E+04 -9.9998E-01   -9.9994E-01
  -7.3846E+04    -7.3187E+04 -9.9999E-01   -9.9994E-01
  -8.7876E+04    -8.6942E+04 -9.9999E-01   -9.9994E-01
  -1.0456E+05    -1.0324E+05 -9.9999E-01   -9.9994E-01
  -1.2440E+05    -1.2254E+05 -9.9999E-01   -9.9995E-01
  -1.4799E+05    -1.4536E+05 -9.9999E-01   -9.9995E-01
  -1.7606E+05    -1.7234E+05 -9.9999E-01   -9.9995E-01
  -2.0941E+05    -2.0419E+05 -1.0000E+00   -9.9995E-01
  -2.4909E+05    -2.4173E+05 -1.0000E+00   -9.9995E-01
  -2.9629E+05    -2.8592E+05 -1.0000E+00   -9.9995E-01
  -3.5243E+05    -3.3783E+05 -1.0000E+00   -9.9995E-01
  -4.1910E+05    -3.9868E+05 -1.0000E+00   -9.9995E-01
  -4.9848E+05    -4.6983E+05 -1.0000E+00   -9.9995E-01
  -5.9288E+05    -5.5276E+05 -1.0000E+00   -9.9995E-01
  -7.0522E+05    -6.4908E+05 -1.0000E+00   -9.9995E-01
  -8.3842E+05    -7.6051E+05 -1.0000E+00   -9.9995E-01
  -9.9724E+05    -8.8879E+05 -1.0000E+00   -9.9995E-01
  -1.1861E+06    -1.0357E+06 -1.0000E+00   -9.9995E-01
  -1.4110E+06    -1.2028E+06 -1.0000E+00   -9.9995E-01
\end{verbatim}
\normalsize
\newpage
Comparaison entre six méthodes de calcul de $\displaystyle \frac{g}{1-g}(t-\tau)$, par les
formules~(\ref{paire1}, \ref{paire2}), par~(\ref{sensg}) avec propagateur analytique, et par
quatre intégrations dans \Minik dont seules {\it Psit} et {\it wadj} sont montrées.
Il s'agit de l'exercice Lodtka--Volterra au point d'équilibre (linéaire donc). La variable
adjointe donne la sensibilité de l'intégrale du transfert à un pulse. L'accord est remarquable.
On a laissé de côté les cas {\it sigma}--step et {\it Psit (ko$\_$Pert$\_$type=3} qui sont
en parfait accord.
%
\scriptsize
\begin{verbatim}
  time          psit (ko=4)  Boreleig   analytique  1-prec. <-> Adjoint (rev.time)
  ----------- ------------ ----------- ----------  -----------      ------------
  5.00002E+00 -4.85183E-01 -4.8511E-01 -4.8511E-01  5.1489E-01       5.16483E-01 
  5.01002E+00 -4.69673E-01 -4.6960E-01 -4.6960E-01  5.3040E-01       5.31980E-01 
  5.02002E+00 -4.54323E-01 -4.5425E-01 -4.5425E-01  5.4575E-01       5.47316E-01 
  5.03002E+00 -4.39135E-01 -4.3907E-01 -4.3907E-01  5.6093E-01       5.62489E-01 
  5.04002E+00 -4.24112E-01 -4.2404E-01 -4.2404E-01  5.7596E-01       5.77498E-01 
  5.05002E+00 -4.09254E-01 -4.0919E-01 -4.0919E-01  5.9081E-01       5.92341E-01 
  5.06002E+00 -3.94563E-01 -3.9450E-01 -3.9450E-01  6.0550E-01       6.07018E-01 
  5.07002E+00 -3.80040E-01 -3.7997E-01 -3.7997E-01  6.2003E-01       6.21525E-01 
  5.08002E+00 -3.65688E-01 -3.6562E-01 -3.6562E-01  6.3438E-01       6.35862E-01 
  5.09002E+00 -3.51507E-01 -3.5144E-01 -3.5144E-01  6.4856E-01       6.50027E-01 
  5.10002E+00 -3.37499E-01 -3.3744E-01 -3.3744E-01  6.6256E-01       6.64019E-01 
  5.11002E+00 -3.23666E-01 -3.2360E-01 -3.2360E-01  6.7640E-01       6.77835E-01 
  5.12002E+00 -3.10009E-01 -3.0995E-01 -3.0995E-01  6.9005E-01       6.91476E-01 
  5.13002E+00 -2.96529E-01 -2.9647E-01 -2.9647E-01  7.0353E-01       7.04939E-01 
  5.14002E+00 -2.83228E-01 -2.8317E-01 -2.8317E-01  7.1683E-01       7.18223E-01 
  5.15002E+00 -2.70107E-01 -2.7005E-01 -2.7005E-01  7.2995E-01       7.31327E-01 
  5.16002E+00 -2.57168E-01 -2.5711E-01 -2.5711E-01  7.4289E-01       7.44248E-01 
  5.17002E+00 -2.44412E-01 -2.4435E-01 -2.4435E-01  7.5565E-01       7.56987E-01 
  5.18002E+00 -2.31841E-01 -2.3178E-01 -2.3178E-01  7.6822E-01       7.69541E-01 
  5.19002E+00 -2.19455E-01 -2.1940E-01 -2.1940E-01  7.8060E-01       7.81909E-01 
  5.20002E+00 -2.07256E-01 -2.0720E-01 -2.0720E-01  7.9280E-01       7.94089E-01 
  5.21002E+00 -1.95245E-01 -1.9519E-01 -1.9519E-01  8.0481E-01       8.06082E-01 
  5.22002E+00 -1.83424E-01 -1.8337E-01 -1.8337E-01  8.1663E-01       8.17884E-01 
  5.23002E+00 -1.71793E-01 -1.7174E-01 -1.7174E-01  8.2826E-01       8.29496E-01 
  5.24003E+00 -1.60354E-01 -1.6030E-01 -1.6030E-01  8.3970E-01       8.40916E-01 
  5.25003E+00 -1.49109E-01 -1.4906E-01 -1.4906E-01  8.5094E-01       8.52142E-01 
  5.26003E+00 -1.38058E-01 -1.3801E-01 -1.3801E-01  8.6199E-01       8.63173E-01 
  5.27003E+00 -1.27202E-01 -1.2715E-01 -1.2715E-01  8.7285E-01       8.74009E-01 
  5.28003E+00 -1.16543E-01 -1.1649E-01 -1.1649E-01  8.8351E-01       8.84648E-01 
  5.29003E+00 -1.06082E-01 -1.0603E-01 -1.0603E-01  8.9397E-01       8.95089E-01 
  5.30003E+00 -9.58194E-02 -9.5772E-02 -9.5771E-02  9.0423E-01       9.05331E-01 
  5.31003E+00 -8.57569E-02 -8.5710E-02 -8.5710E-02  9.1429E-01       9.15373E-01 
  5.32003E+00 -7.58954E-02 -7.5849E-02 -7.5849E-02  9.2415E-01       9.25214E-01 
  5.33003E+00 -6.62360E-02 -6.6191E-02 -6.6191E-02  9.3381E-01       9.34852E-01 
  5.34003E+00 -5.67796E-02 -5.6735E-02 -5.6735E-02  9.4326E-01       9.44288E-01 
  5.35003E+00 -4.75272E-02 -4.7484E-02 -4.7484E-02  9.5252E-01       9.53518E-01 
  5.36003E+00 -3.84799E-02 -3.8437E-02 -3.8437E-02  9.6156E-01       9.62544E-01 
  5.37003E+00 -2.96385E-02 -2.9597E-02 -2.9597E-02  9.7040E-01       9.71364E-01 
  5.38003E+00 -2.10039E-02 -2.0963E-02 -2.0963E-02  9.7904E-01       9.79976E-01 
  5.39003E+00 -1.25772E-02 -1.2537E-02 -1.2537E-02  9.8746E-01       9.88381E-01 
  5.40003E+00 -4.35907E-03 -4.3203E-03 -4.3202E-03  9.9568E-01       9.96577E-01 
  5.41003E+00  3.64947E-03  3.6873E-03  3.6874E-03  1.0037E+00       1.00456E+00 
  5.42003E+00  1.14477E-02  1.1484E-02  1.1485E-02  1.0115E+00       1.01234E+00 
  5.43003E+00  1.90346E-02  1.9070E-02  1.9071E-02  1.0191E+00       1.01990E+00 
  5.44003E+00  2.64096E-02  2.6444E-02  2.6445E-02  1.0264E+00       1.02725E+00 
  5.45003E+00  3.35718E-02  3.3606E-02  3.3606E-02  1.0336E+00       1.03439E+00 
  5.46003E+00  4.05205E-02  4.0553E-02  4.0553E-02  1.0406E+00       1.04132E+00 
  5.47003E+00  4.72550E-02  4.7287E-02  4.7287E-02  1.0473E+00       1.04803E+00 
  5.48003E+00  5.37744E-02  5.3805E-02  5.3805E-02  1.0538E+00       1.05452E+00 
  5.49003E+00  6.00783E-02  6.0108E-02  6.0108E-02  1.0601E+00       1.06080E+00 
  5.50003E+00  6.61658E-02  6.6195E-02  6.6195E-02  1.0662E+00       1.06687E+00 
  5.51003E+00  7.20364E-02  7.2064E-02  7.2064E-02  1.0721E+00       1.07271E+00 
  5.52003E+00  7.76894E-02  7.7716E-02  7.7716E-02  1.0777E+00       1.07834E+00 
  5.53003E+00  8.31243E-02  8.3150E-02  8.3150E-02  1.0831E+00       1.08375E+00 
  5.54003E+00  8.83405E-02  8.8365E-02  8.8365E-02  1.0884E+00       1.08894E+00 
  5.55003E+00  9.33374E-02  9.3361E-02  9.3361E-02  1.0934E+00       1.09392E+00 
  5.56003E+00  9.81144E-02  9.8137E-02  9.8137E-02  1.0981E+00       1.09867E+00 
  5.57003E+00  1.02671E-01  1.0269E-01  1.0269E-01  1.1027E+00       1.10320E+00 
  5.58003E+00  1.07007E-01  1.0703E-01  1.0703E-01  1.1070E+00       1.10751E+00 
  5.59003E+00  1.11122E-01  1.1114E-01  1.1114E-01  1.1111E+00       1.11160E+00 
  5.60003E+00  1.15015E-01  1.1503E-01  1.1503E-01  1.1150E+00       1.11547E+00 
\end{verbatim}
\normalsize

\vspace{0.4cm}
\hrule
\tableofcontents
\end{document}

Pour vérififer l'assertion que le {\bf dfdpi} source provoquerait le calcul de la sensib de l'intégrale :
\scriptsize
\begin{verbatim}
================ effet sur l'intégrale de ff ===========================================================
sigma dfdpi -> transformé mais source conservée

  0.44521E+00  0.15657E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.69284E+01  0.00000E+00  0.29011E+03  0.50764E+02
  0.48891E-01  0.18438E-01  0.00000E+00  0.00000E+00  0.36538E+01  0.00000E+00  0.30249E+02  0.26772E+02
 -0.74115E+00 -0.26252E+00  0.10000E+01  0.00000E+00 -0.15873E+02  0.00000E+00  0.18351E+03  0.25543E+03
 -0.49410E+00 -0.17501E+00  0.00000E+00  0.10000E+01 -0.10582E+02  0.00000E+00  0.12234E+03  0.17029E+03
  0.13202E-01  0.49195E-02  0.00000E+00  0.00000E+00  0.12970E+01  0.00000E+00  0.12230E+02  0.21763E+01
  0.23375E+00  0.85063E-01  0.00000E+00  0.00000E+00  0.19477E+02  0.10000E+01  0.17090E+03  0.30059E+02
  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.10000E+01  0.00000E+00
  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.10000E+01

wadj
 (cout_l=ff(i)

  0.44851E+00  0.15993E+00 -0.40202E-08  0.00000E+00  0.61055E+01  0.00000E+00  0.18759E+03  0.37081E+02
  0.43020E-01  0.15442E-01 -0.21028E-08  0.00000E+00  0.23493E+01  0.00000E+00  0.16171E+02  0.12696E+02
 -0.73730E+00 -0.26306E+00  0.10000E+01  0.00000E+00 -0.12682E+02  0.00000E+00  0.13139E+03  0.18618E+03
 -0.49153E+00 -0.17537E+00  0.61230E-08  0.10000E+01 -0.84548E+01  0.00000E+00  0.87596E+02  0.12412E+03
  0.22426E-01  0.79966E-02 -0.24362E-08  0.00000E+00  0.13053E+01  0.00000E+00  0.93793E+01  0.18540E+01
  0.21529E+00  0.76767E-01 -0.23387E-07  0.00000E+00  0.12531E+02  0.10000E+01  0.90041E+02  0.17799E+02
  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.10000E+01  0.00000E+00
  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.00000E+00  0.10000E+01

========================================================================================================                                                                              
\end{verbatim}
\normalsize
C'est donc loin d'être vérifié, et ça ne marche pas mieux avec C.I. nulles et/ou modification
diverse des sources. On va donc commencer par vérifier la sensib de l'intégrale à un pulse,
en utilisant la cellule $5$ comme intégrateur d'un $\varphi(j)$.

\end{document}
\end
