\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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% amsfonts permet le \mathbb(C) attantion, peu de lettres disponibles
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%
\newcommand{\bra}[1]{<{#1}\mid}
\newcommand{\ket}[1]{\mid{#1}>}
\newcommand{\mat}[1]{\underline{\underline{\mathcal{#1}}}}
\newcommand{\diag}[1]{{#1}^{d}}
\newcommand{\mean}[1]{\overline{{#1}}}
\newcommand{\scal}[2]{{<\, #1 \cdot\, #2>}}
\newcommand{\trac}[1]{{\mathcal{T}r (#1)}}

\begin{document}
%
\def\todec{{\overline {\overline {\Upsilon  }}}_{,dec} }
\def\tox{{\overline {\overline {\Upsilon  }}}_{,x} }
\def\taux{{\tau }_{,x} }
\def\dt{{\delta t}}
\def\edtaux{{exp (-{\delta t  \over \taux } ) }}
\def\dtac{{\delta \eta _{,dec} } }
\def\dtax{{\delta \eta _{,x} } }
\def\deta{{\delta \eta } }
\def\Deta{{\Delta \eta } }
\def\Dt{{\Delta t } }
\def\dfi{{\delta \varphi } }
\def\Dfi{{\Delta \varphi } }
\def\Dpi{{\Delta \pi } }
\def\dts{{\delta t\over 2 } }
\def\dat{{\alpha \delta t} }
\def\dbt{{\beta \delta t} }
\def\dtaf{{\overline {\overline {\partial _\eta f }}} }
\def\d(#1)G{{\overline {\overline {\partial_#1 G}}} }
\def\dA{{\overline {\overline {\partial A}}} }
%
\newcommand{\cad}{c'est-\`a-dire\xspace}
\definecolor{sepia}{rgb}{0.6,0.3,0.2}

\title{Pistes pour un programme collaboratif \\
                TEF / Gains
\footnote{Al1, texte de Mai 2003}}
\maketitle

{\color{sepia}\it Les notes de relecture seront dans cette couleur; histoire
de voir, en Février 2006, quel chemin a été parcouru et quel chemin il reste.}

\vspace{0.5cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{Approche pragmatique}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
attention, c'est d'abord rapidement formulé, voir ensuite des détails
à chaque fois en suppléments : ¶ 
\begin{itemize}
\item dans l'exploitation de Vizu pour la détermination des pôles;
\item pour préciser / comprendre comment se forment ces éléments
de la dynamique au cours de l'élimination emboîtée;
\item pour étendre l'usage du SLT au cadre non-linéaire.
\end{itemize}

Devant l'enthousiasme (sic) obtenu par les premières diffusion du brouillon, peut-on
considérer que ces notes pourraient préparer une partie du Zircon 2003 ?
d'où pourraient sortir une liste de problèmes, conjectures, pistes à explorer,
exercices à construire sous mini-ker, collègues à interpeller ... bref, renforcer
les liens de la secte par un programme de collaboration (possiblement financé par
l'INSUe~\footnote{avec ce doute que « l'insu que sait, de l'une bévue, s'aile à mourre »
{\color{sepia}\it c'était bien vu, car ce Grand projet à la Française a évidemment capoté !
un gramd merci à l'État et au projet de Lisbonne.}}
?

\subsection{Vizu-Pb}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Sous Zeus©, on tente de déterminer les pôles d'une fonction
de couplage (soit $C(\tau)$ la fonction cherchée).
si on considère une matrice ``déployant'' ce pôle, on a une relation
qui lie les pôles de $C$ aux éléments de la matrice déployée.
soit 
\begin{equation}
 \mathcal Z =  \left[
\begin{array}{cc}
         A & B \\
         c & d 
\end{array}
\right]
\end{equation}
cette matrice ($\tau$).
\begin{equation}
C(\tau)= d - c A^{-1} B
\end{equation}
la fonction n'est autre que le déterminant de la matrice
\begin{equation}
 \mathcal R =  \left[
\begin{array}{cc}
       I  &  A^{-1}B \\
       0  &  d - c A^{-1} B
\end{array}
\right]
\label{lu}
\end{equation}
on a donc $ det(R) = \frac{det(Z)}{det(A)} $,
autrement dit, les pôles de $C$ doivent se retrouver parmi :
1) les racines de $A$;
2) les pôles de $c$ et $B$.

On a ainsi moyen de séparer la recherche de pôles multiples trop
proches etc.

... quittes à vérifier que la fonction résultant de ces éléments définis
est en accord avec $C(\tau)$. Ça fournit également le moyen d'identifier
une partie du système responsable d'un pôle (StépH a un exemple).

\subsection{Lien avec la recherche des éléments propres du système dynamique
sous forme d'équations d'état.}
\label{matr}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Symboliquement :
\begin{equation}
\mathcal M =  \left[
\begin{array}{cc}
       A  & B \\
      C^{\dagger} & D
\end{array}
\right]
\end{equation}
Attention, ici, $\mathcal A$ n'est pas la matrice du TEF, que l'on notera
ici $\mathcal A_{\lambda} = \lambda I - A$, avec $\lambda = 1 / \tau$, ou $\tau$
est la variable de Borel\footnote{ on prend ainsi dans ce début de texte une forme modifiée
des matrices du TEF, puisque, en réalité, $1 / \lambda = \dts$ multiplie les
matrices $A$ et $B$}. On notera :
\begin{equation}
\mathcal M_{\lambda} =  \left[
\begin{array}{cc}
       A_{\lambda}  & B \\
      C^{\dagger} & D
\end{array}
\right]
\end{equation}
forme état :
\begin{equation}
\mathcal S =  \left[
\begin{array}{cc}
       A - B D^{-1}C^{\dagger} & 0 \\
        D^{-1}C^{\dagger}      &   I
\end{array}
\right]
\label{st}
\end{equation}
forme correspondante avec les matrices du TEF  :
\begin{equation}
\mathcal S_{\lambda} =  \left[
\begin{array}{cc}
       A_{\lambda} - B D^{-1}C^{\dagger} & 0 \\
        D^{-1}C^{\dagger}      &   I
\end{array}
\right]
\end{equation}
après emboîtement :
\begin{equation}
\mathcal T_{\lambda} =  \left[
\begin{array}{cc}
        I  &  A_{\lambda}^{-1} B  \\
        0  & D - C^{\dagger} A_{\lambda}^{-1} B
\end{array}
\right]
\end{equation}

les V.P. sont racines du polynôme caractéristique de $S$ \cad $det(S_{\lambda})$ :
\begin{equation}
\begin{array}{cc}
                det(S_{\lambda}) &= det(M_{\lambda}) / det(D)     \\
                det(T_{\lambda}) &= det(M) / det(A_{\lambda})     \\
                       &= det(S_{\lambda}) det(D) / det(A_{\lambda})
\end{array}
\end{equation}

Bref, il est possible de suivre la constitution des pôles
de $T$ à partir des racines de $S$.

¶ ce qu'il faut détailler, c'est la forme exacte des matrices $A$ qui
interviennent soit dans l'équation d'évolution, soit dans le système
aux temps discrets.

{\color{sepia}\it On doit pouvoir dire que la version 101e de Mini-ker et le lien
établi entre éléments propres et pôles du papier Effluents clos la question.}

\subsection{On considère une trajectoire de référence, issue d'un système
non linéaire.}
\label{trsnl}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
On étudie le SLT à cette trajectoire (!).
Oui, ce qui précède est correct, car le SLT «circulant», cad
calculé en chaque point de la trajectoire, est bien linéaire.
En effet, les coefficients du SLT Circulant (SLTC) dépendent bien sûr
du temps, et seulement du temps (pour les intervalles
sans bifurcation). Dire que le système originel est
non-linéaire est équivalent à dire que les coefficients de couplage qui
nous intéressent sont dépendants du temps (non-autonomes). Ce qu'on étudie à partir
du SLTC, c'est la perturbation à une trajectoire - \cad en
conservant les couplages déterminés par la trajectoire de référence.

Conséquence : on peut définir sur le SLTC la propagation
d'une perturbation, avec classiquement la réponse :
\begin{equation}
x(T) = \Phi (T,0)x(0) + \int_0^{T} {\Phi (T,t)B(t)y(t)} dt
\end{equation}
dans laquelle $x(t)$ est l'écart à la trajectoire d'une variable considérée,
$y(t)$ la perturbation d'un forçage. Cette formule recèle une sémantique
extrêmement riche, en particulier si on considère des réponses très
différées à une perturbation initiale (T grand devant les Temps
Caractéristiques T.C. les plus courts du SLTC), \cad de la
distribution des T.C. le long de la trajectoire. On s'attend en effet
à ce que la réponse intégrée ``efface'' les réponses instables instantanées
contredites par l'expression subséquente des non-linéarités.
La clé est dans $\Phi$ ! Et aussi la question : comment déterminer le
propagateur de la perturbation $x$ ?
On connait une réponse dans le cas du SLT discrétisé : en reprenant
les notations du~\ref{matr}~(formule~\ref{st}), le propagateur $P$ du système est donné
par une somme
de produits matriciels de $(I+S)$ :
\begin{equation}
     P(N,i) = \prod_{k=N}^{N-i} {I+S_k dt}
\end{equation}
(produit bien ordonné ( éléments $S_j ... S_l$ tels que $j > l$).
cette forme correspondant à une étude de stabilité de la trajectoire perturbée
au point i.

Dans le cas d'une sensibilité paramétrique, on a en plus un produit de convolution
par une Heaviside :
\begin{equation}
     P(N,1) = \sum_{i=1}^{N} {\prod_{k=N-i}^{N} {I+S_k dt}}
\end{equation}
en imposant initialement un saut de paramètre par exemple.
Il suffit alors de procéder à une complémentation de Schür de la matrice $P$
pour avoir le propagateur (fonction scalaire) recherché.

¶ c'est à ce point qu'il est nécessaire de préciser les formes explicites
des matrices du système d'état en fonction de celles du TEF, car on a
besoin des propriétés des formes matricielles de $P$, pour récupérer le plus
simplement possible un propagateur scalaire désiré : quels produits de
quelles matrices fournissent le plus directement possible un polynôme
caractéristique etc. (Ah ! si on avait commutation entre l'opérateur
de Schür et la combinaison des matrices dans le propagateur !)

{\bf attention, à expliciter ! -}
Ayant le propagateur, Il n'y a plus qu'à interpréter la forme discrète
en Borel pour obtenir une caractérisation dynamique du système non linéaire (!).
On n'a plus qu'à chercher les racines du polynôme caractéristique $c(\lambda)$
extrait
du propagateur en balayant $P_{\lambda}(N,1)$ en $\lambda$, ce qui implique
un balayage tout le long de la trajectoire de référence.
Si cela est sensé, c'est pas complètement inintéressant, l'est-ce\footnote{
\color{sepia}
On a depuis Octobre 2006 cet exercice dans le papier Lotka-Volterra.} ?

Pour finir sur une manière pragmatique d'amorcer la méthode, on propose
un exercice plus abordable peut-être, consistant à définir un transfert
de moyenne mobile sur un intervalle $\Delta T$ pour voir si on efface
bien les réponses les plus rapides. C'est pas trivial, car il s'agit quand
même de traiter simultanément N pas de temps ...
Un premier exercice consisterait à faire la moyenne sur un cycle de
$c(t,\tau)$, qui pourrait fournir une borne supérieure aux instabilités
(cf~\ref{deter}).
On retrouve un problème de même nature que ce qui justifierait
l'approche pragmatique de JLD \& PF.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Formes explicites des Matrices}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Système continu}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
On étudie une équation d'état avec un forçage y(t) :
\begin{equation}
\partial_t x(t) =  A(t)x(t)+B(t)y(t)
\end{equation}
pour ce système linéaire, la solution générale est :
\begin{equation}
 x(t) = \Phi (t,0)x(0) + \int_0^{t} {\Phi (t,\tau )B(\tau )y(\tau )} d\tau
\end{equation}
où le propagateur\footnote{également appelé «flot» sous forme fonctionnelle
en mécanique, ou matrice de transition d'état} $ \Phi (t,\tau ) $ vérifie :
\begin{equation}
\partial_t \Phi (t,\tau) = A(t) \Phi (t,\tau);
\qquad  \Phi (t,t) = I ;
\label{epro}
\end{equation}
Ainsi, pour le TEF, où l'équation d'état est :
\begin{equation}
\partial_t \eta =  G ( \eta , \varphi )
\label{tef}
\end{equation}
si on considère d'abord que $\varphi$ est un forçage (source, commande ou
paramètre), la matrice $A$ est simplement $\d(1)G(\eta)$. C'est elle qui
définit donc complètement le propagateur du système.

On peut vérifier que lorsque $A(t)$ commute avec $A(t')$ pour tous $t$ et
$t'$ de
l'intervalle $\{0,T\}$~\footnote{sauf erreur, il suffit que $A(t')$ commute avec
$\int_{0}^{t}{A(\tau) d\tau}$. Noter aussi que ce $\d(1)G(t)$ est moins
simple en général que celui de la forme TEF, \cad avec $\varphi$ transfert et
non seulement forçage.}, le propagateur s'écrit :
\begin{equation}
\Phi (T, 0 ) = \exp (\int_{0}^{T} { \d(1)G(t) }dt )
\end{equation}
On ne connait pas de solution générale au problème~(\ref{epro}); (Voir cependant la solution
générique dans le papier SLTC).

Pour une trajectoire perturbée, on garde les mêmes matrices
de couplage, et on considère les perturbations de la trajectoire
provoquées par $\Dfi$ (et éventuellement $\Deta (t=0)$) :
\begin{equation}
\partial_t\, (\eta + \Deta) =  G ( \eta + \Deta , \varphi + \Dfi)
\label{tef2}
\end{equation}
qui conduit au système perturbé :
\begin{equation}
\partial_t\, (\eta + \Deta) = G_{ref}(\eta,\varphi) + \d(1)G\,\Deta + \d(2)G\,\Dfi
\label{sltcc}
\end{equation}
$G_{ref}(\eta,\varphi)$ garde ses valeurs le long de la trajectoire de
référence ($\mathcal T_r$), tout comme les matrices jacobiennes.
En soustrayant de~(\ref{sltcc}) la forme non perturbée~(\ref{tef}),
on obtient l'équation d'évolution des écarts à $\mathcal T_r$ :
\begin{equation}
\boxed{
\partial_t\, \Deta = \d(1)G\, \Deta + \d(2)G\, \Dfi }
\label{sltc}
\end{equation}
qui définit le SLTC.
On obtient ainsi une forme semblable au TEF classique (aux variations
temporelles), avec des différences :
\begin{enumerate}
\item $G_{ref}$, l'analogue à $G_0$, n'intervient pas;
\item $\Deta (t=0)$ n'est éventuellement pas nul.
\end{enumerate}
$\d(1)G (t)$ est donc aussi le propagateur le long du SLTC au voisinage d'un point.
Autrement dit, {\bf le SLTC se définit comme un SLT paramétré par le temps}.

Histoire de faire des liens avec d'autres marottes de la secte, on peut remarquer
que~(\ref{sltc}) s'obtient directement en appliquant au système~(\ref{tef}) une
différenciation de Gâteaux ($\mathcal{D}$):
\begin{equation}
\mathcal{D}\, \rightarrow\, \frac{\partial }{\partial \epsilon} \langle\,
     \partial_t (\eta + \epsilon \Deta )
      =  G ( \eta + \epsilon \Deta, \varphi + \epsilon \Dfi )
\label{tefg}
\end{equation}
qui donne~(\ref{sltc}).

 En l'absence de solution
générale au problème continu, on n'a plus qu'à passer au discret
\footnote{\color{sepia} voir quand même le papier SLTC, qui présente une forme abstraite
de cette solution générale.}.

\subsection{Système aux temps discrets}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Cette fois-ci, le système aux états est définit par :
\begin{equation}
x(k+1) = A(k)x(k) + B(k)y(k)
\end{equation}
Le propagateur est alors :
\begin{equation}
P(k, 0 ) = \prod_{i=k}^{0} {A(i)}
\end{equation}
Si on prend maintenant la forme intégrée du système~(\ref{tef}) à la TEF, on a :
\begin{equation}
\left[ 1 - \dts\, \d(1)G \right]\, \deta(t_k)
\overset{2}{\simeq} \dt G_0\, +\, \dts\, \d(2)G\, \delta \varphi (t_k)
\label{tefref}
\end{equation}
C'est la résolution de ce système qui fournit $\mathcal T_r$ point par point.

De même, l'intégration par pas de temps successifs de~(\ref{sltc}) fournit
la trajectoire perturbée. Le problème est de trouver une solution, connaissant
$A(t_k)$ aux points successifs de $\mathcal T_r$.
Sur chaque incrément temporel,
le propagateur est $\exp (\d(1)G_k\, \dt_k)$, d'où la perturbation au temps
$t_{k+1} = t_k + \dt_k$ :
\begin{equation}
 \Deta_{k+1} = \exp{(\dt_k\, \d(1)G_k}\, \Deta_{k}) + ...
\label{pro1}
\end{equation}
on peut consulter /zoom/TexDoc/celproc/celproc2.ps et vérifier qu'une
approximation de Pad\'e à l'ordre 2 de l'exponentielle donne en effet les
équations en $\dts$ de la formulation discrète~(\ref{tefref}) du TEF.
Pour ce qui nous importe ici, le propagateur de perturbation cherché entre
deux points j et k est donc\footnote{comme précédemment dans le cas continu,
le produit ne rentre en somme en exposant que si commutation; JYG dixit pour
les fans, c'est toute l'histoire des graphes de Feynman ...} :
\begin{equation}
\boxed{
 P(k,j) = \prod_{i=k}^{k-j} \exp{ \dt_i \d(1)G_i}}
\label{prop}
\end{equation}
Le polynôme caractéristique du SLTC analysé entre $t_j$ et $t_k$
est ainsi le déterminant de :
\begin{equation}
 \lambda I - \prod_{i=k}^{k-j} \exp{ \dt_i \d(1)G_i}
\label{psltc}
\end{equation}
Le problème est de savoir s'il est nécessaire de construire le propagateur
à partir des matrices $A_i$ complètes du système, ou si l'on peut avoir accès
plus simplement à un propagateur réduit à un sous-ensemble de variables
d'état sélectionnées pour l'analyse (voire une seule).
On pourra ensuite passer au problème
dérivé du cas d'un traitement avec les matrices du {\bf Ker} de TEF-ZOOM.
On a donc besoin de
propriétés du déterminant de matrices décomposées en produits $LU$, comme
ci-dessus dans~(\ref{lu}), mais aussi de quelques autres (malheureusement).
Si on bute
sur une impossibilité, il faudra trouver des approximations, sachant par
exemple que le spectre de \{$\dt_i \d(1)G_i$ \} reste de module inférieur à 1.
En attendant, on pourrait déjà valider numériquement
ces résultats affriolants avec le mini-ker.

$\bullet$ Qui propose un exercice à traiter ?
La mise en place d'exercices permettra de vérifier les développements
formels au fur et
à mesure qu'ils se présenteront (Lorenz 3D, un exo d'économie avec Hopf et SH (6D),
Lotka-Voltera 2D, déjà très étudié par JLJ ?).

{\color{sepia}\it Le lien entre propagateur, sensibilité aux transferts et
ainsi au gain de rétroaction est résolu et validé avec Mini-ker sur Lorenz et Lotka-Volterra.}

\subsection{Analyse directe du déterminant}
\label{deter}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\emph{$\bullet$ suite au jeudi 15/05/2003 après discussion JYG SH} \\
A la suggestion de Jean-Yves, il apparaît que le problème peut se
formuler directement en partant des équations d'évolution du
wronskien. Ce machin n'est autre que le déterminant du propagateur d'un
système linéaire (il faut voir Arnold pp 190ss, dixit JYG).
Un théorème dû à Liouville dit que si $W$ est ce déterminant,
alors :
\begin{equation}
 \partial_t W = Tr(S)\, W
\label{wrons}
\end{equation}
Cette fois-ci, on a un propagateur scalaire :
\begin{equation}
\phi (T, 0 ) = \exp (\,\int_{0}^{T} { Tr[A(t)] }dt\, )
\label{pscal}
\end{equation}
En dehors de la relation à leurs semblables, on a malheureusement peu de
transformations des matrices conservant leur trace,
ni de méthode pour en déterminer les changements. Pire, une méthode classique
pour suivre les traces est de considérer le terme d'ordre $(n-1)$ du polynôme
caractéristique ($n$ étant l'ordre de $A$) !
Mais conceptuellement, ça
jette quelque lueur sur la manière dont se combinent les valeurs propres
dans les transformations. La somme des v.p. est ainsi $Tr[A - B D^{-1}C^{\dagger}]$,
et donc la somme des traces de ces deux matrices. La première $A$, est pour
les cas les plus courants de nos processeurs de cellules, une somme d'inverse
de temps caractéristiques élémentaires de cellules. On peut analyser la
contribution de la deuxième $B D^{-1}C^{\dagger}]$ en isolant chaque cellule des
autres pour obtenir un temps caractéristique local, comme décrit
dans /zoom/TexDoc/celproc/celproc2.ps . Et finalement, le passage au terme
complet montre comment se construit une v.p. Idéalement, il faudrait passer
à la $Tr[D - C^{\dagger} A^{-1} B]$. Lorsque l'on emboite à la TEF :
\begin{equation}
\mathcal M_{\lambda} = 
\begin{bmatrix} A_{\lambda}  & B \\ C^{\dagger} & D\end{bmatrix} \quad = \quad
\begin{bmatrix} I  & 0 \\ C^{\dagger} A_{\lambda}^{-1} & I\end{bmatrix} \quad
\begin{bmatrix} A  & B \\ 0 & D - C^{\dagger} A_{\lambda}^{-1} B\end{bmatrix} 
\end{equation}
la trace qui importe est en facteur de $-\lambda^{n-1}$ du polynôme
caractéristique : $det[\mathcal S_{\lambda}]$, et va donc dépendre
de la triangulaire à gauche. Il semble ainsi que l'examen wronskien du problème
amène à calculer numériquement cette trace dans ZOOM. C'est une possibilité à
explorer\footnote{\color{sepia}\it C'est fait systématiquement dans la 101e de Miniker.}.
%* X = - K^{-1} \left[ \d(1)G + \d(2)G ( 1 - D ) \ \dtaf \right]
%* \begin{equation}
%* \begin{array}{ccc}
%* \left[ 1 - \dts\, \d(1)G \right] & (\deta(t_k)  + \delta \Deta(t_k)) = & \\
%* \dt G_0 & + \dts\, \d(1)G\, \delta \Deta(t_k)
%* & +\, \dts\, \d(2)G\, \delta \Delta \varphi (t_k) \\
%* & +\, \dts\, \d(2)G\, (\delta \varphi (t_k) & +\quad \delta \Delta \varphi (t_k))
%* \end{array}
%* \end{equation}
%* ou $t_k$ indique que les accroissements temporels sont pris entre les bornes
%* de l'intervalle de temps du calcul, soit $[ t_k,t_k+\dt ]$.
%* Après soustraction de~(\ref{tefref}), l'écart à la trajectoire de référence
%* est donné par la résolution pas à pas de :
%* \begin{equation}
%* \left[ 1 - \dts\, \d(1)G \right]\, (\deta(t_k) + \delta \Deta(t_k)
%* = \dt G_0\, +\, \dts\, \d(2)G\, (\delta \varphi (t_k) + \delta \Delta \varphi (t_k))
%* \end{equation}

Ce qui interpelle du wronskien, c'est cette relation purement scalaire recelant
{\bf toute} la dynamique du système\footnote{mais qualitativement à compléter
par les vecteurs propres locaux ...}. Mais en réalité, il ne s'agit que du passage
d'un système de dimension $n$ à un problème de même ordre, qui est le degré du
polynôme. Quand même, on va chercher aussi une fonction scalaire $c(\lambda)$, mais
on prétend qu'elle donne la même dynamique du système, mais cette fois, 
{\bf caractéristique d'un de ses éléments}. Étant donné que l'on a :
$det[D]\, det[S_{\lambda}] = det[M_{\lambda}] = det[A]\, det[D - C^{\dagger} A_{\lambda}^{-1} B]$ et
que $det[D]$ ne dépend (en principe) pas de $\lambda$, les v.v. doivent annuler
$det[A]$ sans rendre $det[D - C^{\dagger} A_{\lambda}^{-1} B]$ infini ou réciproquement !
Juste pour faire entendre qu'on a l'impression qu'en tirant un peu sur la matrice,
tout cela devrait pouvoir s'éclaircir. (On pourra se contenter d'un premier ordre avec
$\Phi = I +dt\sum_i A_i$)\footnote{voir l'intérêt de lier $dt_i$ à min des v.p. locales}.

Évoquons pour finir le passage au produit des matrices de base pour avoir ce
propagateur $P$ et finalement $det[\lambda I - P]$. Difficile de suivre la combinaison
des traces dans chaque produit, alors que l'on part des polynômes caractéristiques
élémentaires. On va retrouver la somme
des traces en facteur de $\lambda^{2n-1}$. Vu en détail, le produit des matrices
de transition fait apparaître des produits scalaires de Vecteurs Propres qui
peuvent tourner le long de $\mathcal{T}_r$, \cad que le produit des traces
fournira une borne supérieure à la trace du produit (pour valider la remarque
du~\ref{trsnl}).

Un autre aspect troublant du wronskien, c'est qu'il semble effacer les vecteurs
propres (ou singuliers) en focalisant sur les valeurs propres par la trace
(on rappelle que $Tr[A]$ est la somme des valeurs propres de $A$).
%* Ce qui démontre d'ailleurs discrètement le théorème de Liouville.
Mais du point de vue numérique, avec les spectres limités que l'on a,
rien n'empêche « d'itérer Liouville », \cad de développer les produit des déterminants de
$\mathcal{S}_{\lambda} = [ \lambda I - \mathcal{S} ]$
en s'arrêtant aux termes de trace ? {\bf (à faire donc)}

$\bullet$ lien avec l'exposant de Lyapunov.

Le wronskien mesure la compression du volume de l'espace des phases séparant
les trajectoires (perturbée et non-perturbée = hyper-distance). Comme le ferait
remarquer SH, il est bien connu que la trace du propagateur de ce volume caractérise
cette compression. Mais ça ne dit pas bien sûr grand chose sur la forme que prend ce
volume déformé.
Cette remarque répond ainsi à la question de l'évacuation des vecteurs propres.

On peut aussi voir dans~(\ref{wrons}) la justification de la définition de l'exposant
de Lyapunov :
\begin{equation}
  \Lambda = \frac{1}{t}\int_{t_0}^{t} \ln \frac{\Delta x (t_0,t)}{\Delta x (t_0)} dt
\end{equation}
que JLJ écrit ainsi :
\begin{equation}
     \Lambda = \frac{1}{t}\int_{0}^{t} \ln (Tr[A(t)]\;)\, dt
\end{equation}
qui se justifie de~(\ref{pscal}). Bref, tout cela se tient bien.

\subsection{A propos de moyenne mobile}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

(encore en friche)

Si ça tente quelqu'un, il s'agit de formaliser le fait que l'information que l'on cherche
des couplages d'un système possède sa propre échelle temporelle (à mettre en // avec
le papier gains sur champs et échelles spatiales), indépendante à la fois des constantes
de temps du système et en particulier de l'incrément numérique. En pratique, comment
éviter de traiter cette vision par calcul simultané de n pas de temps ?

$\bullet$ pistes :

- cycle limite et théorie de Floquet. La théorie de Floquet est en pleine
recrudescence (en RMN par exemple); elle permet de récupérer des propagateurs
autonomes moyens (au premier ordre ou supérieur, avec un coût fortement croissant)
à partir de systèmes périodiques. Mais les techniques ont pour
but de construire le système moyenné, pas de moyenner numériquement le système
originel. Il y aurait donc une réinterprètation à faire.{\color{sepia}\it Voir
encore le papier Effluents, qui traite de Floquet et des gains. Pas encore de
traitement dans Mini-ker, A FAIRE\footnote{cf stage Céline et premiers papiers
de fin 2006.}.}

- traiter un système moyen avec un système additionnel stochastique (hypothèses sur
le ``bruit'' = périodique ($\rightarrow$Floquet), ...) filtrage non-linéaire;

- identification d'un ``système linéaire moyen'' (filtre de Kalman ou min
$Q^2$ pour détection ?) en analogie avec Lyapunov 
{\color{sepia}\it Grâce a Pat, on a un premier filtre de Kalamn dans Mini-ker,
il manque encore un appropriation par l'unsecte A FAIRE.}

(on se donne quand même le droit d'invoquer le système adjoint ?)

... ne pas hésiter à brainstormer à ce stade ...

{\color{sepia}\it En ce qui concerne la moyenne glissante temporelle, il semble
aujourd'hui difficile de traouver une autre solution que de passer par un adjoint
va-et-vient Pb OUVERT.}

\subsection{A propos de SLTC}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

On peut sans attendre les réponses envisager les applications du traitement du
SLTC en mode direct.

$\bullet$ \it Signification des éléments du TEF en SLTC \rm

En partant du système décrivant le SLTC~(\ref{sltc}), on a sous
Zeus©\footnote{ceux que ça© énerve on qu'à se battre contre l'OMC} par exemple :
\begin{equation}
 (1 - g) \Dfi = \Dfi_{ins}
\label{zslt}
\end{equation}
en un point de la trajectoire. Ici, $\Dfi_{ins}$ n'hérite pas de sommes de $C^{\dagger} A^{-1}\Gamma$
puisque tous les $\Gamma$ sont nuls.

Que ce passe-t-il si on perturbe $\Dfi_{ins}$
par un step à $t_0$ ? Pendant le pas de temps du SLT local, la perturbation se propage
à toutes les variables, et l'impact sur la variable $\varphi$ est $\Dfi$. A la fin
du pas de temps, toutes les variables sont perturbées, si bien qu'à l'incrément suivant,
$\varphi$ va récupérer l'effet de toutes les autres perturbations, \cad des $C^{\dagger} A^{-1}\Gamma$.
Mais du point de vue du SLTC, on aura pris le gain correspondant à ce deuxième pas de temps,
qui prend en compte la réaction des autres variables à $\Dfi(t_0 + \dt)$. Il semble ainsi
que l'on puisse propager des gains au sens du SLTC.

\subsubsection{Dénouement à un fil}
%----------------------------------

Pour dire que l'on va considérer l'analyse classique correspondant à isoler une seule variable
scalaire sous Zeus©. Il apparait que dans ce cas on peut dire des choses strictes.
\begin{itemize}
\item La fonction de gain se présente comme une fraction polynômiale propre, \cad :
   \begin{itemize}
   \item degré du numérateur au plus égal à celui du dénominateur;
   \item degré de dénominateur au plus égal à n (n étant l'ordre du système)
   \end{itemize}
\item Cette fonction est la réponse à une perturbation impulsionnelle unité.
\end{itemize}
Pour changer, on va travailler ``près du terrain'', en examinant la trajectoire de référence
suivie par le système TEF discrétisé. Le SLT en un point est ainsi déterminé par :
\begin{equation}
\begin{array}{cc}
\Deta (k+1) &= A \Deta (k) + b \Dfi (k) \\
\Dfi (k) &= c^{\dagger} \Deta + u(k)
\end{array}
\label{dsltc}
\end{equation}
avec $\eta$ vecteur, $\varphi$ scalaire, $A$ matrice carrée, $c^{\dagger}$ ligne et $b$
colonne.
Pour simplifier, on a éliminé les transferts autres que $\varphi$; on a aussi ``préparé'' une loi de
commande (une perturbation) $u(k)$ portant sur $\varphi$.
Sur la trajectoire de référence, toutes les variables de~(\ref{dsltc}) sont nulles.
\begin{figure}[h]
\begin{minipage}[h]{.45\linewidth}
\psfig{figure=PS/gainsltc.eps,%
bbllx=1pt,bblly=1pt,bburx=310pt,bbury=300pt,width=6.5cm,clip=}
\caption{rétroaction coupée : $\Dfi$ est remplacé par la commande $u$.}
\label{retrofig}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[h]{.45\linewidth}
On garde $\Dfi$ sous Zeus© et on coupe la boucle de
rétroaction; on peut donc appliquer $u(k)$ au système des cellules et récupérer
sa réponse en $\Dfi$. De ce point de vue, on se retrouve dans un cadre entrée / sortie,
et donc la fonction de gain est liée à une fonction de transfert.
\end{minipage}
\end{figure}

Sur un système discrétisé, on n'utilise
pas Borel mais une transformée en $z$ (Z-tr, ça marche pareil) :
\begin{equation}
\begin{array}{cc}
z \Deta (z) &= A \Deta (z) + b u(z) \\
\Dfi (z) &= c^{\dagger} \Deta + u(z)
\end{array}
\label{zsltc}
\end{equation}
l'élimination des cellules donne donc :
\begin{equation}
\Dfi (z) = [1 + c^{\dagger} (zI - A)^{-1} b]\, u(z)
\label{zzsltc}
\end{equation}
Dans l'inversion de $(zI - A)$, au dénominateur apparaît son déterminant, qui n'est autre que
le polynôme caractéristique du système d'ordre $n$. Chaque élément de l'inverse sera une pondération
par un polynôme de degré non supérieur à $n$ de ce dénominateur, le tout ajouté à $1$. On obtient
bien une fraction polynômiale propre, ce qui démontre le premier point. La Z-tr de $u(k)$ impulsion
unité est $1$, ce qui démontre le deuxième point. (Ceci n'est pas vrai pour commande / effet non
scalaires).

\vspace{1cm}
$\bullet$ Examinons trois applications directes.

On considère maintenant les grandeurs circulant le long d'une trajectoire déterminée point
par point :
\begin{equation}
 [1 - g(z;t)]\, \Dfi(z;t) = \Dfi_{ins}(z;t)
\label{zsltcg}
\end{equation}
$x(z;t)$ est la z-transformée sur le SLT aux temps $t=t_0,t_1,t_2 ...$, et
on retient par exemple~(\ref{zsltcg}) sous la forme :
\begin{equation}
  \Dfi(z;t) = h(z;t)\, \Dfi_{ins}(z;t)
\label{gsltc}
\end{equation}
la notation explicite bien que le SLTC est un SLT {\bf circulant}, 
\cad paramétré par le temps. La fonction de transfert $h(z;t)$ est une fraction rationnelle
de $z$ dont les coefficients sont paramétrés par $t$.

On applique un step sur $\Dfi_{ins}$ au temps $t_0$. L'expression $\frac{1}{T}\int_{t_0}^T\,{h(z;t) \Dt}$
donne l'effet moyen d'une perturbation échelon appliquée en chaque instant.
Au contraire, l'expression :
\begin{equation}
     H(T,t_0) = \sum_{i=1}^{N} {\prod_{k=N-i}^{N} {h_k}}
\end{equation}
fournit l'effet à $T$ d'un échelon appliqué à l'instant initial. Ou encore :
\begin{equation}
     H'(T,t_0) = \sum_{i=1}^{N} {\prod_{k=N-i}^{N} {\epsilon_k h_k}}
\end{equation}
donne la sensibilité à une perturbation aléatoire $\epsilon(t)$. Autrement dit, on devrait
avoir le droit de considérer $h(z;t)$ comme un propagateur au premier ordre
(ou une fonction de transfert) et au sens
du SLTC, \cad en considérant que les réactions du système perturbé sont celles des éléments
suivant la trajectoire de référence. Comme cela suggère donc que la complémentation de Schür
commute au premier ordre avec la multiplication des matrices, il reste à l'expliciter !

Il y a bien sûr aussi la possibilité que je me plante complètement... Si on
considère en un point initial le plan d'application de $u(0)$, pendant le pas de
temps du premier SLT, le vecteur d'écart à la trajectoire se projette dans ce plan
selon $\Dfi$, à la précision du TEF. Mais ensuite, que dire de cette projection ?
Au deuxième pas, on ré-injecte $\Dfi$ dans $u$.
Les écarts additionnels sur les autres variables du début de ce deuxième pas de temps
vont aussi se projeter sur $\Dfi$. Est-on en train de dire que ces effets sont d'un
ordre plus élevé que les effets de $u$\footnote{[Al1 19 Nov. 04] \emph{noter que la
bonne manière de s'abstraire de la trajectoire perturbée est de passer par l'adjoint.}} ?

D'après l'argument des Vecteurs Propres pouvant tourner, a-t-on un sup ?
Je suppose qu'il faut avoir en tête l'image du référentiel propre qui circule
en se déformant le long de $\mathcal{T}_r$, genre torseur circulant. Bref, on aimerait
avoir accès à un développement en temps des opérateurs le long du SLTC, ou une méthode
numérique pour expliciter les déformations circulantes du tenseur. 

\newpage
$\bullet$ \it Borel incomplète ?

D'une manière plus osée, on peut avoir le sentiment que l'on est en droit
de prendre à la lettre l'intégrale de la transformée de Borel, \cad {\bf le
long de la trajectoire}. Dans ce cas, il faudrait considérer une pseudo-Borel incomplète,
et voir ce que l'on peut faire comme hypothèse concernant les intégrales de
la coupure $t^*$ à l'infini, son impact sur la Borel inverse
($\rightarrow\tau^*$) et les lois
de transformation\footnote{[Al1 19 Nov. 04] \emph{c'est à faire dans Mini-ker en entrant
le gain dans une fonction de coût (cf PRL); on a aussi la tentative d'identifier le propagateur
à celui d'un SLTC autonome pour aller de la coupure à l'infini, mais c'est pas glorieux
pour l'instant : essais effectués dans {\bf predator}. On a quand même réussi à calculer les exposants
de Lyapunov (cf patch {\bf SLTCIRC}).{\color{sepia}\it On sait à présent calculer tous les
Lyapunov dans un run de Mini-ker, cf exemple ZSTEER de Lorenz63.}} ?
C'est bien en tout cas la philosophie derrière l'exposant de
Lyapunov, n'est-ce pas les Toulousains\footnote{Lyapunov étant mort avec
l'accent de Toulouse, non ?} ?

{\color{sepia}\it Après info sur le web, il semble que ce monsieur n'ait
pas foutu les pieds à Toulouse ! Alors comment l'université a-t-elle publié
une note en Français, ce serait bien que les Toulousains nous renseignent.

Sur le lien entre Lyapunov, gain non-L et Borel incomplète, voir la prépa a la PRL.}}

\vspace{1cm}
$\bullet$ \it Étude d'une rétroaction hypothétique \rm

Cacuci montre comment étudier l'impact d'une
loi de rétroaction appliquée à une trajectoire d'un modèle n'en ayant pas.
Soit $A(\eta)$ cette loi, qui remplace un paramètre $\pi$. La $\mathcal{D}$ de Gâteaux s'écrit :
\begin{equation}
\frac{\partial }{\partial \epsilon} \langle\, \partial_t (\eta + \epsilon \Deta )
      =  G ( \eta + \epsilon \Deta, \varphi + \epsilon \Dpi +
                           \epsilon A(\eta + \epsilon \Deta ) )
\label{tefga}
\end{equation}
ce qui donne\footnote{Nov 2004 : partie récrite, en corrigeant une erreur, car il restait
un terme en $\epsilon$ dans la formule~(\ref{sltcr})} :
\begin{equation}
\partial_t\, \Deta_r = \d(1)G \, \Deta_r + \d(2)G\, \Dpi_r
                       + \d(2)G\, A(\eta_{ref})
\label{sltcr}
\end{equation}
ainsi, la réponse avec rétroaction de la trajectoire à une perturbation initiale,
lorsqu'un paramètre $\pi$ a été remplacé par une loi $A$ est :
\begin{equation}
 \Deta_r (t) = \Phi (t,0)\,\Deta(0) + \int_0^{t} {\Phi (t,\tau )\,\d(2)G (\tau )
   \, A[\eta_{ref}(\tau )]} d\tau
\end{equation}
avec le propagateur sur le SLTC :
\begin{equation}
\partial_{t} \Phi (t,\tau) = \d(1)G +  \Phi_r (t,\tau)
\end{equation}
La variation nécessite seulement l'évaluation de la loi le long de la trajectoire de référence.
il va sans dire que cette évaluation n'est précise que pour un faible impact
de la loi, mais peut s'avérer qualitativement utile, voire pertinente.

On peut se poser la question des gain de rétroaction correspondant à cette nouvelle loi de
rétroaction, ou de l'impact de ce changement du modèle sur ceux-ci. On peut en particulier
comparer

\newpage
$\bullet$ \it Couplage et sensibilité \rm

On a le schéma~\ref{couplfig} aujourd'hui classique correspondant à deux
composantes sous Zeus©\footnote{c'est la dernière fois, promis, parce que y en a vraiment marre};
pour le SLTC, il faut en plus définir les points d'application et de sonde.
Et ainsi, blablablablabla.
\begin{figure}[h]
\centerline{\psfig{figure=PS/gain2sltc.eps,%
bbllx=2pt,bblly=2pt,bburx=390pt,bbury=300pt,width=10.5cm,clip=}}
\caption{Couplage de $\psi$ sur $\varphi$ : deux coupures.}
\label{couplfig}
\end{figure}

{\color{sepia}\it Menfin, personne ne s'est lancé là-dessus ? Pourtant, on a été si vite
avec les gains que les sensibilités, voir les couplages, ne sauraient résister bien longtemps !
En tout cas, voilà encore un bel échec de l'unsecte.}
\end{document}
\end


