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%pour les figures
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%
\def\dt{{\delta t}}
\def\edtaux{{exp (-{\delta t  \over \taux } ) }}
\def\deta{{\delta \eta } }
\def\Deta{{\Delta \eta } }
\def\Dt{{\delta t } }
\def\dfi{{\delta \varphi } }
\def\Dfi{{\Delta \varphi } }
\def\dts{{\delta t\over 2 } }
\def\dtaf{{\overline {\overline {\partial _\eta f }}} }
\def\d(#1)G{{\overline {\overline {\partial_#1 G}}} }
\def\VD{{\mathcal V \mathcal D}}
%à ù
\newcommand{\cad}{c'est-\`a-dire }
\newcommand{\dgdeta}{\overline{ \overline{ \frac{\partial G}{\partial \eta}}}}
\newcommand{\dgdphi}{\overline{ \overline{ \frac{\partial G}{\partial \varphi}}}}
\newcommand{\dgdt}{\frac{\partial \vec{G}}{\partial t}}
\newcommand{\dfdeta}{\overline{ \overline{ \frac{\partial f}{\partial \eta}}}}
\newcommand{\dfdphi}{\overline{ \overline{ \frac{\partial f}{\partial \varphi}}}}
\newcommand{\dfdt}{\vec{ \frac{\partial f}{\partial t}}}
\newcommand{\vecdeltaeta}{\overrightarrow{ \delta \eta}}
\newcommand{\vecdeltaetadec}{\overrightarrow{ \delta \eta}_{dec}}
\newcommand{\vecdeltaphi}{\overrightarrow{ \delta \varphi}} 
\newcommand{\vecdeltaphiins}{\overrightarrow{ \delta \varphi}_{ins}}
\newcommand{\vecdeltaz}{\overrightarrow{ \delta z}} 
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\newcommand{\vecdeltaxins}{\overrightarrow{ \delta x_{ins}}} 
\newcommand{\matra}{\overline{ \overline{ A}}} 
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\newcommand{\matrcbardt}{\overline{ \overline{\mathbb{C}_{(\delta t)}}}}
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\newcommand{\matrd}{\overline{ \overline{ D}}} 
\newcommand{\matrf}{\overline{ \overline{ F}}}
\newcommand{\matri}{\mathbb{I}}

\newcommand{\B}{\mathcal{B}}
\newcommand{\C}{\underline{\underline{\mathcal{C}}}}
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\newcommand{\rdelta}{\mathring{\delta}}

\textwidth 15.5cm
                                                                     
\begin{document}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\title{Le Formalisme d'Evolution par Transferts : \\
                une introduction au découpage de modèle et à\\
 l'analyse de rétro-actions
\author {La Collaboration TEF-ZOOM\footnote{Texte élaboré à partir d'un texte
original en Anglais de Venance Journé. Rédacteurs : Jean-Yves Grandpeix,
Stéphane Hallegatte, Alain Lahellec. Relecteurs : Stéphane Blanco,
Patrice Dumas, Venance Journé, Jean-Louis Joly et Vincent Platel.}

\\(CIRED\footnote{Centre International de Recherche sur l'Environnement et
le Développement , Paris} ,
LE\footnote{Laboratoire d'Énergétique, Université Paul Sabatier, Toulouse et son
antenne de Tarbes} , LMD\footnote{Laboratoire de Météorologie Dynamique, Paris} )}
%\nodate 
} 
\maketitle
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

La modélisation des systèmes est généralement conçue dans la perspective de
simulation numérique. Notre collaboration s'efforce d'y associer des outils
permettant de faciliter la compréhension du fonctionnement des systèmes.
Une sorte d'idéal serait que la modélisation, pour la réalité,
joue un rôle semblable à celui des ``expériences par la pensée'' pour la théorie.

De même que l'expérimentation procède par découpage de la réalité suivi
d'analyse de la réponse d'un système quasi-isolé à des sollicitations contrôlées,
le découpage d'un système en éléments plus simples autorise un questionnement
nécessaire à sonintelligibilité. Quel rôle tel élément joue-t-il dans
le système global ? Quel effet le reste du système a-t-il sur un élément ? Ce questionnement
renvoie à une pratique de la  physique : l'analyse de couplage, de sensibilité, de rétroaction,
que la modélisation devrait permettre d'expliciter et d'exploiter. 

Le Formalisme d'Evolution par Transferts (TEF\footnote{pour Transfer Evolution Formalism,
l'acronyme FET renverrait à Finite Element}) a pour but la mise en \oe uvre mathématique de cette
approche de l'analyse dynamique de systèmes.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Découpage-raccordement de système par le TEF : cellules et transferts.}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


La modélisation d'un système se construit par découpage-raccordement de sous-systèmes choisis
en fonction d'un questionnement. Ce découpage se fait de façon récursive,
les sous-systèmes pouvant eux-mêmes être repartitionnés. On arrête l'opération de  découpage
lorsque les éléments restants
correspondent à des modèles satisfaisant le niveau
d'analyse souhaité. Une bonne pratique consiste à considérer un objet élémentaire comme
soumis à une procédure expérimentale, \cad quasi-isolé et sollicité par un ensemble de forçages
le liant physiquement au reste du système.

On part de la définition d'un système global par son équation d'évolution sous forme
d'état\footnote{on utilisera l'apellation ``d'équation d'état'' ce type d'équation, selon
l'usage actuel, par proximité avec la forme anglaise ``state equation'' de la théorie
des systèmes dynamiques} :
%
\begin{equation}
\frac{d \vec{\eta} }{dt}  = \vec{ G} ( \vec{\eta},\vec{\psi}, t )
\label{deta}
\end{equation}
%   
A conditions initiales $\vec{\eta} (t_0)$ données, et avec des conditions limites et forçages
connus $\vec{\psi} (t)$, la trajectoire du système est déterminée\footnote{entre
les éventuelles singularités} : on dit que le problème est ``bien posé''.

Le {\bf découpage} consiste à partitionnner l'espace vectoriel $\{\vec{\eta}\}$,
ce qui aboutit à la définition d'équations d'état pour chaque sous-espace $\{\vec{\eta_{\alpha}}\}$ :
%
\begin{equation}
\frac{d \vec{\eta}_{\alpha} }{dt}  = \vec{ G} ( \vec{\eta}_{\alpha},\vec{\varphi},\vec{\psi},t )
\label{deta2}
\end{equation}
%
où on remarque l'adjonction de conditions limites supplémentaires $\vec{\varphi}$. Le TEF exige
en effet que chaque élément $\alpha$ du système partitionné corresponde à un problème bien posé.
Cela a deux conséquences :
\begin{itemize}
\item a) chaque élément, dénommé ``cellule'', ne doit explicitement pas
dépendre de l'état d'un autre élément;
\item b) l'interface introduit par le découpage avec les autres
cellules représente de nouvelles conditions aux limites (C.L.) dépendantes.
\end{itemize}
%
Si ces nouvelles C.L. sont
connues, alors chaque cellule va suivre une trajectoire dite ``découplée''. Pour que les cellules
suivent leur trajectoires d'ensemble, déterminée par le système global, il faut donc que ces
conditions d'interface soient contraintes par le reste du système, ce qui se fait par l'introduction
de modèles d'interface, dénommés ``transferts'' :
%
\begin{equation}
\vec{\varphi}  = \vec{ f} ( \vec{\eta} , \vec{\varphi}, t )
\label{vecphi}
\end{equation}
%
%par souci de simplicité, on n'a pas explicité le fait que ces transferts peuvent eux-mêmes
%être partitionnés, chacun d'eux connectés à quelques cellules seulement etc.

L'équation~(\ref{vecphi}) exprime que les transferts sont à tout instant déterminés par les états,
et n'ajoutent donc pas de conditions initiales supplémentaires. La définition de ces transferts
correspond ainsi à la notion de {\bf raccordement}.
Ces nouvelles variables, ``les transferts'', induites par le découpage,
introduisent des modèles de couplage entre des éléments-cellules. Ils re\-présentent
couramment des contraintes de continuité, ou des flux et des forces dans les modèles physiques,
des échanges, des répartitions et des informations dans les modèles macro-économiques.

Mathématiquement, la solution du système ($\ref{deta2},\ref{vecphi}$) fournit la même trajectoire
que~(\ref{deta}). C'est de cette manière que le TEF met en \oe uvre la notion de
découpage-raccordement. On aboutit en résumé à deux classes distinctes de modèles, et aux deux
types de variables associés. 
Les {\bf cellules} sont représentées par leur état et définies par des
équations d'état, \cad donnant leur évolution, alors que les {\bf transferts}
sont des équations de contrainte statique\footnote{on peut préférer
les qualifier d'instantannées, le terme de ``statique'' étant utilisé
en théorie de la commande}.

Les équations de cellule restent semblables à un problème aux limites. 
Cependant la présence de transferts, qui sont des conditions aux limites
variant au cours du temps, exige et permet une analyse dynamique du couplage.
Il faut ainsi connaître à la fois la trajectoire de chaque cellule soumise
aux conditions dépendantes d'interface, mais également pouvoir expliciter 
la variation de cette trajectoire à un changement des conditions limites.

L'expression de la sensibilité de l'état de chaque cellule vis-à-vis des
transferts permettra de caractériser le comportement dynamique global du
système. Mathématiquement, c'est par linéarisation du système
$(\ref{deta2},\ref{vecphi})$ que nous allons exprimer ces sensibilités
et résoudre le problème.

%Les équations de cellule restent semblables à un problème aux limites.
%Cependant, l'aspect dynamique du problème de l'analyse de couplage exige un accroissement
%de complexité de la modélisation. Non seulement on souhaite connaître la trajectoire de chaque cellule
%soumise aux conditions dépendantes d'interface, mais le TEF exige de plus de pouvoir
%expliciter la réponse de l'état à un changement des conditions limites.
%C'est l'expression de cette sensibilité élémentaire qui permettra in fine de caractériser le
%comportement dynamique global du système. Mathématiquement, c'est par linéarisation du système
%$(\ref{deta2},\ref{vecphi})$ que nous allons exprimer ces sensibilités.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Linéarisation, analyse des éléments du TEF et résolution}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

L'étude des relations entre sous-systèmes est excessivement complexe
si on regarde le système complet non-linéaire. Toute l'étude va donc 
se faire sur le système linéarisé sur une portion de la trajectoire.
Le système linéaire obtenu dépend encore continuement du temps, et
dans un deuxième temps ce système linéaire est discrétisé. 

L'ensemble
de ces transformations permet d'avoir, à un instant donné, un système 
algébrique équivalent au système complet. Les éléments de ce système peuvent
être interprétés en fonction de la problématique du découpage raccordement
du TEF. Ce système permet également de déterminer la trajectoire à 
l'instant suivant.

%
%--------------------------------------------------
\subsection{Linéarisation}
%--------------------------------------------------

On considère le système $(\ref{deta2},\ref{vecphi})$, non linéaire, sur une petite
section de sa trajectoire (soit entre $t_0$ et $t_0+\delta t$), et on détermine l'accroissement $\vecdeltaeta$
de $\vec{\eta}$ et $\vecdeltaphi$ de $\vec{\varphi}$ par développement de Taylor :
%
\begin{equation}
\frac{\partial \vecdeltaeta }{\partial t}(\tau)  = \left. \vec{G} \right|_{t_0} +
                                 \left. \dgdeta \right|_{t_0}  \vecdeltaeta (\tau)+
                                 \left. \dgdphi \right|_{t_0}  \vecdeltaphi (\tau)+
                                 \left. \dgdt \right|_{t_0}  \tau
\label{pardeltaeta}
\end{equation}               

\begin{equation}
\vecdeltaphi (\tau) =                  \left. \dfdeta \right | _{t_0} \vecdeltaeta (\tau)+
                                 \left. \dfdphi \right | _{t_0} \vecdeltaphi (\tau)+
                                 \left. \dfdt \right | _{t_0} \tau 
\label{deltaphi}
\end{equation}
%
On obtient un système d'Equations aux Dérivées Partielles (EDP) baptisé Système Linéarisé Tangent
(SLT) en une portion de la trajectoire, avec $\tau \in [t,t+\delta t [$ paramétrisant
la trajectoire.


%--------------------------------------------------
\subsection{Discrétisation temporelle}
%--------------------------------------------------
\label{discrtemp}

La résolution de ce système linéaire est classique et peut
être effectuée, soit en introduisant un schéma temporel, soit par transformation symbolique
(Laplace, Fourier, Borel ...). 
On considère l'application d'un schéma temporel, qui permettra de définir la trajectoire
par morceaux. Nous verrons plus loin qu'une transformation symbolique 
donnerait le même résultat.

L'application du schéma de Crank Nicolson au système~(\ref{pardeltaeta},\ref{deltaphi})
fournit le système algébrique suivant :
%                          
\begin{equation}
\left\lbrace 
\begin{array}{l}
\vspace{0.5cm}
\matra \vecdeltaeta  + \matrb \vecdeltaphi = \vec{\Gamma} \delta t  \\
\matrcplus \vecdeltaeta - (\matri  +\matrd) \vecdeltaphi = \vec{\Omega} \delta t
\end{array} 
\right.
\label{eqtef}
\end{equation}
%
avec les matrices et vecteurs introduits définis par :                                                  
% 
\begin{equation}
\left\lbrace 
\begin{array}{l}
\matra = \matri - \frac{\delta t}{2}  \left. \dgdeta \right|_{t_0}  \\
\matrb =  - \frac{\delta t}{2}  \left. \dgdphi \right|_{t_0} \\
\vec{\Gamma} = \left. \vec{G} \right|_{t_0}
                   + \frac{\delta t}{2} \left. \dgdt \right|_{_t0} \\
\matrcplus =  \left. \dfdeta \right | _{t_0}   \\
\matrd = - \left. \dfdphi \right | _{t_0}  \\
\vec{\Omega} = - \left. \dfdt \right | _{t_0}  
\end{array}              
\right.
\label{coefmat}
\end{equation}
%
La matrice $(\matri  + \matrd)$
provient de la partition effectuée sur l'ensemble des transferts, qui introduit des contraintes
statiques entre les ``objets transferts'' du TEF.

Cette formulation répond à notre programme, comme nous allons maintenant le montrer. 

%--------------------------------------------------
\subsection{Interprétation des éléments du TEF}
%--------------------------------------------------
Une ultime transformation de~(\ref{eqtef}) permet d'obtenir un système 
permettant de définir et d'interpréter les éléments fondamentaux du TEF, en 
éliminant $\vecdeltaeta$ de la deuxième équation:
%
\begin{equation}
\left\lbrace
\begin{array} {l}
\vecdeltaeta = \vecdeltaetadec + \matrf \vecdeltaphi \\    
\left( \matri + \matrcbardt \right) \vecdeltaphi = \vecdeltaphiins  
\end{array}
\right.
\label{eqtef2}
\end{equation}
Les matrices jacobiennes de la cellule fournissent $\matrf = -\matramun \matrb$. Cette matrice
exprime la sensibilité des cellules aux conditions limites dépendantes $\vec{\varphi}$. Lors qu'elle
est nulle, ou lorsque $\vecdeltaphi = 0$, on a $\vecdeltaeta = \vecdeltaetadec$, qui représente
l'évolution d'une cellule à
conditions d'interface figées. C'est ce que nous avons appelé ``l'évolution découplée'' de la
cellule (le long du SLT, sur un pas de temps\footnote{plus rigoureusement,
dans la variété différentielle du SLT correspondant à ce pas de temps}):
%
\begin{equation*}
\vecdeltaetadec = \matramun \, \vec{\Gamma} \, \delta t
\end{equation*}
%
De même, $\matrcplus$ de~(\ref{eqtef}) détermine l'évolution
des transferts pendant un pas de temps lorsque les cellules évoluent.
Si on élimine
$\vecdeltaeta$ de l'équation de transferts, ce qui est possible par 
construction\footnote{le problème est
bien posé donc $\matra$ est régulière}, on obtient la deuxième ligne 
de~(\ref{eqtef2}), avec:
%
\begin{equation*}                          
\matrcbardt = \matrd + \matrcplus \, \matramun \, \matrb
\end{equation*}
et  
%
\begin{equation*}
\vecdeltaphiins = \matrcplus \, \vecdeltaetadec - \vec{\Omega} \delta t
\end{equation*}
%
$\matrcbardt$ est ce qu'on appelle une {\bf matrice de couplage} entre les transferts. Sous cette forme, elle
est donc dépendante de $\delta t$. Nous reviendrons ultérieurement
à l'intérêt de l'analyse de cette matrice du point de vue de la
compréhension du système.

$\vecdeltaphiins$ représente l'évolution des transferts lorsque $\matrb = 0$.
$\vecdeltaphiins$ est ainsi dénommé
``évolution insensible'' des transferts (les cellules suivent leurs trajectoires découplées).
Dans ce cas, on remarque que $\matrcbardt = \matrd$, \cad que les cellules ne couplent plus
les transferts entre eux.
\bigskip

En résumé, l'utilisation du SLT localement sur la trajectoire donne accès à une formulation
exhibant toute la dynamique du système, en déclinant les inter-influences entre les objets élémentaires
du TEF. Cette formulation permet également de déterminer un segment de la trajectoire, par
résolution d'un système algébrique linéaire.

%--------------------------------------------------
\subsection{Structure matricielle du système et résolution algébrique}
%--------------------------------------------------

Symboliquement la structure matricielle du système~(\ref{eqtef}) est la 
suivante:
%
\begin{equation*}
\left[
\begin{array}{cc}
\matra & \matrb  \\
-\matrcplus & \matri +\matrd
\end{array}              
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\vecdeltaeta  \\
\vecdeltaphi
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array}{c}
\Gamma \delta t  \\
-\Omega \delta t
\end{array}
\right]
\label{matef}
\end{equation*}
%
La résolution est conduite en éliminant d'abord les variables d'état, en 
utilisant la procédure qui permet également d'obtenir~(\ref{eqtef2}):

\begin{equation*}
\vecdeltaeta = -\matramun \, \matrb \, \vecdeltaphi + \matramun \,  \vec{\Gamma} \, \delta t 
\end{equation*} 

$\vecdeltaeta$ est introduite dans la seconde équation:
%
\begin{equation*}        
\matrcplus \left( -\matramun \, \matrb \, \vecdeltaphi 
+ \matramun \vec{\Gamma} \delta t \right)
- \left( \matri + \matrd \right) \vecdeltaphi = \vec{\Omega} \, \delta t
\end{equation*}       

\begin{equation*}
\left(\matri + \matrd + \matrcplus \, \matramun \, \matrb \right) \vecdeltaphi =
\matrcplus \, \matramun \, \vec{\Gamma} \delta t - \vec{\Omega} \, \delta t
\end{equation*}
         
Cette équation linéaire est classiquement résolue et donne $\vecdeltaphi$. On peut alors résoudre chaque
équation d'état où tout est connu sauf $\vecdeltaeta$.

%--------------------------------------------------
\subsection{Résolution numérique}
%--------------------------------------------------

Nous avons ainsi donné les grandes lignes de la résolution d'un système par le TEF. En réalité,
le traitement des matrices jacobiennes soulève des difficultés.
Explicitons le système obtenu pour un système de trois cellules
$(\alpha, \beta, \gamma)$ et l'ensemble des transferts rassemblés dans un seul
vecteur $\vec{\varphi_u}$:
%
%
\begin{equation*}
\begin{array}{c}
\alpha  \\
\beta  \\
\gamma \\
u 
\end{array}
\left(
\begin{array}{cccc}
\matra_{\alpha\alpha}  & 0 & 0 & \matrb_{\alpha u}  \\
0 & \matra_{\beta\beta} & 0  & \matrb_{\beta u}  \\
0 & 0 & \matra_{\gamma\gamma} & \matrb_{\gamma u} \\
-\matrcplus_{u \alpha}  & -\matrcplus_{u \beta} & -\matrcplus_{u \gamma} & \matri +\matrd
\end{array}              
\right)
\label{matroiscel}                  
\end{equation*}
%
On conçoit que pour un système de forte dimension, la matrice complète est à la fois énorme et
très creuse. La résolution d'un tel problème fait appel à une gestion par blocs des matrices
élémentaires et la recherche de structures de filiation entre blocs et super blocs.

La structure choisie pour résoudre un système sous TEF est introduite via une procédure de
découpage. Des ``familles''
regroupent des cellules, elles mêmes regroupées en super-familles etc. On obtient
un arbre de familles dont les feuilles sont les cellules. Une structure des transferts s'en
déduit, qui associe automatiquement chaque famille à un ensemble de transferts. On peut
montrer qu'il existe un isomorphisme entre cet arbre et la structure matricielle du système.
Cet isomorphisme est utilisé pour la résolution en suivant une méthode de type
hyper-frontale\footnote{ou plus précisément une méthode {\it hyper multi-frontale
à noeuds super-relaxés}, selon une nomenclature de la SIAM
dûe à J.Liu, cf sources en fin d'article.}.

Avant de passer aux applications du TEF pour l'analyse des systèmes, il est 
utile d'introduire un outil mathématique
d'analyse du SLT dans le paragraphe suivant, en revenant sur une méthode
symbolique de résolution du système linéaire et en montrant l'équivalence
avec la méthode déjà présentée au \ref{discrtemp}.

%--------------------------------------------------
\subsection{La transformée de Borel du SLT}
%--------------------------------------------------

Nous avons mentionné que
les éléments du TEF (matrices et vecteurs) étaient dépendants de $\delta t$ lorsque l'on
utilise un schéma temporel pour la résolution. Pour restituer la dynamique de la réponse
du SLT, nous utiliserons ici classiquement le passage en espace symbolique.
Mais au lieu de la transformée de Laplace
qui oblige à travailler dans le corps des complexes, nous utilisons la transformée de Borel,
définie par 
\begin{equation} 
f{(t)}\stackrel{\cal B}{\rightarrow }\B[{f}]{(\tau )}=\frac{1}{\tau }% 
\int_{0}^{\infty }e^{-t/\tau }f{(t)}dt=\frac{1}{\tau }\widetilde{f}{\left(\frac{% 
1}{\tau }\right)} 
\end{equation} 
% 
où $\widetilde{f}{(p)}$ est la transformée de Laplace de $f(t)$.
On voit que, contrairement à celle de Laplace, la variable de Borel $\tau$ est réelle et homogène
au temps.

En appliquant cette transformation au système~(\ref{pardeltaeta},\ref{deltaphi}), on a
% 
\begin{center} 
\begin{equation} 
\label{slt-KN}
\left\{  
\begin{array}{c} 
\B[\boldsymbol{\vecdeltaeta }_{\alpha }]=\overbrace{\left[ 1-\tau \left. \overline{% 
\overline{\frac{\partial G_{\alpha}}{\partial \eta _{\alpha }}}}\right| 
_{t_{n}}\right] ^{-1}\tau\ \mathbf{G_{\alpha}}|_{t_{n}}}^{\B[\boldsymbol{\vecdeltaeta }% 
_{\alpha ,dec}]}+\overbrace{\tau \left[ 
1-\tau\left. \overline{\overline{\frac{\partial G_{\alpha}}{\partial 
\eta _{\alpha }}}}\right| _{t_{n}}\right] ^{-1}\left. \overline{\overline{% 
\frac{\partial G_{\alpha}}{\partial \varphi }}}\right| _{t_{n}}}^{\overline{\overline{\mathcal{F}}}}
\B[\boldsymbol{\vecdeltaphi  }] \\  
\B[\boldsymbol{\vecdeltaphi } ]=\sum_{\beta} \left. \overline{\overline{\frac{% 
\partial f}{\partial \eta _{\beta }}}}\right| _{t_{n}}\B[\boldsymbol{\vecdeltaeta }% 
_{\beta }]+\left. \overline{\overline{\frac{\partial f}{\partial \varphi }}}% 
\right| _{t_{n}}\B[\boldsymbol{\vecdeltaphi }] 
\end{array} 
\right.  
\end{equation} 
\end{center} 
%
en effet, il suffit de remarquer que : $\B[\partial f/\partial t]=(1/\tau)\B[f]$.
En éliminant les variables de cellules de la première équation dans la seconde, on obtient
le système équivalent :
%
\begin{equation} \label{eqn:c}
\left\{  
\begin{array}{c} 
\B[\boldsymbol{\vecdeltaeta }]=\B[\boldsymbol{\vecdeltaeta }_{dec}]+% 
\overline{\overline{\mathcal{F}}} \, \B[\boldsymbol{\vecdeltaphi }] \\ 
\left[ 1+\overline{\overline{\mathcal{C}}}\right]
\B[\boldsymbol{\vecdeltaphi }]=% 
\B[\boldsymbol{\vecdeltaphi }_{ins}] 
\end{array} 
\right.
\end{equation} 
% 
le système obtenu est ainsi comparable à (\ref{eqtef2}), si ce n'est que cette fois-ci, la variable
dynamique est $\tau$ au lieu de $\delta t$. C'est cette propriété que nous allons exploiter.

Quant au lien entre les deux systèmes (\ref{eqtef2}) et (\ref{eqn:c}), il est obtenu grâce
à une propriété du schéma de Crank-Nicolson, car on peut montrer que
pour $t$ petit :
%
\begin{equation}
\label{corres}
  \delta \eta(t) \sim 2 \cdot \B(\delta \eta)\left(\frac{t}{2}\right)
\end{equation}
%
Ainsi, la résolution numérique du SLT, conduite par accroissements $\delta t$, est identifiable
formellement à la transformée de Borel locale du SLT. Autrement dit, les éléments du TEF
sont fonctions de $\tau$ et solutions exactes du SLT. Simplement, le calcul de la trajectoire
s'effectue
en ne considérant que des faibles valeurs de la variable de Borel. Dans la suite, on ne distinguera
donc plus entre les deux formulations équivalentes.

Nous allons maintenant examiner de manière simplifiée comment cette 
structure apporte les éléments de réponse à notre recherche de compréhension 
du fonctionnement d'un système formulé avec le TEF.

%
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Analyse de système et TEF}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Le problème de la restitution d'une certaine intelligibilité des modèles nu\-mé\-riques
est à l'origine de vaillants efforts en mécanique des fluides numérique et en
modélisation numérique du climat par exemple. Ainsi, les traitements postopératoires
des résultats deviennent quasiment aussi complexes que la simulation
elle-même\footnote{Note de rédaction : bien que la méthode ait été développée
historiquement pour les Sciences de l'Ingénieur, ce texte était destiné à une
collaboration européenne concernant les sciences du climat et de l'économie.
}.
 Laissant de côté l'aspect de recherche
des structures spatiales dans les modèles maillés, nous reprendrons tout d'abord
une tendance à caractériser un système par la manière dont il régule, absorbe, ou au
contraire fait diverger une grandeur soumise à perturbation.
Le concept de {\bf gain de rétroaction} est aujourd'hui mis à l'épreuve pour tenter
de comprendre le climat par exemple. Une telle tentative pose un problème théorique
considérable, car elle se situe dans un contexte largement en dehors du cadre
de sa définition originelle.
%_______________________________________
\begin{figure}[h]
\begin{minipage}[h]{.4\linewidth}
\psfig{figure=gainctrl.eps,%
bbllx=1pt,bblly=1pt,bburx=309pt,bbury=230pt,width=6.5cm,clip=}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[h]{.6\linewidth}
\begin{equation}
s(p) = H(p) e(p) = \frac{A(p)}{1-A(p)G(p)} e(p)
\label{est}
\end{equation}
\end{minipage}\hfill
\caption{Boucle de r\'etroaction élémentaire et sa fonction de transfert}
\label{fbbd}
\end{figure}
%_______________________________________
%
Au départ, il s'agit de circuits électriques linéaires et de leur analyse symbolique
(en transformée de Laplace ou Fourier). Considérant le circuit entrée--sortie Fig.~\ref{fbbd},
la dérivation par $G$ lie la sortie $s$ amplifiée par $A$ de l'entrée, lui fait
subir un traitement $G$, qui est ajouté à l'entrée $e$. La fonction de transfert $H$
donne directement la sortie en fonction du signal d'entrée~(\ref{est}).
$G$ est appelé gain de rétroaction. Il permet de réguler la sortie, de mettre en forme
un signal, de diminuer le bruit etc. Il s'agit donc au départ de commande active.
Les électriciens considèrent aussi ce circuit comme un véritable élément de systèmes
plus complexes, que l'on peut analyser en combinant des circuits élémentaires de rétroaction
comme celui de la figure~\ref{fbbd}.

Au contraire, dans la tentative d'extension de l'application du concept, il s'agit
d'une analyse conceptuelle plaquée sur un système difficilement décomposable, voire
non-linéaire. Cette tentative montre donc essentiellement la nécessité ressentie
de cons\-truire des outils d'analyse supplémentaires à la simulation numérique des
trajectoires. Le TEF permet de définir rigoureusement le gain de rétroaction dans
un cadre très général des systèmes numériques, c'est ce que nous allons maintenant
illustrer.
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Gain de rétroaction avec le TEF}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
Pour fixer les idées, nous prenons l'exemple d'un modèle macro-éco\-no\-mique, celui
d'IMACLIM-PROJ (cf sources). Sans rentrer dans les détails inutiles ici, ce  modèle
réduit le système entrée-sortie de la comptabilité nationale
à six secteurs (pétrole, transport, énergie, habitat, commerce et composite). Un modèle
de comportement  des consommateurs y est ajouté.
Globalement, le modèle donne la réponse du système économique
à une croissance (exogène) du prix du pétrole. Le modèle est censé reproduire les macro-équilibres
entre consommation, production, emploi et prix. La dynamique du système
est conduite par le niveau et le choix des consommations autorisés par les prix et les
salaires d'une part, et par la possibilité de substitution entre branches via une matrice
d'échange\footnote{ou matrice de Leontieff.}. Ainsi, lorsque le prix d'un produit s'élève, les branches
peuvent lui substituer un produit moins cher pour optimiser leur efficacité économique.

Un modèle macro-économique plus général est très rapidement complexe, car le nombre de branches
et produits atteind la centaine dans la comptabilité nationale de chaque pays.
De plus certains modeles, comme celui de la dynamique des acteurs économiques, sont
non-linéaires. Ainsi, si l'analyse des trajectoires après simulation permet de
vérifier un certain réalisme du modèle, celui-ci reste cependant opaque à la compréhension
de son comportement, surtout dès qu'on l'interroge dans des situations de chocs. D'où la
nécessité d'outils d'analyse complémentaire.

Le gain de rétroaction est un premier outil de ce genre. Il
considère une seule variable séparée du reste du système, ce qui avec le TEF est équivalent
à séparer un processus associé à la variable considérée du reste. Cette séparation doit
être liée à une boucle de rétroaction, de manière à ce que le gain mesure
l'effet d'une fermeture de cette boucle sur la réponse à une perturbation, comme
le suggère la figure :
%_______________________________________
\begin{center}
\begin{figure}[ht]
\begin{minipage}[h]{.4\linewidth}
\psfig{figure=PS/gainsltc.eps,%
bbllx=1pt,bblly=1pt,bburx=320pt,bbury=320pt,width=6.5cm,clip=}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[h]{.6\linewidth}
\begin{equation}
\left\lbrace 
\begin{array}{l}
\delta p + \mathbb{C}_{px} \vecdeltax
                                         = \delta p_{ins}  \\             
\
\mathbb{C}_{xp} \delta p + \left( 1 + \mathbb{C}_{xx} \right) \vecdeltax 
                                        = \vecdeltaxins  
\end{array}
\right.
\label{prixt}
\end{equation}
\end{minipage}\hfill
\caption{boucle fermée : système avec une seule variable non éliminée ($p$).}
\end{figure}
\end{center}
%_______________________________________
où on examine l'effet du système sur le prix du secteur des transports, l'un
des six secteurs retenus dans le modèle.
Ce schéma correspond au système d'équations~(\ref{prixt}).
Dans ce système, $\overrightarrow{x}$ représente l'ensemble des variables du système à l'exception
de $p$ le prix transport. La matrice $\mathbb{C}_{px}$ est un vecteur ligne, et
$\mathbb{C}_{xp}$ est un vecteur colonne. On peut noter que la première equation
est le modèle associé au transfert des prix lorsque $\overrightarrow{x}$ représente
toutes les autres variables.
% Cependant, si le système précédent est obtenu après
%elimination d'un certain nombre de variables, les matrices et coefficients de la première
%equation auront ete modifies, de meme que les coefficients de la deuxieme, sans intervention
%du modele ... IMBITTABLE.
Explicitons l'effet de l'ouverture de la boucle formellement, pour arriver
à une définition du gain de rétroaction associé à cette boucle :
%
\begin{center}
[Prix du transport $p$] $\rightarrow$ [Reste du système] $\rightarrow$ [Prix du transport $p$]
\end{center}
%
\bigskip
%
%
On élimine donc la variables $\vecdeltax$  de l'équation du prix $p$ :
%      
\begin{equation}
\left( 1 - \mathbb{C}_{px}(1 + \mathbb{C}_{xx})^{-1}\mathbb{C}_{xp} \right) \delta p
                   = \delta p_{ins} - \mathbb{C}_{px}(1 + \mathbb{C}_{xx})^{-1}\vecdeltaxins  
\label{deltap}
\end{equation}
%
\underline{boucle ouverte :} la boucle est coupée après le transfer $p$, qui
ne fait plus réagir le système complet, ce qui s'effectue en imposant
que toutes la matrice ligne $\mathbb{C}_{xp}$ soient nulle (le système est insensible aux variations
de $p$). 
%
%_______________________________________
\begin{center}
\begin{figure}[ht]
\begin{minipage}[h]{.45\linewidth}
\psfig{figure=PS/gainscoup.eps,%
bbllx=7pt,bblly=9pt,bburx=323pt,bbury=307pt,width=6.5cm,clip=}
\caption{Système en boucle ouverte.}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[h]{.5\linewidth}
Le système en boucle ouverte est obtenu en annulant toutes les matrices
qui font réagir le système à une variation de $p$ dans l'équation (\ref{deltap}).
\end{minipage}\hfill
\end{figure}
\end{center}
%_______________________________________
%
On remarque que le terme de droite de l'équation
(\ref{deltap}),
$\mathbb{C}_{px}(1 + \mathbb{C}_{xx})^{-1}\vecdeltaxins$ reste inchangé dans la coupure de la boucle.
Alors, la fermeture de la boucle de rétroaction rétablit l'équation dépendante :
\begin{equation*}
\boxed{
(1-g) \delta p = \delta \acute{p}_{ins}
}
\end{equation*}
%
avec $g =\mathbb{C}_{px}(1 + \mathbb{C}_{xx})^{-1}\mathbb{C}_{xp}$, et
$\delta \acute{p}_{ins} = \delta p_{ins} - \mathbb{C}_{px}(1 + \mathbb{C}_{xx})^{-1}\vecdeltaxins$.
On peut montrer que cette grandeur est indépendante des manipulations algébriques effectuées
pour éliminer les variables asociées au reste du système.

Le terme {\bf $g$} est appelé ``gain de rétroaction'' du système au le prix du transport. Sa dépendance
du temps (ou de $\tau$) caractérise donc la réponse linéaire du système à une perturbation
imposée de l'extérieur à ce prix. Dans l'exemple à six secteurs évoqué, on a trouvé
un gain annuel de 15 \% ($\tau$=1 an), ce qui signifie que la rétroaction (positive) du système a pour
effet d'amplifier l'augmentation imposée du prix sur un an.

Un autre exemple a été traité en prenant cette fois les salaires du secteur composite. La
rétroaction du système est trouvée de 50 \% par an. Ainsi, une injection d'une unité aux
salaires provoque apparemment un accroissement d'activité telle qu'il se retrouvent augmentés
de 1.50 unité à la fin de l'année (on peut dire que le modèle est Keynesien). On voit comment ce
concept de gain de rétroaction fournit des informations permettant de caractériser le
fonctionnement global du système construit. La question qui se pose directement alors,
c'est pourquoi tel système réagit ainsi, et pour reprendre le dernier exemple, comment
expliciter ce fonctionnement Keynesien du modèle. On peut alors considérer la variation
du gain quand on fige une cellule ou un transfert, ce qui permet d'induire quels
sont les objets du systèmes qui contribuent au gain. Une autre possibilité concerne
l'analyse de couplage, qui généralise la notion de gain de rétroaction.

\vspace{0.9cm}
En résumé de cette partie, par rapport au gain de rétroaction des électriciens, on a obtenu un outil d'analyse
ou le gain est obtenu par un modèle numérique, aussi complexe soit-il, à condition
qu'il ait été formalisé par le TEF, puisque le calcul est basé sur la composition
de dérivées partielles des variables entre-elles (SLT et élimination).
De façon un peu plus compliquée, l'analyse de couplage reprend la technique précédente
en remplaçant la variable scalaire $p$ extraite du système par plusieurs variables.
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{Aspects informatiques du logiciel ZOOM}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%------------------------------------------------
\subsection*{Généralités}
%------------------------------------------------
%
ZOOM (Zone Organised Optimal Modelling) est l'acronyme d'un environnement
de modélisation dédié aux applications du TEF. Il permet d'une part de calculer
la trajectoire d'un système partionné en familles, cellules et transferts, mais
aussi de calculer les transformées de Borel des éléments d'analyse autorisée par
l'utilisation du TEF\footnote{un logiciel simplifié suivant les mêmes principes
est également disponible, cf papier \it{ Mini$\_$Ker et Adjoint : un résumé}}.

La programmation d'un modèle s'effectue selon deux étapes principales :

(1) Une première étape consiste à définir les modèles élémentaires de cellules et de
transferts, qui sont dénommés ``processeurs'' (de cellule ou de transfert).
La programmation utilise un langage spécifique en pseudo-Fortran, qui permet de
gérer les connections entre objets. Ces processeurs sont réutilisables d'un modèle
à un autre et de nombreux processeurs sont disponibles dans la communauté TEF-ZOOM,
ce qui facilite la tache de création d'un nouveau modèle.

(2) La deuxième étape consiste à entrer la structure du système en connectant les
objets élémentaires de type cellules par des transferts. Il est aussi possible de
rassembler à ce stade ces objets en familles, super-familles etc.
Un langage spécifique est alors utilisé pour :

- (a) créer un objet et lui associer un processeur;
 
- (b) effectuer des connections entre objets; 

- (c) regrouper des objets en familles et en super-familles en formant une structure arborescente
(l'arbre ZOOM); 

De manière plus classique, il faut initialiser les variables d'états, fournir des valeurs
aux paramètres pour instancier les processeurs, etc, définir des sorties graphiques
particulières - les sorties standards étant automatiquement fournies.
Nous renvoyons aux manuels d'utilisateur pour de nombreuses autres facilités.

Lorsque ZOOM est alors lancé, il effectue la connection entre objets, réserve des blocs
de mémoire pour toutes les matrices et vecteurs, appelle chaque processeur associé
aux objets avec les bons paramètres, puis effectue la résolution pas par pas
pour calculer une trajectoire. Les sorties graphiques sont accessibles pour
chaque variable du système complet, rangées dans la même structure arborescente que celle
qui a été choisie en entrée. Un logiciel graphique (VIZU) utilisant celui du CERN (PAW) permet
leur visualisation. De plus, les coefficients de couplage et de gain entre parties choisies du
système sont accessibles et traitées post-calcul.
%
%------------------------------------------------
\subsection*{ les Processeurs}
%------------------------------------------------
%
Les processeurs (de cellules et de transferts) ont pour objet de déterminer les éléments
du TEF caractérisant chaque objet élémentaire (matrices et vecteurs), à chaque pas de temps.

\vspace{0.5cm}
\underline{Processeur de Cellule :}

\vspace{0.3cm}
L'évolution de l'état d'une cellule pour un pas de temps donné s'écrit :
%
\begin{equation*}
\vecdeltaeta = \vecdeltaetadec + \matrf \vecdeltaphi
\end{equation*}
%
où le vecteur $\vecdeltaphi$ représente un ensemble de transferts connectés à cette cellule
($\alpha$). La connection fournit leur valeur au début du pas de temps. 
Le processeur peut calculer $\vecdeltaetadec$, ainsi que la matrice $\matrf$. 

\begin{itemize}
\item En entrée, on a : 
\begin{itemize}
\item la valeur de l'intervalle $\delta t$, 
\item la valeur initiale de l'état de la cellule , celle des transferts connectés, et les conditions
limites éventuelles (${\overrightarrow{ \phi_0}}$).
\end{itemize}
\item En sortie, on obtient  :
\begin{itemize}
\item le vecteur évolution découplée de la cellule $\overrightarrow{ \delta \eta} _{\alpha dec}$
\item ainsi que la matrice $\matrf$ qui représente l'effet sur la cellule de l'évolution
de son environnement.
\end{itemize}
\end{itemize}

\vspace{0.5cm}
\underline{Processeur de Transfert :}

\vspace{0.3cm}
Les variables de transfert sont associées à des équations de contrainte statique qui
les lient aux cellules auxquelles ils sont  connectés. Contrairement aux cellules, ils
sont éventuellement connectés
à d'autres transferts (restreints cependant à l'ensemble des transferts connectés aux cellules de
leur environnement).
%
\begin{equation*}
\overrightarrow{\phi} = \overrightarrow{f} ( 
\overrightarrow{\eta_{\alpha 0}} , \overrightarrow{\phi_0} ) 
\end{equation*}           
%
Le processeur de transfert calcule la matrice $\matrcplus$ qui, de façon analogue
aux cellules, représente l'effet de l'environnement sur l'évolution du transfert
à l'horizon du pas de temps.
\begin{itemize}
\item En entrée on a : 
\begin{itemize}
\item la valeur de l'intervalle $\delta t$, 
\item les valeurs initiales des objets connectés : $\overrightarrow{\eta_0}$ pour les cellules,
$\overrightarrow{\phi_0}$ pour les transferts éventuels.
\end{itemize}
\item En sortie, il fournit
\begin{itemize}
\item  le vecteur des variables de transfert
\item et les matrices $\matrcplus$ et $\matrd$.
\end{itemize}
\end{itemize}
On peut remarquer que l'interdépendance entre les transferts a pour conséquence l'obtention
d'un système implicite à résoudre à chaque pas de temps (qui est effectué par ZOOM au
début de chaque intervalle temporel).

\newpage
\begin{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{CONCLUSIONS}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{center}
%
Dans la construction de modèle par le TEF, l'opération de découpage-raccordement
a pour objet de construire une structure entre des objets élémentaires bien
définis (les cellules). Le système ainsi modélisé peut alors être analysé en terme
d'inter-influence entre objets de façon rigoureuse. Tout modèle représentant
un objet doit fournir les éléments du TEF (matrices et vecteurs) qui s'interprètent
en terme d'évolution découplée pour les cellules, d'évolution insensible pour
le transferts, qui expriment une tendance intrinsèque de ces objets. Les matrices
Jacobiennes fournies par chaque modèle donnent en complément la sensibilité locale
des cellules aux variables d'interface, et réciproquement des transferts
aux cellules qu'ils connectent entre elles.

On voit ainsi comment le programme que nous nous étions fixé est accomnpli : les
base de l'analyse des inter-influence sont calculées pour chaque objet du TEF.
Dès lors, la résolution numérique du système en suivant la structure arborescente
des familles met en \oe uvre une manipulation algébrique qui combine les
matrices Jacobiennes en reconstituant la chaine des dérivations partielles itérées
de fonctions de fonctions. C'est ainsi que les variables de systèmes itérativement
réduits exhibent tous les couplages effectués par les variables éliminées.
Tous les ingrédients de l'analyse de couplage et rétroaction, de sensibilité et
propagation d'erreur ou de bruit sont ainsi présents. Leur exploitation soulève
bien évidemment quelques difficultés, en particulier pour les systèmes non-linéaires.
Nous avons montré que l'exploration du SLT local permet une analyse en transformée
de Borel qui caractérise rigoureusement la dynamique du système. De façon plus
générale, l'expression du modèle par matrices Jacobiennes donne automatiquement
accès au modèle adjoint et ainsi à de nombreuses méthodes classiques d'optimalisation
et de calcul de sensibilité des systèmes non-linéaires.

Nous explorons ces diverses techniques sur des problèmes thématiquement
assez diversifiés (Sciences pour l'Ingénieur, Économie et Climat principalement,
bientôt peut-être en Biologie). Divers articles et documents de travail seront
progressivement mis sur ce site.

\vspace{0.7cm}
\hrule
\vspace{0.5cm}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{Sources :}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\label{source}

%http://www.lmd.jussieu.fr/.../TEF-ZOOM/Publications-et-Documents-de-travail

- sur Borel : article ClimSI (2004)

- sur un modèle macro-éco et gain : rapport d'avancement ZOOM-ProjTES (2002)

- Séminaire TEF-ZOOM Volume 1, TEF, EDH, L'Agelonde, 21-25 octobre 1991.

- sur l'utilisation du TEF-ZOOM en modélisation : Thèses de Vincent PLatel, Stéphane Blanco, Olivier Fudym, Richard Fournier.

- sur les fondements du TEF : thèse de Jean-Louis Joly.

- sur l'arbre ZOOM : Liu J.W.H. 1992: The multifrontal method for sparse matrix
solution: Theory and Practice. {\it Society for Industrial and Applied
Mathematics Review},{\bf 34}, 82-109. Voire aussi manuel EDH. {\it in documents}
\end{document}
\end

