

Le transport des espèces traces (espèces chimiques et aérosols) par
l'atmosphère prend un place grandissante dans l'étide des atmosphères
terrestre et planétaires.

On va s'intéresser dans une première partie au transport d'un "traceur"
passif (n'affectant pas le fluide atmosphérique), et conservatif.

L'équation du transport pour un traceur de ce type est simplement
\begin{equation}
\frac{d q}{d t}=0
\end{equation}
ou 
\begin{equation}
\frac{\partial q}{\partial t}+V\grad q=0
\end{equation}
Dans toute la discussion qui suit, on va supposer le champ de vent
$V$ connu.

Il existe des méthodes basée directement sur l'idée de la conservation
le long de trajectoires de paticules:
\begin{itemize}
\item{\bf Les méthodes lagrangiennes:} elles consistent à "ensemencer" le
domaine d'étude (où la région source) avec des particules et à les
suivre individuellement.
Ces méthodes peuvent être très précises mais il faut généralement
utiliser un grand nombre de particules, notamment pour éviter que des
trous se créent dans la distribution spatiale de ces particules.
\item{\bf Les méthodes semi-lagrnagiennes:} On suppose qu'à un pas de temps
$t$ donné, $q$ est connu sur une grille. On prédit la valeur sur le même
maillage au temps $t+\delta t$ en remontant à $t$ "le long du vent":
$q(x,t+\delta t)=q(x-\delta t V, t)$. Le problème est que
$q(x-\delta t V, t)$ a peu de chances de se trouver sur le maillage.
On intepolle donc cette valeur à partir des valeurs sur le maillage au
temps $t$. Cette méthode évite le problème principal des méthodes
lagrangiennes. Sa précision est déterminer par la précision des routines
d'interpollation.
Les méthodes semi-lagrangiennes ont été très largement utilisées dans la
communauté atmosphérique. Elles présentent un défaut important: il est
difficile de garantir la conservation de la quantité totale de traceur.
\item{\bf L'advection des contours:} Elle consiste à advecter des particules
uniquement sur des "iso-niveaux" du champs considéré.
Cette dernière méthode, potentiellement très précise, se couple
difficilement à d'autres processus (il faut alors calculer l'effet des
autres processus sur la topologie des "iso-niveaux).
\item{\bf Différences finis:} Il existe également tout un tas de méthodes en
différences finies.
\end{itemize}

Nous présentons ci-dessous aux méthodes en "volumes finis", basées sur
la formulation en flux de l'équation de transport:
\begin{equation}
\der{\rho}{t} + \mbox{div} \dep{\rho V} =0
\end{equation}
déduite de la précédente en utilisant l'équation de continuité pour
l'air:
\begin{equation}
\der{\rho q}{t} + \mbox{div} \dep{\rho q V} =0
\end{equation}
où $\rho$ est la densité de l'air.
integration on the volume of a polyhedron with $N$ faces,  leads to the following formulation~:

L'intégration de ces relations sur un polyhèdre (volume de
contrôle) à $N$ faces conduits aux formulations:
\begin{equation}
\der{m}{t}=\sum_{n=1}^N U_n  \label{eq:m}
\end{equation}
and
\begin{equation}
\der{q m}{t}=\sum_{n=1}^N F_n \label{eq:q}
\end{equation}
où $m$ est la masse totale d'air dans le polyhèdre, $q$ est la
concentration massique moyenne du traceur dans le volume,
$U_n$ et $F_n$ sont les flux de masse et flux de traceur vers
l'intérieur du polyhèdre pour la face $n$.

Les formulations en "volumes finis" présentent l'avantage très important
qu'elles sont conservative dès que le même flux est utilisé
pour les volumes en amont et en aval de l'interface considérée.

{\bf A partir d'ici, et en attendant mieux, le texte, extrait d'un
article, est en anglais}

For the most famous of those schemes, first introduced by \cite{Godu:59},
$F$ is just estimated as the product of $U$ by the value of  $q$ in the upstream volume.
This simple scheme, sometimes referred to as ``upstream scheme'', is conservative,
positive and monotonic, as well, but very diffusive \cite[for those who are
not familiar with those notions, see \eg][]{Rood:87}.

To overcome this deficiency of Godunov's scheme,
\cite{VanL:77} proposed to use for the upstream value of $q$ an extrapolation at the
mesh interface computed from a polynomial approximation to the subgrid scale tracer
distribution in the upstream volume 
(Godunov scheme corresponding to the particular case of a zero order polynomial).
In fact, two of Van Leer Schemes were introduced later on and independently in the GCM
context by \cite{Russ:81} -- same as Van Leer Scheme III -- and \cite{Prat:86} -- same as Van Leer Scheme VI --.
Van Leer favored scheme III considering scheme VI as too
complicated for the gain in accuracy. In the meteorological community at
the opposite, Prather's scheme was introduced as an improvement of
Russell's scheme and is often taken as a reference.
