%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{L'équation de transport : séparation d'échelles\label{sec:traceurs}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\V{{\bf v}}
\def\X{{\bf x}}


\subsection{Séparation des processus}

Dans les modèles de chimie-climat comme dans les modèles débranchés
transport-chimie, les processus
comme la microphysique des aérosols ou les réactions chimiques 
d'une part et le transport de l'autre sont
généralement traités alternativement et séquentiellement.
On parle en anglais d'``operator splitting".
La partie transport proprement dite peut alors être
traitée de façon systématique,
indépendamment de l'espèce trace considérée, en assimilant cette espèce à
un traceur conservé\footnote{
A noter que cette séparation, très pratique pour le développement des
modèles, peut cependant conduire a des problèmes numériques importants.
On peut illustrer ce point sur un cas simple : la sédimentation des
aérosols sous l'effet de leur poids est souvent traitée, comme les
processus chimiques ou microphysiques, séparément de l'advection.
Prenons le cas particulier ou le traceur est pris dans une ascendance
avec une vitesse égale à la vitesse de sédimentation par rapport à l'air,
de sorte que la vitesse réelle des aérosols est nulle. Dans ce cas, si
on utilise pour l'advection un schéma en volumes finis comme ceux présentés
plus loin, le traceur sera diffusé sur la verticale dans la succsession
des mouvements vers le haut et vers le bas alors que l'application du
même schéma avec une vitesse verticale nulle aurait évité ce problème.
}.

\def\q{c}

Dans cette partie, on 
s'intéresse donc à la modélisation du
transport d'un traceur conservatif (une espèce trace suivant exactement
l'air) et passif (n'affectant pas en retour la météorologie).
L'équation du transport pour un traceur de ce type est simplement
\begin{equation}
\frac{d \q}{d t}=0
\end{equation}
ou 
\begin{equation}
\frac{\partial \q}{\partial t}+\V\grad \q=0
\end{equation}
Dans la présentation qui suit, on suppose le champ de vent
$\V$ connu.


Dans les applications atmosphériques classiques, l'équation du transport 
ne peut être résolue jusqu'à l'échelle de la diffusion moléculaire.
Cette constatation s'applique d'ailleurs aussi bien à l'observation
qu'à la modélisation. Dans les deux cas, on travaille explicitement
jusqu'à une échelle donnée mais on traite la petite
échelle de façon statistique.
Dans le cas d'un modèle numérique, la grande échelle est définie en pratique
par le
maillage (ou par la troncature pour les modèles spectraux). L'effet
des grandeurs sous-mailles sur les variables de grande échelle ne peut
être représenté que de façon statistique, au travers de paramétrisations.


\subsection{Séparation d'échelles}

\def\ave#1{\overline{#1}}
\def\mave#1{\tilde{#1}}

Pour séparer échelle explicite et échelle turbulente, on introduit
la notion de moyenne d'ensemble. 
La turbulence est considérée comme un processus
aléatoire. Un élément du processus correspond à une réalisation complète
de l'écoulement atmosphérique.
La moyenne d'ensemble d'une grandeur $X$, qu'on notera $\ave{X}$,
est simplement l'espérance mathématique de cette variable.\footnote{
On fait souvent la confusion
entre moyenne d'ensemble et moyenne spatiale ou temporelle.
C'est par exemple le glissement qui s'opère ici quand on 
appuie le développement d'une paramétrisation sous-maille sur
un raisonnement en moyenne d'ensemble.
En toute rigueur, seule cette dernière peut permuter avec les dérivations
spatiales et temporelles, condition indispensable pour les développements
présentés ici.}

Pour introduire proprement le découpage pour un fluide compressible,
il faut introduire en plus une moyenne
pondérée par l'air $\mave{X}=\ave{\rho X}/\ave{\rho}$.
La fluctuation turbulente par rapport à cette moyenne  $X'=X-\mave{X}$
obéit à l'identité $\ave{\rho X'}=\mave{X'}\ave{\rho}=0$.

\def\V{{\bf v}}
\def\q{c}

Si on note $\V$ le champ de vent et $\q$ la concentration massique d'un
traceur conservatif ($d\q/dt=0$),
l'équation de transport non visqueux peut s'écrire soit
\begin{equation}\label{eq:adv1}
\dt{\q}+\V\grad{\q}=0
\end{equation}
sous sa forme advective, soit, en introduisant l'équation de continuité
pour le fluide atmosphérique,
\begin{equation}\label{eq:masse}
\dt{\rho}+\div{\rho\V}=0,
\end{equation}
sous sa forme conservative ou flux
\begin{equation}\label{eq:adv2}
\dt{\rho \q}+\div{\rho\V\q}=0
\end{equation}

En prenant la moyenne d'ensemble de la forme conservative et en remarquant
que
\begin{equation}
\ave{\rho \V \q}=\ave{\rho}\mave{\V}\mave{\q}+\ave{\rho \V'\q'},
\end{equation}
on obtient l'équation
\begin{equation}
\label{eq:direct11}
\dt{\ave{\rho}\mave{\q}}
+\div{\ave{\rho}\mave{\V}\mave{\q}} + \div{\ave{\rho\V'\q'}} = 0
\end{equation}
En remarquant que l'équation de continuité pour l'air est inchangée par
la prise de moyenne, on peut repasser à la forme advective.
En adoptant les notations $\rho$, $u$, $v$ et $c$ pour les variables 
grande échelle, on obtient finalement
\begin{equation}
\label{eq:direct12}
\dt{\q}+{\V}.\grad\ {\q}
+\frac{1}{\rho}\div{\ave{\rho\V'\q'}} =0
\end{equation}
On voit donc qu'on retrouve, pour les moyennes pondérées par l'air,
les équations initiales avec des termes supplémentaires liés aux corrélations
entre les fluctuations turbulentes de $\V$ et de $\q$.

Ci-dessous, on présente en détail les schémas introduits
pour traiter du transport de grande échelle ainsi que les paramétrisations
des termes turbulents calquées sur les paramétrisations d'origine du code
LMDZ. Dans le chapitre suivant, on présente en détail un travail spécifique
mené sur le transport turbulent dans la couche limite convective.