\def\cnim1{c_{i-1}}
\def\cni{c_i}
\def\cnip{c_{i+1}^{\tn}}
\def\cnpi{c_i^{\tnp1}}
\def\cnpj{c_j^{\tnp1}}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Le transport sous-maille}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Pour le terme turbulent  $\div{\ave{\rho\V'\q'}}$, on distingue en
fait trois contributions décrites ci-dessous.

\subsection{Turbulence de couche limite}

Dans la version standard de LMDZ, la turbulence de couche limite est
traitée comme une super-viscosité ou viscosité turbulente.
Dans ces formulations, comme pour la viscosité moléculaire, le flux 
d'une quantité transportée est proportionnel (avec un coefficient
négatif) au gradient local de la quantité en question.
Dans la couche limite planétaire, et si on s'intéresse à l'écoulement
à grande échelle, le terme vertical domine de loin ce flux qui s'écrit alors
\begin{equation}
\overline{\rho w'\q'}=-\kz\frac{\partial \q}{\partial z}
\end{equation}
Dans la version standard du modèle LMDZ, ce
coefficient $\kz$\ dépend du cisaillement vertical de vent et d'un
nombre de Richardson. La formulation utilisée est donnée par
\cite{Lava:81}.
Les limitations de cette paramétrisation ainsi que des approches
alternatives sont discutées en détail dans le chapitre suivant.

\subsection{Convection nuageuse}

\def\fu{\hat{f}}
\def\fd{\check{f}}
\def\eu{\hat{e}}
\def\ed{\check{e}}
\def\du{\hat{d}}
\def\dd{\check{d}}
\def\Fu{\hat{F}}
\def\Fd{\check{F}}
\def\Eu{\hat{E}}
\def\Ed{\check{E}}
\def\Du{\hat{D}}
\def\Dd{\check{D}}
\def\qu{\hat{\q}}
\def\qd{\check{\q}}

\begin{figure}
\centerline{\includegraphics[width=11cm]{\local/FIGURES/massflux.eps}}
\caption{Notations pour le transport en flux de masse des traceurs par la
convection.
\label{fg:tiedtke}}
\end{figure}

De nombreux développements ont été consacrés ces dernières décennies
à la paramétrisation de la convection nuageuse (profonde ou peu profonde),
notamment dans le cadre de la modélisation du climat.
Les paramétrisations à la mode sont basées sur des approches
dites en flux de masse
\cite[]{Arak:74,Tied:89,Eman:91}.
Elles ont en commun d'expliciter des ascendances concentrées, sensées 
représenter le c{\oe}ur des nuages convectifs. Dans ces ascendances,
l'air monte rapidement sous l'effet de sa propre
flottabilité, renforcée dans le nuage par le dégagement de chaleur latente.

Certaines de ces paramétrisations considèrent un spectre complet
de panaches ascendants. Dans les développements présentés ici, on utilise
la paramétrisation de \cite{Tied:89} qui sépare la colonne atmosphérique
en trois sous-colonnes~: une pour les ascendances, une pour les
descentes précipitantes et un troisième compartiment pour l'environnement
dans lequel se produit une subsidence compensatoire
plus lente.

L'ascendance est caractérisée par un flux de masse
$\fu(z)$ qui échange de l'air avec l'environnement.
Cet échange est prescrit au travers d'un entraînement $\eu$ et
d'un détraînement $\dd$.
Pour les descentes précipitantes, ont définit de même un flux de masse
$\fd$, un entraînement $\ed$ et un détraînement $\dd$.

La colonne convective est supposée stationnaire de sorte que la conservation
de la masse d'air entre les différents compartiments s'écrit
\begin{equation}
\frac{\partial \fu}{\partial z}=\eu-\du
\end{equation}
et
\begin{equation}
-\frac{\partial \fd}{\partial z}=\ed-\dd
\end{equation}
Le flux dans l'ascendance et les descentes précipitantes
est compensé par un flux, en
général plus lent, dans l'environnement, $f_e=-\fu-\fd$.

Pour l'inclusion de la composante traceur, on fait les approximations
suivantes en suivant la philosophie du schéma d'origine~:
on suppose que le traceur est dans un régime stationnaire à la fois dans
l'ascendance et dans les descentes précipitantes.
On suppose de plus que la fraction
de la maille couverte par ces deux compartiments est suffisamment faible
pour qu'on puisse confondre la concentration dans l'environnement $\q_e$
avec la concentration moyenne dans la maille ($\q_e=\mave{\q}$ ou $\q$).

Sous ces hypothèses, la concentration dans l'ascendance
$\qu$ est donnée par
\begin{equation}
\frac{\partial \fu\qu}{\partial z}=\eu {\q} -\du \qu
\end{equation}
avec une équation similaire pour les descentes
\begin{equation}
-\frac{\partial \fd\qd}{\partial z}=\ed {\q} -\dd \qd
\end{equation}
(on pourra se reporter à la \fig{tiedtke}).
Enfin, le flux de masse turbulent est donné par
\begin{equation}
\overline{\rho w'\q'}=\fu\qu+\fd\qd-(\fu+\fd)\ {\q}
\end{equation} 

Afin d'assurer la stabilité numérique de ce schéma, les différents
termes de transport (de la forme $f\q$) sont traités avec un schéma
amont du premier ordre.
\footnote{
Pour la formulation discrète, on introduit, par exemple pour l'ascendance,
les quantités ${\Eu}_i\simeq \eu\delta z \delta t$ et
${\Du}_i\simeq \du\delta z \delta t$ (entraînement et détraînement vers et depuis l'ascendance pour
la couche $i$ durant le pas de temps $\delta t$) et
${\Fu}_{i+\dem}\simeq \fu\delta t$ (transfert de masse entre les couches
$i$ et $i+1$).
Les équations du modèle, discrétisées avec des schémas amont et
en supposant que la concentration dans l'ascendance et dans la subsidence
est en régime stationnaire, s'écrivent
\begin{eqnarray}
{\Eu}_i+{\Fu}_{i-\dem}&=&{\Du}_i +{\Fu}_{i+\dem}\\
{\Ed}_i+{\Fd}_{i+\dem}&=&{\Dd}_i +{\Fd}_{i-\dem}\\
{\Eu}_i c_i+F_{i-\dem}\qu_{i-1}&=&\qu_i\dep{{\Du}_i+{\Fu}_{i+\dem}}\\
{\Ed}_i c_i+F_{i+\dem}\qd_{i+1}&=&\qd_i\dep{{\Dd}_i+{\Fd}_{i-\dem}}
\end{eqnarray}
où $c_i$, ${\qu}_i$ et ${\qd}_i$ sont les concentrations de traceur
respectivement
\def\cnp{{{c^*}_i}}
dans l'environnement (assimilée à la concentration moyenne dans la maille),
l'ascendance et la subsidence.
Si on note $m_i$ la masse de la maille $i$ et $\cnp$ la concentration de
traceur dans la maille $i$ au pas de temps $t+\delta t$, on a
\begin{eqnarray}
m_i \cnp - m_i c_i &=&
{\Fu}_{i-\dem} \qu_{i-1}-{\Fu}_{i+\dem}\qu_{i}
                +{\Fu}_{i+\dem}c_{i+1}-{\Fu}_{i-\dem}c_{i}\\
&+&{\Fd}_{i+\dem} \qd_{i+1}-{\Fd}_{i-\dem}\qd_{i}
                +{\Fd}_{i-\dem}c_{i-1}-{\Fu}_{i+\dem}c_{i}\\
&=& {\Du}_i \qu_i -{\Eu}_i c_i
                      +{\Fu}_{i+\dem}c_{i+1}-{\Fu}_{i-\dem}c_{i}\\
&+& {\Dd}_i \qd_i -{\Ed}_i c_i
                      +{\Fd}_{i-\dem}c_{i-1}-{\Fu}_{i+\dem}c_{i}
\end{eqnarray}
}
La diffusion numérique n'est pas un problème
ici puisque le processus physique lui-même est très diffusif.
Les erreurs numériques associées sont certainement plus faibles que les
incertitudes sur l'intensité et la description des échanges d'air dans
la colonne convective.


\subsubsection{Diffusion latérale}


Les termes turbulents associés à du mélange vertical sont souvent
nettement plus important que les termes horizontaux.
Par exemple dans la basse troposphère, la combinaison d'un cisaillement
de vent et d'un mélange vertical turbulent produit une dispersion horizontale
des espèces traces extrêmement efficace.
Tant que les mailles horizontales sont assez grossières, il est probable
de plus que la diffusion numérique soit supérieure à la diffusion latérale
réelle de l'atmosphère.
Enfin, il faut noter que la théorie physique qui permet d'estimer
la diffusivité latérale effective est loin d'être établie.

Cependant, il est probable que, notamment pour une grille zoomée très fine,
il commence à être nécessaire d'inclure une paramétrisation de cette diffusion
latérale. Ici, cette diffusion est plutôt introduite pour des tests
de sensibilité et on retiendra une approche simple en longueur de mélange~:
comme pour la super-viscosité verticale, le flux horizontal de traceur
est relié au gradient local de la quantité. L'effet de cette diffusion latérale
sur le transport des traceurs s'écrit alors sous la forme d'un laplacien
\begin{equation}
\dt{\q}=\frac{{\delta x}^2}{\nu} \Delta \q
\end{equation}