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\section{Réciprocité et paramétrisation des mouvements non résolus}


On a déjà vu plus haut que,
pour des raisons pratiques à la fois de connaissance observationnelle
du champ de vent et de limitation de puissance des
ordinateurs, on ne considère généralement l'\eq{direct} que jusqu'à une certaine
échelle spatiale (dite grande échelle ou échelle explicite).
L'effet des échelles inférieures à la coupure (échelles turbulentes, ou 
sous-maille pour les modèles) sur les échelles
explicites est représentée de façon statistique en terme de paramétrisation.

L'image classique de l'échelle turbulente est qu'elle va brasser l'air
à petite échelle, induisant un mélange des quantités transportées.
Ce mélange, particulièrement actif dans la couche limite planétaire,
va en général disperser le traceur dans un volume d'air plus
grand et faire décroitre les concentrations. De façon symmétrique, 
avec davantage de brassage, le déteceteur échantillonera un air
provenant d'une origine plus étendue
mais avec une sensibilité mondre aux sources.

On voit donc que l'image de diffusion turbulente doit être associée dans
le monde rétro à une diffusion vers le passé et que cette diffusion est
d'autant plus grande que la diffusion directe est importante.
C'est ce qui est illustré sur le schéma B de la \fg{schema}.

\def\ave#1{\overline{#1}}
\def\mave#1{\tilde{#1}}

\subsection*{Réciprocité et séparation d'échelle}

Comme dans la \sec{traceurs} on introduit la séparation d'échelles
à partir des moyennes d'ensembles, $\ave{x}$. Si on note 
 $\mave{x}=\ave{\rho x}/\ave{\rho}$ les moyennes pondérées par la masse
 d'air et $x'=x-\mave{x}$n les perturbations,
la séparation d'échelle se traduit dans le monde direct
par
\begin{equation}
\label{eq:directp}
\frac{\partial \ave{\rho}\mave{c}}{\partial t}
+\div{\ave{\rho}\mave{\V}\mave{c}} + \div{\ave{\rho\V'c'}} =
\ave{\rho}\mave{\sigma}
\end{equation}
A noter que $\mave{\sigma}$ n'est pas identique à $\sigma$ dans la
mesure où la masse d'air dans $S$ à $\ts$ peut varier suivant les
réalisations.

On peut effectuer exactement la même décomposition pour le rétro-transport
\begin{equation}
\label{eq:retrop}
-\frac{\partial \ave{\rho}\mave{c}}{\partial t}
-\div{\ave{\rho}\mave{\V}\mave{c^*}} - \div{\ave{\rho\V'{c^*}'}} =
\ave{\rho}\mave{\pi}
\end{equation}

Comme dans la \sec{traceurs}, on notera à partir d'ici 
$\rho$, $\V$, $c$, $c^*$, $\sigma$ et $\mu$ mes grandeurs moyennes
$\ave{\rho}$

\subsection*{Réciptocité et diffusion turbulente}

La paramétrisation du terme $\div{\ave{\rho\V'c'}}$ a été largement
abordée dans les chapitres précédents.
Comme dans les développements précédents,
on va se focaliser (pour simplifier et parce que c'est ce qui est
fait dans LMDZ) sur la composante verticale de ce flux, la plus
importante quand on regarde la couche limite sur des grandes échelles
horizontales.

\def\pert#1{{#1}'}
Dans le cas où les fluctuations du vent vertical $w'$ sont traitées de façon 
symmétrique, la même paramétrisation doit s'appliquer dans les deux équations.
Prenons la présentation de la longueur de mélange exposée précédemment.
Dans cette approche, la valeur du traceur $\ex$ dans les subsidence est
représentative de l'air situé à une distance typique $l$ au-dessus, d'où
l'on tire
$\pert{c}=\moy{c}(z+l)-\moy{c}(z)$ pour $w'<0$ 
et $\pert{c}=\moy{c}(z-l)-\moy{c}(z)$ pour $w'>0$ résultant dans
les deux cas en un flux
\begin{equation}
\ave{\rho w'c'}=-\rho K_z \frac{\partial \moy{c}}{\partial z}
\end{equation}
où $K_z\simeq  \ave{| w' |} l$ est la diffusivité turbulente.
L'équation du transport s'écrit finalement
\begin{equation}
\label{eq:directb}
\frac{\partial c}{\partial t}+\V.\grad\ c
-\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial z}
\dep{\rho K_z \frac{\partial c}{\partial z}}= \sigma (\vec{x},t)
\end{equation}
La fermeture permettant d'exprimer $K_z$ en fonction du vent et de la
température peut être très compliquée. L'important pour nous est de supposer
qu'à un moment et en un point donné de l'espace, $K_z$ est connu.

Appliquer la même approche de la longueur de mélange au rétro-transport revient
simplement à changer le signe de $w'$ dans les dérivations ci-dessus.
Ici, le rétro-traceur sera affecté par exactement la même rétrodiffusion~:
\begin{equation}
\label{eq:directb}
-\frac{\partial c^*}{\partial t}-\V.\grad\ c^*
-\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial z}
\dep{\rho K_z \frac{\partial c^*}{\partial z}}= \pi (\vec{x},t)
\end{equation}


On l'a déjà vu, les "fermeture locale" ou la "diffusion trubulente" ne sont
pas les seules façon de traiter les échelles non résolues. En particulier,
les paramétrisations récentes de la convection nuageuse où le modèle
du thermique présentés précédemment sont basés susr une représentation 
explicite des flux de masse convectif. Pour être plus précis, ces
paramétrisations en flux de masse sont généralement sous-mailles sur
l'horizontales et explicites sur la verticale.
Dans ces paramétrisation, la distribution des flux de masse verticaux est
très assymétrique. On distingue souvent des ascendances très fortes,
éventuellement accompagnées de susbsidences concentrées (souvent 
assosciées à la précipitation) et une subsidence beaucoup plus lente dans
l'environnement. 
Pour de telles paramétrisations, le signe du flux de masses doit
être changé dans l'intégration rétro. Par exemple, en présence d'une ascendance
concentrées compensée par une ssubsidence plus molle, le rétro-traceur sera
ramené rapidement vers la surface dans le coeur de l'ascendance et remontera
plus doucement dans l'environnement.
Ce point particulier et les équationss qui doivent être utilisées sont
reprises plus loin dans ce chapître.

A noter que les modèles en flux de masse, bien que dissymétriques, restent
cependant essentiellement des sources de diffusion et de mélange à la
fois dans le monde direct et rétro.