\subsection*{Remarque sur la sensibilité aux conditions initiales}

Si on remonte le rétropanache sur une période suffisamment longue (un mois
par exemple), ce rétropanache devient très diffus.
La mesure n'est alors plus sensible qu'à la valeur moyenne du CO$_2$ dans
ce panache très diffus exprimée par l'intégrale $\int_\Omega \rho c c^* d\vec{x}_{|t=0}$.

\def\exim{\overline{c}}
Avec un rétropanache à moins 30 jours, cette intégrale est certainement très
proche de $\exim\int_\Omega \rho\exr d\vec{x}_{|t=0}=\exim$
où $\exim$ est la concentration massique moyenne de CO$_2$ dans l'atmosphère à
l'instant initial.

Le problème se réécrit alors simplement
\begin{equation}
J-\exim=\int_{S\times\tau} \sigma\exr  dx dy dt
\end{equation}

On exprime donc la fluxtuation de la concentration en CO$_2$ comme 
combinaison linéaire des flux émis pendant les N derniers jours.

Evidemment, si les sources ne sont pas équilibrées entre puits et sources,
la valeur moyenne évolue au cours du temps et il faut donc prendre en compte
la valeur moyenne au début de la période d'intégration.

On peut tester ce point en se donnant des sources de CO$_2$ et
en étendant la date initiale en remontant dans le temps.

Si on peut simplifier ainsi le problème, on diminue grandement
le nombre de paramètres à inverser.

\subsection*{En pratique}

En pratique, à chaque mesure, $J_n$, est associé un retro-panache
$\exr_n$ dans l'espace $\Omega$ qu'on calcule, comme d'habitude, en
faisant tourner LMD-ZT offline à l'envers.
Pour un jeu de conditions initiales $c_i$ et de flux en surface
$\sigma$, on dispose d'un modèle paramétrique de la mesure
\begin{equation}
  J_n = \int_\Omega \rho c_i \exr_n d\vec{x}_{|t=0}+ \int_{S\times\tau} \sigma\exr_n  dx dy dt
\end{equation}
ou pour le problème simplifié
\begin{equation}
  J_n = \exim_{|t=0}+ \int_{S\times\tau} \sigma\exr_n  dx dy dt
\end{equation}

Ce serait surprenant, mais, si le problème complet s'avère nécessaire,
on peut stoker le rétropanache 3D pour la date initiale uniquement et le
multiplier par les concentrations obtenues dans une simulation directe du
CO$_2$ afin de ne pas augmenter inutilement le nombre de paramètres à inverser.

\subsection*{Quelques remarques}

1. Rien n'oblige les sources ou concentrations à être positives.
Avec l'implémentation des volumes finis faite dans LMDZT, la positivité
est garantie pour les traceurs positifs comme conséquence de la monotonie du
schéma et de son caractère TVD.

Si le traceur a initialement des valeurs négatives, ce qui est garanti c'est
que, en l'absence de puits et sources, les valeurs les plus négatives
rencontrées ne s'amplifieront pas.

\bigskip

2. Ce qu'il faut stoker comme rétro-concentrations, ce sont des concentrations
moyennes entre deux instants de stokages.
Avec cette définition, on retrouve une inversion exacte pour une source
ne fluctant pas dans le temps.

\bigskip

3. Si la source $\sigma$ varie dans le temps, par exemple avec un cycle
diurne important, il est important d'échantilloner les variations
temporelles escomptées.
Si on n'échantillone pas la mesure, par exemple si on rétroinjecte tous les
jours une concentration de CO$_2$ correspondant à la moyenne mesurée pendant
cette journée, on perdra de l'information mais on ne fera pas d'erreur.

En revanche, si on n'échantillone pas le cycle diurne au moment du stokage,
on va faire une erreur puisqu'on négligera la corrélation entre le
cycle diurne des coefficients d'échange (fortement influencé par le cycle
diurne de la couche limite) et le cycle diurne des sources (correspondant
par exemple à la réspiration des forrêt). On fera alors une erreur
systématique pouvant conduire à des biais imporants dans l'inversion
(rectifier effect).

L'échantillonage du cycle diurne peut s'avérer essentiel si on
a des sources et puits qui ont par exemple un fort cycle diurne comme dans
le cas du CO$_2$.


\bigskip

4. Si on dispose de mesures sur une région relativement restreinte du globe,
l'utilisation d'une grille zoomée sur cette région est sans doute
relativement optimale.
En effet, plus les sources sont distantes des mesures et moins on a besoin
de précision sur le rétrotraceur~;
moins on est sensible au détail de la répartition spatiale des sources.
On peut donc tout à fait à la fois accépter une diffusion numérique importante
liée à l'utilisation d'une grille grossière et également se contenter
de stoker les rétro-panaches sur une grille grossière ce que l'on fait
naturellement.
