\def\ie{i.~e.}
\def\domega{\partial \Omega}
\def\domegai{\partial \Omega_i}
\def\domegao{\partial \Omega_o}
\def\scal#1{\left< #1 \right>}
\def\ts{t_S}
\def\td{t_D}
\def\ex#1#2#3#4{\chi(#1,#2,#3,#4)}
\def\dep#1{\left(#1\right)}
\def\depb#1{\left[#1\right]}
\def\depc#1{\left\{#1\right\}}
\def\dem{1/2}
\def\eq#1{Eq.~\ref{eq:#1}}
\def\fg#1{Fig.~\ref{fg:#1}}
\def\sec#1{Section~\ref{sec:#1}}
\def\dq{{\dep{\delta q}}}
\def\grad{{\mbox{\bf grad}}}
\def\div#1{{\mbox{div}}\dep{#1}}
\def\afaire#1{{\bf #1}}
\def\kdiff#1{\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial z}
\dep{\rho K_z \frac{\partial #1}{\partial z}}}
\def\deriv#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}


\def\x{{\bf x}}
\def\V{{\bf v}}
\def\n{{\bf n}}
\def\dx{{\bf dx}}
\def\dxdt{\dx dt}

\def\dt#1{\frac{\partial #1}{\partial t}}



\def\local{retro}
\def\retrodir{\local/FIGURES}

\chapter{Inversion du transport atmosphérique\label{ch:retro}}

\section{Principe}

Le troisième vollet de ce travail concerne l'inversion du transport
atmosphérique et a été initié suite à une demande du CEA.
Dans le cadre des Traités d'Interdiction Complète des Essais nucléaires (TICE),
la communauté internationale prévoit le déploiement de réseaux globaux de
surveillance. La surveillance des ondes sismiques, hydroactoustiques ou 
infra-sonores devrait permettre de localiser relativement bien les explosions
pour des essais effectués respectivement sous terre, dans la mer ou dans
l'atmosphère. En parallèle de ces trois technologies, 
un réseau global de 80 stations, en cours de déploiement,
mesurera en permanence la concentration en
radio-éléments dans l'atmosphère. Toutes ces stations détecterons les aérosols
radioactifs. Un sous-réseau de 40 stations détectera également les gaz nobles
(notamment le Xenon) qui ont l'avantage d'être relachés en quantité
significative dans l'atmosphère même lors d'essais sous-terrains ou sous-marins.

La question qui nous était posée par le CEA était l'évaluation de la capacité de
détection de ce réseau.
A l'époque (été 1997), nous disposions d'une première version de LMDZT qui 
permettait d'effectuer des calcul de dispersion de polluants ou de
radio-éléments atmosphériques. Pour répondre à la question, une approche
directe aurait consisté à simuler des essais nucléaires
en injectant un traceur en chaque point d'un maillage de la sphère (en
chaque point de grille du modèle de transport par exemple) et de
comptabiliser le nombre de fois où la concentration simulée aux différentes
stations du réseau excédait le seuil de détection. On voit vite qu'une
telle approche conduit à des coûts informatiques prohibitifs.
Avec Robert Sadourny (LMD),
nous nous sommes convaincus que ce problème
pouvait être abordé en inversant le sens du temps dans notre modèle de
transport, le calcul du transport étant effectué alors en remontant à rebourd
dans le temps le long des trajectoires de l'air.


L'idée d'utiliser des {\em modèles de récepteurs} pour ce type
de problème n'est pas nouvelle.
De façon générale, l'identification des sources pour un traceur atmosphérique
(localisation spatiale et temporelle des sources ainsi que la quantification
de la quantité de traceur émise) est une question très importante pour
beaucoup d'aspects des sciences de l'environnement.
La caractérisation  des puits et sources naturels et anthropiques
de CO$_2$ \cite[]{Kami:99b,Rayn:99,Bous:00,Gurn:02}
est par exemple un sujet très sensible dans la perspective du contrôle
des émissions de gaz à effet de serre.
La surveillance de possibles rejets accidentels de pollution par des
centrales nucléaires ou des installations chimiques est un autre bon
exemple. Les inventaires d'émissions d'espèces chimiques qui alimentent
les modèles de prévision de la pollution atmosphérique doivent aussi souvent
être en partie construits en utilisant des méthodes inverses, à partir de la
comparaison des prévisions du modèle et des observations 
\cite[see e.~g.][]{Menu:00}.
Autre exemple encore, l'interprétation fine en termes de paléo-climats
des carrotages effectués sur les calottes de galce en Antartique ou au
Gro\"enland, nécessite qu'on soit capable de remonter à l'origine de l'eau
qui a précipité sur les calottes.

Nous appelerons ici {\em  inversion du transport atmosphérique}
toute méthode permetant
de remonter à l'identification des sources à partir de mesures de concentration
dans l'atmosphère.
A noter que l'inversion du transport, au-delà des nombreuses applications
mentionnées ci-dessus, est un outil très intéressant pour analysesr la 
dynamique et la chimie de l'atmosphère.
Deux grandes catégories de méthodes d'inversion du transport ont en fait
été développées.

La première approche est souvent appelée {\em retro-transport Lagrangien} ou
{\em retro-trajectoires} ou encore
{\em back-tracking} en anglais qu'on pourrait traduire par
{\em suivi à rebourd des masse d'air}.
Cette technique consiste à remonter à rebourd dans le temps le long de
trajectoires individuelles de particules fluides. Dans le cas par exemple
d'un détecteur unique, cette technique pemet d'obtenir
à moindre coût une description qualitative de l'origine de la masse d'air
échantillonée \cite[]{Hess:96,Merr:94,Ramo:96,Chia:97,Vero:92}.
Le retro-transport Lagrangien est souvent restreint à la composante
du transport qui est explicitement représentée dans les modèles.
De ce fait, les effets de la diffusion turbulente ou de la convection nuageuse
sont souvent négligés. La diffusion turbulente peut en fait être introduite
dans les retro-trajectoires sur la base d'un traitement aléatoire
du déplacement des particules d'air \cite[voir par exemple][]{Fles:95,Vaut:01}.
Mais cette restriction à une description Lagrangienne du transport met un
frein à l'utilisation des outils qui ont été développés  ces dernières
décénies, principalement dans un contexte eulérien, pour représenter
le transport turbulent dans la couche limite ou la convection nuageuse
dans les modèles méso ou grande échelle pour la météorologie ou le climat.

Il existe en fait une {\em symmétrie du transport atmosphérique}, qui
soutend en particulier les techniques de retro-trajectoires, et il n'y a
aucune raison fondamentale pour rompre cette symmétrie en utilisant
un traitement Eulérien dans le mode direct et une description Lagrangienne
pour le retro-transport.
Le retro-transport peut tout aussi bien se décrire dans un cadre Eulérien
et inclure la modélisation de processus dissipatif comme le mélange
par la turbulence de couche limite.
Cette dissymétrie pourtant assez fréquemment rencontrée est
sans doute consciemment ou inconsciemment liée à l'impossibilité
qu'il y a à inverser dans le temps la dispersion atmosphérique.
On sait en effet que l'intégration à rebours dans le temps d'une équation
d'advection diffusion n'admet pas de solution unique.
 Mais la question physique posée par l'inversion n'est pas celle-là.
Ce qu'on veut évaluer au travers du retro-transport, c'est la distribution
de l'air rassemblé à un moment ultérieur au niveau d'un détecteur.
Or plus l'écoulement sera diffusif, plus le traceur échantillonné à un 
détecteur aura aussi une origine diffuse. On voit donc que ce n'est pas
une anti-diffusion mais une diffusion qu'il faut appliquer dans le monde
inverse.

Pour un traceur conservatif (suivant les particules d'air sans source ni puits),
on peut donc introduire un {\em retro-traceur} correspondant à
la concentration par unité de masse d'air de cet air particulier qui
va être impliqué à un instant ultérieur dans une mesure (par exemple l'air
filtré sur une journée dans une station du TICE).
Pour le transport grande échelle, l'évolution de ce retro-traceur à rebours
dans le temps se calcule simplement en changeant le signe des dérivées 
temporelles et en inversant la direction du vent.
La diffusion turbulente agit quant à elle de façon identique sur le traceur
direct et le retro-traceur.

Pour la seconde approche de l'inversion du transport atmosphérique,
on part d'un modèle existant du transport direct, aussi complexe soit-il,
et on lui applique  les techniques classiques de l'assimilation
des observations telles que des variantes de l'interpolation optimale,
ou l'assimilation variationnelle \cite[voir par exemple][]{Petr:02},
les filtres ou lissages de Kalman \cite[]{Haas:96,Zhan:99}.
Ici, nous nous concentrerons plus particulièrement sur les techniques
adjointes. Ces techniques, qui remontent aux travaux de 
Lions et Marchuk \cite[se reporter par exemple à]{Lion:71,Marc:74,Marc:82},
fournissent une méthode systématique et puissante pour déterminer les sensibilités
d'un modèle par rapport à ses variables d'état ou à des paramètres de
contrôle.
Ces méthodes sont généralement introduite sur des bases purement 
mathématiques sans référence à une quelconque signifiaction physique.

Etant donné un modèle de transport (qu'il s'agisse d'un modèle mathématique
ou d'un code numérique), l'intégration à rebourd dans le temps de l'adjoint
du modèle direct permet d'obtenir la sensibilité de n'importe quelle
observable par rapport à n'importe quel paramètre d'entrée (comme l'émission
d'un polluant ou la distribution initiale d'un traceur). Les techniques
adjointes sont utilisées pour de nombreuses applications tant
météorologiques qu'océanographiques, en particuliter pour l'assimilation
variationnelle d'observations \cite[]{Pene:76,LeDi:86,Tala:87,Cour:87}.
Les techniques adjointes ont également été utilisées dans de nombreuses
études relatives à l'inversion du transport atmosphérique
\cite[]{Ulia:91,Pudy:98,Kami:99a,Kami:99b,Vuki:00,Robe:91,Houw:99}.
Si l'observable qu'on considère est la concentration d'un traceur
atmosphérique à un instant donné et à une station particulière,
l'équation de transport adjointe est en fait un {\em modèle orienté récepteur}
du transport atmosphérique, restreint au processus qui vont effectivement
influencer cette observation particulière. Le calcul adjoint détermine
la sensibilité ou encore la {\em fonction d'influence}, qui, une fois
combinée avec les sources et la concentration initiale du traceur, permet
de calculer effectivement l'équivalent de la mesure.

Nous avons développé dans un premier temps nos méthodes de rétro-transport
eulérien sur une base purement physique \cite[]{Hour:99CRAS}
pour nous rendre compte par la suite que le retro-transport ainsi défini
est en fait l'adjoint du transport direct pour
un produit scalaire particulier, le {\em produit scalaire pondéré par
l'air}
\begin{equation}\label{eq:scal1}
\scal{\phi,\psi}=\int \rho \phi \psi \dxdt
\end{equation}
où $\phi$ et $\psi$ sont des concentrations massiques de traceurs.
Dans ce cas particulier, on va voir que l'adjoint d'une équation ou 
d'un modèle numérique peut
être obtenu sur des considérations purement physiques, sans faire appel
au techniques algébriques utilisées classiquement, et qui consistent
en particulier à enchainer des intégrations par partie.
De plus, pour ce produit scalaire particulier, le modèle adjoint
se déduit du modèle direct en changeant simplement le signe
de certains termes ce qui évite en pratique certaines difficultés relatives au
développement et à la maintenance de codes adjoints.

Si on utilise un produit scalaire plus classique de la forme
$[\phi,\psi]=\int\phi\psi \dxdt$, la symmétrie est mise à mal et les équations
directes et adjointes prennent des formes différentes
 \cite[see e.~g.][]{Pudy:98,Vuki:00}.
\cite{Ulia:91} étaient en fait déjà arrivé sur un jeu d'équation symmétrique
en utilisant pourtant un produit scalaire non pondéré, mais ils utilisaient
une approximation de Boussinesq pour le fluide, ce qui rend en fait
les deux produits scalaires équivalents. \cite{Ulia:91} avaient également
déjà remarqué l'essentiel à savoir
que "la fonction d'influence peut se calculer à partir
de rétro-trajectoires particulaires quand on utilise un modèle Lagrangien.
Les modèles Eulériens, gouvernés par des équations aux dérivées partielles,
sont formulés dans un cadre variationel et, dans ce cas,
la fonction d'influence peut
s'obtenir comme solution de l'équation adjointe à rebourd dans le temps,
en utilisant le récépteur comme source."
Au vu des considérations ci-dessus, on est tenté de réécrire ce paragraphe
sous une forme un peu plus symmétrique~: la fonction d'influence peut
être obtenue soit en suivant à rebourd dans le temps la masse d'air
échantillonée au niveau du détecteur (rétro-transport) soit comme solution 
de l'équation adjointe, et ce indépendamment du cadre (Eulérien ou Lagrangien)
choisi pour représenter le transport atmosphérique.

Dans ce chapitre, nous revenons en détail sur l'ensemble des aspects introduits
ci-dessus.
Nous commençons par présenter le concept de coefficient
d'échange pour caractériser les échanges de traceurs entre source
et détecteur. Nous montrons comment la symmétrie de ce coefficient
permet d'introduire une équation de rétro-transport faisant apparaitre
la diffusion turbulente.
Nous expliquons ensuite le lien avec l'équation adjointe et étendons
la théorie à des sources diffuses.
Nous explicitons ce lien entre rétro-transport et équations adjointe
sur le cas des schémas de convection en flux de masse.
La discussion, développée d'abord dans le monde analytique, est ensuite
étendue au monde numérique en présentant tout d'abord une illustration
numérique dans le cas de la campagne ETEX.
Nous abordons enfin une question qui peut
se révéler relativement importante pour en pratique~: le modèle
numérique obtenu sur la base du retro-transport est-il aussi l'adjoint
numérique du code direct~?
Le chapitre se termine par quelques illustrations relatives à des applications
menées autour de l'utilisation inverse du modèle LMDZ, et notamment
des résutlats relatifs à la surveillance des essais nucléaires.

Ce travail doit beaucoup aux discussions intiales avec Robert Sadourny.
La sollicitation et le financement des études par Jean-Pierre Issartel puis
Philippe Heinrich (CEA/DAM) ont permis de mener le travail au-delà du simple cadre
académique.
Ce travail a aussi bénéficié de nombreuses et fructueuses discussions
avec Bertrand Cabrit. Les tests et illustrations ETEX ont
été réalisés par Abderrahmane Idelkadi pendant sa thèse.
Le travail sur le TICE a vu  passé plusieurs stagiaires
comme Alexandre Maes et Elie Anselin.
Enfin Olivier Talagrand a été d'une aide préciseuse pour finaliser l'écriture
d'un article qui pousse au bout le lien entre transport retro et adjoint,
article sur lequel repose largement le présent chapitre.

\input{\local/transport}

\input{\local/param}

\input{\local/numeric}

\input{\local/applications}

\input{\local/remarques}