
\section{Conclusion}

Nous avons établi ici, pour des traceurs linéaires, l'exacte équivalence
entre le transport rétro, défini à partir du suivi à rebours dans
le temps des trajectoires atmosphériques, et du transport
adjoint pour le produit scalaire pondéré par la masse de l'air.

Bien que mathématiquement équivalentes, ces deux approches correspondent
à des visions relativement différentes. L'approche adjointe est un 
outil mathématique systématique, qui permet de calculer
la sensibilité des sorties d'un modèle par rapport à des paramètres
d'entrée.
Le rétro-transport est une approche physique dans la quelle on
peut appliquer dans un monde rétro- des approches physiques ou
numériques utilisées d'habitude pour le transport atmosphérique
direct.
Le passage du monde direct au monde rétro ne requière en général
qu'un nombre très restreint d'opérations.

Le fait de réaliser que le rétro-transport n'est pas
restreint au monde Lagrangien des trajectoires atmosphériques
permet de bénéficier de tous les outils développés ces dernières
décennies, notamment concernant le transport turbulent dans la
couche limite et la paramétrisation du transport convectif dans
les nuages.
Les formules en diffusion turbulente, basées sur des images de mouvement
aléatoires symétriques, sont inchangées en mode rétro.
En revanche, le rôle des ascendances et subsidences doit être interverti
dans les formulations en flux de masses et on doit changer
le rôle des origines et destinations dans les formulations en matrices
d'échanges (ce qui revient à une transposition).

Quand on passe dans le monde numérique, l'équivalence entre transport
adjoint et rétro n'est plus nécessairement assurée.

Nous avons montré, en comparant les algorithmes adjoint et rétro,
que la symétrie était assurée dans LMDZ pour tous les processus
de transport autres que l'advection, et, pour cette dernière,
si on utilisait l'algorithme linéaire mais très diffusif de Godunov
ou un schéma centré également linéaire, moins diffusif mais oscillant.
\cite{Vuki:01}, dans un articles sur des calculs académiques d'assimilation 
pour de l'advection bidimensionnelle, ont également remarqué que le
schéma "QUICK", un peu plus sophistiqué mais toujours linéaire (et ne garantissant pas
la positivité) était également symétrique.

La dérivation de schémas de plus en plus précis et garantissant un bon
comportement physico-numérique (conservation, positivité, monotonie)
conduit à des schémas non-linéaires.
Dans ce cas, l'adjoint du code direct fournit une sensibilité 
qui dépend de la solution directe de base et est numériquement exact
alors que l'utilisation en mode rétro de l'algorithme direct fournit
une sensibilité approchée mais
unique (ne dépendant pas du calcul direct) et présentant de bonnes
propriétés physico-numériques.
La positivité du schéma peut par exemple s'avérer essentielle pour certains
algorithmes de localisation de rejets accidentels de polluants.


Des expériences numériques effectuées dans le contexte le plus simple possible
de l'advection unidimensionnelle avec deux versions (non linéaires) du schéma
de Van Leer suggèrent que le rétro-transport, du fait de sa 
robustesse et de la préservation de la positivité, peut être préférable 
à l'adjoint exact, même pour des algorithmes de minimisation classiques
basés sur des descentes de gradients.
Ce résultat est relativement important en pratique. 
Il avait été montré par le passé que des erreurs même faibles
sur le calcul du gradient pouvaient conduire à une inhibition totale
de la minimisation. 
Ceci n'est peut-être pas vrai si l'algorithme numérique repose sur
des bases physiques suffisantes.

Enfin remarquons que, si la symétrie du transport présentée ci-dessus n'a
de sens que pour des traceurs linéaires, 
le mode rétro de la partie transport peut être utilisé comme adjoint
approché et couplé aux codes adjoints de processus non linéaires comme
la chimie. Cette approche a d'ailleurs déjà été appliquées au LGGE à
Grenoble à des
inversions des mesures de concentrations en espèces soufrées 
pour des stations Antarctiques
\cite[]{Cosm:05}.

