%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section[Symétrie des paramétrisations de la turbulence]{Symétrie du transport et paramétrisation des mouvements non résolus\label{sec:param}}


\subsection{Séparation d'échelle}

On a déjà vu plus haut que,
pour des raisons pratiques à la fois de connaissance observationnelle
du champ de vent et de limitation de puissance des
ordinateurs, on ne considère généralement l'\eq{direct1} que jusqu'à une certaine
échelle spatiale (dite grande échelle ou échelle explicite),
l'effet des échelles inférieures à la coupure (échelles turbulentes, ou 
sous-maille pour les modèles) sur les échelles
explicites étant représenté au travers de paramétrisations.
Le mélange turbulent, particulièrement actif dans la couche limite planétaire,
va en général disperser le traceur dans un volume d'air plus
grand et faire décroître les concentrations. De façon symétrique, 
avec davantage de brassage, le détecteur échantillonnera un air
provenant d'une origine plus étendue
mais avec une sensibilité moindre aux sources.
On voit donc que l'image de diffusion turbulente doit être associée dans
le monde rétro à une diffusion vers le passé et que cette diffusion est
d'autant plus grande que la diffusion directe est importante.
C'est ce qui est illustré sur le schéma B de la \fig{schema}.

\def\ave#1{\overline{#1}}
\def\mave#1{\tilde{#1}}

Dans la \sec{traceurs}, on a établit la séparation d'échelle
pour le transport atmosphérique à partir de la notion de moyenne d'ensemble.
On a ainsi obtenu pour l'équation d'advection,
\begin{equation}\label{eq:directturb}
\dt{c}+\V.\grad{c}+\frac{1}{\rho}\div{\ave{\rho\V'c'}}=\sigma
\end{equation}
où $\rho$, $\V$, $c$ et $\sigma$ sont les variables de grande échelle
(moyennes d'ensemble, pondérées par la masse d'air pour $\V$, $c$ et $\sigma$).

Le même traitement peut être appliqué à l'équation du rétro-transport
en changeant simplement le signe du vent
\begin{equation}
\label{eq:retro2}
-\dt{c^*}-\V.\grad{c^*}-\frac{1}{\rho}\div{\ave{\rho\V'c^{*'}}}=\mu
\end{equation}

On montre ci-dessous comment le flux turbulent $-\ave{\rho\V' c^*}$
peut être obtenu pour différentes paramétrisations classiques, à la fois
sur des bases physiques et au travers de la méthode adjointe.



\subsection{Diffusion turbulente et émissions de surface}


\subsubsection*{Approche physique}

Les paramétrisations en diffusion turbulente sont basées sur l'image
du brassage par des mouvements montants et descendants symétriques
(comme précédemment, et par soucis de simplification de la présentation,
nous nous limitons à la composante verticale du mélange turbulent).
Quand on inverse le transport, la turbulence consiste encore en des
mouvements montants et descendants symétriques qui ont donc le même
effet de diffusion sur le traceur rétro.

Pour les modèles Lagrangiens prenant en compte la composante turbulente
à l'aide de perturbations aléatoires des trajectoires, 
la même marche aléatoire doit être appliquée sur les 
rétro-trajectoires \cite[]{Fles:95,Vaut:01}.

\def\pert#1{#1'}
Dans le formalisme Eulérien, il faut revenir à l'image sous-tendant 
les formulations en diffusion. Dans l'approche en longueur de mélange
\cite[]{Pran:34},
la concentration du traceur $c+c'$ pour une réalisation
donnée de l'écoulement et pour un mouvement descendant, est représentative
de la concentration moyenne de l'air à une distance $l$
(longueur de mélange) au dessus. 
On a donc, $\pert{c}={c}(z+l)-{c}(z)$ pour les mouvements descendants
($w'<0$) et $\pert{c}={c}(z-l)-{c}(z)$ dans les ascendances,
ce qui aboutit, dans les deux cas, à
$w'c'\simeq -|w'|l\partial c/\partial z$.
C'est ainsi qu'on aboutit au flux turbulent
\begin{equation}
\ave{\rho w'c'}=-\rho K_z \frac{\partial {c}}{\partial z}
\end{equation}
(où $K_z=\mave{| w' |} l$ est la diffusivité turbulente)
et pour l'équation d'advection à
\begin{equation}
\label{eq:directb}
\frac{\partial c}{\partial t}+\V.\grad\ c
-\kdiff{c}= \sigma
\end{equation}

Le même traitement peut être appliqué au flux turbulent de rétro-traceur,
à ceci près que, puisque le traceur est advecté
à rebours le long des trajectoires, on associera à une valeur
positive de $w'$ une concentration de rétro-traceur représentative
de l'air situé au-dessus, de sorte que
\begin{equation}
\ave{\rho w'{c^*}'}=\rho K_z \frac{\partial {c^*}}{\partial z}
\end{equation}
et
\begin{equation}
\label{eq:retrob}
- \frac{\partial c^*}{\partial t}-\V.\grad\ c^*-\kdiff{c^*}
= \mu
\end{equation}
A noter que le flux de traceur est $\ave{\rho w{c}'}$ dans le monde direct
mais $-\ave{\rho w'{c^*}'}$ pour le rétro-transport, de sorte que,
dans les deux cas, on transporte bien le traceur depuis les valeurs fortes
vers les valeurs faibles.

\def\ssource{\Sigma}
\def\surf{{\mbox{surf}}}
Dans de nombreuses applications, on est amené à considérer des traceurs
émis ou déposés à la surface.
Dans ce cas, les sources et puits associés sont généralement traités
comme une condition aux limites du modèle de diffusion turbulente
\begin{eqnarray}
&&\frac{\partial c}{\partial t}+\V.\grad\ c
-\kdiff{c}=0\\
&&-{K_z\rho\frac{\partial c}{\partial z}}_{|_{\surf}}=\ssource\label{eq:clbas}\\
&&-{K_z\rho\frac{\partial c}{\partial z}}_{|_{\infty}}=0\label{eq:clhaut}
\end{eqnarray}
(on suppose ici que le domaine vertical s'étend depuis la surface ``surf"
jusqu'au sommet de l'atmosphère ``$\infty$).

Pour interpréter une mesure, en intégrant à rebours les équations du 
rétro-transport,
aucune source ne doit être ajoutée au rétro-traceur (conservation de la
masse d'air). La condition aux limites pour le rétro-traceur est donc
un flux nul en surface.
Puisque l'émission va rajouter du traceur dans l'air, près de la surface,
on peut aussi se convaincre que le rétro-traceur donnera également la
sensibilité à l'émission de surface.
Les résultats concernant la diffusion turbulente et les conditions en
surface peuvent également être obtenus
au travers de la méthode adjointe comme suit.

\subsubsection{Approche adjointe}

Nous récrivons à nouveau la mesure $J$ en introduisant l'équation de
transport
\begin{eqnarray}
\cout&=&\int_{\Omega\times\tau} \rho \mu  c \  \dxdt\\
&-&\int_{\Omega\times\tau} \rho c^* \depb{\dt{c}+\V.\grad{c}
-\kdiff{c}}\  \dxdt
\end{eqnarray}

Le terme de diffusion verticale subit une double intégration par
partie qui le transforme en
\begin{eqnarray}
\int_\surf^\infty c^*
\frac{\partial}{\partial z}\dep{\rho K_z\frac{\partial c}{\partial z}} dz
&=&
\depb{c^* \rho K_z\frac{\partial c}{\partial z}}_\surf^\infty\nonumber\\
 - \depb{c \rho K_z\frac{\partial c^*}{\partial z}}_\surf^\infty
&+&\int_\surf^\infty c \frac{\partial}{\partial z}
 \dep{\rho K_z\frac{\partial c^*}{\partial z}} dz
 \end{eqnarray}

\def\Surf{\cal{S}}
En prenant pour le traceur adjoint (ou rétro) la solution de
\begin{eqnarray}
&&-\frac{\partial c^*}{\partial t}-\V.\grad\ c^*-\kdiff{c^*} = \mu\\
&&{K_z\rho\frac{\partial c^*}{\partial z}}_{|_{\surf}}=0\\
&&{K_z\rho\frac{\partial c^*}{\partial z}}_{|_{\infty}}=0
\end{eqnarray}
avec $c^*=0$ au temps $t_f$, et en supposant qu'il n'y a pas d'apport
de traceur par la grande échelle aux frontières du domaine,
on obtient (en utilisant les Eqs~\ref{eq:clbas} et \ref{eq:clhaut})
une décomposition de la mesure sous la forme
\begin{equation}
\cout=
\int_{\Omega}\rho c^* c_{|_{t_i}} \dx
+\int_{\Surf\times \tau} \ssource c^*  dx dy dt
\end{equation}
($\Surf$ est le domaine de l'intégration horizontale)
comme somme des contributions de la concentration initiale et
de l'émission en surface.

Cette démonstration confirme les résultats obtenus à partir des considérations
physiques concernant la symétrie de la diffusion turbulente. On voit aussi
que la distribution d'origine de l'air ($c^*$) fournit les sensibilités
à la fois aux conditions initiales et aux émissions en surface.


\subsection{Paramétrisations en flux de masse du transport convectif}

\subsubsection{Approche physique}

On montre ici comment le rétro-transport peut être étendu aux paramétrisations
de la convection.
On s'intéresse particulièrement au schéma de convection nuageuse de
\cite{Tied:89} et au modèle du thermique mais la même approche peut
s'appliquer sans grande difficulté à d'autres schémas comme celui
d'\cite{Eman:91}.

\def\fu{\hat{f}}
\def\fd{\check{f}}
\def\eu{\hat{e}}
\def\ed{\check{e}}
\def\du{\hat{d}}
\def\dd{\check{d}}
\def\cu{\hat{c}}
\def\cd{\check{c}}

On considère donc le cas où la colonne convective est séparée en trois
compartiments
(se reporter au schéma {\bf (a)} de la \fig{massflux}).
On reprend les notations des chapitres précédents.
L'ascendance est caractérisée par un flux de masse
$\fu(z)$, exprimé en kg~m$^{-2}$~s$^{-1}$.
L'échange d'air entre l'ascendance et l'environnement est prescrit au
travers d'un taux d'entraînement $\eu(z)$ et d'un détraînement
$\du(z)$ (tous deux en kg~m$^{-3}$~s$^{-1}$).
La descente précipitante (seulement dans le cas de Tiedtke) est caractérisée
par un flux $\fd(z)$, un entraînement $\ed(z)$ et un détraînement $\dd(z)$.

On rappelle que, sous des hypothèses de stationnarité,
l'équation de continuité pour l'air s'écrit, dans l'ascendance
\begin{equation}
\frac{\partial \fu}{\partial z}=\eu-\du\label{eq:contupa}
\end{equation}
et pour les descentes
\begin{equation}
-\frac{\partial \fd}{\partial z}=\ed-\dd\label{eq:contdowna}
\end{equation}
(avec la convention que $\fu$, $\fd$, $\eu$, $\ed$, $\du$ et $\dd$
sont des variables positives, nulles aux limites inférieure et supérieure
du domaine atmosphérique).
Le flux de masse dans les ascendances et subsidences est compensé par un flux,
généralement descendant,
$f_e=\fu-\fd$.

\begin{figure}
\centerline{\includegraphics[width=8cm]{\local/massflux2.eps}}
\caption{Notation pour le schémas en flux de masse direct {\bf (a)} et rétro {\bf (b)}.
Se reporter au texte pour plus de précisions.
\label{fg:massflux}}
\end{figure}

La concentration du traceur dans les deux colonnes convectives est donnée
par
\begin{eqnarray}
\frac{\partial \fu\cu}{\partial z}&=&\eu c -\du \cu\label{eq:upa}\label{eq:mf1a}\\
-\frac{\partial \fd\cd}{\partial z}&=&\ed c -\dd \cd\label{eq:down}\label{eq:mf2a}
\end{eqnarray} 

Le flux de masse turbulent est finalement paramétrisé sous la forme suivante
\begin{equation}
\overline{\rho w'c'}=
\fu\cu-\fd\cd-(\fu-\fd)c\label{eq:mf3a}
\end{equation}


\def\cur{{\cu}^*}
\def\cdr{{\cd}^*}

La même paramétrisation peut être appliquée en mode rétro-transport
en inversant la direction du mouvement vertical dans les sous-colonnes
et le sens des transferts.
La transformation est schématisée sur la partie {\bf (b)} de la  \fig{massflux}.
En intégration à rebours, l'air est par exemple transporté vers le
bas rapidement dans l'ascendance, et l'entraînement direct à la base de
la colonne convective joue alors le rôle d'un détraînement.
La subsidence lente dans l'environnement est pour sa part remplacée par
une ascendance lente.

Pour un profil de traceur $c^*$ du  modèle de rétro-transport,
les concentrations de rétro-traceur dans l'ascendance ($\cur$)
et la descente précipitante ($\cdr$)  sont solutions de
\begin{eqnarray}
-\frac{\partial \fu\cur}{\partial z} &=& \du c^* -\eu \cur\label{eq:rmf1a}\\
 \frac{\partial \fd\cdr}{\partial z} &=& \dd c^* -\ed \cdr\label{eq:rmf2a}
\end{eqnarray} 
le flux de masse turbulent étant lui-même paramétrisé comme
\begin{equation}
-\overline{\rho w'c^{*'}}=
-\fu\cur+\fd\cdr-(-\fu+\fd)c^*\label{eq:rmf3a}
\end{equation}

Finalement, le modèle en flux de masse du rétro-transport
(Eqs.~\ref{eq:rmf1a} à \ref{eq:rmf3a})
se déduit du modèle direct
(Eqs.~\ref{eq:mf1a} à \ref{eq:mf3a}) en remplaçant
($c$, $\cu$, $\fu$, $\eu$, $\du$, $\cd$, $\fd$, $\ed$, $\dd$)
par
($c^*$, $\cdr$, $\fd$, $\dd$, $\ed$, $\cur$, $\fu$, $\du$, $\eu$).
En pratique, pour passer
d'une intégration directe à une intégration à rebours, il suffit
de remplacer dans le code numérique
($\eu$, $\du$, $\ed$, $\dd$)
par
($\dd$, $\ed$, $\du$, $\eu$), $\fu$ et $\fd$ étant recalculés par les
Eqs.~(\ref{eq:contupa}) et (\ref{eq:contdowna}), et  $\cu$ et $\cd$
(ou $\cur$ et $\cdr$ pour le rétro-transport) étant des variables internes
de la paramétrisation.


Il est à noter que ce modèle de rétro-transport convectif a été utilisé
dans le modèle LMDZ \cite[]{Hour:00GRL} bien avant d'obtenir la démonstration algébrique
présentée ci-dessous.
\cite{Sieb:03} sont arrivés à des conclusions similaires concernant l'inversion
du traitement du transport par la convection nuageuse dans un cadre Lagrangien.

\subsubsection{Convection adjointe}

Pour la dérivation mathématique, et afin d'éviter les lignes de
calculs inutiles, on se restreint à un modèle composé d'une ascendance 
concentrée et d'une subsidence compensatoire comme pour le modèle du
thermique
($\fd=\ed=\dd=0$).

Le modèle du transport direct pour un traceur conservatif s'écrit alors
\begin{eqnarray}
&&\frac{\partial c}{\partial t}+\V.\grad\ c
+\frac{1}{\rho}\frac{\partial \fu\dep{\cu-c}}{\partial z}=\sigma\label{eq:mf4a}\\
\end{eqnarray}
$c$ étant solution de l'\eq{mf1a}.

En suivant encore une fois la même approche, on récrit la mesure $J$
comme
\begin{eqnarray}
\cout&=&\int_{\Omega\times\tau} \rho \mu c \  \dxdt\\
&-&\int_{\Omega\times\tau} \rho c^* \depb{\dt{ c }+\V.\grad c 
+\frac{1}{\rho}\frac{\partial \fu\dep{\cu-c}}{\partial z}-\sigma}\   \dxdt\\
&-&\int_{\Omega\times\tau} \cu^* \depb{\frac{\partial \fu\cu}{\partial z}-\eu c +\du \cu} \  \dxdt
\end{eqnarray}

On récrit l'intégrale
\begin{equation}
I=\int_\surf^\infty c^* \deriv{\fu\dep{\cu-c}}{z}+\cu^* \depb{\deriv{\fu\cu}{z}-\eu c +\du \cu} \ dz
\end{equation}
en utilisant l'\eq{upa}, sous la forme
\begin{equation}
I=\int_\surf^\infty c^* \depb{\eu c -\du\cu-\deriv{\fu c}{z}}+\cu^* \depb{\deriv{\fu\cu}{z}-\eu c +\du \cu} \ dz
\end{equation}
puis en utilisant l'équation de continuité pour l'ascendance (\ref{eq:contupa}),
comme
\begin{equation}
I=\int_\surf^\infty c^* \depb{\du (c-\cu) -\fu\deriv{c}{z}}+\cu^* \depb{\fu\deriv{\cu}{z}+\eu(\cu-c) } \ dz
\end{equation}
On obtient finalement, après intégration par parties (en considérant
que $\fu=0$ aux limites inférieure et supérieure) et réarrangement des termes
\begin{equation}
I=\int_\surf^\infty c  \depb{\du c^*+\deriv{\fu c^*}{z}-\eu \cu^*}
+\cu \depb{-\du c^* -\deriv{\fu \cu^*}{z}+\eu \cu^*} dz
\end{equation}
En prenant pour $\cu^*$ la solution de l'\eq{rmf1a},
la mesure s'écrit finalement
\begin{eqnarray}
\cout&=&\int_{\Omega\times\tau} \rho c^* \sigma \dxdt\\
&-&\int_{\Omega}\depb{\rho c^* c}_{t_i}^{t_f} \dx
-\int_\tau \depb{\rho\V c^* c.\n}_{\domega} dt\\
&+&\int_{\Omega\times\tau} \rho c \depb{\dt{c^*}+\V.\grad c^*+
\frac{1}{\rho}\deriv{\fu\dep{\cur-c^*}}{z}+\mu}
\ \dxdt\\
 \end{eqnarray}

En prenant pour $c^*$ la solution de
\begin{equation}
-\dt{c^*}-\V.\grad c^*-
\frac{1}{\rho}\deriv{\fu\dep{\cur-c^*}}{z}=\mu
\end{equation}
on parvient enfin à exprimer $J$ comme fonction des conditions aux
limites (concentration initiale, apport de traceur aux frontières et
émissions de surface si elles sont inclues dans le modèle direct).

Il est à remarquer que sans la démarche physique exposée plus haut,
il aurait été facile de dériver un modèle adjoint à partir de cette
méthode systématique, mais que l'équation obtenue in fine aurait
pu différer de la forme symétrique obtenue ici, et qui permet d'utiliser
le même algorithme dans les deux modes d'intégration.


\subsection{Matrices d'échange}

Pour les formulations en matrices d'échange, qui sont directement
dérivées dans le monde numérique, on peut appliquer directement
la réciprocité en terme de coefficient d'échange et inverser simplement
les rôles de la maille d'origine et de la maille de destination du
traceur.



