\section{Rétro-transport et transport adjoint\label{sec:transport}}

Cette question du rétro-transport nous a donc été posée dans un cadre
militaire.
Il s'agissait d'évaluer la capacité d'un réseau de stations
mesurant la radioactivité atmosphérique à détecter et si possible localiser
des essais nucléaires.

Nous avions donc une source, relativement ponctuelle en espace et en temps,
et des détecteurs.
La capacité de détection peut être évaluée avec une méthode directe de la
façon suivante~: en un point de la planète, on injecte la quantité de
radio-élément correspondant à un essai nucléaire typique (l'objectif
retenu par le TICE était de détecter des essais de 1~kt équivalent TNT
au plus 15 jours après le tir partout sur le globe).
On transporte ce radio-élément sur quinze jours
en regardant si à une des stations du réseau,
la concentration en radio-élément dépasse le seuil de détection
des stations de mesure au cours de cette période.
Reste à effectuer ce calcul à partir de tous les points du globe (les points
d'un maillage globale par exemple) et pour un ensemble statistiquement représentatif
de situations météorologiques.

Il est beaucoup plus efficace de traiter ce problème en mode rétro-transport.
Dans ce cas particulier, la symétrie est complète comme on le montre
ci-dessous. On peut en fait injecter
la quantité de radio-élément à la station puis inverser le sens du temps dans
le modèle. Les points de la planètes auxquels un essai aurait été détecté
dans les 15 jours précédents sont ceux où la concentration du
rétro-radio-élément dépasse le seuil de détection.
Dans ce cas précis, le rapport de coût numérique entre le calcul direct
et rétro est le rapport entre
le nombre de stations et le nombre de localisations testées.
Pour un réseau d'une cinquantaine de stations et un maillage avec une
résolution de quelques centaines de kilomètres, disons 10$^4$ points,
le rapport est de l'ordre de 200.

On commence ici par introduire la symétrie du transport atmosphérique 
dans le cas d'une source et d'un détecteur ponctuels (comme dans
le cas des calculs effectués pour le TICE) 
à partir de considérations physiques. On montre ensuite comment on peut
retrouver la même propriété de symétrie de façon mathématique
à partir de l'approche adjointe.



\def\cout{{\cal M}}
\def\A{{S}}
\def\B{{D}}
\def\V{{\bf v}}
\def\M{M}
\def\Mc{M^{\mathsf{ex.}}}
\def\ME{\mathcal{M}}
\def\MEc{\mathcal{M}^{\mathsf{ex.}}}
\def\q{c}
\def\m{q}
\def\S{\xi}
\def\aaa{{(\bf A)}}
\def\bbb{{(\bf B)}}
\def\C{\varepsilon}
\def\excoeff{\varepsilon}
\def\cd{cd}
\def\cs{cs}
\def\moy#1{\overline{#1}}
\def\exbar{\bar{\varepsilon}}
\def\exrbar{\bar{\varepsilon}^*}
\def\grad{{\mbox{\bf grad}}}

\def\der#1\def\ex{\varepsilon}
\def\xe{$^{133}$Xe }
\def\ba{${ ^{140}}$Ba }
\def\dix#1{10$^{#1}$}
\def\microbq{$\mu$Bq }
\def\m#1{$^{-#1}$}

% #2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\def\dep#1{\left(#1\right)}
\def\depb#1{\left[#1\right]}
\def\dem{1/2}
\def\eq#1{Eq.~\ref{eq:#1}}
\def\sec#1{Section~\ref{sec:#1}}

\def\S{S}
\def\D{D}
\def\vs{V_s}
\def\vd{V_d}
\def\ms{M_s}
\def\md{M_d}
\def\M{M}
\def\Mc{M^{\mathsf{ex.}}}
\def\ME{\mathcal{M}}
\def\MEc{\mathcal{M}^{\mathsf{ex.}}}
\def\q{q}
\def\dt#1{\frac{\partial #1}{\partial t}}
\def\C{\varepsilon}
\def\k{\kappa}
\def\l{\lambda}
\def\g{\gamma}
\def\se{\sigma}
\def\pe{\pi}


\def\point{\vec{c}}
\def\mesure{\mu}
\def\source{\sigma}

\def\inttemps{\int_{-\infinty}+{\infinty}}
\def\intespacetemps{\int_{\Omega \times R}}
\def\x{{\bf x}}
\def\kz{K_z}

\def\diffvert#1{\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial z}\dep{\rho \kz
\frac{\partial#1}{\partial z}}}
\def\intespace{\int_\Omega}
\def\dv{d{\vec{x}}}
\def\vent{\vec{V}}
\def\div#1{{\mbox{div}}\dep{#1}}


\def\massex#1#2#3#4{{m}^{ex}(#1,#2,#3,#4)}
\def\masse#1#2{m(#1,#2)}





\def\ex{c}
\def\exr{{c^*}}
\def\ex#1#2#3#4{\chi(#1,#2,#3,#4)}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Symétrie temporelle du transport atmosphérique}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\def\cc#1#2{{\overline{c}}_{#1}^{#2}}
\def\cstar#1#2{{\overline{c^*}}_{#1}^{#2}}


On introduit tout d'abord la symétrie du transport atmosphérique
en s'intéressant à un traceur parfait (qui suit les trajectoires fluides
sans source ni puits) distribué uniformément à un instant $\ts$ dans un 
volume source $S$. On suppose que la détection consiste en
la mesure de la concentration moyenne de traceur dans un volume $D$
au temps $\td$. 
Pour une quantité totale injectée $Q$ (quantité extensive en kg, atomes, ...),
la concentration massique moyenne $\cout$ (pour mesure)
de traceur dans $D$ à $\td$
peut s'écrire 
\begin{equation}\label{eq:recipro1}
\cout=Q\ \frac{\massex{S}{\ts}{D}{\td}}{\masse{S}{\ts}\masse{D}{\td}}
\end{equation}
où $\masse{{\cal V}}{t}$ est la masse d'air contenue dans le volume $\cal V$ au
temps  $t$ et $\massex{S}{\ts}{D}{\td}$ est la masse d'air échangée entre
$(D,\td)$ et $(S,\ts)$.
L'expression \eqb{recipro1} est clairement symétrique
et la mesure $\cout$ peut être évaluée soit comme la concentration (intensive)
moyenne dans $(D,\td)$
résultant du transport direct après injection d'une quantité $Q$ de traceur en
$(S,\ts)$, soit comme la
concentration en $(S,\ts)$ obtenue après injection d'une quantité $Q$ 
de rétro-traceur en $(D,\td)$
qu'on suit en remontant à rebours dans le temps le long des trajectoires
fluides.


\begin{figure}
\centerline{
\includegraphics[width=7cm,clip]{\local/FIGURES/schemaA1g.eps}
\includegraphics[width=7cm,clip]{\local/FIGURES/schemaA2g.eps}
}
\centerline{
\includegraphics[width=9cm,clip]{\local/FIGURES/schemaBg.eps}
}
\caption{Illustration de la réciprocité du transport atmosphérique.
\label{fg:schema}}

{\bf A}~: Le domaine $S$, initialement occupé par le traceur au temps
$\ts$, est transformé par le mouvement en un filament au temps $\td$
(gris sombre). L'air contenu dans le volume $D$ se répartit alors entre
de l'air provenant de $S$ (intersection de $D$ avec le filament, en noir) et
de l'air sans traceur. Si on remonte le long des trajectoires atmosphériques
à partir du volume $D$ au temps $\td$, les particules dans la partie noire
proviennent de $S$, et les autres doivent se répartir à l'extérieur de
$S$ (filament gris clair).

{\bf B}~: Idéalisation de la dilution d'un polluant injecté le matin
près de la surface, dans une couche limite nocturne peu épaisse
(l'air pollué est montré en gris sombre), et
mélangé en milieu de journée dans la couche limite convective
pour donner en soirée un air moins pollué (gris clair).
La concentration observée en soirée peut être obtenue soit en injectant
le polluant le matin et en le mélangeant complètement sur la verticale
à midi, soit par un calcul inverse, en injectant le polluant près de
la surface le soir,
et en le mesurant le matin précédent, en
appliquant en milieu de journée le même mélange vertical que lors du
calcul direct.
\end{figure}

On peut donner une illustration de cette réciprocité dans deux cas extrêmes.

La première illustration (partie A de la \fig{schema})
s'apparente à une vision de type advection
des contours. Pour simplifier l'image,
on va s'intéresser à un écoulement bidimensionnel non divergent.
Dans la limite d'un écoulement non visqueux, on sait que l'advection va
se contente de déformer (et déplacer) la surface $S$ contenant initialement
le traceur.
Supposons que la nouvelle surface obtenue au temps $\td$ après advection
intersecte $D$.
Cette intersection contient tout l'air qui venait de $S$ et qui se trouve
actuellement dans $D$. De façon symétrique, si on remonte depuis $(D,\td)$
le long des trajectoires
fluides, les points de l'intersection doivent revenir dans $S$ alors que les
autres points du volume $D$ vont se disperser autour (par exemple sous
forme d'un filament).


Le second cas est celui d'une couche limite nocturne, épaisse de 500~m
pour fixer les idées,
dans laquelle on injecte un polluant en surface. A midi, on suppose
qu'une couche limite convective se développe brassant complètement l'air
sur 2~km. Si on détecte la pollution en surface après le brassage, elle
sera 4 fois plus faible qu'avant.
De la même façon, si on marque l'air contenu dans les 500 premiers mètres
après le brassage et qu'on remonte les trajectoires individuelles des
particules fluides, ces particules avant le brassage proviennent
avec une équiprobabilité des deux premiers kilomètres. Le rétro-polluant
subit donc exactement la même dilution avant le brassage que le polluant
direct après. On retrouve bien que, pour une même injection, polluant direct
dans $D$ et rétro-polluant dans $S$ ont la même concentration.

\subsection{Extension à des sources et puits linéaires}

Définie de cette façon, la réciprocité s'étend facilement à des puits et
sources linéaires.
Dans ce cas, l'échange n'est plus régit uniquement par le taux d'échange d'air
comme dans le cas conservatif.
Il faut tenir compte de la création
ou de la destruction de traceur le long des trajectoires.

Dans le cas d'un radio-élément avec un taux de décroissance 
$\lambda$,
si le même taux de décroissance est appliqué pour les transports direct
et inverse, la même concentration 
\begin{equation}\label{eq:timesym}
\cout=Q\ exp\depb{-\lambda\dep{\td-\ts}}\frac{\massex{S}{\ts}{D}{\td}}{\masse{S}{\ts}\masse{D}{\td}}
\end{equation}
sera obtenue lors de la mesure en $(D,\td)$ d'un radio-élément injecté en
$(S,\ts)$ ou en mesurant en $(S,\ts)$ la concentration d'un rétro-radio-élément
injecté en $(D,\td)$.
A une décroissance radioactive dans le futur est associée la même décroissance
radioactive dans le passé.


Ce résultat s'étend en fait facilement à n'importe quel puits
linéaire, pour lequel le taux de décroissance
$\lambda(\x,t)$ peut varier dans l'espace et dans le temps (réaction
chimique avec un composant très peu affecté par la réaction
en question, paramétrisations simples du lessivage par les pluies, ...)
\footnote{On parle dans la suite uniquement de puits linéaires,
plus fréquents en pratique que les sources,
mais les résultats s'appliquent bien sûr à une source
linéaire associée à un coefficient $\lambda<0$.}.
Dans ce cas, la concentration $\cout$ peut s'exprimer de façon générale
comme
\begin{equation}\label{eq:noncons}
\cout= \frac{Q}{\masse{S}{\ts}\masse{D}{\td}}\
\int_{\gamma \mbox{\ in\ } \Gamma_{S,D}}
{\exp\depb{-\int_{\ts}^{\td}{\lambda\dep{\gamma,t} dt}
}\rho(\x,\ts) d\Omega_S}
\end{equation}
où $\Gamma_{S,D}$ est l'ensemble des trajectoires qui ont leur origine
dans $S$ au temps $\ts$ et leur extrémité en $D$ à $\td$, 
$d\Omega_S$ est un volume élémentaire dans $S$, à l'origine de la trajectoire
$\gamma$ et 
$\lambda\dep{\gamma,t}$ est la valeur de $\lambda$ au temps $t$ le long de
$\gamma$.\footnote{
Cette écriture comme une intégrale sur l'espace des trajectoires atmosphériques
est inspirée d'un travail effectué par ailleurs sur le calcul des échanges
radiatifs dans l'atmosphère dans lequel la puissance nette échangée
entre deux volumes de gaz peut être exprimée comme une intégrale
sur l'espace des chemin optiques \cite[]{Cher:96,Dufr:05PNE}.
}
Comme l'intégrale porte sur des trajectoires reliant $(S,\ts)$ et
$(D,\td)$, l'expression ci-dessus est inchangée si l'élément de masse
$\rho(\x,\ts)d\Omega_S$ dans le volume source est remplacé par
$\rho(\x,\td)d\Omega_D$ au niveau du détecteur. Pour $\lambda=0$,
l'intégrale se réduit à $\massex{S}{\ts}{D}{\td}$.

On peut calculer $\cout$ en intégrant vers le futur l'équation d'advection
\begin{equation}
\label{eq:direct1}
\frac{\partial c}{\partial t}+\V.\grad\ c+\lambda c = \sigma
\end{equation}
où $c\dep{\x,t}$ est la concentration massique du traceur et
$\sigma\dep{\x,t}$ est la distribution de la source, égale à
$Q\ \delta(t-\ts)/\masse{S}{\ts}$ à l'intérieur du volume $S$,
et à 0 à l'extérieur, avec la condition supplémentaire que $c\dep{\x,t}=0$
à un instant $t_i<\ts$, et qu'il n'y a pas d'apport de traceur au travers des
frontières du domaine $\Omega$ considéré.

De façon symétrique, on peut calculer $\cout$ en intégrant vers le passé
l'équation de rétro-transport
\begin{equation}
\label{eq:retro1}
-\frac{\partial c^*}{\partial t}-\V.\grad\ c^*+\lambda c^* = \mu
\end{equation}
où $c^*\dep{\x,t}$ est à nouveau une concentration massique d'un traceur
qui sera appelé {\em rétro-traceur} par la suite.
La distribution de la mesure $\mu(\x, t)$ vaut
$\delta(t-\td)/\masse{D}{\td}$ à l'intérieur de $D$ et 0 en dehors, avec
la condition supplémentaire que $c^*\dep{\x,t}=0$ pour un temps
$t_f>\td$, et qu'il n'y a pas non plus d'apport de rétro-traceur le long
des frontières du domaine $\Omega$.

La symétrie du transport atmosphérique peut alors s'écrire formellement comme
\begin{equation}\label{eq:princip1}
\cout=\int_{\Omega\times\tau} \rho \mu c \dxdt
                   =\int_{\Omega\times\tau} \rho \sigma c^* \dxdt
\end{equation}
où $\tau=[t_i,t_f]$ est le domaine temporel considéré.
A noter qu'avec les notation choisies, ce sont les couples $(\sigma/Q,c/Q)$
pour le transport direct
et $(\mu,c^*)$ pour le rétro-transport [en (kg$^{-1}$~s$^{-1}$, kg$^{-1}$)]
qui jouent des rôles symétriques.



Du fait de la linéarité du transport, les équations ci-dessus s'étendent
également à des émissions $\sigma$ et mesures $\mu$ non locales,
que ce soit dans le temps ou dans l'espace.

		   \def\L{{\cal L}}

Si on récrit à présent les équations ci-dessus sous forme de
relations entre sources et concentrations, $c\equiv \L(\sigma)$ et $c^*\equiv \L(\mu)$,
la réciprocité du transport atmosphérique se résume alors à la relation
$\scal{\L(\sigma),\mu}=\scal{\sigma,\L^*(\mu)}$.
Ceci établit, sur des bases physiques, que les équations pour le
transport direct et rétro sont adjointes l'une de l'autre
(ou que les opérateurs $L$ et $L^*$ sont adjoints l'un de l'autre)
pour le produit scalaire pondéré par la masse de l'air
\begin{equation}\label{eq:scalarproduct}
 \scal{\phi,\psi}=\int_{\Omega\times\tau} \rho \phi\psi \dxdt
\end{equation}


\subsection{Dérivation adjointe}


On utilise ici l'approche adjointe pour aboutir par un autre chemin
aux résultats de  la section précédente. On en profite pour traiter
un cas un peu plus général.

On considère une mesure de concentration de la forme
\begin{equation}\label{eq:cout}
\cout=\int_{\Omega\times\tau} \rho \mu c  \ \dxdt
\end{equation}
où $\mu(\x,t)$ est la fraction de traceur observée au point $\x$ et au temps
$t$ par unité de masse du fluide qui transporte le traceur et par unité
de temps.
On considère la dépendance de $\cout$ par rapport à l'émission $\sigma(\x,t)$,
qui peut être maintenant n'importe quelle distribution spatio-temporelle,
ainsi que par rapport à la distribution initiale de traceur $c(\x,t_i)$
et à un possible apport latéral sur la {\em frontière entrante}
$\domegai$ de $\Omega$, \ie\  le long de la partie de la frontière pour
laquelle la vitesse est dirigée vers l'intérieur du domaine
($\V.\n<0$ où $\n$ est le vecteur normal sortant).

La méthode adjointe fournit une approche générale pour expliciter
le lien entre une observable quelconque (ici $\cout$) et n'importe quel
paramètre d'entrée (ici la source, la concentration
initiale et l'apport de traceurs aux frontières du domaine).
Voici comment se décline la méthode.

L'\eq{direct1} est introduite dans  l'expression de la mesure
\ref{eq:cout}~:
\begin{eqnarray}
\cout&=&\int_{\Omega\times\tau} \rho \mu c \  \dxdt\nonumber
\\\label{eq:adjun}
&-&\int_{\Omega\times\tau} \rho c^* \depb{\dt{c}+\V.\grad c
+\lambda c-\sigma}\ \dxdt
\end{eqnarray}
où $c^*\dep{\x,t}$ (qui est fondamentalement un multiplicateur de
Lagrange) est à déterminer.

Si on transforme par intégration par partie la partie advective de
l'\eq{adjun}:
\begin{eqnarray}\label{eq:adjdeux}
I&=&\int_{\Omega\times\tau} \rho c^* \depb{\dt{c}+\V.\grad c} \dxdt\\
 &=&\int_{\Omega}\depb{\rho c^* c}_{t_i}^{t_f} \dx\nonumber
+\int_\tau \depb{\rho\V c^* c.\n}_{\domega} dt\\
&-& \int_{\Omega\times\tau} c \depb{\dt{\rho c^*}+\div{\rho\V c^*}}\dxdt
\end{eqnarray}
on reconnaît la forme conservative de l'équation de continuité pour 
$c^*$, qui peut être transformée en forme advective en utilisant 
l'équation de continuité pour l'air~:
\begin{equation}\label{eq:conserv1}
\dt{\rho}+\div{\rho \V}=0
\end{equation}
Après réarrangement des termes, on obtient
\begin{eqnarray}\label{eq:adjtrois}
\cout&=&\int_{\Omega\times\tau} \rho c^* \sigma \ \dxdt\nonumber\\
 &-&\int_{\Omega}\depb{\rho c^* c}_{t_i}^{t_f} \dx
-\int_\tau \depb{\rho\V c^*  c.\n}_{\domega} dt\nonumber\\
&+&\int_{\Omega\times\tau} \rho c \depb{\dt{c^*}+\V.\grad c^*-\lambda c^*+\mu}
\ \dxdt
\end{eqnarray}
Si on prend pour $c^*$ la solution de l'\eq{retro1}, avec la condition
que $c^*=0$ à l'instant $t_f$ ainsi que le long de la frontière sortante
$\domegao$ ($\V.\n>0$), on obtient finalement
\begin{equation}\label{eq:adjquatre}
\cout=
 \int_{\Omega} {\rho c^* c}_{|_{t_i}} \dx
-\int_\tau \depb{\rho\V c^*  c.\n}_{{\domega}_i} dt
+\int_{\Omega\times\tau} \rho  c^*  \sigma \ \dxdt
\end{equation}
qui explicite $\cout$ comme fonction des conditions initiales
$c$ à $t_i$, du flux rentrant de traceur à la frontière
$\rho\V c.\n_{|\domegai}$ et de l'émission de traceur $\sigma$.
Les facteurs multiplicatifs associés dépendent linéairement de la
variable adjointe $c^*$ qui s'avère être identique au 
rétro-traceur introduit précédemment
\footnote{
Dans le cas plus général où soit l'équation d'évolution soit l'observable
sont non linéaires, il faut considérer les perturbations de premier ordre
$\delta c$, $\delta\sigma$ et $\delta \cout$ au lieu de
$c$, $\sigma$ et $\cout$ \cite[se reporter par exemple à ][]{Tala:87}.
Dans ce cas, l'analogue de l'\eq{adjquatre} fournit la sensibilité
de $\cout$ par rapport aux paramètres d'entrée.
Ces sensibilités dépendent alors encore linéairement de la variable
adjointe.}.
Dans le cas où l'atmosphère est initialement dépourvue de traceur et
en l'absence d'apport latéral, l'expression \eqb{adjquatre} de la
mesure \eqb{cout} se réduit au dernier terme, ce qui complète la démonstration
mathématique de la relation de symétrie \eqb{princip1} établie précédemment
sur la base de considérations cinématiques.


A noter qu'avec la même algèbre, on montre que, pour un traceur conservatif
($\lambda=0$ et $\depb{\rho\V c.\n}_{{\domega}_i}=0$),
et pour des instants compris strictement entre émission et mesure, on a
\begin{equation}
\frac{d}{dt} \int_{\Omega} \rho c c^* \dx=0
\end{equation}
A tout instant $t$, la mesure
\begin{equation}\label{eq:dtmesure}
\cout=\int_{\Omega} \rho c c^* \dx
\end{equation}
peut alors être évaluée
à partir de la distribution $c$ de traceur
à l'instant $t$ et de la distribution $c^*$ au même instant de l'air qui sera
échantillonné plus tard par le détecteur.


\subsection{Lien entre symétrie et conservation}

\def\scalg#1{\left\{#1\right\}}

Dans le cas d'un traceur conservatif ($\lambda=0$), la partie homogène
de l'équation de transport \eqb{direct1}
\begin{equation}\label{eq:direct111}
\frac{\partial c}{\partial t}+\V.\grad\ c=0
\end{equation}
est équivalente à son propre adjoint pour le produit scalaire pondéré
par la masse d'air ~(\ref{eq:scalarproduct}).
Cette propriété découle directement de la conservation de la
masse d'air ou de traceur.
\cite{Tala:87} avaient en effet remarqué que, si une
équation d'évolution linéaire
\begin{equation}\label{eq:directg}
\frac{d c }{dt}=Lc
\end{equation}
conserve un produit scalaire $\scalg{,}$ dans le temps
-- on entend par là que pour toute solution $c$ de l'\eq{direct111} la quantité
$\scalg{c,c}$ est conservée dans le temps --, alors cette équation 
d'évolution est identique à son équation adjointe
pour le produit scalaire conservé.
Cette  dernière s'écrit
\begin{equation}\label{eq:adjointg}
-\frac{d c^*}{dt}=L^*c^*
\end{equation}
où $L^*$ est l'adjoint de $L$ par rapport à $\scalg{ , }$.

La réciproque est également vraie.

La preuve découle d'une succession de transformations élémentaires de la
dérivée temporelle de la quantité conservée
\begin{eqnarray}
\frac{d}{dt}\scalg{c,c}\label{eq:cons1}
=\scalg{\frac{dc}{dt},c}+\scalg{c,\frac{dc}{dt}}
=\scalg{Lc,c}+\scalg{c,Lc}
=\scalg{\dep{L+L^*}c,c}
\end{eqnarray}
Dans le cas où l'équation d'évolution conserve le produit scalaire $\scalg{,}$,
on a donc $\scalg{\dep{L+L^*}c,c}=0$ quelque soit $c$.
Ceci implique $L+L^*=0$
et les équations \ref{eq:directg} et \ref{eq:adjointg} sont
donc identiques\footnote{A noter cependant que la première transformation
nécessite une certaine régularité de la distribution $c$ et n'est donc
pas valable dans un cadre mathématique absolument général.}.

Dans le cas de l'advection pure, la concentration massique du traceur $c$
est conservée pour n'importe quel élément de masse
$dm=\rho\dx$. De ce fait, la quantité
$\int_\Omega\rho c^2\dx$  est conservée dans le temps.
On obtient donc l'identité des équations directe et adjointe du transport
 pour le produit scalaire pondéré par la masse d'air
comme un cas particulier du résultat de \cite{Tala:87}.

Dans les dérivations algébriques présentées précédemment,
c'est la présence de la densité de l'air $\rho$ dans la
seconde intégrale de l'\eq{adjun} qui permet de tirer avantage de la conservation
de la masse
(\ref{eq:conserv1}) pour obtenir la symétrie exacte entre
les équations \ref{eq:retro1} et \ref{eq:direct1}.




