%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Réciprocité et paramétrisation des mouvements non résolus} \subsection{Symétrie du transport et séparation d'échelle} On a déjà vu plus haut que, pour des raisons pratiques à la fois de connaissance observationnelle du champ de vent et de limitation de puissance des ordinateurs, on ne considère généralement l'\eq{direct} que jusqu'à une certaine échelle spatiale (dite grande échelle ou échelle explicite). L'effet des échelles inférieures à la coupure (échelles turbulentes, ou sous-maille pour les modèles) sur les échelles explicites est représentée de façon statistique en terme de paramétrisation. L'image classique de l'échelle turbulente est qu'elle va brasser l'air à petite échelle, induisant un mélange des quantités transportées. Ce mélange, particulièrement actif dans la couche limite planétaire, va en général disperser le traceur dans un volume d'air plus grand et faire décroitre les concentrations. De façon symétrique, avec davantage de brassage, le déteceteur échantillonera un air provenant d'une origine plus étendue mais avec une sensibilité mondre aux sources. On voit donc que l'image de diffusion turbulente doit être associée dans le monde rétro à une diffusion vers le passé et que cette diffusion est d'autant plus grande que la diffusion directe est importante. C'est ce qui est illustré sur le schéma B de la \fig{schema}. \def\ave#1{\overline{#1}} \def\mave#1{\tilde{#1}} Dans la \sec{traceurs}, on a étéblit la séparation d'échelle pour le transport atmosphérique à partir de la notion de moyenne d'ensemble. On a ainsi obtenu pour l'équation d'advection, \begin{equation}\label{eq:directturb} \dt{c}+\V.\grad{c}+\frac{1}{\rho}\div{\ave{\rho\V'c'}}=\sigma \end{equation} où $\rho$, $\V$, $c$ et $\sigma$ sont les variables grandes d'échelle (moyennes d'ensemble, pondérées par la masse pour $\V$, $v$ et $\sigma$). Le même traitement peut être appliqué à l'équation du rétro-transport en changeant simplement le signe du vent \begin{equation} \label{eq:retro2} -\dt{c^*}-\V.\grad{c^*}-\frac{1}{\rho}\div{\ave{\rho\V'c^{*'}}}=\mu \end{equation} On montre ci-dessous comment le flux turbulent $\ave{\rho\V' c^*}$ peut être obtenu pour différentes paramétrisations classiques, à la fois sur des bases physiques et au travers de la méthode adjointe. \subsection{Diffusion turbulente et émissions de surface} \subsubsection*{Approche physique} Les paramétrisations en diffusion turbulente sont basée sur l'image du brassage par des mouvements montant et descendant symétriques (comme précédemment, et par soucis de simplification de la présentation, nous nous limitons à la composante verticale du mélange turbulent). Ces mouvements produisent une diffusion des traceurs atmosphériques de la même façon que le mouvement brownien des molécules est responsable de la difusion moléculaire. QUand on inverse le transport, la turbulence consiste encore en des movements montants et descendants symétriques qui ont donc le même effet de diffusion sur le traceur rétro. \def\pert#1{#1'} Pour montrer cette symétrie plus précisément dans le cas de la longueur de mélange \cite[]{Pran:34} on reprend ici les étapes qui permettent d'aboutir à la diffusion turbulente ou K-diffusion, déjaà exposées dans la \sec{traceurs}. Dans cette approche, la concentration du traceur $c+c'$ pour une réalisation donnée de l'écoulement et pour un mouvement déscendant, est représentative de la concentration moyenne de l'air à une distance $l$ (longueur de mélange) au dessus. On a donc, $\pert{c}={c}(z+l)-{c}(z)$ pour les mouvements descendants ($w'<0$) et $\pert{c}={c}(z-l)-{c}(z)$ dans les ascendances, ce qui aboutit, dans les deux cas, à $w'c'\simeq -|w'|l\partial c/\partial z$. C'est ainsi qu'on aboutit à la diffusion turbulente ou K-diffusion \begin{equation} \ave{\rho w'c'}=-\rho K_z \frac{\partial {c}}{\partial z} \end{equation} où $K_z=\mave{| w' |} l$ est la diffusivité turbulente. L'équation du transport s'écrit donc finalement \begin{equation} \label{eq:directb} \frac{\partial c}{\partial t}+\V.\grad\ c -\kdiff{c}= \sigma \end{equation} Le même traitement peut être appliqué au flux turbulent de rétro-traceur $\ave{\rho w'c^{*'}}$, à ceci près que, puisuqe le traceur est advecté à rebours le long des trajectoires, on associera à une valeur positive de $w'$ une concentration de rétro-traceur représentative de l'air situé au-dessus, de sorte que \begin{equation} \ave{\rho w'{c^*}'}=\rho K_z \frac{\partial {c^*}}{\partial z} \end{equation} et \begin{equation} \label{eq:retrob} - \frac{\partial c^*}{\partial t}-\V.\grad\ c^*-\kdiff{c^*} = \mu \end{equation} A noter que la marche alléatoire peut être introduite directement dans les calculs lagrangiens pour rendre compte du mélange turbulent. Dans le cas d'un tirage symétrique vers le haut et vers le bas, la même marche aléatoire peut être appliquée sur les rétro-trajectoires \cite[]{Fles:95,Vaut:01}. \def\ssource{\Sigma} \def\surf{{\mbox{surf}}} Dans de nombreuses applications, on est amené à considérés des traceurs émis ou déposés à la surface. Dans ce cas, les sources et puits associés sont généralement traités comme une condition au limite du modèle de diffusion turbulente \begin{eqnarray} &&\frac{\partial c}{\partial t}+\V.\grad\ c -\kdiff{c}=0\\ &&-{K_z\rho\frac{\partial c}{\partial z}}_{|_{\surf}}=\ssource\label{eq:clbas}\\ &&-{K_z\rho\frac{\partial c}{\partial z}}_{|_{\infty}}=0\label{eq:clhaut} \end{eqnarray} (on suppose ici que le domaine vertical s'étend depuis la surface jusqu'au sommet de l'atmosphère). Pour interpréter une mesure, en remontant à rebours le transport atmosphérique, aucune source ne doit être ajoutée au rétro-traceur (conservation de la masse d'air). La condition au limite pour le rétro-traceur est donc un flux nul en surface. Puisque l'émission va rajouter du traceur dans l'air, près de la surface, on peut aussi se convaincre que le rétro-traceur donnera également la sensibilité à l'émission de surface. Ce résultat peut être dérivé au travers de la méthode adjointe comme suit. \subsubsection{Approche adjointe} Nous réécrivons à nouveau la mesure $J$ en introduisant l'équation de transport \begin{eqnarray} \cout&=&\int_{\Omega\times\tau} \rho \mu c \ \dxdt\\ &-&\int_{\Omega\times\tau} \rho c^* \depb{\dt{c}+\V.\grad{c} -\kdiff{c}}\ \dxdt \end{eqnarray} Le terme de diffusion verticale subit une double intégration par partie qui le transforme en \begin{eqnarray} \int_\surf^\infty c^* \frac{\partial}{\partial z}\dep{\rho K_z\frac{\partial c}{\partial z}} dz &=& \depb{c^* \rho K_z\frac{\partial c}{\partial z}}_\surf^\infty\nonumber\\ - \depb{c \rho K_z\frac{\partial c^*}{\partial z}}_\surf^\infty &+&\int_\surf^\infty c \frac{\partial}{\partial z} \dep{\rho K_z\frac{\partial c^*}{\partial z}} dz \end{eqnarray} \def\Surf{\cal{S}} En prenant pour le traceur adjoint ou rétro la solution de \begin{eqnarray} &&-\frac{\partial c^*}{\partial t}-\V.\grad\ c^*-\kdiff{c^*} = \mu\\ &&{K_z\rho\frac{\partial c^*}{\partial z}}_{|_{\surf}}=0\\ &&{K_z\rho\frac{\partial c^*}{\partial z}}_{|_{\infty}}=0 \end{eqnarray} avec $c^*=0$ au temps $t_f$, et en supposant qu'il n'y a pas d'apport de traceur par la grande échelle aux frontières du domaine, on obtient à partir de \eq{clbas} and \eq{clhaut}, \begin{equation} \cout= \int_{\Omega}\rho c^* c_{|_{t_i}} \dx +\int_{\Surf\times \tau} \ssource c^* dx dy dt \end{equation} ($\Surf$ est le domaine de l'intégration horizontale) comme somme des contributions de la concentration initiales et de l'émission en surface. Cette démonstration confirme les résultats obtenus à partir des considérations physiques concernant la symétrie de la diffusion turbulente. On voit aussi que la distribution d'origine de l'air ($c^*$) fournit les sensibilités à la fois aux conditions intiales et aux émissions en surface. \subsection{Paramétrisations du transport convectif} \subsubsection{Approche physique} On montre ici comment le rétro-transport peut s'appliquer aux paramétrisation de la convection. On s'intéresse particulièrement aux schéma de convection nuageuse de \cite{Tied:89} et au modèle du thermique. Mais l'extension à d'autres paramétrisations comme celle d'\cite{Emma:91} ne pose pas d'obstacle théorique. \def\fu{\hat{f}} \def\fd{\check{f}} \def\eu{\hat{e}} \def\ed{\check{e}} \def\du{\hat{d}} \def\dd{\check{d}} \def\cu{\hat{c}} \def\cd{\check{c}} On considère donc le cas où la colonne convective est séparée en trois compartiment. On reprend les notations des chapitres précédents. L'ascendance caractérisée par un flux de masse $\fu(z)$, exprimé en kg~m$^{-2}$~s$^{-1}$. L'échange d'air entre l'ascendance et l'environement est prescrit au traver d'un taux d'entrainement $\eu(z)$ et d'un détrainement $\du(z)$ (tous deux en kg~m$^{-3}$~s$^{-1}$). La descente précipitante (seulement dans le cas de Tiedtke) est caractérisée par un flux $\fd(z)$, un entrainement $\ed(z)$ et un détrainement $\dd(z)$. On rappelle que, sous des hypothèses de stationarité, l'équation de continuité pour l'air s'écrit, dans l'ascendance The convective column is supposed to be stationary over one time-step of the full model so that the continuity equation for the air reads \begin{equation} \frac{\partial \fu}{\partial z}=\eu-\du\label{eq:contup} \end{equation} et pour les descentes \begin{equation} -\frac{\partial \fd}{\partial z}=\ed-\dd\label{eq:contdown} \end{equation} (avec la convention que $\fu$, $\fd$, $\eu$, $\ed$, $\du$ et $\dd$ sont des variables positives, nulles aux limites inférieure et supérieure du domaine atmosphérique). Le flux de masse dans les ascendances et subsideance est compensé par un flux généralement déscendant $f_e=\fu-\fd$. \begin{figure} \centerline{\includegraphics[width=8cm]{\local/massflux2.eps}} \caption{Notation for direct (a) and rétro (b) mass-flux schemes. See text for details.\label{fg:massflux}} \end{figure} La concentration du traceur dans les deux colonnes convectives est donnée par \begin{eqnarray} \frac{\partial \fu\cu}{\partial z}&=&\eu c -\du \cu\label{eq:up}\label{eq:mf1}\\ -\frac{\partial \fd\cd}{\partial z}&=&\ed c -\dd \cd\label{eq:down}\label{eq:mf2} \end{eqnarray} Une illustration de ce transport est montré sur la partie (a) de la \fig{massflux}. Le flux de masse turbulent est finalement paramétrisé sous la forme suivante \begin{equation} \overline{\rho w'c'}= \fu\cu-\fd\cd-(\fu-\fd)c\label{eq:mf3} \end{equation} \def\cur{{\cu}^*} \def\cdr{{\cd}^*} La même paramétrisation peut être appliquée en mode rétro-transport en inversant la direction du mouvement vertical dans les sous-colonnes et le sens des transferts. La transformation est schématisée sur la partie (b) de la \fig{massflux}). En intégration à rebours, l'air est par exemple transporté vers le bas rapidement dans l'ascendance, et l'entrainement direct à la base de la colonne convective joue alors le rôle d'un détrainement. La subsidence lente dans l'environnement est pour sa part remplacée par une ascendance lente. Pour un profil de traceur $c^*$ du modèle de rétro-transport, les concentrations de rétro-traceur dans l'ascendance ($\cur$) et la descente précipitante ($\cdr$) sont solutions de \begin{eqnarray} -\frac{\partial \fu\cur}{\partial z} &=& \du c^* -\eu \cur\label{eq:rmf1}\\ \frac{\partial \fd\cdr}{\partial z} &=& \dd c^* -\ed \cdr\label{eq:rmf2} \end{eqnarray} le flux de masse turbulent étant lui-même paramétrisé comme \begin{equation} -\overline{\rho w'c^{*'}}= -\fu\cur+\fd\cdr-(-\fu+\fd)c^*\label{eq:rmf3} \end{equation} Finalement, le modèle en flux de masse du rétro-transport (Eqs.~\ref{eq:rmf1} à \ref{eq:rmf3}) se déduit du modèle direct (Eqs.~\ref{eq:mf1} à \ref{eq:mf3}) en remplaçant ($c$, $\cu$, $\fu$, $\eu$, $\du$, $\cd$, $\fd$, $\ed$, $\dd$) par ($c^*$, $\cdr$, $\fd$, $\dd$, $\ed$, $\cur$, $\fu$, $\du$, $\eu$). En pratique, pour passer d'une intégration directe à une intégration à rebours, il suffit de remplacer ($\eu$, $\du$, $\ed$, $\dd$) par ($\dd$, $\ed$, $\du$, $\eu$), $\fu$ et $\fd$ étant recalculé par les Eqs.~(\ref{eq:contup}) et (\ref{eq:contdown}), et $\cu$ et $\cd$ (ou $\cur$ et $\cdr$ pour le rétro-transport) étant des variables internes de la paramétrisation. Il est à noter que ce modèle de rétro-transport convectif a été utilisé dans le modèle LMDZ bien avant d'obtenir la démonstration algébrique présentée ci-dessous. \subsubsection{Convection adjointe} Pour la dérivation mathématique, et afin d'éviter les lignes de calculs inutiles, on se restreint à un modèle composé d'une ascendance concentrée et d'une subsidance compensatoire comme pour le modèle du thermique ($\fd=\ed=\dd=0$). Le modèle du transport direct pour un traceur conservatif s'écrit alors \begin{eqnarray} &&\frac{\partial c}{\partial t}+\V.\grad\ c +\frac{1}{\rho}\frac{\partial \fu\dep{\cu-c}}{\partial z}=\sigma\label{eq:mf4}\\ \end{eqnarray} $c$ étant solution de l'\eq{mf1}. En suivant encore une fois la même approche, on réécrit la mesure $J$ comme \begin{eqnarray} \cout&=&\int_{\Omega\times\tau} \rho \mu c \ \dxdt\\ &-&\int_{\Omega\times\tau} \rho c^* \depb{\dt{ c }+\V.\grad c +\frac{1}{\rho}\frac{\partial \fu\dep{\cu-c}}{\partial z}-\sigma}\ \dxdt\\ &-&\int_{\Omega\times\tau} \cu^* \depb{\frac{\partial \fu\cu}{\partial z}-\eu c +\du \cu} \ \dxdt \end{eqnarray} On réécrit l'intégrale \begin{equation} I=\int_\surf^\infty c^* \deriv{\fu\dep{\cu-c}}{z}+\cu^* \depb{\deriv{\fu\cu}{z}-\eu c +\du \cu} \ dz \end{equation} en utilisant l'\eq{up}, sous la forme \begin{equation} I=\int_\surf^\infty c^* \depb{\eu c -\du\cu-\deriv{\fu c}{z}}+\cu^* \depb{\deriv{\fu\cu}{z}-\eu c +\du \cu} \ dz \end{equation} puis en utilisant l'équation de continuité pour l'ascendance (\ref{eq:contup}), as \begin{equation} I=\int_\surf^\infty c^* \depb{\du (c-\cu) -\fu\deriv{c}{z}}+\cu^* \depb{\fu\deriv{\cu}{z}+\eu(\cu-c) } \ dz \end{equation} On obtient finalement, après intégration par parties (en considérant que $\fu=0$ aux limites inférieures et supérieures) et réarangement des termes \begin{equation} I=\int_\surf^\infty c \depb{\du c^*+\deriv{\fu c^*}{z}-\eu \cu^*} +\cu \depb{-\du c^* -\deriv{\fu \cu^*}{z}+\eu \cu^*} dz \end{equation} En prenant pour $\cu^*$ la solution de \begin{equation} -\deriv{\fu\cu^*}{z}=\du c^*-\eu \cu^* \end{equation} la mesure s'écrit finalement \begin{eqnarray} \cout&=&\int_{\Omega\times\tau} \rho c^* \sigma \dxdt\\ &-&\int_{\Omega}\depb{\rho c^* c}_{t_i}^{t_f} \dx -\int_\tau \depb{\rho\V c^* c.\n}_{\domega} dt\\ &+&\int_{\Omega\times\tau} \rho c \depb{\dt{c^*}+\V.\grad c^*+ \frac{1}{\rho}\deriv{\fu\dep{\cur-c^*}}{z}+\mu} \ \dxdt\\ \end{eqnarray} En prenant pour $c^*$ la solution de \begin{equation} -\dt{c^*}-\V.\grad c^*- \frac{1}{\rho}\deriv{\fu\dep{\cur-c^*}}{z}=\mu \end{equation} on parvient enfin à exprimer $J$ comme fonction des conditions aux limites (concentration initiale, apport de traceur aux frontières et émissions de surface si elles sont inclues dans le modèle direct). Il est à remarquer que sans la démarche physique exposée plus haut, il aurait été facile de dériver un modèle adjoint à partir de cette methode systématique, mais que l'équation obtenue in fine aurait pu différer de la forme symétrique obtenue ici, et qui permet d'utiliser le même algorithme dans les deux modes d'intégration. \subsection{Matrices d'échange} Pour les formulations en matrices d'échange, qui sont directement formulées dans le monde numérique, on peut appliquer directement la réciprocité en terme de coefficient d'échange et inverser simplement les rôles de la maille d'origine et de la maille de destination du traceur.