\def\wstar{w_*}
\def\tstar{\theta_*}

\section{Spécificités de la couche limite convective\label{sec:cbl}}

A la base, les formulations -- plus ou moins sophistiquées -- en
diffusion turbulente
font l'hypothèse que la longueur caractéristique des mouvements
turbulents est petite devant les échelles spatiales typiques, et notamment
devant la hauteur de la couche limite.

Les limites de cette approche sont reconnues depuis longtemps, en particulier
dans le cas des couches limites convectives, où les ascendances thermiques,
résultant de l'accumulation de chaleur près de la surface,
s'organisent sous forme de
panaches ou de rouleaux  à des échelles comparables aux échelles de la couche
limite. Dans la suite, on appellera {\em meso-échelle} cette échelle
des structures convectives de couche limite.
Dans la couche limite convective, le flux de chaleur, dirigé vers le haut pour
évacuer l'énergie accumulée à la surface, est souvent associé à
un profil neutre ou même marginalement stable de température potentielle,
c'est à dire que le flux d'énergie remonte le gradient, du froid vers le 
chaud, ce qui est incompatible avec une approche en diffusion.

Les couches limites convectives se caractérisent plus précisément en trois régions~:\\
-- une couche de surface instable chauffée directement par le sol,\\
-- une couche mélangée épaisse typiquement de 1 à 2 km dans les régions
tempérées
mais qui peut atteindre 3 km aux jours les plus chauds de l'été même en
région parisienne et plus de
5 km sur les déserts ou sur la planète Mars.\\
-- une couche d'inversion très stable, épaisse de quelques dizaines à
quelques centaines de mètres.
La hauteur de cette inversion $z_i$
est souvent utilisée comme hauteur de couche limite.
\footnote{
Même quand le sommet de la couche limite ne correspond pas 
à une inversion de température à proprement parler
($T$ croissant avec l'altitude), on parle
de hauteur d'inversion $z_i$ pour désigner la hauteur à laquelle
on trouve une brusque augmentation de la température potentielle, caractérisant
le sommet de la couche limite convective. Cette définition de $z_i$ est
conservée ici.}

Ce sont 
les particules d'air de la couche de surface,
particules plus chaudes donc plus légères que celles de la
couche mélangée,
qui s'élèvent dans la couche mélangée pour s'organiser en 
ascendances thermiques sous forme de rouleaux, de cellules ou de
panaches isolés.
L'accélération d'une particule $P$  de la couche de surface
dans l'environnement $e$ est donnée par
\begin{equation}
\gamma= g\frac{{\theta_v}_P - {\theta_v}_e}{{\theta_v}_e}
\end{equation}
où
\begin{equation}
\theta_v=\theta (1+0,061 q)
\end{equation}
est la température potentielle virtuelle et $q$ est l'humidité
spécifique.
Cette température potentielle tient compte, pour le calcul de la flottabilité,
des changements de masse molaire de l'air dus aux changements de contenu
en vapeur d'eau.


Avant de présenter quelques approches pour paramétriser la couche limite dans
ces conditions particulières, et de décrire en détail le ``modèle du thermique",
on présente dans cette section une analyse
d'échelle de la couche limite convective ainsi que les grandes lignes
des connaissances sur le
sujet, que ce soit au travers d'observations ou de simulations dites
des grands tourbillons (ou Large Eddy Simulation en anglais).

Parce que les développements proposés ici concernent essentiellement
la couche limite convective en ciel clair, on ne parlera pratiquement
pas de nuages, même s'il est clair que la capacité de la nouvelle 
paramétrisation à prédire les caractéristiques statistiques des nuages
(couverture nuageuse, contenu en eau des nuages) sera un élément
essentiel de sa possible adoption comme paramétrisation de base d'un
modèle de climat.


\subsection{Organisation à meso-échelle}

\begin{figure}
\centerline{\includegraphics[width=16cm]{\local/FIGURES/Bering.eps}}
\caption{Rues de nuages observées dans la mer de Bering.
\label{fg:bering}}
\end{figure}


\begin{figure}
\includegraphics[width=14cm,clip]{\local/FIGURES/SCAN/w1.eps}
\caption{Vue schématique de l'organisation de la convection de couche limite
en rouleaux, le long de l'axe du vent. D'après \cite{Brow:80}.
\label{fg:rouleau}}
\end{figure}


L'existence de structures organisées dans la couche limite convective
est bien connue des amateurs de vol libre
qui utilisent les ``pompes" thermiques pour gagner de l'altitude.
Les vitesses verticales rapportées par ces amateurs sont typiquement
de 1 à 4 m~s$^{-1}$
en plaine et plutôt de 5 à 10~m~s$^{-1}$ en montagne.

Ces structures peuvent prendre la forme de panaches isolés ou
s'organiser en forme de cellules ou de rouleaux.
Un travail d'investigation systématique de
ces structures, notamment à partir de vols avions, a été entrepris
depuis une trentaine d'années, à partir des travaux pionniers de
\cite{LeMo:73}.
Les mesures in-situ à bord d'avions,
les photos satellites à haute résolution,
les instruments de détections active (radar et lidar) ainsi que
les simulations numériques dites ``des grands tourbillons" (Large Eddy
Simulations en anglais) ont permis de mieux comprendre et caractériser
les structures organisées de la couche limite.
On se contente ici de montrer quelques illustrations issues de ces études.

Les rues de nuages constituent
une des réalisations les plus spectaculaire de l'organisation de la
convection de couche limite.
Les structures de rues s'observent à toutes les latitudes et en toutes
saisons, mais les arrivées sur la mer d'air très froid ayant séjourné un moment
sur des glaciers ou des banquises offrent souvent des photos spectaculaires
comme celle montrée sur la \fig{bering}.
L'air froid et sec, en arrivant sur la mer plus chaude (ici le vent souffle
du nord au milieu de la mer de Bering) donne naissance à une couche limite
convective.
Au début, l'air est encore clair. Il se
charge petit à petit en humidité et des cumulus
se mettent à bourgeonner en sommet de la partie ascendante de grands rouleaux
convectifs, créant ces grandes rues de nuages alignées le long du vent dominant.
L'image faisant un millier de kilomètres de large environ, on voit que
les rues de nuages sont typiquement espacées de 5~km dans la partie nord et
jusqu'à une vingtaine dans le sud.

Au sud de la zone, la structure en rouleaux disparaît au profit d'une
organisation en cellules. Mais, dans un cas comme dans l'autre,
on distingue nettement une organisation à une échelle de quelques kilomètres
à quelques dizaines de kilomètres.

A noter également, dans le sud-ouest de la photo, au sud (en aval)
des Aléoutiennes,
des structures transversales 
associées très vraisemblablement
à des ondes de gravité piégées dans le sillage des
reliefs que constituent les îles.


\begin{figure}
\centerline{\begin{tabular}{rr}
Simulation B & Simulation SB1 \\
\includegraphics[height=7cm]{\local/FIGURES/SCAN/moengBw02.eps} &
\includegraphics[height=7cm]{\local/FIGURES/SCAN/moengSBw02.eps} \\
\includegraphics[height=7cm]{\local/FIGURES/SCAN/moengBT02.eps} &
\includegraphics[height=7cm]{\local/FIGURES/SCAN/moengSBT02.eps} 
\end{tabular}}
\caption{Simulations des grands tourbillons de la couche limite convective
d'après \cite{Moen:94}. Coupes horizontales instantanées à $0,2 z_i$
pour deux simulations (B à gauche et SB1 à droite).
On montre, en haut,
le vent vertical $w$ (m~s$^{-1}$) et, en bas, les perturbations de
température potentielle virtuelle $\theta_v$ (K).
\label{fg:moeng1}}
Caractéristiques et valeurs des iso-contours pour les deux simulations.\\
B : domaine de 3$\times$3 km$^2$, $\ave{w'\theta_0'}$=0,24  m~s$^{-1}$~K, $U_g$=10~m~s$^{-1}$\\
% $u'$ : (-3;-2;-1;-0,5;0,5;1;2), [$u'>1/u'<-1]$
$w$ : (-2;-1,5;-1;-0,5;0,5;1;1,5;2;2,5;3), gris [sombre/clair] pour  [$w>1/w<-1]$\\
$\theta_v'$ : (-0,3;-0,2;-0,1;0,1;0,2;0,3;0,4;0,5), [$\theta_v'>0,1/\theta_v'<-0,1$]\\
SB1 : domaine de 5$\times$5 km$^2$, $\ave{w'\theta_0'}$=0,05 m~s$^{-1}$~K, $U_g$=15~m~s$^{-1}$\\
$w$ : (-1,8;-1,5;-1,2;-0,9;-0,6;-0,3;-0,1;0,1;0,3;0,6;0,9;1,2;1,8), [$w>0,3/w<-0,3$] \\
$\theta_v'$ : (-0,2;-0,1;-0,05;0,05;0,1;0,2), [$\theta_v'>0,1/\theta_v'<-0,1$]

\end{figure}

\begin{figure}
\centerline{\includegraphics[width=14cm]{\local/FIGURES/SCAN/moengu.eps}}
\caption{Perturbation du vent zonal à deux altitudes  dans la simulation SB1
de \cite{Moen:94}.
\label{fg:moeng2}}
Valeur des iso-contours :
(-3;-2,5;-2;-1,5;-1;-0,5;-0,1;0,1;0,5;1;1,5;3), gris [sombre/clair] pour [$u'>0,5/u'<-0,5$]\\
\end{figure}

De nombreux travaux théoriques et numériques ont été consacrés à l'étude
de ces structures convectives de la couche limite.

Une étude théorique des instabilité de la couche d'Eckman a permis
de prédire l'orientation des rouleaux par rapport aux vents dominants
\cite[]{Brow:72}. Les rouleaux sont alignés à 30$\deg$ à gauche 
du vent pour des couches stables, 18$\deg$ pour des couches limites
neutres et essentiellement alignées avec le vent pour des couches instables.
Le modèle de la couche d'Eckman n'est pas vraiment applicable à la couche
limite instable mais la prédiction est cependant relativement
proche de l'observation \cite[]{LeMo:73} même si les rouleaux sont plutôt
orientés également à 10-20$\deg$ du vent dans la couche convective.
On montre sur la \fig{rouleau} une vision schématique de cette organisation
en rouleaux.


Après le travail pionnier de \cite{Somm:78},
de nombreuses simulations des grands tourbillons ont été consacrées
à l'organisation de la couche limite convective.
Dans les simulations des grands tourbillons,
on résout explicitement des équations 
dynamiques non-hydrostatiques (différentes approximations sont cependant
utilisées pour filtrer les modes acoustiques les plus rapides)
jusqu'à une échelle typique de 20 à 100 m suivant les cas.
On suppose à cette échelle que la turbulence est bien représentée par
des idées de cascades vers les petites échelles et par des fermetures
locales de type $K-\epsilon$ ou Mellor et Yamada.
A partir de telles simulations,
\cite{Moen:94} et d'autres ont par exemple
montré que la sélection entre les différents 
modes d'organisation était en grande partie contrôlée par l'importance
relative des forçages thermiques (par le chauffage en surface)
et mécanique (par le cisaillement de vent) de la turbulence.

Les simulations de \cite{Moen:94} sont relativement académiques, avec
une turbulence de couche limite
forcée par un flux de chaleur imposé
en surface et un forçage géostrophique engendrant des cisaillements de
vent et donc de la turbulence mécanique près de la surface.
Il s'agit de couches limites non nuageuses.
Le calcul est effectué sur un domaine carré de 3 ou 5~km avec une maille
d'une cinquantaine de mètres dans les trois directions d'espace et 
des conditions aux limites périodiques horizontalement.
En faisant varier indépendamment l'intensité du forçage thermique
$\ave{w'\theta'}_0$
en surface et l'intensité du vent géostrophique $U_g$,
on trouve dans les simulations
deux modes d'organisation~: une organisation en rouleaux quand le
cisaillement est important et des panaches isolés sans organisation apparente
quand le flux de chaleur domine.
Sur la \fig{moeng1}, on montre des coupes instantanées à l'altitude 
$z=0,2 z_i$, où $z_i$ est la hauteur de l'inversion,
des perturbations de la vitesse
verticale (en haut) et de la température potentielle virtuelle
(en bas) pour deux simulations.
Dans la première -- appelée B pour ``buoyant" par les auteurs --
le flux en surface vaut
$\ave{w'\theta'}_0=0,24$~m~K~s$^{-1}$ avec un vent géostrophique $U_g$
de 10~m~s$^{-1}$.
Dans la seconde simulation, le forçage mécanique est plus important avec
$\ave{w'\theta'}_0=0,05$~m~K~s$^{-1}$ et $U_g$=15~m~s$^{-1}$.
Cette simulation avec cisaillement et flottabilité (shear and buoyancy)
est appelée SB1 par les auteurs.

Pour les deux simulations, on voit clairement les structures thermiques,
avec de l'air chaud associé à des vitesses ascendantes.
Ces structures thermiques couvrent dans les deux cas une fraction relativement
faible de la surface.
La simulation B ne présente pas de structure bien marquée et on a plutôt
l'impression de voir des panaches isolés.
La simulation SB1, avec un forçage mécanique important, présente une
organisation en rouleaux.
La relative faible étendue du domaine fait qu'on ne simule que deux rouleaux.
Des simulations plus récentes, utilisant des domaines plus grands par rapport
aux structures représentées, confirment
ces résultats \cite[cf. par exemple ][]{Weck:97}.

Les subsidences amènent vers la surface de l'air provenant du haut
du domaine et associé de ce fait à un excès de quantité de mouvement
(le vent géostrophique $U_g$ est positif dans la direction $x$)
comme on le voit sur la \fig{moeng2} pour la simulation SB1.
En $z=0,2 z_i$, sur la gauche de la figure,
les structures organisées sont encore perturbées par les
organisations à plus petite échelle dans la couche limite de surface.
Un peu plus haut dans l'atmosphère et à droite sur la même
figure, en $z= 0,8 z_i$, la structure 
en rouleaux domine encore davantage l'écoulement.

Dans ces simulations, le rapport d'aspect -- rapport entre la séparation
des rouleaux et la hauteur de la couche limite -- est compris entre 2 et 3.

\begin{figure}
\centerline{\includegraphics[width=14cm]{\local/FIGURES/SCAN/w2gb.eps}}
\centerline{\includegraphics[width=14cm]{\local/FIGURES/SCAN/w3b.eps}}
\caption{En haut, champs de réflectivité radar pour 2 situations particulières
observées en Floride {(\bf a)} le 6 août  1991 à 1700 UTC et
{(\bf b)}  le 12 août 1991 à 2000 UTC.
La température (nombre du haut) et le point de rosée (nombre du bas) ainsi que le
vent sont superposés pour certaines stations d'observation.
La figure de gauche montre une couche limite régulièrement organisée en 
rouleaux. La figure de droite montre un front de brise de mer sur la
droite et des cellules en haut.
Les figures du dessous correspondent à un lissage des échos radar
pour le sous-domaine repéré par un carré dans les figures du haut,
avec des contours tous les 4 dBZ$_e$ à partir de 0. Les valeurs plus grandes
que 4 et 8 dBZ$_e$ sont grisées respectivement en gris clair et gris foncé.
D'après \cite{Weck:97}.
\label{fg:www}}
\end{figure}

L'importance de l'organisation en cellules ou en rouleaux de la couche
limite convective, même en l'absence de nuages, a été confirmée 
avec l'utilisation de plus en plus systématique de la télédétection
active, lidar ou radar, pour observer l'atmosphère.
Les échos lidar ou radar sont en effet souvent capables de distinguer, dans
la couche limite, l'air montant depuis la couche de surface de son
environnement. Pour les lidars, c'est la présence d'aérosols dans les
panaches qui permet en général de les visualiser alors que, pour
les radars, on pense qu'on voit souvent des insectes.

On montre sur la \fig{www} deux exemples d'observations radar issus
d'une étude de \cite{Weck:97} montrant à
gauche une organisation en rouleaux et, à droite,
une organisation en cellules.
Cette étude assez systématique d'observation de la couche limite convective
en Floride a permis de confirmer certains résultats obtenus avec les
simulations des grands tourbillons, comme l'apparition systématique
de rouleaux dans certaines gammes de cisaillement et de flux de chaleur
ou l'estimation du rapport d'aspect des rouleaux.


\subsection{Le cycle diurne de la couche limite continentale}


\begin{figure}
\centerline{\includegraphics[width=16cm,clip]{\local/FIGURES/sirtagb.eps}}
\caption{Cycle diurne de la couche limite continentale.
\label{fg:sirta}}
Profils verticaux de température potentielle et d'humidité
relative enregistrés par les radiosondages de Trappes à midi pour
trois jours successifs, les 26, 27 et 28 mai 2003, et les échos enregistrés
au cours de la journée par le lidar aérosol LNA
du SIRTA.
\end{figure}

\begin{figure}
\centerline{\includegraphics[width=15cm]{\local/FIGURES/FLEUR/Bart_fig.eps}}
\caption{
Observations de la couche limite en Oklaoma le 14 juin 2002 pendant
la campagne IHOP.
Transects avions à différentes heures de la journées avec des
mesures radar en dessous et au-dessus de l'avion. On voit bien
la croissance des thermiques qui atteignent, en milieu de journée,
environ 1,5~km. 
\label{fg:ihop}}
\end{figure}


Des couches limites convectives particulièrement développées
sont observées l'après-midi sur les continents, notamment par beau temps.
Sur les déserts, elles peuvent atteindre plus de 5~km d'altitude.
On montre sur la \fig{sirta} un exemple d'observations de couches limites
convectives sur trois jours consécutifs au SIRTA, le site instrumenté
atmosphérique de l'IPSL.
Les figures de droite montrent l'écho lidar (le lidar LNA\footnote{
%\begin{verbatim}
http://sirta.lmd.polytechnique.fr/LNA.htm
%\end{verbatim}
})
observé au cours du temps
à la verticale de l'école Polytechnique, à Palaiseau.
Sur ces figures, la couche limite est matérialisée grossièrement
comme la zone gris clair, correspondant à une réflexion sur des aérosols.
La couche limite nocturne très fine (quelques centaines de mètres)
se développe dans la matinée, entre 9 heures et midi.
Dans cette phase de croissance, on voit très clairement des panaches
ascendants, plus clairs que l'air environnant. En début d'après-midi,
la couche limite convective est bien développée et on voit se former,
au sommet des thermiques, des cumulus qui réfléchissent totalement le signal.

Les profils de température potentielle associés,
observés à Trappes par radiosondage à 
midi, montrent tous les trois une légère instabilité dans la couche de surface
et un profil très bien mélangé sur 1 à 1,5 km suivant les jours.
Dans cette région, l'humidité spécifique est relativement bien mélangée
également. Ceci correspond à une humidité relative qui croît avec l'altitude,
pour approcher les 100$\%$ en sommet de couche limite,  là où les
nuages sont observés.

Cette pulsation de la couche limite entre couche limite nocturne stable
et couche limite convective développée dans l'après-midi conditionne
au premier chef les concentrations observées pour les espèces émises
en surface.


On montre également sur la \fig{ihop} des mesures radar aéroportées obtenues
pendant la campagne IHOP
qui s'est déroulée pendant l'été 2002 dans l'Oklaoma.
Là encore, on voit se développer les thermiques en cours de matinée.
On voit également que les petits thermiques du matin
s'organisent peu à peu en ascendances plus importantes
et plus espacées.


\subsection{Caractérisation des grandeurs turbulentes dans la couche limite convective}





\begin{figure}
\includegraphics[width=15cm]{\local/FIGURES/SCAN/williams1crop.eps}
\caption{Principe d'une analyse en composites
d'évènements chauds de mesures avions de la turbulence de couche limite.
La partie du haut montre une séquence de mesures de la
température potentielle et du vent vertical.
Une courbe lissée des températures potentielles est utilisée pour identifier
les évènements chauds. Chaque évènement est associé à un segment qui est
ensuite étiré dans l'espace pour ramener tous les segments à une longueur
identique. Pour chaque variable, on peut alors construire des moyennes ou
des écart-types pour un thermique moyen. La figure et l'approche sont
issues d'une très jolie étude de de \cite{Will:92}.
\label{fg:williams1}} 
\end{figure}

\begin{figure}
\includegraphics[width=15cm]{\local/FIGURES/SCAN/williams2b.eps}
\caption{Analyse en composites d'évènements chauds d'une série de vols
avion effectués dans la couche limite convective en Australie.
Les rangées correspondent à différentes gammes de valeurs de 
$z/z_i$. Les deux rangées du haut correspondent au milieu de la couche
mélangée. De gauche à droite sont représentés, la température potentielle
$\theta$, le flux de chaleur $H=\rho C_p \ave{w'\theta'}$, l'humidité spécifique
$q$ et la vitesse verticale $w$, normalisées par les échelles 
$\theta^*$, $H_0=\rho C_p\ave{w'\theta'}_0$, $q^*$ et $w^*$.
Les courbes pleines correspondent aux moyennes des grandeurs
et les courbes pointillées aux écart-types associés. Le nombre d'évènements
associés à chaque mesure est donné à gauche (22ev par exemple veut dire
qu'on a fait des statistiques avec 22 segments). D'après
\cite{Will:92}.
\label{fg:williams2}}
\end{figure}

Depuis les travaux de \cite{LeMo:73}, de nombreux travaux ont porté
sur la caractérisation des ascendances thermiques à partir des
mesures avions.

Pour quantifier les fluctuations turbulentes, on effectue
des vols en avion aussi stables que possible en altitude avec
un échantillonnage rapide, et on analyse les
fluctuations de vent, température et humidité.
Un exemple de séquence de mesure de la température potentielle et de
la vitesse verticale est donné en haut de la \fig{williams1}.
Pour cet exemple, issu du travail de  \cite{Will:92},
la fréquence d'acquisition
était de 13~Hz ce qui correspond, pour un avion qui volait en moyenne
à 40~m~s$^{-1}$, à un pas d'échantillonnage d'environ 3~m.

On voit clairement apparaître sur ce cas particulier des évènements chauds,
d'une longueur d'une centaine de mètres, associés à une vitesse verticale
plutôt positive mais très bruitée.

La façon la plus classique d'analyser de telles observations consiste à
calculer les flux par corrélation entre fluctuations de vent et
de température ($\ave{w'\theta'}$).
Cette approche permet effectivement d'estimer les flux mais en perdant
toute l'information sur les structures organisées.
Il est en plus délicat de restituer la géométrie des
structures méso-échelles traversées à partir des vols avions.
En effet, les variations verticales ne peuvent être reconstituées qu'au
travers de vols horizontaux successifs et qui n'explorent donc pas
les mêmes panaches thermiques.

\cite{Will:92} ont proposé une approche très éclairante sur la nature
du transport dans la couche limite convective à partir de la construction
d'un thermique moyen, défini comme un composite des évènements
chauds. Les thermiques sont en général beaucoup plus facilement
identifiables sur les mesures de $\theta$, qui montrent une grande
asymétrie entre un fond un peu froid et des évènements chauds intenses
et relativement bien isolés, que sur celles du vent.
Pour caractériser ces thermiques, \cite{Will:92} commencent donc
par identifier les segments chauds sur les mesures de $\theta$ --
après un lissage -- comme les portions où $\theta'$ dépasse
1$\sigma$ où $\sigma$ est l'écart-type
des fluctuations.
Tous les segments sont ensuite ramenés par homothétie sur un segment
de longueur unité.
On peut alors, à partir de tout ces segments, calculer des moyennes ou
écart-types de toutes les grandeurs mesurées pour construire une
image d'un thermique moyen.
Cette méthode est illustrée sur la \fig{williams1}.

Sur la \fig{williams2}, on montre les résultats obtenus par \cite{Will:92}
à différents niveaux dans la couche limite convective.
Les différentes variables sont normalisées par des échelles caractéristiques.
Pour le vent vertical, l'échelle utilisée est l'échelle convective
\cite[proposée à l'origine par ][]{Dear:70a}
construite à partir du flux de chaleur au sol et de la
hauteur de la couche limite $z_i$~:
\begin{equation}\label{eq:wstar}
\wstar=\depb{\frac{g}{\theta}z_i\overline{w'\theta'}_0}^{\frac{1}{3}}
\end{equation}
On revient un peu plus loin sur le sens de cette échelle.
L'échelle de température est
\begin{equation}
\tstar=\frac{\overline{w'\theta'}_0}{\wstar}=
\depb{\frac{g}{\overline{\theta}z_i}}^{-\frac{1}{3}}
{\overline{w'\theta'}_0 }^{\frac{2}{3}}
\end{equation}

On retrouve sur ces composites des caractéristiques déjà suggérées par
l'observation directe des séquences avions. 
Les thermiques, sélectionnés à partir d'un excès
de température, sont aussi associés à un vent vertical positif en moyenne.
La valeur du vent ascendant au milieu du thermique est
très proche de l'échelle de vitesse $\wstar$ alors que 
l'écart type (en pointillé) est de l'ordre de grandeur du vent moyen dans
et à proximité du thermique pour la vitesse ascendante.
Ceci suggère que le thermique et ses abords immédiats sont le
siège d'une turbulence de petite échelle importante, le thermique
n'expliquant à lui seul que la moitié environ de $\overline{w'^2}$.
En regard,
l'écart-type est deux à trois fois plus faible que la moyenne pour la
température.

Le flux de chaleur dans l'ascendance est 4 fois supérieur au chauffage par
la surface en bas et encore 2 à 3 fois supérieur au milieu de la couche
mélangée alors qu'il est beaucoup plus faible autour.
Les thermiques qui occupent typiquement 20$\%$ de la surface dans
les observations, semblent donc, à eux seuls, capables d'expliquer
l'essentiel du transport de chaleur.

Dans le cas considéré,
la vapeur d'eau est légèrement plus 
abondante dans le panache, mais avec une grande dispersion.


A noter qu'en regard de cette analyse en composites
particulièrement éclairante, 
il existe une littérature relativement abondante dans laquelle les
thermiques sont caractérisés sur la base
de seuils sur les vitesses verticales.
Ces études suggèrent qu'une fraction seulement (typiquement une bonne
moitié) du flux de chaleur est contenu dans les plus grandes structures.
On citera en particulier pour ces questions le travail de 
\cite{Schu:91} qui compare des tris en vitesse verticale à la
fois dans des simulations des grands tourbillons et
dans des observations et le travail de \cite{Wang:00} qui étudient
l'influence du choix du seuil sur la caractérisation des structures organisées.
Le tri sur les vitesses verticales est en fait particulièrement peu
sélectif des thermiques car les variations turbulentes du vent sont dues
aussi bien aux structures méso-échelles qu'à la turbulence de petite
échelle, active dans toute la couche limite.
Les fluctuations de petite échelle, en mélangeant un air déjà bien mélangé,
n'affectent que peu les fluctuations turbulentes de la température.
Les excès de température sont donc davantage caractéristiques de l'origine
de l'air.



\begin{figure}
\centerline{\includegraphics[width=12cm]{\local/FIGURES/FLEUR/fleur.eps}}
\caption{Distributions et distributions croisées des vitesses verticales et des
fluctuations de la température potentielle virtuelle dans des simulations
des grands tourbillons effectuées avec le modèle mésoNH pour un cas
de couche limite convective observé dans les grandes plaines américaines
pendant la campagne IHOP le 14 juin 2002.
Des observations radar de ce cas particulier sont présentées sur la \fig{ihop}.
\label{fg:fleur}}
\end{figure}

On voit donc que les structures thermiques sont associées à des distributions
de fluctuations turbulentes de $w$ ou $\theta$ fortement asymétrique.
Ces distributions peuvent être calculées dans les simulations des grands
tourbillons.
On montre pour illustration sur la \fig{fleur}, les distributions
de $w'$ et $\theta_v'$ obtenues avec le modèle Meso-NH pour une
simulation d'un jour particulier de la campagne IHOP \cite[]{Couv:05},
correspondant aux mesures radar aéroportées de la \fig{ihop}.
La distribution croisée de $\theta'$ et $w'$ montre un maximum important
pour des températures basses et des vitesses verticales légèrement
négatives et des températures plus chaudes associées à des vitesses
verticales positives et plus importantes, les thermiques.
Les distributions individuelles des deux variables montrent une forte
asymétrie avec une queue de distribution du côté des vitesses positives et
des températures chaudes.
Pour $w$, la forme de la distribution est en très bon accord avec
celle déduite de vols avions (non montrées).




\subsection{Analyse d'échelle de la couche limite convective}

\begin{figure}
\centerline{\includegraphics[width=15cm]{\local/cbl.eps}}
\caption{Représentation schématique de la couche limite convective
\label{fg:cbl}}
\end{figure}


Dans la couche mélangée, le transport de chaleur est donc
effectué principalement
par les structures de grande échelle avec des ascendances, associées
à de l'air plus chaud provenant de la couche limite de surface, compensées
par des subsidences plus froides.
%
\def\ta{{\theta'}_a}
\def\wa{w_a}
\def\td{{\theta'}_d}
\def\Wd{w_d}
Si on idéalise l'ascendance thermique en supposant
qu'elle est associée à un excès constant, $\ta$,
de température potentielle virtuelle\footnote{A plusieurs endroits on oublie volontairement l'indice $_v$ pour le côté virtuel de la température afin d'alléger les notations.}
et une vitesse verticale $\wa$ (=$w'_a$) et
si on suppose que les particules d'air dans le thermique
montent sous l'effet de leur flottabilité, on a, avec l'approximation 
classique $p'/p\ll \theta'/\theta$,
\begin{equation}
\frac{d\wa}{dt}=g\frac{\ta}{\overline{\theta}}
\end{equation}
On obtient, pour une ascendance stationnaire,
\begin{equation}
\wa\der{\wa}{z}=g\frac{\ta}{\overline{\theta}}
\end{equation}
qui s'intègre, en supposant que $\ta$ ne dépend pas de $z$, en
\begin{equation}\label{eq:cape0}
w_a^2=2g\frac{\ta}{\overline{\theta}}z
\end{equation}

Si on suppose que les
ascendances couvrent une fraction $\alpha$ de la surface
et qu'elles sont compensées par une subsidence de
vitesse moyenne $\Wd$, associée à un déficit moyen de température
potentielle $\td<0$ avec~:
\begin{equation}
\alpha \wa + (1-\alpha) \Wd =0
\end{equation}
et
\begin{equation}
\alpha \ta + (1-\alpha) \td =0
\end{equation}
on voit que le flux de chaleur total s'écrit 
\begin{equation}
\overline{w'\theta'}=\alpha \wa\ta + (1-\alpha) \Wd\td
=\frac{\alpha}{1-\alpha} \wa\ta
\end{equation}

On obtient donc (en utilisant l'\eq{cape0})
une relation entre le flux de chaleur et la vitesse
dans les ascendances
\begin{equation}\label{eq:wt1}
\overline{w'\theta'}=\frac{\alpha}{1-\alpha}\frac{\overline{\theta}{\wa}^3}{2gz}
\end{equation}


La couche limite convective est par nature très brassée et elle
se caractérise donc par un profil de température potentielle très homogène.
De ce fait un excès de température en surface se répartit très rapidement
dans l'ensemble de la couche mélangée.
Le flux de chaleur fourni par la surface produit donc un réchauffement
quasi uniforme de la couche limite, jusqu'à la couche d'inversion.
En conséquence aussi, la divergence du
flux de chaleur doit être nulle dans la couche mélangée, c'est à dire
que le flux doit décroître linéairement depuis la surface.

Cette idée est illustrée sur la \fig{cbl}.
La courbe noire à gauche montre un profil typique de température potentielle
dans la couche limite convective, avec une couche de surface instable, une 
couche mélangée neutre et une inversion en sommet de couche limite.
Le flux de chaleur en surface brasse la couche mélangée provoquant un chauffage
homogène de la couche mélangée et un léger refroidissement au niveau de
l'inversion.
Le schéma du milieu montre 
le flux moyen de chaleur associé à cette évolution de la température 
potentielle.
La dérivée du flux
de chaleur s'annule à l'altitude où la température n'évolue pas.

Pour l'analyse d'échelle, on voit donc que le flux de chaleur décroît
linéairement pour s'annuler à une altitude légèrement inférieure à $z_i$.
Si on se place au milieu de la couche limite en $z=z_i/2$,  le flux
calculé par l'\eq{wt1} doit être proche de $\overline{w'\theta'_0}/2$ d'où
\begin{equation}
\frac{\overline{w'\theta'_0}}{2}\simeq \frac{\alpha}{1-\alpha}\frac{\overline{\theta}{\wa}^3}{gz_i}
\end{equation}
d'où l'on déduit
\begin{equation}
\wa\simeq \wstar{\depb{\frac{1-\alpha}{2\alpha}}}^{\frac{1}{3}}
\end{equation}
où $\wstar$ est l'échelle de vitesse convective définie plus haut
(\eq{wstar}).
Cette formule est relativement peu sensible à la fraction $\alpha$ avec
$\wa\simeq\wstar$ pour $\alpha=30\%$ ou $\wa\simeq 2\wstar$ pour $\alpha=5\%$.



