\section{Les fermetures non locales et la couche limite convective\label{sec:nonlocal}}

Avant de présenter le modèle du thermique,
on donne ci-dessous un aperçu des différentes approches qui ont
été proposées ou utilisées pour pallier les déficiences de la 
diffusion turbulente dans les cas de couches limites convectives.


\subsection{Contre-gradient et modèles non locaux}

Une première approche simple pour pallier le problème du transport de chaleur
en remontant le gradient dans la couche limite, consiste à calculer
la diffusion, non pas par rapport à un profil neutre de température potentielle
mais par rapport à un profil légèrement stable.

Cette approche a été proposée par \cite{Dear:66} et consiste
à prescrire le flux de chaleur sous la forme
\begin{equation}
\overline{w'\theta'}=-K_z\dep{\der{\theta}{z}-\gamma_c}
\end{equation}
avec un contre-gradient $\gamma_c$ positif.

Plusieurs études (notamment par Deardorff lui-même) ont tenté de donner
une expression physique de ce contre-gradient mais les modèles de circulation
utilisent souvent une valeur constante de l'ordre de 0,5~K/km.
La prescription d'un tel contre-gradient est encore de mise dans
le modèle du LMD.

Plus récemment, \cite{Holt:93} ont introduit, dans le modèle du NCAR,
un schéma de couche limite non local qui inclut un terme de contre-gradient
relié directement aux caractéristiques de la couche limite, en suivant
une approche développée à l'origine par \cite{Troe:86}.
Dans cette approche, le coefficient de mélange est prescrit en suivant un profil
à la \cite{Bros:78}
\begin{equation}
K_h=\vk w_h z \depb{1-\frac{z}{h}}^{1,5}
\end{equation}
en utilisant comme vitesse caractéristique pour la couche mélangée une
combinaison de la vitesse caractéristique de la couche de surface et de
la vitesse convective
\begin{equation}
w_m^3=\ustar^3+c_1\wstar^3
\end{equation}
avec $c_1=0,6$.
Le contre-gradient est calculé de façon à avoir le bon flux convectif
au milieu de la couche limite, là où le gradient de température est
quasiment nul~:
\begin{equation}
\frac{\overline{w'\theta'}_0}{2}=\vk w_h \frac{h}{2} 0,5^{1,5} \gamma_c
\end{equation}
D'où l'on tire
\begin{equation}
\gamma_c=C \frac{\overline{w'\theta'}_0}{h w_h}
\end{equation}
La hauteur de couche limite $h$ elle même est estimée avec une formule
en Richardson non local (\eq{bulkri}) en rajoutant un excès de température
à la température de l'air près de la surface ($\theta(z_1)$).
Cet excès de température dépend lui-même du flux de chaleur en surface.

La paramétrisation de \cite{Holt:93} permet d'étendre le transport
non local aux traceurs.

\cite{Boug:89}  ont également développé une paramétrisation en partie
non locale en utilisant une longueur de mélange reliée à la distance
qu'une particule d'air, issue du niveau considéré, peut parcourir
après qu'on lui a donné au départ une impulsion correspondant à
l'énergie cinétique turbulente moyenne dans la couche en question.
Notons que cette approche est non locale mais qu'elle ne permet
pas le transport en remontant le gradient.

\cite{Abde:97} ont pour leur part proposé de modifier la fermeture du
second ordre de \cite{Mell:74} en paramétrisant les moments du second
ordre en utilisant des images en flux de masses comme celles qui sont
développées plus loin dans le modèle du thermique.
Comme dans le travail de \cite{Troe:86}, on aboutit alors à une expression
physique d'un terme de contre-gradient.

Toutes ces approches ont en commun qu'elles essaient d'introduire des
aspects non locaux dans un formalisme hérité des formulations locales
en diffusion turbulente ou dans des développements à des ordre successifs
d'équations locales de la turbulence.


\subsection{Matrices de transilience}

Depuis les années 1980, Stull insiste, parfois lourdement, sur
la nécessité de rompre radicalement avec la  diffusion turbulente.
Stull a introduit le concept de matrice de ``transilience",
matrice contenant les taux d'échange d'air entre les
différentes mailles d'une colonne atmosphérique.
Le coefficient $C_{i,j}$ de la matrice est par exemple la concentration
massique
dans la maille $j$ au temps $t+\delta t$ d'un traceur passif injecté
uniformément dans la maille $i$  au temps $t$ en quantité unitaire.
Plus que d'une paramétrisation, il s'agit en fait d'un cadre formel dans
lequel développer une paramétrisation.
Dans ce formalisme, la diffusion turbulente sera représentée par une
matrice d'échange tridiagonale (en un pas de temps, une maille n'échange
qu'avec les mailles immédiatement au-dessus et au-dessous).


\begin{figure}
\centerline{\includegraphics[width=16cm]{\local/FIGURES/SCAN/Erbert.eps}}
\caption{Calcul et interprétation d'une matrice de transilience
à partir d'une simulation des grands tourbillons dans une couche limite
convective. D'après \cite{Eber:89}.
\label{fg:transil}}
L'axe horizontal correspond à l'origine du traceur et l'axe vertical
à la destination. Les iso-contours montrent la distribution des traceurs
au temps $t$ (compté à partir de l'instant auquel les traceurs sont
introduits dans la simulation). Le temps caractéristique 
$T=z_i/w^*$ est de l'ordre de 18 minutes dans cette simulation.
\end{figure}

Stull et ses collaborateurs ont analysé les résultats de simulations 
des grands tourbillons en termes de matrices de transilience.
Les résultats montrés sur la \fig{transil} ont été obtenus
pour une simulation des grands tourbillons
d'un cas académique de couche limite convective similaire aux simulations
de \cite{Moen:94} décrites plus haut.
Dans ce cas particulier, le temps caractéristique d'advection par
les thermiques, $T=z_i/w^*$, est de l'ordre de 18 minutes.
Pour calculer les matrices, on commence par intégrer le modèle sans
traceurs jusqu'à atteindre un état de régime de la turbulence. On
introduit alors un traceur uniformément dans chaque couche du modèle.
Après un certain temps, on peut tracer le profil vertical
moyen de la concentration de ce traceur. Les matrices de transilience
associées, avec en abcisse la couche d'origine et en ordonnée la couche
d'arrivée du traceur, sont montrées sur la \fig{transil},
ainsi que l'interprétation physique de la forme
de la matrice, en haut à gauche.
Au-dessus de 1,2~$z_i$, l'air est très peu affecté par la turbulence.
Seuls les termes diagonaux sont donc non nuls.
Au bout d'un temps $t=T$, l'air de la partie haute de la
couche limite est descendu lentement ce qui donne de grands termes
juste en dessous de la diagonale. A l'opposé, on voit sur
la gauche de la matrice que l'air provenant de la couche de surface
se répartit rapidement dans la couche mélangée. A $t=2T$, l'air de la couche
de surface se retrouve principalement en haut de la couche mélangée.
A la fois à $t=T$ et $t=2T$, la matrice de transilience est fortement
asymétrique.
A $t=4T$, l'air a eu le temps de bien se mélanger et la matrice prend
alors une forme plus symétrique, avec des coefficients relativement uniformes
dans la couche limite~: de l'air originaire de la couche limite se retrouve
à peu près équi-réparti dans la couche limite au bout de $4T$.


\begin{figure}
\includegraphics[width=15cm]{\local/FIGURES/acm.eps}
\caption{Forme prise par les matrices de transilience (ou d'échange)
dans le
cas d'une formule en diffusion turbulente à gauche et
dans le cas du modèle de convection asymétrique de \cite{Plei:92}
à droite. On montre par des flèches sur des colonnes verticales
les échanges mis en jeu dans ces paramétrisations
et en grisé les éléments non nuls de la matrice associée. \label{fg:acm}}
\end{figure}

La seule fermeture à proprement parler qui semble avoir été proposée dans le
cadre des matrices de transilience est le modèle asymétrique de
\cite{Plei:92}.
Dans ce modèle, une forme particulière est imposée à la matrice pour rendre
compte de l'opposition entre les ascendances thermiques plus concentrées et
les subsidences plus lentes. La première couche au-dessus de la surface
échange de l'air avec toutes les mailles situées au-dessus tandis que toutes
les autres mailles transfèrent de l'air à la maille immédiatement en dessous.
On illustre le principe de cette paramétrisation sur la \fig{acm}.
Cette paramétrisation permet d'obtenir un transport de chaleur
remontant le gradient de température potentielle, sans autre traitement,
dés lors que la première couche du modèle est plus chaude (en température
potentielle) que les couches au-dessus.



\subsection{Les modèles en flux de masse}

La dernière catégorie d'approches, celle à laquelle se rattache
le modèle du thermique présenté ci-après, est la catégorie des modèles en 
flux de masse.

Les approches en flux de masse remontent aux travaux de 
\cite{Lill:68} et \cite{Arak:74} et étaient principalement motivées
à leur origine par la paramétrisation des mouvements dans les cumulus.

On entend de façon générale par "flux de masse" une approche qui tend
à expliciter le
transport vertical par des mouvement (ou flux de masse) dans des sous colonnes
de la colonne atmosphérique.

Les schémas de \cite{Tied:89} et \cite{Eman:91} appartiennent tous les deux
à cette catégorie des schémas en flux de masse.

Dans le schéma de Tiedtke, on isole par exemple trois sous colonnes,
une pour les ascendances rapides (au c{\oe}ur des nuages convectifs), une
pour les descentes précipitantes (entretenues par l'évaporation des
précipitations) et une pour l'environnement.
Dans les panaches ascendants et descendants, on calcule explicitement
la température, l'eau etc... à chaque niveau, sous des hypothèses de 
stationnarité, pour ensuite calculer le bilan total dans la colonne.

Dans le cadre de l'étude de la couche limite et de la convection peu
profonde, le concept des flux de masse a été beaucoup utilisé d'une façon
relativement différente, en développant en général des modélisations
simple à fin d'analyse plutôt que de simulation proprement dite,
en utilisant une idéalisation des profils verticaux.
Ces approches remontent aux travaux de \cite{Bett:73}.

Dans ces approches, la couche limite convective est décrite en une ou 
quelques couches dans les quelles ont suppose que les quantités physiques
sont bien mélangées, et des couches infiniment fines de transition 
au travers des quelles les différentes variables subissent des discontinuités.

Pour une couche limite sèche comme celle décrite plus haut, on aura typiquement
une discontinuité de température en surface, une température potentielle
unique sur toute la hauteur de la couche limite, une nouvelle discontinuité
au niveau de l'inversion, pour se raccorder au profil de la troposphère libre.



