\section{Les fermetures non locales et la couche limite convective\label{sec:nonlocal}} Avant de présenter le modèle du thermique, on donne ci-dessous un aperçu des différentes approches qui ont été proposées ou utilisées pour pallier les déficiences de la diffusion turbulente dans les cas de couches limites convectives. \subsection{Contre-gradient et modèles non locaux} Une première approche simple pour pallier le problème du transport de chaleur en remontant le gradient dans la couche limite, consiste à calculer la diffusion, non pas par rapport à un profil neutre de température potentielle mais par rapport à un profil légèrement stable. Cette approche a été proposée par \cite{Dear:66} et consiste à prescrire le flux de chaleur sous la forme \begin{equation} \overline{w'\theta'}=-K_z\dep{\der{\theta}{z}-\gamma_c} \end{equation} avec un contre-gradient $\gamma_c$ positif. Plusieurs études (notamment par Deardorff lui-même) ont tenté de donner une expression physique de ce contre-gradient mais les modèles de circulation utilisent souvent une valeur constante de l'ordre de 0,5~K/km. La prescription d'un tel contre-gradient est encore de mise dans le modèle du LMD. Plus récemment, \cite{Holt:93} ont introduit, dans le modèle du NCAR, un schéma de couche limite non local qui inclut un terme de contre-gradient relié directement aux caractéristiques de la couche limite, en suivant une approche développée à l'origine par \cite{Troe:86}. Dans cette approche, le coefficient de mélange est prescrit en suivant un profil à la \cite{Bros:78} \begin{equation} K_h=\vk w_h z \depb{1-\frac{z}{h}}^{1,5} \end{equation} en utilisant comme vitesse caractéristique pour la couche mélangée une combinaison de la vitesse caractéristique de la couche de surface et de la vitesse convective \begin{equation} w_m^3=\ustar^3+c_1\wstar^3 \end{equation} avec $c_1=0,6$. Le contre-gradient est calculé de façon à avoir le bon flux convectif au milieu de la couche limite, là où le gradient de température est quasiment nul~: \begin{equation} \frac{\overline{w'\theta'}_0}{2}=\vk w_h \frac{h}{2} 0,5^{1,5} \gamma_c \end{equation} D'où l'on tire \begin{equation} \gamma_c=C \frac{\overline{w'\theta'}_0}{h w_h} \end{equation} La hauteur de couche limite $h$ elle même est estimée avec une formule en Richardson non local (\eq{bulkri}) en rajoutant un excès de température à la température de l'air près de la surface ($\theta(z_1)$). Cet excès de température dépend lui-même du flux de chaleur en surface. La paramétrisation de \cite{Holt:93} permet d'étendre le transport non local aux traceurs. \cite{Boug:89} ont également développé une paramétrisation en partie non locale en utilisant une longueur de mélange reliée à la distance qu'une particule d'air, issue du niveau considéré, peut parcourir après qu'on lui a donné au départ une impulsion correspondant à l'énergie cinétique turbulente moyenne dans la couche en question. Notons que cette approche est non locale mais qu'elle ne permet pas le transport en remontant le gradient. \cite{Abde:97} ont pour leur part proposé de modifier la fermeture du second ordre de \cite{Mell:74} en paramétrisant les moments du second ordre en utilisant des images en flux de masses comme celles qui sont développées plus loin dans le modèle du thermique. Comme dans le travail de \cite{Troe:86}, on aboutit alors à une expression physique d'un terme de contre-gradient. Toutes ces approches ont en commun qu'elles essaient d'introduire des aspects non locaux dans un formalisme hérité des formulations locales en diffusion turbulente ou dans des développements à des ordre successifs d'équations locales de la turbulence. \subsection{Matrices de transilience} Depuis les années 1980, Stull insiste, parfois lourdement, sur la nécessité de rompre radicalement avec la diffusion turbulente. Stull a introduit le concept de matrice de ``transilience", matrice contenant les taux d'échange d'air entre les différentes mailles d'une colonne atmosphérique. Le coefficient $C_{i,j}$ de la matrice est par exemple la concentration massique dans la maille $j$ au temps $t+\delta t$ d'un traceur passif injecté uniformément dans la maille $i$ au temps $t$ en quantité unitaire. Plus que d'une paramétrisation, il s'agit en fait d'un cadre formel dans lequel développer une paramétrisation. Dans ce formalisme, la diffusion turbulente sera représentée par une matrice d'échange tridiagonale (en un pas de temps, une maille n'échange qu'avec les mailles immédiatement au-dessus et au-dessous). \begin{figure} \centerline{\includegraphics[width=16cm]{\local/FIGURES/SCAN/Erbert.eps}} \caption{Calcul et interprétation d'une matrice de transilience à partir d'une simulation des grands tourbillons dans une couche limite convective. D'après \cite{Eber:89}. \label{fg:transil}} L'axe horizontal correspond à l'origine du traceur et l'axe vertical à la destination. Les iso-contours montrent la distribution des traceurs au temps $t$ (compté à partir de l'instant auquel les traceurs sont introduits dans la simulation). Le temps caractéristique $T=z_i/w^*$ est de l'ordre de 18 minutes dans cette simulation. \end{figure} Stull et ses collaborateurs ont analysé les résultats de simulations des grands tourbillons en termes de matrices de transilience. Les résultats montrés sur la \fig{transil} ont été obtenus pour une simulation des grands tourbillons d'un cas académique de couche limite convective similaire aux simulations de \cite{Moen:94} décrites plus haut. Dans ce cas particulier, le temps caractéristique d'advection par les thermiques, $T=z_i/w^*$, est de l'ordre de 18 minutes. Pour calculer les matrices, on commence par intégrer le modèle sans traceurs jusqu'à atteindre un état de régime de la turbulence. On introduit alors un traceur uniformément dans chaque couche du modèle. Après un certain temps, on peut tracer le profil vertical moyen de la concentration de ce traceur. Les matrices de transilience associées, avec en abcisse la couche d'origine et en ordonnée la couche d'arrivée du traceur, sont montrées sur la \fig{transil}, ainsi que l'interprétation physique de la forme de la matrice, en haut à gauche. Au-dessus de 1,2~$z_i$, l'air est très peu affecté par la turbulence. Seuls les termes diagonaux sont donc non nuls. Au bout d'un temps $t=T$, l'air de la partie haute de la couche limite est descendu lentement ce qui donne de grands termes juste en dessous de la diagonale. A l'opposé, on voit sur la gauche de la matrice que l'air provenant de la couche de surface se répartit rapidement dans la couche mélangée. A $t=2T$, l'air de la couche de surface se retrouve principalement en haut de la couche mélangée. A la fois à $t=T$ et $t=2T$, la matrice de transilience est fortement asymétrique. A $t=4T$, l'air a eu le temps de bien se mélanger et la matrice prend alors une forme plus symétrique, avec des coefficients relativement uniformes dans la couche limite~: de l'air originaire de la couche limite se retrouve à peu près équi-réparti dans la couche limite au bout de $4T$. \begin{figure} \includegraphics[width=15cm]{\local/FIGURES/acm.eps} \caption{Forme prise par les matrices de transilience (ou d'échange) dans le cas d'une formule en diffusion turbulente à gauche et dans le cas du modèle de convection asymétrique de \cite{Plei:92} à droite. On montre par des flèches sur des colonnes verticales les échanges mis en jeu dans ces paramétrisations et en grisé les éléments non nuls de la matrice associée. \label{fg:acm}} \end{figure} La seule fermeture à proprement parler qui semble avoir été proposée dans le cadre des matrices de transilience est le modèle asymétrique de \cite{Plei:92}. Dans ce modèle, une forme particulière est imposée à la matrice pour rendre compte de l'opposition entre les ascendances thermiques plus concentrées et les subsidences plus lentes. La première couche au-dessus de la surface échange de l'air avec toutes les mailles situées au-dessus tandis que toutes les autres mailles transfèrent de l'air à la maille immédiatement en dessous. On illustre le principe de cette paramétrisation sur la \fig{acm}. Cette paramétrisation permet d'obtenir un transport de chaleur remontant le gradient de température potentielle, sans autre traitement, dés lors que la première couche du modèle est plus chaude (en température potentielle) que les couches au-dessus. \subsection{Les modèles en flux de masse} La dernière catégorie d'approches, celle à laquelle se rattache le modèle du thermique présenté ci-après, est la catégorie des modèles en flux de masse. Les approches en flux de masse remontent aux travaux de \cite{Lill:68} et \cite{Arak:74} et étaient principalement motivées à leur origine par la paramétrisation des mouvements dans les cumulus. On entend de façon générale par "flux de masse" une approche qui tend à expliciter le transport vertical par des mouvement (ou flux de masse) dans des sous colonnes de la colonne atmosphérique. Les schémas de \cite{Tied:89} et \cite{Eman:91} appartiennent tous les deux à cette catégorie des schémas en flux de masse. Dans le schéma de Tiedtke, on isole par exemple trois sous colonnes, une pour les ascendances rapides (au c{\oe}ur des nuages convectifs), une pour les descentes précipitantes (entretenues par l'évaporation des précipitations) et une pour l'environnement. Dans les panaches ascendants et descendants, on calcule explicitement la température, l'eau etc... à chaque niveau, sous des hypothèses de stationnarité, pour ensuite calculer le bilan total dans la colonne. Dans le cadre de l'étude de la couche limite et de la convection peu profonde, le concept des flux de masse a été beaucoup utilisé d'une façon relativement différente, en développant en général des modélisations simple à fin d'analyse plutôt que de simulation proprement dite, en utilisant une idéalisation des profils verticaux. Ces approches remontent aux travaux de \cite{Bett:73}. Dans ces approches, la couche limite convective est décrite en une ou quelques couches dans les quelles ont suppose que les quantités physiques sont bien mélangées, et des couches infiniment fines de transition au travers des quelles les différentes variables subissent des discontinuités. Pour une couche limite sèche comme celle décrite plus haut, on aura typiquement une discontinuité de température en surface, une température potentielle unique sur toute la hauteur de la couche limite, une nouvelle discontinuité au niveau de l'inversion, pour se raccorder au profil de la troposphère libre.