%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Modélisation couplée dynamique/microphysique/chimie\label{sec:2D}}


Pour les raisons évoquées ci-dessus, il a été décidé
vers 1996 de mettre en commun les différents efforts de modélisation
afin de développer un modèle de climat couplant dynamique atmosphérique,
chimie et microphysique des brumes.
A cause du coût numérique prohibitif du modèle tridimensionnel,
et du fait du caractère relativement axi-symétrique des observations
disponibles de la température et de la composition de Titan, une
approche bidimensionnelle a été privilégiée.
La partie dynamique de ce modèle est donc une restriction à la composante
axi-symétrique de l'écoulement du modèle tridimensionnel.


\def\dep#1{\left( #1 \right)}
\def\depb#1{\left[ #1 \right]}
\def\der#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}


\def\ave#1{\left[#1\right]}
\def\mave#1{\tilde{#1}}
\def\div#1{\mbox{div}#1}
\def\q{q}
\def\V{{\bf v}}
\def\sta{^*}
\def\msbox#1{{\mbox{\small #1}}}

\subsection{Le modèle bidimensionnel}

Le modèle bidimensionnel est bâti sur la séparation entre
la moyenne zonale des différentes variables d'état et les perturbations
non zonales définies par rapport à cette moyenne.
Comme pour la séparation d'échelle dans le cas de la paramétrisation
des mouvements turbulents (\sec{traceurs}), on introduit en fait une moyenne
zonale pondérée par la masse de l'air,
$\mave{q}=\ave{\rho q}/\ave{\rho}$, où 
$\ave{X}=\int_{-\pi}^{\pi} X d\lambda/2\pi$ est la moyenne zonale de $X$.
Comme pour la séparation d'échelle aussi, l'équation de continuité
\begin{equation}
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\div{(\rho \V)} = 0
\end{equation}
est identique à sa moyenne zonale si on remplace
$\rho$ par $\ave{\rho}$ et $\V$ par $\mave{\V}$.
La composante non axi-symétrique $q^*=q-\mave{q}$ vérifie 
$\ave{\rho q^*}=\ave{\rho q}-\ave{\rho}\mave{q}=0$ et on obtient une
équation de conservation pour $q$ de la forme~:
\begin{equation}
\frac{\partial \ave{\rho}\mave{\q}}{\partial t}
+\div{(\ave{\rho}\mave{\V}\mave{\q})} + \div{\ave{\rho\V^*\q^*}} = 0
\end{equation}
Comme pour la turbulence enfin, le terme
$\div \ave{\rho\V^*\q^*}$ -- essentiel à la fois pour l'établissement
de la superrotation et pour le transport latitudinal des
espèces traces -- doit être représenté au travers d'une paramétrisation.

Parce qu'on a identifié dans les simulations tridimensionnelles
\cite[]{Hour:95b} que le transport par les ondes était essentiellement
horizontal (ou barotrope) et parce qu'on veut s'intéresser spécifiquement
au couplage entre la dynamique méridienne de grande échelle et le transport
latitudinal par les ondes, on va restreindre la paramétrisation au
transport par les perturbations de $v$. Sous ces hypothèses, l'équation
pour $q$ peut se récrire
\begin{equation}
\frac{\partial (\rho q)}{\partial t}
+\frac{1}{a\cos\phi}\frac{\partial}{\partial\phi}(\cos\phi\ \rho v q)
+\frac{\partial(\rho w q)}{\partial z}
= [S_q] - \frac{1}{a\cos\phi} \frac{\partial}{\partial\phi}
    \left( \cos\phi \ave{\rho v^* q^*} \right) 
\label{e-qtend2}
\end{equation}
où on a laissé tomber les notations $\ave{\;}$ et $\mave{\;}$
considérant maintenant que $\rho$, $v$ ou $q$ sont les variables
d'état du modèle bidimensionnel.

Cette équation est valable pour les traceurs chimiques et la brume
ainsi que pour la température potentielle ou le moment cinétique
$a\cos\phi\dep{u+a\Omega\cos\phi}$.
$S_q$ comprend les termes de production/destruction
chimiques ou microphysiques pour les espèces gazeuses et les brumes,
le chauffage radiatif pour la température potentielle et
le mélange vertical turbulent pour toutes les variables.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Transport latitudinal par les ondes dans un modèle en eau peu profonde}

%SWarrowmap.eps  SWekin+gvort.eps 
\begin{figure}
\includegraphics[width=14cm]{\local/FIGURES/LUZ/luz1.eps}
\caption{Exemple de profil latitudinal de vent zonal utilisé
pour forcer le modèle des équations de Saint-Venant. On montre
{\bf a)}, le profil de rappel (trait plein) et
le profil moyen dans le modèle en état de régime (tiretés)~;
les mêmes profils sont montrés
en termes {\bf b)} de moment cinétique normalisé
et {\bf c)} de vorticité. Enfin, on montre {\bf d)} le transport
de moment cinétique par les ondes responsable de la différence
entre les deux profils. La constante de temps de rappel est
fixée à 5 jours de Titan.\label{fg:SWu}}
\end{figure}

\begin{figure}
\includegraphics[angle=-90,width=8cm]{\local/FIGURES/LUZ/fig4.eps}
\includegraphics[angle=-90,width=8cm]{\local/FIGURES/LUZ/fig5.eps}
\caption{Ondes planétaires.
A gauche, exemple de structure instantanée du champ de perturbation du vent
dans les simulation de Saint-Venant. A droite, évolution en fonction
de la latitude et du jour de Titan du gradient latitudinal de 
vorticité potentielle (les bandes grisées étroites entre 30S et 30N,
première échelle de grisés)
et de la moyenne zonale de l'énergie cinétique des ondes 
(bandes larges au delà de 60 degrés dans chaque hémisphère, échelle de grisés
la plus à droite).
\label{fg:SWondes}}
\end{figure}

Afin de développer une paramétrisation physique du transport
latitudinal par les perturbations non zonales,
David Luz a mené une étude détaillée du transport latitudinal par les
ondes planétaires avec un modèle global à une couche  basé sur les équations
de Saint Venant ou équations de l'eau peu profonde.
En pratique, le modèle utilisé est une restriction à une couche de
la partie dynamique du modèle
de circulation générale tridimensionnel. Le modèle dépend d'une seule
variable thermodynamique (la hauteur de la couche de fluide pour un fluide 
incompressible).

L'idée est d'utiliser ce modèle, avec des paramètres typiques
de la stratosphère de Titan, pour étudier le développement des ondes
et les propriétés de mélange associées, en relation avec l'instabilité
de l'écoulement moyen.
En pratique, on force le modèle en rappelant le champ de vent zonal vers
un profil proche du profil observé (par occultation par exemple) ou
simulé (avec le modèle de circulation tridimensionnel),
en faisant en sorte que ce profil présente des régions d'instabilité
sur le versant équatorial des jets.
Dans l'étude de \cite{Luz:03I}, différents profils sont utilisés
avec différentes constantes de temps pour le rappel.

On présente ici, sur la
\fig{SWu} des résultats issus d'une des simulations.
On montre sur la figure le vent zonal ({\bf a}) ainsi que le moment
cinétique ({\bf b}) et la vorticité potentielle ({\bf c}) associés.
Les courbes pleines correspondent aux profils de rappel.
La vorticité potentielle associée ({\bf c}) montre clairement
les régions d'instabilité barotrope entre 30 et 50 degrés dans les deux
hémisphères.
Dans le cas présenté ici, le profil de relaxation ne comprend pas en
revanche de région d'instabilité inertielle, avec un moment cinétique
qui décroît de part et d'autre de l'équateur.
Le modèle en eau peu profonde développe des ondes qui ont pour effet de
réduire l'instabilité.
Les moyenne zonales des différents champs, une fois établi un état de régime,
sont montrées en pointillés.
Le transport de moment cinétique associé aux ondes ($a\cos\phi\ave{v^*u^*}$,
{\bf d}) est dirigé vers l'équateur (en remontant le gradient
de moment cinétique) dans les régions d'instabilité.
Ce transport tend à réduire l'intensité des jets.
Dans ces simulations, la constante de temps de rappel est fixée
à 5 jours de Titan de façon à reproduire l'ordre de grandeur du transport
latitudinal de moment cinétique obtenu avec le modèle tridimensionnel.

La \fig{SWondes} montre, pour cette simulation particulière,
un exemple de carte instantanée de la perturbation 
du vent par rapport à l'écoulement moyen.
On voit que, comme dans le modèle tridimensionnel, on a à faire à
des nombres d'onde petits (1 ou 2).
Quand on regarde l'évolution sur le long terme de l'activité ondulatoire
(graphique de droite) on se rend compte qu'après un certain temps, une
dissymétrie s'installe entre les deux hémisphères (la \fig{SWu} correspond
à des moyennes entre les jours 6 et 30, avant que la dissymétrie ne s'installe).
Ce comportement, constaté dans un grand nombre de simulations tests,
ne semble pas lié à une erreur informatique dans le modèle.
On a par exemple vérifié,
après une bascule nord/sud de tous les champs du modèle à un instant
donné, que
l'activité la plus forte se maintenait bien dans l'hémisphère
opposé de celui où elle était avant la bascule.
Ce type de comportement avait en fait déjà été observé
dans des simulations
effectuées pour étudier les ondes dans l'atmosphère de Vénus
\cite[]{Ross:83}. Une certaine asymétrie entre les deux jets est également
rapportée pour les observations de vent vénusiens par suivi de nuages
dans l'UV par \cite{Ross:90}, alors même que le forçage saisonnier est presque inexistant sur Vénus. 
Les auteurs concluaient à l'époque de cette étude sur la possibilité
d'un comportement asymétrique de la dynamique des atmosphères de planètes
en rotation lente. Ce point n'a pas pu être étudié davantage mais
le modèle et les simulations sont toujours là.

\begin{figure}
\includegraphics[angle=-90,width=5cm]{\local/FIGURES/LUZ/fig8b.eps}
\includegraphics[angle=-90,width=5cm]{\local/FIGURES/LUZ/fig8g.eps}
\includegraphics[angle=-90,width=5cm]{\local/FIGURES/LUZ/fig8i.eps}

\includegraphics[angle=-90,width=5cm]{\local/FIGURES/LUZ/fig8e.eps}
\includegraphics[angle=-90,width=5cm]{\local/FIGURES/LUZ/fig8j.eps}
\includegraphics[angle=-90,width=5cm]{\local/FIGURES/LUZ/fig8l.eps}
\caption{Exemple de mélange par les ondes de traceurs contenus initialement
dans des bandes de latitudes et dont les concentrations sont rappelées
vers ces concentrations initiales avec une constante de rappel de 5 jours de
Titan. On montre, pour trois bandes particulières, les distributions initiales
(en haut) et des distributions instantanées une fois un état de régime 
établi.\label{fg:SWondes2}}
\end{figure}

On a ensuite regardé l'impact de ces ondes sur le transport latitudinal
des espèces traces. Là encore, on a utilisé différents profils et constantes
de temps de rappel pour évaluer le transport latitudinal par les ondes.
On montre par exemple, sur la \fig{SWondes2}, des simulations dans
lesquelles on injecte un traceur dans une bande de latitude et on rappelle
en permanence le champ de traceur vers cette concentration initiale
avec une constante de temps de 5 jours de Titan.
Les graphiques du haut montrent la distribution initiale et les graphiques
du bas une distribution instantanée après qu'un état de régime s'est
établi. Alors que l'énergie cinétique des perturbations est maximale
dans les hautes latitudes (\fig{SWondes}), le traceur émis entre 60 et \dg{75}N n'est
presque pas affecté par le transport, autrement que par une déformation
de la bande de traceur.
Le mélange latitudinal est en fait important uniquement dans la région
d'instabilité, entre 20 et \dg{45} de latitude.
Dans cette région, on retrouve une figure classique, dite
en {\oe}il de chat, décrite pour la première fois par
\citet{Kelv:1880}.

Le modèle prédit donc un mélange très intense sur le versant équatorial
du jet hivernal, et une relative isolation du vortex polaire. Ce
comportement explique en fait en partie la brusque rupture de pente 
observée dans les données Voyager aux abords du vortex
polaire nord, mal prise en compte dans les premières simulations
de la composition chimique (\fig{sebastien})
dans lesquelles le mélange latitudinal
était calculé avec une diffusion turbulente ne dépendant pas de la latitude.


Ce travail a ensuite été utilisé
pour dériver une paramétrisation plus physique de ces ondes
transitoires pour le modèle climatique latitude-altitude.


\subsection{Paramétrisation en longueur de mélange du transport latitudinal des espèces traces}

\begin{figure}
\centerline{\includegraphics[angle=-90,width=7cm]{\local/FIGURES/LUZ/fig7c.eps}
\includegraphics[angle=-90,width=7cm]{\local/FIGURES/LUZ/fig2.eps}}
\caption{A gauche : Transport de traceurs idéalisés par les ondes planétaires
dans le modèle des équations de Saint-Venant en présence d'instabilité
barotrope. Le traceur est rappelé vers le profil en trait plein avec une 
constante de temps de 5 ou 60 jours de Titan. Les profils pointillés
et tiretés montrent les profils de traceurs en état de régime.
A droite : coefficient de mélange déduit des calculs avec traceurs
idéalisés et forme
analytique retenue pour la paramétrisation du transport latitudinal
par les ondes.
\label{fg:SWdq}}
\end{figure}

Pour paramétriser le transport latitudinal de traceurs par les
ondes, on utilise une approche en longueur de mélange, pour laquelle
le flux latitudinal de traceur s'écrit
\begin{equation}
\ave{\rho v\sta q\sta} = -\rho\frac{K}{a}\frac{\partial q}{\partial\phi}
\label{eq:e-eq4K}
\end{equation}
où $K(\phi,t) = l|v^*|$ est le coefficient de diffusion,
$l$ est la longueur de l'excursion latitudinale typique des particules
d'air
et $|v^*|$ est l'amplitude des fluctuations de $v$.


Les simulations en eau peu profonde sont utilisées directement
pour estimer le coefficient de diffusion à partir du rapport
entre le flux latitudinal et le gradient de traceur.
Un exemple d'un tel calcul est montré sur la \fig{SWdq} pour un 
traceur relaxé vers un profil sinusoïdal.
Comme pour les traceurs émis dans des bandes de latitudes, on retrouve que le
mélange est maximum dans la région de l'instabilité (à gauche)
ce qui se traduit par un coefficient de diffusion maximum dans cette
région (courbe pleine, à droite).
Des tests ont montré que la forme de ce coefficient était peu sensible
au choix du profil de relaxation pour le traceur.

Pour la paramétrisation, on choisit de représenter ce pic par une
fonction de Cauchy
\begin{equation}
\label{eq:e-resonance}
{\cal K}(\phi) \equiv A\frac{(\Gamma/2)^2}{(\phi-\phi_0)^2+(\Gamma/2)^2}
\end{equation}
où $A$ est l'amplitude, $\Gamma$ la largeur à mi-hauteur et
$\phi_0$ la position en latitude du centre du pic.
On montre un exemple d'ajustement d'une telle fonction sur le graphique
de droite de la \fig{SWdq}.
L'amplitude maximum $\tilde K_{\max} \simeq
3\times 10^5\mbox{ m$^2$s}^{-1}$ est cohérente avec l'estimation de
$l|v^*|$ pour $l=a(\delta\phi/2)$, avec 
$\delta\phi \simeq \dg{30}$ et $|v\sta| \simeq {0.5}$~m~s$^{-1}$
dans la région
de mélange.


Le dernier pas consiste à relier les paramètres
$A$, $\Gamma$ et $\phi_0$ à l'écoulement moyen (fermeture).
Pour l'amplitude, ceci peut être fait au moyen d'un paramètre
mesurant le degré de l'instabilité.
Des tests systématiques, effectués avec différentes constantes de relaxation
pour le champ de vent -- permettant d'obtenir des instabilités plus ou 
moins fortes -- ont montré que
l'intégrale du gradient de vorticité potentielle dans sa
partie négative
\beqnar
S_B &=& \int_{\phi_1}^{\phi_2} \frac{\partial\za{Z}}{\partial\phi} d\phi  \\
    &=& \za{Z}(\phi_2)-\za{Z}(\phi_1)     \pt
\eeqnar
(avec $\partial\za{Z}/\partial\phi < 0$ entre $\phi_1$ et $\phi_2$)
est très bien corrélée avec le coefficient $A$.
La relation entre intensité de l'instabilité $S_B$ et $A$ est ajustée à
partir des simulations en eau peu profonde. La formule
\beq
\log_{10} A= a-10^{11} b S_B
\label{eq:e-amplitudeK}
\eeq
avec $a=1.781$ et $b=0.5928$ est adoptée dans les simulations qui suivent.
Pour la largeur et le centre des pics, on retient
$\Gamma \simeq (\phi_2-\phi_1)/2$ et $\phi_0 \simeq \phi_2$.





\complement{
\begin{figure}
\centerline{\hspace{0.7cm}\includegraphics[angle=-90,width=10cm]{\local/FIGURES/LUZ/figII7a.eps}}
\centerline{\includegraphics[angle=-90,width=10.9cm]{\local/FIGURES/LUZ/figII7b.eps}}
\centerline{\hspace{0.7cm}\includegraphics[angle=-90,width=10cm]{\local/FIGURES/LUZ/figII7c.eps}}
\caption{Test des paramétrisations du transport latitudinal par les ondes
par comparaison aux résultats des simulations en eau peu profonde.
On montre pour le vent zonal (en haut), la vorticité potentielle (au milieu)
et un traceur (en bas), le profil de rappel, le profil obtenu avec le
modèle en eau peu profonde et le profil obtenu comme équilibre
entre le terme de relaxation et le terme de transport latitudinal paramétrisé.
\label{fg:SWparam}}
\end{figure}
}


\figurecaption
{\centerline{\hspace{0.7cm}\includegraphics[angle=-90,width=9cm]{\local/FIGURES/LUZ/figII7a.eps}}
\centerline{\includegraphics[angle=-90,width=9.8cm]{\local/FIGURES/LUZ/figII7b.eps}}
\centerline{\hspace{0.7cm}\includegraphics[angle=-90,width=9cm]{\local/FIGURES/LUZ/figII7c.eps}}}
{Test des paramétrisations du transport latitudinal par les ondes
par comparaison aux résultats des simulations en eau peu profonde.
On montre pour le vent zonal (en haut), la vorticité potentielle (au milieu)
et un traceur (en bas), le profil de rappel, le profil obtenu avec le
modèle en eau peu profonde et le profil obtenu comme équilibre
entre le terme de relaxation et le terme de transport latitudinal paramétrisé.}
{fg:SWparam}
{1.}{0.69}{0.27}{2.2cm}
%% Arguments: 1-\epsfig{}; 2, 3-caption, label;4-%width of the ensemble
%%            5-%width of figure; 6-%width of caption;
%%            7-vspace before caption



\subsection{Paramétrisation du transport latitudinal du moment cinétique}

\label{s-mixam}
Le transport latitudinal de moment cinétique par les ondes s'effectuant
essentiellement en remontant le gradient dans la région d'instabilité,
il n'est pas possible de le représenter comme une paramétrisation en
diffusion du moment cinétique.
En revanche, ce transport aboutit à un mélange de vorticité qui tend à
ramener le profil moyen à la neutralité vis-à-vis de l'instabilité
barotrope \cite[voir aussi][]{Alli:94,Del:93}.
A partir de ces remarques, on choisit une paramétrisation du transport
de moment cinétique basée sur une approximation du mélange de la vorticité.
Si on l'applique à la vorticité relative (le résultat est le même pour
la vorticité absolue)
\begin{equation}
\label{eq:e-eta}
\eta=-\frac{1}{a\cos\phi}\der{}{\phi}\dep{\cos\phi \ u}
\end{equation}
une approche en longueur de mélange aboutit à
\begin{equation}
\label{eq:e-detadt}
\der{\eta}{t}=\frac{1}{a^2 \cos\phi} \der{}{\phi}\dep{\cos\phi \ K\ \der{\eta}{\phi}}
\end{equation}
où $\partial/\partial t$ est l'accélération due aux ondes.


On peut obtenir l'\eq{e-detadt} en prenant, pour décrire l'effet des ondes
sur le vent zonal, l'opérateur
\begin{equation}
\label{eq:e-momentumK}
\der{u}{t}=
-K/a \der{\eta}{\phi} \cm
\end{equation}
(ce qu'on voit facilement en prenant la dérivée temporelle de l'\eq{e-eta}).
Une idée séduisante serait d'appliquer cette formulation directement,
en utilisant un coefficient de mélange $K$ variant avec
la latitude et l'altitude en fonction du degré d'instabilité
de l'écoulement moyen.
En dépit d'efforts importants pour aboutir à une paramétrisation de ce type, 
nous avons dû opter pour une solution moins élégante mais plus robuste,
utilisant une restriction au modèle axi-symétrique de l'opérateur
en Laplacien itéré
utilisé classiquement dans le modèle de circulation tridimensionnel
pour paramétriser l'interaction entre échelles explicites et échelles
horizontales non résolues~:
\beq
\label{eq:dissipterm}
\left( {\frac{\partial \V_H}{\partial t}} \right)_{\msbox{diss}}=
(-1)^{n_{\msbox{diss}}+1}\frac{1}{\tau_{\msbox{diss}}} (\delta y)^{2
n_{\msbox{diss}}} \Delta^{n_{\msbox{diss}}} \V_H \cm 
\eeq 
%
Dans le cas
d'une itération simple ($n_{\msbox{diss}}=1$), l'\eq{e-momentumK} 
avec  $K=\delta y^{2}/\taudiss$  et l'\eq{dissipterm} sont équivalentes pour
la vorticité relative.
Pour la vorticité absolue -- fondamentalement la quantité qu'on veut mélanger
pour obtenir un profil uniforme de vorticité absolue -- l'équivalence
est seulement approchée, à un terme de l'ordre de   $\Omega K/a$ près.
Dans la paramétrisation retenue finalement pour les simulations bidimensionnelles, et après une phase de tâtonnement, on retient $n_{diss}=2$.

La paramétrisation ne dépend plus alors que de la constante de temps
$\taudiss^{\msbox{dyn}}$ qu'on relie au degré d'instabilité
de l'écoulement dans la couche du modèle considéré
(cette constante ne dépend plus ici que de l'altitude)
avec une formule de la forme
\beq
\label{e-logtaudiss}
\log_{10}\taudiss^{\msbox{dyn}} = c+10^{11} d S_B^{\msbox{dyn}} \pt
\eeq
Du fait du moindre degré de réalisme de la forme retenue pour la
paramétrisation, l'ajustement des paramètres $c$ et $d$ conduit à des valeurs
qui dépendent des conditions dans lesquelles sont réalisées les simulations
en eau peu profonde \cite[se reporter à ][pour plus de détails]{Luz:03II}.
Pour les simulations bidimensionnelles latitude-altitude présentées plus
loin, on retient $c=13.59$ et $d=1.562$.

Sur la \fig{SWparam}, on présente un test numérique des nouvelles
paramétrisations. On effectue la validation pour un modèle unidimensionnel,
en latitude, version axi-symétrique du modèle global en eau peu profonde.
\footnote{Cette comparaison entre simulations en eau peu profonde
et modélisation unidimensionnelle en latitude est
l'équivalent des validations des paramétrisations de la couche limite
par rapports à des simulations des grands tourbillons présentées dans
la \sec{les}.}
Dans ce modèle, l'ensemble des équations se résume aux termes de relaxation
(sur le vent ou les traceurs) et aux termes de transport par les ondes
représentés par les paramétrisations.
La \fig{SWparam}  montre, pour
le vent zonal (en haut), la vorticité potentielle (au milieu)
et la concentration
d'un traceur sinusoïdal (en bas) les profils de relaxation
(croix), les résultats du modèle en eau peu profonde
en état de régime (courbes pleines) et les 
résultats du modèle unidimensionnel
avec paramétrisation (pointillés).
On remarque d'abord, pour les simulations
en eau peu profonde, la dissymétrie entre les deux hémisphère, le jet
nord étant nettement plus affecté par le transport que son homologue 
austral. La paramétrisation prédit relativement bien la réduction de
l'instabilité dans l'hémisphère nord mais la surestime dans l'hémisphère
sud.
La diffusion du champ de traceur dans la région d'instabilité est relativement
bien représentée dans les deux hémisphère. A noter qu'on teste plus
que l'ajustement des coefficients de mélange présenté plus haut 
puisque ces coefficients sont calculés
ici en fonction de l'instabilité déduite de l'équilibre entre relaxation du
champ de vent et mélange latitudinal paramétrisé.




\subsection{Modélisation de la brume}

Le modèle microphysique de la brume \cite[]{Caba:92} a été introduit
dans le modèle de climat en se basant sur une discrétisation de la
distribution en taille des particules.
On utilise 10 classes de rayons (contre 45 dans le modèle unidimensionnel
d'origine). La plus petite taille correspond aux macro-molécules
fraîchement créées par polymérisation avec un rayon
$r_1=1.64\times 10^{-9}\mbox{ m}$.
La production de ces particules est pour l'instant imposée comme une
fonction de l'altitude uniquement. Dans les simulations présentées ci-dessous,
cette production a lieu dans une couche épaisse de 40~km, vers 450 km
d'altitude.
Les rayons pour les autres classes sont donnés par
$r_{n+1}=16^{1/3}r_n$.
Le rayon des monomères est  $r_m=66\mbox{ nm}$ et le rapport entre les
volumes des particules dans deux classes adjacentes est de 16.
Les particules plus grosses que $r_m$ sont représentées comme des agrégats
fractals de dimension 2.
Le code radiatif a été modifié pour tenir compte de cette nouvelle
description des aérosols \cite[traités comme des particules sphériques
dans le code original de ][]{McKa:89} et de leur variation latitudinale
\cite[se reporter à ][pour les détails]{Rann:04}.

\subsection{Modélisation de la chimie}

\begin{figure*}
\centerline{
\includegraphics[angle=-90,width=5.5cm]{\FIGURES/profils_a.eps}
\includegraphics[angle=-90,width=5.5cm]{\FIGURES/profils_b.eps}
\includegraphics[angle=-90,width=5.5cm]{\FIGURES/profils_c.eps}
}
\caption{Comparaison des profils latitudinaux de composition
observés par Voyager avec ceux obtenus avec le modèle couplé
dynamique/microphysique/chimie.
On montre des résultats obtenus à la fois avec la chimie complète
(courbes pleines) et avec une chimie linéarisée (tiretés).
Les rond noirs correspondent aux observations Voyager analysées
par \cite{Cous:95}.
Les niveaux de pression retenus pour extraire les concentrations
simulées correspondent pour chaque composé au maximum
de la fonction poids de l'observation à l'équateur.
Les observations pour  HC$_3$N dans les latitudes basses
correspondent à une borne supérieure.
\label{fg:compo}}
\end{figure*}



La composition chimique est calculée en utilisant un code chimique
très proche de celui décrit par \cite{Lebo:01}, à ceci près qu'il
est cette fois-ci intégré directement au modèle de circulation.
La composition chimique prédite par le modèle est qualitativement
comparable à celle obtenue par \cite{Lebo:01} et est globalement
en bon accord avec les observations, comme on peut le voir sur la \fig{compo}.
Les contrastes latitudinaux entre 30N et 60N sont mieux représentés
que dans l'étude précédente.
Comme dans l'étude de \cite{Lebo:01} également, les niveaux moyens
des concentrations sont en général moins bien prédits que les variations
latitudinales.

On utilise également dans le modèle couplé une chimie linéarisée.
Dans ce cas, la production et la perte chimique sont calculées 
au moyen d'un terme de rappel vers un profil de référence avec une constante
de temps imposée, les deux étant issues de calculs préalables effectués
avec la version unidimensionnelle du modèle de chimie.
L'avantage de cette chimie linéarisée est double~: 1) on évite la lourdeur
du code chimique complet -- avec 44 espèces et 250 réactions --
et 2) on peut ajuster le profil de rappel de façon à avoir un meilleur accord
avec l'observation pour les concentrations stratosphériques. Ceci
est important quand on veut inclure l'effet radiatif des variations
latitudinales de la composition dans le modèle dynamique.
La chimie linéarisée n'est utilisée que pour les espèces radiativement
actives, à savoir C$_2$H$_6$, C$_2$H$_2$ et HCN.
Pour ces trois espèces, les résultats ``ajustés" sont comparés sur la
\fig{compo} aux résultats de la chimie complète ainsi qu'aux observations
Voyager.

Quand on utilise la chimie complète, une condition à la limite
supérieure doit être imposée pour toutes les espèces.
On a déjà dit plus haut que la chimie qui a lieu au-delà du toit du
modèle de circulation a un rôle crucial pour la plupart des espèces,
produites dans la mésosphère ou dans la haute stratosphère et advectées
ensuite vers la stratosphère moyenne.
Pour les simulations présentées ici, c'est un flux du constituant qui
est prédit au sommet du modèle. Les flux pour les différentes espèces sont 
calculés en utilisant le modèle unidimensionnel en conditions
équatoriales \cite[voir ][]{Lebo:02,Lebo:03a}.
Faute d'information suffisante ou de modélisation appropriée, ce flux
est pour le moment constant et ne dépend ni de la latitude ni de la saison.
Une seconde option consistant à fixer la concentration dans la couche
supérieure du modèle a été testée. Elle donne des résultats comparables
à ceux présentés ci-dessous.

Pour la chimie linéarisée, la condition au sommet est traitée différemment~:
la concentration est contrainte à rester proche du profil de rappel
en imposant dans les trois couches les plus hautes du modèle des constantes
de temps arbitrairement courtes (1 jour de Titan dans la plus haute, 10
dans la suivante et 100 jours dans la troisième).
Dans tous les cas, et comme on le verra par la suite, cette condition
à la limite supérieure conditionne la valeur moyenne de la concentration
dans la stratosphère sans modifier la distribution relative dans le
plan méridien. C'est cette concentration à la limite supérieure qui est utilisée
pour ajuster les concentrations du modèle avec chimie linéarisée.

La condensation des espèces chimiques est calculée en retirant de l'atmosphère
tout excédant par rapport à la concentration à saturation.
Cette concentration à saturation est calculée une fois pour toute, en début
de simulation, en se basant sur un profil de référence de l'atmosphère
\cite[]{Lell:89}. Cette approche permet d'éviter des erreurs potentielles
consécutives à des erreurs sur la température simulée et de simplifier
l'analyse des couplages entre dynamique et composition.


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\subsection{Grille et spécifications diverses}

Dans les simulations présentées ci-dessous, la discrétisation est
basée sur 48 bandes de latitudes d'égale largeur réparties entre les
deux pôles et 55 niveaux sur la verticale, dont les 3 derniers servent
de couche absorbante pour réduire la possible réflexion des ondes
au sommet du modèle.
Le niveau 52 se situe approximativement à 480~km.
La résolution verticale est d'environ 3~km dans la troposphère,
5~km à la tropopause et 10-15~km dans la stratosphère, ce qui 
correspond à la moitié ou au tiers de la hauteur d'échelle.
Les équations primitives sont intégrées avec un pas de temps de
3 minutes et le transfert radiatif est calculé 10 fois par jour.
Des informations complémentaires sont données par
\cite{Luz:03II} et \cite{Rann:04}.

Toutes les simulations présentées ici ont été démarrées à partir d'états
initiaux hérités de simulations précédentes.
Le modèle est à chaque fois intégré pendant plusieurs années
(de Titan soit plusieurs siècles) jusqu'à ce que les
résultats soient reproductibles d'une année sur l'autre.
Il se trouve en fait que les constantes de temps mises en jeu
dans la stratosphère sont beaucoup plus courtes que ce que peuvent
laisser penser les constantes de temps chimiques par exemple.
Les résultats montrés dans la partie sur l'enrichissement 
polaire correspondent par exemple à l'année 6 de la simulation, ce qui
s'avère amplement suffisant.

