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I 1
\section{Introduction}

Les sch\'emas num\'eriques en diff\'erences finies utilis\'es pour
int\'egrer les \'equations de la m\'ecanique des fluides sont
D 2
en g\'en\'eral con\c{c}us pour pr\'eserver certaines des propri\'et\'es
E 2
I 2
g\'en\'eralement con\c{c}us pour pr\'eserver certaines des
propri\'et\'es
E 2
de conservation des \'equations originelles.
A cela, deux raisons principales:
D 2
\begin{itemize}
E 2
I 2
\begin{enumerate}
E 2
\item
la conservation des invariants, en particulier les invariants
D 2
quadratiques, est importante pour \'eviter
que les mod\`eles divergent.
Dans le cas par exemple o\`u l'\'energie totale de l'\'ecoulement
est conserv\'ee, le module du vent est born\'e en chaque point.
Ceci donne une id\'ee intuitive de l'importance que peut
rev\^etir la conservation d'un invariant quadratique.
Ce prob\`eme est discut\'e
de fa\c{c}on assez g\'en\'erale dans~\cite{Kasa:77}.
E 2
I 2
quadratiques,
est importante pour \'eviter
que les mod\`eles divergent\footnote{
On peut comprendre intuitivement l'importance de la conservation
des invariants quadratiques. Si  l'\'energie totale du syst\`eme
atmosph\'erique est conserv\'ee, l'\'energie cin\'etique et, par
cons\'equent le module du vent sont born\'es en chaque point
(ce type d'argumentation est d\'evelopp\'ee par exemple
par Kasahara~\cite{Kasa:77}).}.
E 2
\item
la deuxi\`eme motivation est plus sp\'ecifique de la mod\'elisation
D 2
climatique pour laquelle on s'int\'eresse plus
\`a reproduire certaines
E 2
I 2
climatique, plus int\'eress\'ee \`a reproduire certaines
E 2
caract\'eristiques stastistiques des \'ecoulements qu'\`a suivre
de fa\c{c}on pr\'ecise une solution particuli\`ere
(comme en m\'et\'eorologie).
D 2
La conservation de certaines propri\'et\'es int\'egrales peut
permettre aussi d'\'eviter des d\'erives \`a long terme
des mod\`eles.
\end{itemize}
E 2
I 2
La conservation de certains invariants permet d'\'eviter
des {\em d\'erives} de ces caract\'eristiques statistiques dans des
simulations longues.
\end{enumerate}
E 2

D 2
Au d\'ebut de la mod\'elisation climatique, le
probl\`eme prioritaire \'etait d'assurer la stabilit\'e des mod\`eles
pour pouvoir effectuer des simulations longues du climat.
E 2
I 2
Au d\'ebut de la mod\'elisation climatique,
priorit\'e \'etait donn\'ee \`a la stabilit\'e des mod\`eles.
E 2
Les recherches se sont donc surtout concentr\'ees sur la conservation
D 2
des invariants quadratiques fondamentaux que sont l'\'energie
E 2
I 2
des invariants quadratiques fondamentaux: l'\'energie
E 2
et l'enstrophie potentielle.
D 2
Il s'av\`ere en fait que la conservation simultan\'ee
de ces deux quantit\'es n'est pas possible dans le type de formulation
classiquement utilis\'e pour la mod\'elisation
climatique~\cite{Sado:75}.
E 2
I 2
En fait, aucune formulation num\'erique en diff\'erences finies
ne semble pouvoir conserver simultan\'ement les deux
quantit\'es~\cite{Sado:75}.
E 2
L'originalit\'e essentielle de la dynamique du LMD est d'avoir
privil\'egi\'e la conservation de l'enstrophie~\cite{Sado:75a}
alors que la plupart des mod\`eles privil\'egient
l'\'energie~\cite{Arak:77}.

Le sujet de cette note est de montrer que la
non-conservation du moment cin\'etique dans la formulation originale
du Mod\`ele de Circulation G\'en\'erale (MCG)
du LMD conduit \`a des erreurs syst\'ematiques sur la
structure du vent zonal, particuli\`erement dans la r\'egion des
D 2
aliz\'es, et de proposer finalement une modification
du sch\'ema num\'erique permettant de conserver
E 2
I 2
aliz\'es. Finalement, une modification du sch\'ema d'advection
du moment cin\'etique est props\'ee.
Elle permet de conserver
E 2
partiellement le moment cin\'etique tout
D 2
en maintenant les propri\'et\'es de conservation originales du
mod\`ele.
Ce travail a \'et\'e motiv\'e \`a l'origine
E 2
I 2
en maintenant la propri\'et\'e de conservation de l'enstrophie
potentielle.
La nouvelle formulation am\'eliore consid\'erablement la
repr\'esentation des aliz\'es dans le MCG climatique.
Elle est de plus un atout pour toutes les \'etudes dans
lesquelles la conservation du moment cin\'etique joue un r\^ole
important. L'\'etude de la {\em superrotation} de l'atmosph\`ere
de V\'enus, men\'ee il y a quelques ann\'ees au LMD~\cite{Tour:84},
avait par exemple but\'e sur ce d\'efaut majeur du mod\`ele
dynamique.

Le travail pr\'esent\'e dans cette note
a \'et\'e motiv\'e, \`a l'origine,
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par des probl\`emes num\'eriques
rencontr\'es lors de l'int\'egration de la version martienne du MCG;
D 2
un fort jet \'etait cr\'e\'e dans ces simulations au dessus de
l'\'equateur, aboutissant \`a une explosion num\'erique.
E 2
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un fort jet \'etait cr\'e\'e dans ces simulations dans les r\'egions
tropicales, aboutissant \`a une explosion num\'erique.
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