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u
U
f e 0
t
T
I 1
\section{La non-conservation du moment cin\'etique
et son effet sur la structure des aliz\'es}

\subsection{Remarques g\'en\'erales sur la conservation du moment
cin\'etique}

D 2
Le moment cin\'etique global de l'atmosph\`ere autour de l'axe
des p\^oles est une quantit\'e conserv\'ee au cours du temps
E 2
I 2
Le moment cin\'etique total de l'atmosph\`ere autour de l'axe
des p\^oles est conserv\'e au cours du temps
E 2
par les \'ecoulements atmosph\'eriques except\'e dans les \'echanges
avec le sol. Les processus de diffusion internes \`a l'atmosph\`ere,
par exemple, n'induisent aucune variation de cette quantit\'e.
Autre remarque importante: du fait du caract\`ere lin\'eaire du moment
D 2
cin\'etique (dans le cas $p_s=cste$),
E 2
I 2
cin\'etique (dans le cas $p_s=cte$),
E 2
celui-ci est th\'eoriquement conserv\'e pour les
\'ecoulements explicitement repr\'esent\'es dans un mod\`ele
en diff\'erences finies
(contrairement \`a l'enstrophie par exemple qui peut \'evoluer par
\'echange avec les \'echelles de sous-maille).
La conservation du moment cin\'etique est donc une contrainte
tr\`es forte sur l'\'ecoulement atmosph\'erique.

Cette conservation est, en plus, un instrument important d'analyse pour
la compr\'ehension de la circulation g\'en\'erale.
Dans ce cadre en effet, on s'int\'eresse particuli\`erement
\`a la redistribution dans un plan latitude-altitude
de la moyenne zonale de certaines quantit\'es.
Or, dans le cas le plus simple d'un \'ecoulement axi-sym\'etrique,
l'\'evolution du moment cin\'etique dans un plan latitude-altitude
se r\'eduit au terme d'advection m\'eridienne.
D 2
Cette contrainte est par exemple fondamentale dans la compr\'ehension
de la distribution du vent zonal dans les r\'egions de basse latitude
E 2
I 2
Cette vision axi-sym\'etrique du transport du moment cin\'etique
permet d'expliquer la distribution du vent zonal
dans les r\'egions de basse latitude
E 2
domin\'ees par la circulation de Hadley, relativement axi-sym\'etrique.
D 2
Si on tient compte en plus des perturbations longitudinales,
E 2
I 2
En tenant compte en plus des perturbations longitudinales,
E 2
le moment cin\'etique peut
\^etre \'echang\'e entre deux points du plan latitude-altitude
par des ondes,
ce qui se produit par exemple dans le cas des ondes de relief.

\subsection{Erreurs syst\'ematiques dans le mod\`ele original du LMD}

J'ai \'et\'e conduit \`a m'int\'eresser \`a la conservation du moment
cin\'etique dans le mod\`ele du LMD \`a la suite de probl\`emes
num\'eriques survenus lors de l'int\'egration de la version
martienne du mod\`ele dans une r\'esolution tr\`es faible:
\resol{32}{24}{11}.
Dans ces simulations, le mod\`ele produisait localement un tr\`es
fort maximum du vent zonal au sommet de la branche descendante de la
cellule de Hadley. Ce jet d'ouest tropical \'etait pratiquement
r\'eduit \`a un point dans le plan $\dep{\phi,\sigma}$.
Les simulations finissaient par diverger.
Ce maximum du vent zonal apparaissait aussi dans des simulations
d'une version 2--D axi-sym\'etrique du mod\`ele, ce qui \'eliminait
d'embl\'ee l'hypoth\`ese d'un effet li\'e \`a des ondes.
Seuls restaient possibles des effets des processus dissipatifs
D 2
(difusion verticale et dissipation horizontale) ou des probl\`emes
E 2
I 2
(diffusion verticale et dissipation horizontale) ou des probl\`emes
E 2
num\'eriques li\'es \`a la non conservation du moment cin\'etique.
La premi\`ere hypoth\`ese a \'et\'e \'elimin\'ee car des tests
effectu\'es avec une dissipation plus forte produisaient un comportement
moins pathologique.

Sur Mars, les informations directes sur les vents sont tr\`es rares,
et il est donc difficile de certifier que le comportement
du vent zonal est effectivement pathologique, autrement
que par des arguments th\'eoriques. Mais ce comportement
pr\'esente de fortes analogies avec des d\'efauts syst\'ematiques
D 2
du vent zonal dans les simulations du climat terrestre du LMD.
E 2
I 2
du vent zonal simul\'e par le mod\`ele climatique du LMD.
E 2
En effet, lors des premi\`eres tentatives d'int\'egrations longues
(sur plus d'un an) du mod\`ele climatique du LMD, au milieu des ann\'ees
1980,
D 2
une d\'erive syst\'ematique du MCG est apparue aboutissant
E 2
I 2
une d\'erive syst\'ematique est apparue aboutissant
E 2
\`a une disparition presque compl\`ete des aliz\'es.
Vincent Cass\'e a alors montr\'e~\cite{Cass:89} que le couplage
avec une physique sans doute plus dissipative,
celle de la M\'et\'eorologie
Nationale, r\'eduisait la d\'erive de fa\c{c}on significative.
A la suite de ce travail, Herv\'e Le Treut a introduit un terme de
m\'elange vertical de la quantit\'e de mouvement dans les processus
d'ajustement convectif, ce qui a eu pour effet de diminuer la d\'erive
et d'am\'eliorer la repr\'esentation du vent zonal.
Cependant, ce changement n'a pas r\'esolu compl\`etement le probl\`eme,
comme le montre la structure du vent zonal pour un run de contr\^ole
dans une exp\'erience de doublement du gaz carbonique effectu\'ee
par Zhao-Xin Li et Mich\`ele Forichon avec le mod\`ele du LMD
(panneau du bas Figure~\ref{fg:terreo}).
D 2
En comparant le vent zonal \`a la climatologie (panneau du haut),
E 2
I 2
En comparant le vent zonal simul\'e
\`a la climatologie (panneau du haut),
E 2
on constate notamment la pr\'esence anormale
de vents positifs dans les basses
D 2
latitudes. La structure en altitude des jets est aussi tr\`es
diff\'erente, mais ce probl\`eme particulier est sans doute li\'e
au for\c{c}age physique.
E 2
I 2
latitudes.
La fermeture des jets en altitude est \'egalement
tr\`es mal rep\'esent\'ee dans les simulations.
E 2
\input{fgterreo}

Les probl\`emes survenus dans les simulations terrestres et martiennes
pr\'esentent les similarit\'es suivantes:
le probl\`eme est particuli\`erement sensible dans les r\'egions
D 2
tropicales o\`u il correspond \`a la cr\'eation d'une superrotation;
E 2
I 2
tropicales o\`u il correspond \`a une erreur positive sur 
le vent zonal;
E 2
la circulation produite par le mod\`ele est d'autant plus
irr\'ealiste que la r\'esolution et la dissipation sont faibles.

D 2
On va montrer, dans la partie suivante, comment la non conservation
num\'erique du moment cin\'etique peut conduire \`a une telle d\'erive.
On peut avant d'entrer dans le d\'etail du calcul, faire une remarque
concernant la r\'epartition g\'eographique des erreurs.
L'analyse de la stabilit\'e de l'\'equilibre g\'eostrophique
montre que cet \'equilibre est stable seulement si la vorticit\'e
absolue de l'\'ecoulement reste partout positive~\cite{Holt:79},
ou encore, pour les
champs en moyenne zonale, si le moment cin\'etique particulaire
d\'ecro\^{\i}t avec la latitude.
E 2
I 2
\paragraph{Remarque sur la r\'epartition g\'eographique des erreurs.}
L'\'equilibre g\'eostrophique n'est stable 
vis \`a vis d'un \'echange horizontal de particules d'air
que si la vorticit\'e absolue de l'\'ecoulement reste partout
positive~\cite{Holt:79}.
Ceci implique en particulier que la moyenne zonale
du moment cin\'etique
doit d\'ecro\^{\i}tre avec la latitude.
E 2
Dans la branche sup\'erieure de la cellule de Hadley,
o\`u le profil latitudinal du vent zonal n'est pas tr\`es \'eloign\'e
d'un profil \`a moment cin\'etique constant,
une source purement num\'erique
de moment cin\'etique, vers $30^o$ par exemple,
produirait une inversion du gradient latitudinal de moment cin\'etique.
L'instabilit\'e ainsi cr\'e\'ee serait alors r\'eduite par un
transport de moment cin\'etique vers l'\'equateur.
Ceci peut expliquer {\em a priori} que l'erreur num\'erique produise un
renforcement syst\'ematique de la rotation de l'atmosph\`ere dans
les basses latitudes.

\subsection{Analyse de l'erreur num\'erique produite dans le cas
simple d'un \'ecoulement axi-sym\'etrique}

Il s'av\`ere en fait que l'erreur responsable de la d\'erive sur le
vent zonal apparait m\^eme dans le cas d'un \'ecoulement
axi-sym\'etrique, ce qui simplifie consid\'erablement l'analyse.
La d\'erive est d'ailleurs \'egalement observ\'ee
D 2
dans les simulations martiennes du MCG en version 2-D.
On se place donc dans le cas d'un \'ecoulement axi-sym\'etrique
sans termes sources.
La premi\`ere composante de l'\'equation du mouvement se r\'eduit
alors \`a:
E 2
I 2
dans les simulations martiennes effectu\'ees avec la version 2-D.
Dans le cas d'un \'ecoulement axi-sym\'etrique
sans termes sources,
la premi\`ere composante de l'\'equation du mouvement se r\'eduit
\`a:
E 2
\begin{equation}
I 2
\label{eq:advum}
E 2
\dt{\ucov}-\av{\Zm}{Y}\av{V}{Y}
+\frac{\av{W \dz \ucov}{Z}}{\pext\dsig}=0
\end{equation}
D 2
Si on introduit le moment cin\'etique particulaire:
E 2
I 2
En introduisant le moment cin\'etique particulaire
E 2
\begin{equation}
M=a \cos{\phi} \dep{u+a\Omega\cos{\phi}}=
D 2
\frac{d\lambda}{dX}\dep{\ucov+\cu a \Omega\cos{\phi}}
E 2
I 2
\dep{\frac{d\lambda}{dX}}^{-1}\dep{\ucov+\cu a \Omega\cos{\phi}}
E 2
\end{equation}
D 2
on trouve directement la forme num\'erique de
l'\'equation de variation Eul\'erienne du moment cin\'etique:
E 2
I 2
l'\'equation~\ref{eq:advum} peut s'\'ecrire comme une
\'equation d'\'evolution du moment cin\'etique
sous l'effet de l'advection dans le plan latitude--altitude
E 2
\begin{equation}
\label{eq:M1}
\dt{M}+\av{\frac{\dy M}{\av{\pext}{Y}}}{Y}\av{V}{Y}
+\frac{\av{W \dz M}{Z}}{\pext\dsig}=0
\end{equation}
D 2
sous r\'eserve qu'on calcule le facteur de Coriolis
sous sa forme rotationnelle:
E 2
I 2
sous r\'eserve que le facteur de Coriolis
soit calcul\'e comme un rotationnel:
E 2
\begin{equation}
\label{eq:frot}
\fext=-\dy \dep{\cu a \Omega \cos{\phi}}
\end{equation}\\
D 2
ce qui n'est pas le cas dans la formulation originale.
On utilise cependant cette forme de $\fext$ dans ce qui suit.

Dans la suite, on simplifie encore les \'equations en supposant
E 2
I 2
ce qui est suppos\'e par la suite\footnote{
Dans les \'equations originelles du MCG,
le terme de Coriolis n'\'etait pas calcul\'e sous
sa forme rotationnelle (\'equation~\ref{eq:frot}).
Cependant, les erreurs sur le moment
cin\'etique qui en d\'ecoulent sont n\'egligeables devant celles
g\'en\'er\'ees par la mauvaise repr\'esentation de l'advection
m\'eridienne du vent zonal.}.
Simplifions \`a nouveau les \'equations en supposant
E 2
que $\pext$ est constant \`a la fois spatialement et dans le temps
(sur une grille \`a aires constantes, ceci revient \`a
s'int\'eresser aux \'ecoulements \`a pression de surface constante).
C'est en fait le seul moyen de se d\'ebarrasser de la pression au
sol introduite au d\'enominateur du terme rotationnel pour
assurer la conservation de l'enstrophie potentielle.
L'\'equation~\ref{eq:M1} se r\'eduit alors \`a
\begin{equation}
\label{eq:advM}
\dt{\dep{\pext \dsig M}} + \av{\dy M}{Y} \av{V}{Y} \dsig
+\av{W \dz M}{Z}=0
\end{equation}
D 2
On peut introduire une forme conservative classique assez proche
E 2
I 2
On peut introduire une formulation conservative classique assez proche
E 2
de cette formulation:
\begin{equation}
\label{eq:advMcons}
\dt{\dep{\pext \dsig M}} + \av{V \dy M}{Y}\dsig
+\av{W \dz M}{Z}=0
\end{equation}
Dans ce cas en effet, l'\'evolution du moment cin\'etique global
se r\'eduit en utilisant l'anti-sym\'etrie de
l'op\'erateur de d\'erivation
($\glob{a\delta_x b}=-\glob{b \delta_x a}$):
\begin{eqnarray}
\dt{\glob{\pext \dsig M}}
& = & -\glob{V\dy M \dsig}-\glob{W\dz M}\\
& = & \glob{M\dy V \dsig}+\glob{M\dz W}
\end{eqnarray}
et s'annule finalement gr\^ace \`a l'\'equation de continuit\'e.
De plus un d\'eveloppement simple montre que:
\begin{equation}
\label{eq:formule}
\av{V\dy M}{Y}-\av{\dy M}{Y}\av{V}{Y}=\frac{\dy V \dy\dep{\dy M}}{4}
\end{equation}
En utilisant les Equations~\ref{eq:advMcons}
D 2
et~\ref{eq:formule}, on peut r\'e\'ecrire l'\'equation~\ref{eq:advM}
sous la forme
E 2
I 2
et~\ref{eq:formule}, l'\'equation~\ref{eq:advM} devient
E 2
\begin{equation}
\dt{\dep{\pext \dsig M}}+\av{V \dz M}{Y} \dsig +\av{W \dz M}{Z}=
\frac{\dy V \dy\dep{\dy M}}{4} \dz\sigma
\end{equation}
o\`u la partie non conservative du moment cin\'etique a \'et\'e
isol\'ee dans le membre de droite.
D 2

E 2
On voit qu'une erreur est produite sur le moment cin\'etique global
d\`es lors qu'il existe une corr\'elation entre la d\'eriv\'ee
D 2
seconde du champ de moment cin\'etique et la d\'eriv\'ee du champ de
vent.
E 2
I 2
seconde en latitude du moment cin\'etique et la d\'eriv\'ee
latitudinale du vent m\'eridien.
E 2

Sur Terre et  sur Mars, le terme
$\dy\dep{\dy M}$  est g\'en\'eralement n\'egatif, ce qui correspond
\`a la condition suffisante de stabilit\'e au sens de
D 2
l'instabilit\'e barotrope.
E 2
I 2
l'instabilit\'e barotrope~\cite{Holt:79}.
E 2
D\'es lors, le terme non conservatif de l'\'equation de transport
D 2
du moment cin\'etique produira un exc\'edent de moment cin\'etique
E 2
I 2
du moment cin\'etique produira une erreur positive sur le vent zonal
E 2
dans les zones de convergence latitudinale ($\dy V<0$)
D 2
et une d\'ecroissance dans les r\'egions de divergence.
E 2
I 2
et n\'egative dans les r\'egions de divergence.
E 2
\input{fgmars}
Cet effet local est illustr\'e
sur la Figure~\ref{fg:mars} repr\'esentant l'\'evolution
du vent zonal dans une simulation Martienne de dix jours.

L'\'etat initial est le r\'esultat d'une simulation effetcu\'ee
D 2
avec la formulation pr\'esent\'ee dans la section suivante
qui conserve le moment cin\'etique.
Cet \'etat initial correspond \`a un solstice d'hiver nord; la
E 2
I 2
avec la formulation conservative pr\'esent\'ee dans la section
suivante.
Il correspond \`a un solstice d'hiver nord; la
E 2
circulation m\'eridienne (graphique du haut Figure~\ref{fg:mars})
D 2
est domin\'ee par une grande cellule de Hadley s\'etendant
des moyennes latitudes de l'h\'emisph\`ere sud et se terminant
par une branche descendante dans les latitudes moyennes de
l'h\'emisph\`ere d'hiver.
E 2
I 2
est domin\'ee par une grande cellule de Hadley qui s'\'etend
des moyennes latitudes de l'h\'emisph\`ere sud (branche ascendante)
aux latitudes moyennes de l'h\'emisph\`ere d'hiver (subsidance).
E 2
Le vent zonal dans les basses latitudes
(second graphique de la Figure~\ref{fg:mars})
est bien en accord avec les arguments simples de transport
du moment cin\'etique par la circulation m\'eridienne
D 2
avec notamment un syst\`eme d'aliz\'es
dans la basse troposph\`ere s'inversant en traversant l'\'equateur.
E 2
I 2
avec notamment un syst\`eme d'aliz\'es:
on observe comme sur Terre la
cr\'eation d'un syst\`eme de vent d'est dans l'h\'emisph\`ere
nord o\`u les particules sont advect\'ees vers l'\'equateur;
du fait que la circulation de Hadley s'\'etend beaucoup plus loin
que sur Terre dans l'h\'emisph\`ere d'\'et\'e, on observe
de plus un fort vent d'ouest vers $20^oS$.
E 2

D 2
A partir de cette \'etat initial obtenu avec une formulation conservant
le moment cin\'etique, le mod\`ele a \'et\'e integr\'e pendant
dix jours avec l'ancienne formulation non conservative.
Les deux graphiques du bas montrent la
d\'et\'erioration du vent zonal au bout de 5 et 10 jours respectivement.
E 2
I 2
A partir de cette \'etat initial
(obtenu avec une formulation qui conserve
le moment cin\'etique) le mod\`ele a \'et\'e integr\'e pendant
dix jours en utilisant la formulation non conservative.
Les deux graphiques du bas de la Figure~\ref{fg:mars}
montrent la d\'et\'erioration du vent zonal
au bout de 5 et 10 jours respectivement.
E 2
On voit tr\`es clairement se cr\'eer des d\'erives positives locales du
vent zonal dans les zones de convergence de la cellule de Hadley,
en bas de la branche ascendante et en haut de la branche descendante.
En absence de dissipation, ces erreurs cro\^{\i}traient
D 2
exponentiellement,
E 2
I 2
exponentiellement
E 2
(un maximum local du vent ainsi cr\'e\'e renfor\c{c}ant
le terme $\dy\dep{\dy M}$ et donc le maximum lui-m\^eme).

Bien que moins nettement, on observe \'egalement dans les simulations
terrestres (Figure~\ref{fg:terreo}) les maxima de d\'efauts
positifs du vent zonal dans les zones de convergence de la cellule
de Hadley Nord.
E 1
