\section{Nouvelle formulation}

\subsection{Nouvelle formulation des \'equations du mouvement}

L'analyse pr\'ec\'edente d\'egage deux erreurs num\'eriques
ind\'ependantes sur la conservation du moment cin\'etique,
l'une li\'ee \`a la d\'efinition du facteur de Coriolis et l'autre
\`a la mauvaise repr\'esentation de l'advection m\'eridienne
de $u$.
La premi\`ere erreur est \'elimin\'ee en utilisant pour $f$
sa forme rotationnelle (\'equation~\ref{eq:frot}).
La seconde (plus fondamentale)
peut \^etre \'elimin\'ee \'egalement
en tirant partie du fait que la conservation num\'erique
de l'enstrophie ne
concerne que les termes d'advection horizontale.
Il est en fait possible de transformer le terme d'advection
verticale afin d'\'eliminer exactement les erreurs sur l'advection
m\'eridienne du moment cin\'etique pr\'esent\'ees dans la section
pr\'ec\'edente.
On peut pour ce faire utiliser les deux formulations suivantes:
\begin{equation} \label{eq:newu1}
\dt{\ucov} -
\av{Z}{Y} \av{V}{X,Y} 
+ \dx \left( \Phi + K \right)
+s \av{\h}{X} \dx \psk
- \frac{\av{\ucov}{Y,Y} \dz \av{W}{X} }
{\av{\pext}{X} \dsig }
+ \frac{\dz \left( \av{W}{X} \av{\ucov}{Z} \right) }
{\av{\pext}{X} \dsig}
=S_{\ucov}
\end{equation}
ou
\begin{equation} \label{eq:newu2}
\dt{\ucov} -
\av{Z}{Y} \av{V}{X,Y} 
+ \dx \left( \Phi + K \right)
+s \av{\h}{X} \dx \psk
- \frac{\av{\uabs}{Y,Y} \dz \av{W}{X} }
{\av{\pext}{X} \dsig }
+ \frac{\dz \left( \av{W}{X} \av{\uabs}{Z} \right) }
{\av{\pext}{X} \dsig}
=S_{\ucov}
\end{equation}
o\'u $\uabs$ est la composante zonale covariante
du vecteur vent absolu:
\begin{equation}
\uabs=\ucov+\cu a \Omega \cos{\phi} =\dep{\frac{d\lambda}{dX}}M
\end{equation}
La deuxi\`eme formulation est plus proche
d'une \'equation d'\'evolution
du moment cin\'etique.
On v\'erifie facilement que ces deux formulations conservent
le moment cin\'etique dans le cas simple \'etudi\'e pr\'ec\'edemment
d'un \'ecoulement axi-sym\'etrique avec $\pext=cte$;
cette conservation est obtenue gr\^ace \`a l'introduction du terme
d'advection verticale de $\av{\uabs}{YY}$.
En contre-partie, les nouvelles \'equations ne conservent plus
l'\'energie globale, mais celle-ci n'\'etait conserv\'ee, dans
la formulation originale, que pour des \'ecoulements irrotationnels.

On utilise pour la deuxi\`eme composante de l'\'equation du mouvement
une formulation \'equivalente:
\begin{equation} \label{eq:v1}
\dt{\vcov} +
\av{Z}{X} \av{U}{X,Y} 
+ \dy \left( \Phi + K \right)
+s \av{\h}{Y} \dy \psk
- \frac{\av{\vcov}{X,X} \dz \av{W}{Y} }
{\av{\pext}{Y} \dsig}
+ \frac{\dz \left( \av{W}{Y} \av{\vcov}{Z} \right) }
{\av{\pext}{X} \dsig}
=S_{\vcov}
\end{equation}

\subsection{Conservation du moment cin\'etique dans le cas 3--D}

En se pla\c{c}ant toujours dans l'approximation $\pext=cte$,
l'\'evolution du moment cin\'etique global s'obtient dans le cas 3-D 
en multipliant l'Equation~\ref{eq:newu2} par
\begin{equation}
\pext \dsig \frac{d\lambda}{dX}
\end{equation}
Apr\`es \'elimination des termes de moyenne globale nulle on obtient:
\begin{equation}\label{eq:advM3d}
\dt{\glob{\pext M \dsig}}
=\frac{d\lambda}{dX} \glob{\av{\dx \vcov}{Y}\av{V}{X,Y} \dsig}
+\glob{-\av{\dy M}{Y}\av{V}{X,Y} \dsig
+ \av{M}{Y,Y} \dz \av{W}{X} }
\end{equation}
Le premier terme dans le membre de droite n'est pas nul en g\'en\'eral.
Cependant,
les erreurs num\'eriques correspondantes proviennent uniquement
de la g\'eom\'etrie sph\'erique.
En g\'eom\'etrie plane en effet, ce terme deviendrait
\begin{equation}
\glob{\av{\dx v}{Y}\av{v}{X,Y}}=\glob{\dx \av{v}{Y} \av{\av{v}{Y}}{X}}
\end{equation}
qui s'annule  en utilisant l'identit\'e remarquable
$\av{a}{x} \delta_x a =\delta_x a^2/2$.
Le deuxi\`eme terme \`a droite dans l'Equation~\ref{eq:advM3d}
peut se transformer en utilisant successivement
les propri\'et\'es de sym\'etrie des op\'erateurs discrets et
l'\'equation de continuit\'e:
\begin{eqnarray}
\glob{\av{\dy M}{Y}\av{V}{X,Y} \dsig
- \av{M}{Y,Y} \dz \av{W}{X} }
& = & - \glob{ \av{M}{Y,Y}\av{\dep{\dy V\dsig + \dz W}}{X} }\\
& = & \glob{ \av{M}{Y,Y} \av{\dx U}{X} \dsig }\\
& = & \frac{d\lambda}{dX}\glob{ \av{\ucov}{Y,Y} \av{\dx U}{X} \dsig }
\end{eqnarray}
Une fois encore, les erreurs num\'eriques mises en jeu ici sont
li\'ees uniquement \`a la g\'eom\'etrie sph\'erique.

En r\'esum\'e, les \'equations conservent exactement le
moment cin\'etique pour des \'ecoulements \`a $\pext=cte$
dans le cas d'une circulation axi-sym\'etrique.
Pour les \'ecoulements non axi-sym\'etriques, l'erreur num\'erique
provient exclusivement de la g\'eom\'etrie sph\'erique.

\subsection{Tests num\'eriques}

\paragraph{Dans le MCG de l'atmosph\`ere de Mars,} on utilise la
formulation~\ref{eq:newu2}.
Les deux graphiques du haut de la Figure~\ref{fg:mars}
montrent les r\'esultats d'une simulation effectu\'ee avec cette
nouvelle formulation.
La simulation a \'et\'e poursuivie sur trois ann\'ees martiennes
(six ann\'ees terrestres) sans d\'et\'erioration du vent zonal.

\paragraph{Dans le mod\`ele climatique terrestre,}
c'est la formulation~\ref{eq:newu1} qui a \'et\'e introduite
par Phu Le~Van.
Pour l'instant, le terme de Coriolis est lui toujours calcul\'e
avec l'ancienne formulation.
\input{\localdir/fgterren}
La Figure~\ref{fg:terren} montre les r\'esultats d'une
simulation identique \`a celle pr\'esent\'ee sur la
Figure~\ref{fg:terreo} \`a deux diff\'erences pr\`es:
\begin{enumerate}
\item le changement sur la dynamique pr\'esent\'e ici,
\item un changement sur le sch\'ema de pr\'ecipitation des nuages.
\end{enumerate}
L'am\'elioration de la repr\'esentation du vent zonal est tr\`es
nette et particuli\`erement marqu\'ee dans les basses latitudes.
En revanche, le changement de formulation n'am\'eliore pas
la structure des jets en altitude.
\input{\localdir/fgjuill}
La comparaison entre la climatologie et les deux simulations pour le
mois de juillet (Figure~\ref{fg:juill})
conduit aux m\^emes conclusions.
Il faut noter que ces diff\'erents r\'esultats ont
\'et\'e produits avec une version ancienne de la physique
du mod\`ele climatique et une faible r\'esolution.
La structure du vent zonal est beaucoup mieux repr\'esent\'ee
dans la version {\em cycle5} du mod\`ele~\cite{Polc:91q}
utilis\'ee actuellement pour les \'etudes climatiques.
Cette version inclut les modifications sur la dynamique pr\'esent\'ees
ici et est couramment utilis\'ee en r\'esolution
\resol{64}{50}{11}.
