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\def\dix#1{10$^{#1}$}
%\def\m#1{$^{-#1}$}

\def\deg{^{o}}

\def\eg{e.~g.}
\def\dep#1{\left(#1\right)}
\def\depb#1{\left[#1\right]}
\def\dem{1/2}
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\def\ustar{u_*}
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\def\CAPE{CAPE}
\def\local{therm}
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\def\fraca{\alpha}
\def\fracamin{\fraca_{\mbox{min}}}
\def\SBL{CS}
\def\MBL{CM}
\def\CBL{CBL}
\def\tsbl{\theta_{\mbox{\footnotesize CS}}}
\def\tmbl{\theta_{\mbox{\footnotesize CM}}}
\def\hsbl{z_{\mbox{\footnotesize s}}}
\def\hmbl{z_{\mbox{\footnotesize i}}}
\def\hth{z_{\mbox{max}}}
\def\dz{\delta z}
\def\tmean{\bar{\theta}}
\def\aspr{r}
\def\vk{{\footnotesize{\cal \kappa}}}
\def\vk{\kappa}
\def\ustar{u_*}
\def\MY{MY}
\def\HB{HB}

\begin{document}






\begin{center}
{\bf\large
Equation pronostique de l'énegie cinétique tubulente et conservation de l'énergie
}\\\medskip
Frédéric Hourdin\\
\today
\end{center}

\section{Equation d'évolution de l'énergie cinétique turbulente}

\def\q{c}

Si on développe les équations de la dynamique en introduisant
les perturbation $X'$ d'une variable $X$, on peut dériver
relativement facilement l'équation d'évolution de l'énergie
cinétique tubulente.

Notons
\begin{equation}
e=\frac{1}{2}\depb{\overline{u'^2}+\overline{v'^2}+\overline{w'^2}}
\end{equation}
cette énergie cinétique turbulente.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\def\der#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\def\P{{\cal M}}
\def\D{{\cal N}}
\def\Transp{{\cal T}}
\def\Diss{{\epsilon}}
Sous l'hypothèse de couche limite (gradients horizontaux des grandeurs statistiques nuls, équivalente à l'approximation plan parallèle pour le rayonnement),
on peut montrer
%\cite[voir eg][]{Stul:88}
que l'évolution de
l'énergie cinétique turbulente s'écrit sous la forme
\begin{equation}
\der{e}{t}=\P-\D+\Transp-\frac{1}{\rho}\der{\ave{w'p'}}{z}-\Diss
\end{equation}

Le terme
\begin{equation}
\P=-\overline{w'u'}\der{u}{z}-\overline{w'v'}\der{v}{z}
\end{equation}
est généralement positif. C'est la cas notamment pour les formulations
en diffusion turbulente pour lesquelles 
\begin{equation}
\overline{w'X'}=-K_z \der{X}{z}
\end{equation}
auquel cas
\begin{equation}
\P=K_m M^2
\end{equation}
avec
\begin{equation}
M^2= {\dep{\der{u}{z}}}^2+{\dep{\der{v}{z}}}^2
\end{equation}
Il s'agit d'un terme de production d'énergie cinétique turbulente par transfert depuis l'énergie cinétique de l'écoulement moyen
(comme on va le vérifier plus loin).

Le terme 
\begin{equation}
\D=-\frac{g}{\theta}\overline{w'\theta'}
\end{equation}
est en général positif
dans une atmosphère stable. Il correspond alors
à une destruction de turbulence par les effets de stratification.
Il peut devenir un terme de production dans les atmosphères instables.
Pour les formules en diffusion turbulente, on a
\begin{equation}
\D=K_h N^2
\end{equation}
où $N$ est la fréquence de Brunt Vaissala
\begin{equation}
N^2=\frac{g}{\theta}\der{\theta}{z}
\end{equation}
Les termes suivants sont un terme de pression, le transport vertical
turbulent d'énergie cinétique turbulente (le transport par la grande échelle
est négligé car $w$ est supposé petit), et $\epsilon$ est le terme de
dissipation mécanique de la turbulence.

Les autres termes sont un terme de transport verticales de $e$ 
par la turbulence
\begin{equation}
\Transp=
-\der{\ave{w'e}}{z}
\end{equation}
un terme dit "de pression" (je n'ai toujours pas bien percuté sur
sa signification) et enfin un terme de dissipation, qui transforme en bout de course l'énergie cinétique turbulente en chaleur, souvent pris sous la forme $\Diss=e^{3/2}/\Lambda$.

L'énergie cinétique turbulente est puisée dans l'énergie cinétique
(terme sourcec $\P$) et l'énergie statique (terme source $-\D$) de l'écoulement moyen.
Si on oublie le terme de pression, l'énergie cinétique ainsi
créée peut être transportée par le terme $\Transp$\footnote{A noter qu'une dérivation propre ferait surement apparaître plutôt $\frac{1}{\rho}\der{\rho\overline{w'e'}}{z}$} à un autre niveau dans l'atmosphère.
Mais, si ce terme de transport (souvent négligé) est nul, alors l'énergie $\P-\D$ est déposée localement sous forme de chaleur, un peu plus tard.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Conservation de l'énergie}

En fait, on peut vérifier que, si les flux $\overline{vw'u'}$,
$\overline{w'v'}$ et $\overline{w'\theta'}$
sont des flux associés à des processus conservatifs de quantité
de mouvement et de température potentielle, 
c'est à dire si on peut écrire
\begin{equation}
{\der{\xi}{t}}_{|Trsp}=-\frac{1}{\rho}\der{\overline{w'\xi'}}{z}
\end{equation}
pour $u$, $v$ et $\theta$,
alors
le fait d'ajouter un chauffage local $C_p \delta T = \delta Q=\delta t (\P-\D)$
permet effectivement de conserver l'énergie.

Pour cela, on considère l'intégrale verticale
\begin{eqnarray}
\int_0^\infty -\overline{w'u'}\der{u}{z} \rho dz 
&=& -\depb{u\rho\overline{w'u'}}_0^\infty +\int_0^\infty 
u\der{\rho\overline{w'u'}}{z}\ \rho dz\\
&=& - \int_0^\infty 
u{\der{u}{t}}_{|Trsp}\ \rho dz
\end{eqnarray}
D'où finalement (les termes de bords étant nuls, en bas parce que $u=0$ et en haut parce que le flux est nul),
\begin{eqnarray}
\int_0^\infty \P \rho\ dz &=& \int_0^\infty \frac{1}{2} {\der{\dep{u^2+v^2}}{t}}_{|Trsp} \rho dz
\end{eqnarray}
Pour le mélange turbulent, $\P$ est positif et la diffusion représente donc un terme systématique de décroissance de l'énergie cinétique.
C'est ce à quoi on s'attend si on part d'un champ de vent suivant $x$
dont la valeur oscille autour d'une moyenne $\overline{u}+u^*$. Le mélange va tendre à homogénéiser $u$ à sa valeur moyenne et donc à faire décroitre $\overline{u^2}$
(car $\overline{\dep{\overline{u}+u^*}^2}=
\overline{\overline{u}^2}+
\overline{{u^*}^2}
\ge\overline{\overline{u}^2}$)
 

Pour la $\theta$, on va partir d'une formule un peu simplifiée (sachant que je ne suis pas allé jusqu'au bout des vérifications) :
\begin{equation}
\D=-\frac{g}{\theta_0}\overline{w'\theta'}
\end{equation}


\begin{eqnarray}
 \int_0^\infty \D \rho dz&=&-\depb{\frac{gz}{\theta_0}\rho\overline{w'\theta'}}_0^\infty
+\int_0^\infty \frac{gz}{\theta_0} 
\der{\rho\overline{w'\theta'}}{z} dz\\
&=& -\int_0^\infty gz \frac{1}{\theta_0} {\der{\theta}{t}}_{|Trsp} \rho dz
\end{eqnarray}


On retrouve l'analyse classique de la convection.
Si $\theta$ est plus grand en bas qu'en haut (atmosphére instable,
-$\D$>0), alors le mélange va amener de l'air lourd du haut vers le bas et va faire monter de l'air léger.
L'atmosphère va globalement perdre du géopotentiel $gz$.
Dans ce cas, le terme ${\der{\theta}{t}}_{|Trsp}$ sera négatif en bas
et positif en haut.
L'intégrale calculée ci-dessus sera donc négative.

Reste à démontrer que c'est exactement le puits de $C_vT+gz$ (c'est ca qu'on veut dans le processus de transport).

On peut utiliser le fait que
\begin{equation}
\int_0^\infty \dep{C_v T+gz} \rho dz = \int_0^\infty C_p T\rho dz= \frac{1}{\kappa} \int_0^\infty gz \rho dz \mbox{\ \ \ avec } \kappa=\frac{R}{C_p}
\end{equation}


\section{En pratique dans le code}

Si on active vraiment une équation de la TKE, comme dans le schéma
de Mellor et Yamada, le mieux est de mettre directement le
terme $\Diss$ comme chauffage local additionel.

Pour toutes les autres paramétrisations qui tranportent $\theta$
et la quantité de mouvement, on peut directement 
ajouter $\P-\D$ comme chauffage local.

On peut éventuellement partir directement des tendances
intégrées à partir du sommet de l'atmosphère,

\begin{equation}
\rho \overline{w'\xi'}=\int_z^\infty {\der{\xi}{t}}_{|Trsp}\rho dz
\end{equation}

Ces corrections s'appliquent en particulier au modèle du thermique !

Pour la convection profonde, il faut sans doute regarder d'un peu plus près de quels flux ou tendances il faut partir pour que ce calcul soit valable.

Pour la quantité de mouvement pour les thermiques, il faut bien vérifier aussi que le terme de couplage par termes de pression horizontaux entre le vent moyen et le panache (qui incline les panaches) ne viole pas cette conservation.


\bibliography{/home/hourdin/TEX/BIBLIO/fred,/home/hourdin/TEX/LMDZ/lmdz}

\end{document}

