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e
u
U
f e 0
t
T
I 1
\section{Nouvelle formulation}

\subsection{Nouvelle formulation des \'equations du mouvement}

L'analyse pr\'ec\'edente d\'egage deux erreurs num\'eriques
ind\'ependantes sur la conservation du moment cin\'etique,
l'une li\'ee \`a la d\'efinition du facteur de Coriolis et l'autre
D 2
\`a la mauvaise repr\'esentation de l'advection m\'eridionale
E 2
I 2
\`a la mauvaise repr\'esentation de l'advection m\'eridienne
E 2
de $u$.
La premi\`ere erreur est \'elimin\'ee en utilisant pour $f$
D 2
la forme rotationelle~\ref{eq:frot}.
Pour \'elimin\'e la seconde source d'erreur (plus fondamentale),
on tire partie du fait que la conservation de l'enstrophie ne
E 2
I 2
sa forme rotationelle (\'equation~\ref{eq:frot}).
La seconde (plus fondamentale)
peut \^etre \'elimin\'ee \'egalement
en tirant partie du fait que la conservation num\'erique
de l'enstrophie ne
E 2
concerne que les termes d'advection horizontale.
Il est en fait possible de transformer le terme d'advection
D 2
verticale assurer \'eliminer exactement les erreurs sur l'advection
m\'eridienne du moment cin\'etiques pr\'esent\'ees dans la section
E 2
I 2
verticale afin d'\'eliminer exactement les erreurs sur l'advection
m\'eridienne du moment cin\'etique pr\'esent\'ees dans la section
E 2
pr\'ec\'edente.
D 2
On peut en fait utiliser les deux formulations suivantes:
E 2
I 2
On peut pour ce faire utiliser les deux formulations suivantes:
E 2
\begin{equation} \label{eq:newu1}
\dt{\ucov} -
\av{Z}{Y} \av{V}{X,Y} 
+ \dx \left( \Phi + K \right)
+s \av{\h}{X} \dx \psk
- \frac{\av{\ucov}{Y,Y} \dz \av{W}{X} }
{\av{\pext}{X} \dsig }
+ \frac{\dz \left( \av{W}{X} \av{\ucov}{Z} \right) }
{\av{\pext}{X} \dsig}
D 2
=S_u
E 2
I 2
=S_{\ucov}
E 2
\end{equation}
ou
\begin{equation} \label{eq:newu2}
\dt{\ucov} -
\av{Z}{Y} \av{V}{X,Y} 
+ \dx \left( \Phi + K \right)
+s \av{\h}{X} \dx \psk
- \frac{\av{\uabs}{Y,Y} \dz \av{W}{X} }
{\av{\pext}{X} \dsig }
+ \frac{\dz \left( \av{W}{X} \av{\uabs}{Z} \right) }
{\av{\pext}{X} \dsig}
D 2
=S_u
E 2
I 2
=S_{\ucov}
E 2
\end{equation}
D 2
o\'u $\uabs$ est la composante zonale covariante du vecteur vent absolu:
E 2
I 2
o\'u $\uabs$ est la composante zonale covariante
du vecteur vent absolu:
E 2
\begin{equation}
D 2
\uabs=\ucov+\cu a \Omega \cos{\phi} =\dep{\frac{d\lambda}{dX}}^{-1}M
E 2
I 2
\uabs=\ucov+\cu a \Omega \cos{\phi} =\dep{\frac{d\lambda}{dX}}M
E 2
\end{equation}
D 2
La deuxi\`eme formulation est plus proche d'une \'equation d'\'evolution
E 2
I 2
La deuxi\`eme formulation est plus proche
d'une \'equation d'\'evolution
E 2
du moment cin\'etique.
On v\'erifie facilement que ces deux formulations conservent
D 2
moment cin\'etique dans le cas simple \'etudi\'e pr\'ec\'edemment
d'un l'\'ecoulement axi-sym\'etrique avec $\pext=cte$;
E 2
I 2
le moment cin\'etique dans le cas simple \'etudi\'e pr\'ec\'edemment
d'un \'ecoulement axi-sym\'etrique avec $\pext=cte$;
E 2
cette conservation est obtenue gr\^ace \`a l'introduction du terme
d'advection verticale de $\av{\uabs}{YY}$.
I 2
En contre-partie, les nouvelles \'equations ne conservent plus
l'\'energie globale, mais celle-ci n'\'etait conserv\'ee, dans
la formulation originale, que pour des \'ecoulements irrotationels.
E 2

On utilise pour la deuxi\`eme composante de l'\'equation du mouvement
une formulation \'equivalente:
\begin{equation} \label{eq:v1}
\dt{\vcov} +
\av{Z}{X} \av{U}{X,Y} 
+ \dy \left( \Phi + K \right)
+s \av{\h}{Y} \dy \psk
D 2
+ \frac{\av{\vcov}{X,X} \dz \av{W}{Y} }
E 2
I 2
- \frac{\av{\vcov}{X,X} \dz \av{W}{Y} }
E 2
{\av{\pext}{Y} \dsig}
+ \frac{\dz \left( \av{W}{Y} \av{\vcov}{Z} \right) }
{\av{\pext}{X} \dsig}
D 2
=S_v
E 2
I 2
=S_{\vcov}
E 2
\end{equation}

\subsection{Conservation du moment cin\'etique dans le cas 3--D}

En se pla\c{c}ant toujours dans l'approximation $\pext=cte$,
l'\'evolution du moment cin\'etique global s'obtient dans le cas 3-D 
en multipliant l'Equation~\ref{eq:newu2} par
\begin{equation}
\pext \dsig \frac{d\lambda}{dX}
\end{equation}
Apr\`es \'elimination des termes de moyenne globale nulle on obtient:
\begin{equation}\label{eq:advM3d}
\dt{\glob{\pext M \dsig}}
=\frac{d\lambda}{dX} \glob{\av{\dx \vcov}{Y}\av{V}{X,Y} \dsig}
+\glob{-\av{\dy M}{Y}\av{V}{X,Y} \dsig
+ \av{M}{Y,Y} \dz \av{W}{X} }
D 2
=0
E 2
\end{equation}
Le premier terme dans le membre de droite n'est pas nul en g\'en\'eral.
D 2
On peut remarquer cependant que
les erreurs num\'eriques proviennent uniquement
E 2
I 2
Cependant,
les erreurs num\'eriques correspondantes proviennent uniquement
E 2
de la g\'eom\'etrie sph\'erique.
En g\'eom\'etrie plane en effet, ce terme deviendrait
\begin{equation}
\glob{\av{\dx v}{Y}\av{v}{X,Y}}=\glob{\dx \av{v}{Y} \av{\av{v}{Y}}{X}}
\end{equation}
qui s'annule  en utilisant l'identit\'e remarquable
$\av{a}{x} \delta_x a =\delta_x a^2/2$.
Le deuxi\`eme terme \`a droite dans l'Equation~\ref{eq:advM3d}
peut se transformer en utilisant successivement
les propri\'et\'es de sym\'etrie des op\'erateurs discrets et
l'\'equation de continuit\'e:
\begin{eqnarray}
\glob{\av{\dy M}{Y}\av{V}{X,Y} \dsig
- \av{M}{Y,Y} \dz \av{W}{X} }
& = & - \glob{ \av{M}{Y,Y}\av{\dep{\dy V\dsig + \dz W}}{X} }\\
& = & \glob{ \av{M}{Y,Y} \av{\dx U}{X} \dsig }\\
& = & \frac{d\lambda}{dX}\glob{ \av{\ucov}{Y,Y} \av{\dx U}{X} \dsig }
\end{eqnarray}
Une fois encore, les erreurs num\'eriques mises en jeu ici sont
li\'ees uniquement \`a la g\'eom\'etrie sph\'erique.

En r\'esum\'e, les \'equations conservent exactement le
moment cin\'etique pour des \'ecoulements \`a $\pext=cte$
dans le cas d'une circulation axi-sym\'etrique.
Pour les \'ecoulements non axi-sym\'etriques, l'erreur num\'erique
provient exclusivement de la g\'eom\'etrie sph\'erique.

\subsection{Tests num\'eriques}

\paragraph{Dans le MCG de l'atmosph\`ere de Mars,} on utilise la
formulation~\ref{eq:newu2}.
Les deux graphiques du haut de la Figure~\ref{fg:mars}
D 2
repr\'esentent les r\'esultats d'une simulation effectu\'ee avec cette
E 2
I 2
montrent les r\'esultats d'une simulation effectu\'ee avec cette
E 2
nouvelle formulation.
I 2
La simulation a \'et\'e poursuivie sur trois ann\'ees martiennes
(six ann\'ees terrestres) sans d\'et\'erioration du vent zonal.
E 2

\paragraph{Dans le mod\`ele climatique terrestre,}
c'est la formulation~\ref{eq:newu1} qui a \'et\'e introduite.
Pour l'instant, le terme de Coriolis est lui toujours calcul\'e
avec l'ancienne formulation.
\input{fgterren}
D 2
Sur la Figure~\ref{fg:terren} on pr\'esente les r\'esultats d'une
E 2
I 2
La Figure~\ref{fg:terren} montre les r\'esultats d'une
E 2
simulation identique \`a celle pr\'esent\'ee sur la
Figure~\ref{fg:terreo} \`a deux diff\'erences pr\`es:
\begin{enumerate}
D 2
\item le changement sur la dynamique pr\'esent\'e ici
E 2
I 2
\item le changement sur la dynamique pr\'esent\'e ici,
E 2
\item un changement sur le sch\'ema de pr\'ecipitation des nuages.
\end{enumerate}
L'am\'elioration de la repr\'esentation du vent zonal est tr\`es
nette et particuli\`erement marqu\'ee dans les basses latitudes.
En revanche, le changement de formulation n'am\'eliore pas
la structure des jets en altitude.
\input{fgjuill}
D 2
On a aussi repr\'esent\'e sur la Figure~\ref{fg:juill} la
comparaison entre la climatologie et les deux simulations pour le
mois de juillet qui conduit exactement qui conduit exactement 
E 2
I 2
La comparaison entre la climatologie et les deux simulations pour le
mois de juillet (Figure~\ref{fg:juill})
conduit aux m\^emes conclusions.
E 2
Il faut noter que ces diff\'erents r\'esultats ont
\'et\'e produits avec une version ancienne de la physique
du mod\`ele climatique et une faible r\'esolution.
La structure du vent zonal est beaucoup mieux repr\'esent\'ee
dans la version $\em cycle5$ du mod\`ele~\cite{Polc:91}
utilis\'ee actuellement pour les \'etudes climatiques.
Cette version inclut les modifications sur la dynamique pr\'esent\'ees
ici et est couramment utilis\'ee en r\'esolution
\resol{64}{50}{11}.
E 1
