\section{Formulation originale et propri\'et\'es de conservation}

\subsection{Le sch\'ema num\'erique}

Le mod\`ele climatique du LMD est b\^ati, comme tous les
mod\`eles de circulation g\'en\'erale atmosph\'erique,
sur la r\'esolution num\'erique des {\'equations primitives
de la m\'et\'eorologie} d\'ecrites dans de nombreux
ouvrages~\cite{Holt:79}.
L'analyse pr\'esent\'ee ici a \'et\'e men\'ee sur la nouvelle
version de la dynamique du LMD \'ecrite par Phu Le Van~\cite{LeVa:89}
sur une formulation de Robert Sadourny.
Cette formulation diff\`ere de l'ancienne essentiellement
par deux points:
dans la nouvelle formulation, la r\'epartition des points en
longitude et en latitude peut \^etre chang\'ee arbitrairement.
L'autre modification porte sur la r\'epartition des points
aux p\^oles\footnote{Aux p\^oles sont calcul\'es:
le vent m\'eridien dans l'ancienne formulation et les variables
scalaires dans la nouvelle.}.

L'analyse pr\'esent\'ee ici peut \^etre transpos\'ee sans efforts \`a
l'ancienne formulation. En fait, l'ancienne configuration de la grille,
dans laquelle les mailles ont toutes la m\^eme surface\footnote{
Dans l'ancienne formulation
de la dynamique, les points \'etaient \'equidistants
en sinus de la latitude et r\'eguli\`erement r\'epartis en longitude.
Toutes les mailles avaient par cons\'equent la m\^eme aire.},
est m\^eme d'une certaine fa\c{c}on
optimale pour la conservation du moment
cin\'etique.\\

La coordonn\'ee  verticale du mod\`ele est la pression normalis\'ee
par sa valeur \`a la surface: $\sigma=p/\ps$.
On utilise en fait $\sigma$ aux niveaux inter-couches
et $s=\sigma^\kappa$ au milieu des couches.
On note $X$ et $Y$ les coordonn\'ees horizontales:
$X$ (resp. $Y$) est une fonction biunivoque de la longitude $\lambda$
(resp. de la latitude $\phi$).
Les variables scalaires
(temp\'erature potentielle $\h = c_p T/\psk$, g\'eopotentiel $\Phi$
et pression de surface $\ps$) sont \'evalu\'ees aux points
correspondant \`a des couples de valeurs enti\`eres $(X,Y)=(i,j)$.
Les variables dynamiques sont d\'ecal\'ees par rapport aux variables
scalaires en utilisant une grille $C$ dans la d\'efinition de
Arakawa~\cite{Arak:77}: le vent zonal est calcul\'e
aux points $(X,Y)=(i+1/2,j)$ et  le vent
m\'eridien aux points $(X,Y)=(i,j+1/2)$.
La disposition des variables sur la grille est illustr\'ee sur la
Figure~\ref{fg:grille}.
\input{\localdir/fggrille}

On utilise en fait les composantes covariantes
($\ucov$ et $\vcov$) et contravariantes ($\ucont$ et $\vcont$)
du vent d\'efinies par
\begin{equation}
\begin{array}{llllllllll}
\ucov = \cu u & \mbox{et} & \ucont = u / \cu & \mbox{avec} & 
\cu = a \cos{\phi} \left( d\lambda/dX \right)  \\
\vcov = \cv v & \mbox{et} & \vcont = v / \cv & \mbox{avec} &
\cv = a \left( d\phi / dY \right)
\end{array}
\end{equation}
%
o\`u $u$ et $v$ sont les composantes physiques du vecteur vent
horizontal.
On introduit \'egalement:
%
\paragraph{la pression extensive:}
$\pext$ (pression au sol multipli\'ee
par l'aire de la maille).
%
\paragraph{les trois composantes du flux de masse:}
\begin{equation}
U=\av{\pext}{X} \ucont ,\  V= \av{\pext}{Y} \vcont \  \mbox{et} \  
W= \pext \dot{\sigma}
\ \mbox{avec}\ \dot{\sigma}=\frac{d\sigma}{dt}
\end{equation}
%
\paragraph{le facteur de Coriolis multipli\'e par l'aire de la maille:}
$\fext=2\Omega \sin{\phi} \cu \cv$\\
o\`u $\Omega$ est la vitesse de rotation de la plan\`ete.
%
\paragraph{la vorticit\'e potentielle absolue:}
\begin{equation}
Z=\Z
\end{equation}
%
\paragraph{l'\'energie cin\'etique}
\begin{equation}
K=\K
\end{equation}\\
%
La notation $\delta X$ signifie simplement qu'on
effectue la diff\'erence entre deux points cons\'ecutifs
suivant la direction $X$.
La notation $\av{a}{X}$ signifie qu'on prend la moyenne arithm\'etique
de la quantit\'e $a$ suivant la direction $X$.
Les \'equations discr\'etis\'ees sont \'ecrites sous la forme
suivante:
\paragraph{\'equations du mouvement:}
\begin{equation} \label{eq:u1}
\dt{\ucov} -
\av{Z}{Y} \av{V}{X,Y} 
+ \dx \left( \Phi + K \right)
+s \av{\h}{X} \dx \psk
+\frac{\av{\av{W}{X} \dz \ucov}{Z}}{\av{\pext}{X}\dz \sigma}
=S_{\ucov}
\end{equation}
\begin{equation} \label{eq:v1}
\dt{\vcov} + \av{Z}{X} \av{U}{X,Y} + \dy \left( \Phi + K \right)
+s \av{\h}{Y} \dy \psk
+\frac{\av{\av{W}{Y} \dz \vcov}{Z}}{\av{\pext}{Y}\dz \sigma}
=S_{\vcov}
\end{equation}
%
\paragraph{\'equation thermodynamique:}
%
\begin{equation}
\label{eq:thermo}
\dt{\dep{\pext \h}}
+\dx \dep{\av{\h}{X}U} +\dy \dep{\av{\h}{Y}V}
+\frac{\dz \dep{\av{\h}{Z} W}}{\dz \sigma}=S_\h
\end{equation}
%
\paragraph{\'equation hydrostatique:}
\begin{equation}
\dz \Phi=-\ps^\rcp  \av{\h}{z} \dz s
\end{equation}
%
\paragraph{\'equations de continuit\'e:}
%
\begin{equation}
\label{eq:cont1}
\dt{\ps}  = \sum_z{\dz \sigma \dep{\dx U+ \dy V}}
\end{equation}
\begin{equation}
\label{eq:cont2}
\dz W   = -\dz \sigma \dep{\dx U+ \dy V + \dt{\ps}}
\end{equation}
%
On a not\'e $S$ les termes sources dans les diff\'erentes \'equations.

\subsection{Les propri\'et\'es de conservation}

On dit qu'une quantit\'e $q$ est conserv\'ee globalement par
les \'equations discr\'etis\'ees si on peut trouver un \'equivalent
num\'erique $[q]$ de $q$ tel que:
\begin{equation}
\dt{\glob{\pext d\sigma [q]}}=0
\end{equation}
o\`u la notation $\glob{}$ indique qu'on effectue une sommation sur
l'ensemble du domaine (on s'int\'eresse uniquement
\`a la fa\c{c}on de calculer les d\'eriv\'ees spatiales et pas
\`a l'int\'egration temporelle).
Les \'equations~\ref{eq:cont1} et~\ref{eq:cont2}, par exemple, sont
\'ecrites de fa\c{c}on \`a ce que la masse totale de l'atmosph\`ere
soit exactement conserv\'ee.
De m\^eme l'\'equation thermodynamique~\ref{eq:thermo}
permet de conserver num\'eriquement $\theta$ pour les \'ecoulements
adiabatiques. En fait, la forme particuli\`ere de cette \'equation
est choisie pour conserver \`a la fois $\theta$ et $\theta^2$
(ce qui se montre en combinant cette \'equation avec l'\'equation
de continuit\'e). On montre, plus g\'en\'eralement,
que pour une quantit\'e 
$q$ conserv\'ee par les \'equations physiques
et une fonction $f$ de $q$ donn\'ee,
il existe une formulation num\'erique permettant
de conserver \`a la fois $q$ et $f\dep{q}$
(voir par exemple~\cite{Sado:80}).

Le probl\`eme de la conservation devient plus complexe lorsqu'on
s'attaque aux quantit\'es faisant intervenir les \'equations dynamiques.
Il est par exemple impossible de conserver \`a la fois l'\'energie
et l'enstrophie avec les formulations classiques utilis\'ees dans les
GCM~\cite{Sado:75}. Les mod\`eles ont g\'en\'eralement privil\'egi\'e
la conservation de l'\'energie. Robert Sadourny
a soulign\'e l'importance
de la conservation de l'enstrophie et montr\'e qu'elle
conduit \`a une plus grande stabilit\'e num\'erique,
au moins dans un mod\`ele des \'equations de couche
mince~\cite{Sado:75a}.
La conservation de l'enstrophie a donc \'et\'e privil\'egi\'ee
dans le mod\`ele du LMD.
Le dilemme porte en fait sur la fa\c{c}on de discr\'etiser la
partie rotationnelle des termes advectifs dans les \'equations
horizontales du mouvement.

Dans la formulation originale, l'\'energie totale n'est conserv\'ee
que pour les \'ecoulements irrotationnels. Cette conservation
elle-m\^eme n'est pas imm\'ediate et conduit \`a l'introduction
d'une contrainte sur la disposition des niveaux
verticaux~\cite{Sado:80}:
les niveaux intercouches (niveaux $\sigma$) et les milieux des
couches (niveaux $s$) sont r\'epartis de fa\c{c}on \`a satisfaire
la relation suivante:
\begin{equation}
\av{\sigma \dz s}{Z}=\kappa s \dz \sigma
\end{equation}
Cette relation conduit \`a d\'eplacer le centre des couches par rapport
\`a la moyenne arithm\'etique des niveaux inter-couches.
Le d\'ecalage peut devenir tel que le centre d'une couche
se trouve \`a l'ext\'erieur de la couche elle-m\^eme.
En pratique, il faut choisir une r\'epartition suffisamment lisse
des niveaux $\sigma$ pour que les niveaux $s$ soient proches du centre
des couches en terme de masse.

Le terme rotationnel est lui con\c{c}u pour conserver la vorticit\'e
potentielle dans le cas d'un \'ecoulement barotrope ou dans le
cas d'un mod\`ele \`a coordonn\'ee verticale
isentropique~\cite{Sado:75a}.

Dans toute cette partie, on a volontairement omis le filtrage
longitudinal introduit
dans les hautes latitudes du mod\`ele pour \'eviter d'utiliser un pas
de temps trop petit, du fait de la diminution des distances
entre les points de grille pr\`es des p\^oles.
