\section{Introduction}

Les sch\'emas num\'eriques en diff\'erences finies utilis\'es pour
int\'egrer les \'equations de la m\'ecanique des fluides sont
g\'en\'eralement con\c{c}us pour pr\'eserver certaines des
propri\'et\'es
de conservation des \'equations originelles.
A cela, deux raisons principales:
\begin{enumerate}
\item
la conservation des invariants, en particulier les invariants
quadratiques,
est importante pour \'eviter
que les mod\`eles divergent\footnote{
On peut comprendre intuitivement l'importance de la conservation
des invariants quadratiques. Si  l'\'energie totale du syst\`eme
atmosph\'erique est conserv\'ee, l'\'energie cin\'etique et, par
cons\'equent le module du vent sont born\'es en chaque point
(ce type d'argumentation est d\'evelopp\'ee par exemple
par Kasahara~\cite{Kasa:77}).}.
\item
la deuxi\`eme motivation est plus sp\'ecifique de la mod\'elisation
climatique, plus int\'eress\'ee \`a reproduire certaines
caract\'eristiques stastistiques des \'ecoulements qu'\`a suivre
de fa\c{c}on pr\'ecise une solution particuli\`ere
(comme en m\'et\'eorologie).
La conservation de certains invariants permet d'\'eviter
des {\em d\'erives} de ces caract\'eristiques statistiques dans des
simulations longues.
\end{enumerate}

Au d\'ebut de la mod\'elisation climatique,
priorit\'e \'etait donn\'ee \`a la stabilit\'e des mod\`eles.
Les recherches se sont donc surtout concentr\'ees sur la conservation
des invariants quadratiques fondamentaux: l'\'energie
et l'enstrophie potentielle.
En fait, aucune formulation num\'erique en diff\'erences finies
ne semble pouvoir conserver simultan\'ement les deux
quantit\'es~\cite{Sado:75}.
L'originalit\'e essentielle de la dynamique du LMD est d'avoir
privil\'egi\'e la conservation de l'enstrophie~\cite{Sado:75a}
alors que la plupart des mod\`eles privil\'egient
l'\'energie~\cite{Arak:77}.

Le sujet de cette note est de montrer que la
non-conservation du moment cin\'etique dans la formulation originale
du Mod\`ele de Circulation G\'en\'erale (MCG)
du LMD conduit \`a des erreurs syst\'ematiques sur la
structure du vent zonal, particuli\`erement dans la r\'egion des
aliz\'es. Finalement, une modification du sch\'ema d'advection
du moment cin\'etique est propos\'ee.
Elle permet de conserver
partiellement le moment cin\'etique tout
en maintenant la propri\'et\'e de conservation de l'enstrophie
potentielle.
La nouvelle formulation am\'eliore consid\'erablement la
repr\'esentation des aliz\'es dans le MCG climatique.
Elle est de plus un atout pour toutes les \'etudes dans
lesquelles la conservation du moment cin\'etique joue un r\^ole
important. L'\'etude de la {\em superrotation} de l'atmosph\`ere
de V\'enus, men\'ee il y a quelques ann\'ees au LMD~\cite{Tour:84},
avait par exemple but\'e sur ce d\'efaut majeur du mod\`ele
dynamique.

Le travail pr\'esent\'e dans cette note
a \'et\'e motiv\'e, \`a l'origine,
par des probl\`emes num\'eriques
rencontr\'es lors de l'int\'egration de la version martienne du MCG;
un fort jet \'etait cr\'e\'e dans ces simulations dans les r\'egions
tropicales, aboutissant \`a une explosion num\'erique.
