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U
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T
I 1
\documentstyle{slides}

\begin{document}

\small
\def\rcp{\kappa}
\def\uabs{\tilde{u}_{abs}}
\def\err{\epsilon}
\def\s{ {\dep{\frac{p}{\p0}}}^{\rcp} }
\def\dsig{\dz \sigma}
\def\ps{p_s}
\def\psk{{\ps}^\kappa}
\def\ucov{\tilde{u}}
\def\vcov{\tilde{v}}
\def\ucont{\tilde{\ucov}}
\def\vcont{\tilde{\vcov}}
\def\cu{c_u}
\def\cv{c_v}
\def\h{\theta}
\def\pext{\tilde{p}_s}
\def\fext{f}
\def\dx{\delta_X}
\def\dy{\delta_Y}
\def\dz{\delta_Z}
\def\K{\frac{1}{2}
\left( \av{\ucov \ucont}{X} + \av{\vcov \vcont}{Y} \right)}
\def\Z{\frac{\dx \vcov - \dy \ucov + \fext}{\av{\pext}{X,Y}}}
\def\Zm{\frac{- \dy \ucov + \fext}{\av{\pext}{Y}}}

\newcommand{\glob}[1]{ \left< #1 \right> }
\newcommand{\dt}[1]{\frac{\partial #1 }{\partial t} }
\newcommand{\av}[2]{{\overline{#1}}^{ #2 }}
\newcommand{\avg}[1]{\left< #1 \right>}
% \newcommand{\emis}[2]{E \left( #1 , #2 \right) }
\newcommand{\der}[2]{\frac{\partial #1 }{\partial #2} }
\newcommand{\dep}[1]{\left( #1 \right) }
\newcommand{\resol}[3]{ {\em #1 longitudes $\times$  #2 latitudes $\times$ #3  niveaux verticaux}}
\def\t{\theta}
\def\cd{C_D}

{\bf Coordonn\'ees:}\\

coordonn\'ee verticale: $\sigma=p/\ps$\\

coordonn\'ees horizontales: $X,Y$\\
\[
\begin{array}{llll}
\mbox{avec} & \lambda=\lambda\dep{X}, &
\lambda\dep{1}=-180^o, & \lambda\dep{imax}=180^o\\
\mbox{et} & \phi=\phi\dep{Y},& 
\phi\dep{1}=90^o,&  \phi\dep{jmax}=-90^o\\
\end{array}
\]\\

{\bf Variables}

variable thermodynamique:\\
\begin{displaymath}
\h = c_p T/\psk
\end{displaymath}\\

varibales dynamiques:\\
On utilise les composantes covariantes
($\ucov$ et $\vcov$) et contravariantes ($\ucont$ et $\vcont$)
du vent:
\begin{displaymath}
\begin{array}{llllllllll}
\ucov = \cu u & et & \ucont = u / \cu & avec & 
\cu = a \cos{\phi} \left( d\lambda/dX \right)  \\
\vcov = \cv v & et & \vcont = v / \cv & avec &
\cv = a \left( d\phi / dY \right)
\end{array}
\end{displaymath}\\
%
pression de surface extensive: $\pext$ (pression au sol multipli\'ee
par l'aire de la maille).
%
\pagebreak

{\bf Variables auxiliaires:}\\

Le g\'eopotentiel: $\Phi$\\

les trois composantes du flux de masse:
\begin{displaymath}
U=\av{\pext}{X} \ucont ,\  V= \av{\pext}{Y} \vcont \  et \  
W= \pext \dot{\sigma}
\end{displaymath}\\

le facteur de Coriolis multipli\'e par l'aire de la maille:
$\fext$\\

la vorticit\'e potentielle absolue:
\begin{displaymath}
Z=\Z
\end{displaymath}\\

l'\'energie cin\'etique
\begin{displaymath}
K=\K
\end{displaymath}\\

\pagebreak

\bf{\'equations du mouvement:}
\begin{eqnarray*} \label{eq:u1}
\dt{\ucov} & - & 
\av{Z}{Y} \av{V}{X,Y} 
+ \dx \left( \Phi + K \right)
+s \av{\h}{X} \dx \psk \\
& -  & \frac{\av{\uabs}{Y,Y} \dz \av{W}{X} }
{\av{\pext}{X} \dsig }
+ \frac{\dz \left( \av{W}{X} \av{\uabs}{Z} \right) }
{\av{\pext}{X} \dsig}
=S_u
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} \label{eq:v1}
\dt{\vcov} & + &
\av{Z}{X} \av{U}{X,Y} 
+ \dy \left( \Phi + K \right)
+s \av{\h}{Y} \dy \psk \\
& + & \frac{\av{\vcov}{X,X} \dz \av{W}{Y} }
{\av{\pext}{Y} \dsig}
+ \frac{\dz \left( \av{W}{Y} \av{\vcov}{Z} \right) }
{\av{\pext}{X} \dsig}
=S_v
\end{eqnarray*}\\

%
\bf{\'equation thermodynamique:}
%
\begin{displaymath}
\dt{\pext \h}
+\dx \dep{\av{\h}{X}U} +\dy \dep{\av{\h}{Y}V}
+\frac{\dz \dep{\av{\h}{Z} W}}{\dz \sigma}=S_\h
\end{displaymath}\\
%
\bf{\'equation hydrostatique:}
\begin{displaymath}
\dz \Phi=-\ps^\rcp  \av{\h}{z} \dz s
\end{displaymath}\\
%
\bf{\'equations de continuit\'e:}
%
\begin{displaymath}
\dt{\ps}  = \sum_z{\dz \sigma \dep{\dx U+ \dy V}}
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
\dz W   = -\dz \sigma \dep{\dx U+ \dy V + \dt{\ps}}
\end{displaymath}\\
%

\end{document}
E 1
