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e
u
U
f e 0
t
T
I 1
\section{Formulation originale et propri\'et\'es de conservation}

\subsection{Le sch\'ema num\'erique}

I 2
Le mod\`ele climatique du LMD est b\^ati, comme tous les
mod\`eles de circulation g\'en\'erale atmosph\'erique,
sur la r\'esolution num\'erique des {\'equations primitives
de la m\'et\'orologie} d\'ecrites dans de nombreux
ouvrages~\cite{Holt:79}.
E 2
L'analyse pr\'esent\'ee ici a \'et\'e men\'ee sur la nouvelle
version de la dynamique du LMD \'ecrite par Phu Le Van~\cite{Leva:89}
sur une formulation de Robert Sadourny.
Cette formulation diff\`ere de l'ancienne essentiellement
par deux points:
D 2
\begin{itemize}
\item Alors que dans l'ancienne version, la r\'epartition des points
en latitude \'etait fig\'ee (points \'equidistants en sinus de
la latitude et r\'eguliers en longitude de sorte que l'aire des mailles
est constante), la nouvelle formulation permet de changer
automatiquement la r\'epartition des points dans les deux directions.
Cependant, la grille reste {\em rectangulaire}
en latitude et longitude.
\item D'autre part, la disposition
des points aux p\^oles \`a \'et\'e modifi\'ee
(dans la nouvelle formualtion le p\^ole est un point scalaire au lieu
d'un point de vent meridien).
\end{itemize}
Cependant, l'analyse peut \^etre transpos\'ee sans efforts pour
E 2
I 2
dans la nouvelle formulation, la r\'epartition des points en
longitude et en latitude peut \^etre chang\'ee arbitrairement.
L'autre modification porte sur la r\'epartition des points
aux p\^oles\footnote{Aux p\^oles sont calcul\'es:
le vent m\'eridien dans l'ancienne formulation et les variables
scalaires dans la nouvelle.}.

L'analyse pr\'esent\'ee ici peut \^etre transpos\'ee sans efforts \`a
E 2
l'ancienne formulation. En fait, l'ancienne configuration de la grille,
D 2
dans laquelle les mailles ont toutes la m\^eme surface,
E 2
I 2
dans laquelle les mailles ont toutes la m\^eme surface\footnote{
Dans l'ancienne formulation
de la dynamique, les points \'etaient \'equidistants
en sinus de la latitude et r\'eguli\`erement r\'epartis en longitude.
Toutes les mailles avaient par cons\'equent la m\^eme aire.},
E 2
est m\^eme d'une certaine fa\c{c}on
optimale pour la conservation du moment
cin\'etique.\\

La coordonn\'ee  verticale du mod\`ele est la pression normalis\'ee
par sa valeur \`a la surface: $\sigma=p/\ps$.
On utilise en fait $\sigma$ aux niveaux inter-couches
et $s=\sigma^\kappa$ au milieu des couches.
On note $X$ et $Y$ les coordonn\'ees horizontales.
$X$ (resp. $Y$) est une fonction biunivoque de la longitude $\lambda$
(resp. de la latitude $\phi$).
Les variables scalaires
(temp\'erature potentielle $\h = c_p T/\psk$, g\'eopotentiel $\Phi$
et pression de surface $\ps$) sont \'evalu\'ees aux points
correspondant \`a des couples de valeurs enti\`eres $(X,Y)=(i,j)$.
D 2

E 2
Les variables dynamiques sont d\'ecal\'ees par rapport aux variables
D 2
scalaires en utitlisant une grille $C$ dans la d\'efinition de
Arakawa~\cite{Arak:77}, c'est \`a dire que le vent zonal est calcul\'e
E 2
I 2
scalaires en utilisant une grille $C$ dans la d\'efinition de
Arakawa~\cite{Arak:77}: le vent zonal est calcul\'e
E 2
aux points $(X,Y)=(i+1/2,j)$ et  le vent
m\'eridien aux points $(X,Y)=(i,j+1/2)$.
La disposition des variables sur la grille est illustr\'ee sur la
Figure~\ref{fg:grille}.
\input{fggrille}

On utilise en fait les composantes covariantes
($\ucov$ et $\vcov$) et contravariantes ($\ucont$ et $\vcont$)
du vent d\'efinies par
\begin{equation}
\begin{array}{llllllllll}
D 2
\ucov = \cu u & et & \ucont = u / \cu & avec & 
E 2
I 2
\ucov = \cu u & \mbox{et} & \ucont = u / \cu & \mbox{avec} & 
E 2
\cu = a \cos{\phi} \left( d\lambda/dX \right)  \\
D 2
\vcov = \cv v & et & \vcont = v / \cv & avec &
E 2
I 2
\vcov = \cv v & \mbox{et} & \vcont = v / \cv & \mbox{avec} &
E 2
\cv = a \left( d\phi / dY \right)
\end{array}
\end{equation}
%
o\`u $u$ et $v$ sont les composantes physiques du vecteur vent
horizontal.
On introduit \'egalement:
%
D 2
\paragraph{la pression extensive:} $\pext$ (pression au sol multipli\'ee
E 2
I 2
\paragraph{la pression extensive:}
$\pext$ (pression au sol multipli\'ee
E 2
par l'aire de la maille).
%
\paragraph{les trois composantes du flux de masse:}
\begin{equation}
D 2
U=\av{\pext}{X} \ucont ,\  V= \av{\pext}{Y} \vcont \  et \  
E 2
I 2
U=\av{\pext}{X} \ucont ,\  V= \av{\pext}{Y} \vcont \  \mbox{et} \  
E 2
W= \pext \dot{\sigma}
I 2
\ \mbox{avec}\ \dot{\sigma}=\frac{d\sigma}{dt}
E 2
\end{equation}
%
\paragraph{le facteur de Coriolis multipli\'e par l'aire de la maille:}
D 2
$\fext$\\
E 2
I 2
$\fext=2\Omega \sin{\phi} \cu \cv$\\
o\`u $\Omega$ est la vitesse de rotation de la plan\`ete.
E 2
%
\paragraph{la vorticit\'e potentielle absolue:}
\begin{equation}
Z=\Z
\end{equation}
%
\paragraph{l'\'energie cin\'etique}
\begin{equation}
K=\K
\end{equation}\\
D 2

E 2
I 2
%
E 2
La notation $\delta X$ signifie simplement qu'on
effectue la diff\'erence entre deux points cons\'ecutifs
suivant la direction $X$.
La notation $\av{a}{X}$ signifie qu'on prend la moyenne arithm\'etique
de la quantit\'e $a$ suivant la direction $X$.
Les \'equations discr\'etis\'ees sont \'ecrites sous la forme
suivante:
\paragraph{\'equations du mouvement:}
\begin{equation} \label{eq:u1}
\dt{\ucov} -
\av{Z}{Y} \av{V}{X,Y} 
+ \dx \left( \Phi + K \right)
+s \av{\h}{X} \dx \psk
+\frac{\av{\av{W}{X} \dz \ucov}{Z}}{\av{\pext}{X}\dz \sigma}
D 2
=S_u
E 2
I 2
=S_{\ucov}
E 2
\end{equation}
\begin{equation} \label{eq:v1}
\dt{\vcov} + \av{Z}{X} \av{U}{X,Y} + \dy \left( \Phi + K \right)
+s \av{\h}{Y} \dy \psk
+\frac{\av{\av{W}{Y} \dz \vcov}{Z}}{\av{\pext}{Y}\dz \sigma}
D 2
=S_v
E 2
I 2
=S_{\vcov}
E 2
\end{equation}
%
\paragraph{\'equation thermodynamique:}
%
\begin{equation}
\label{eq:thermo}
D 2
\dt{\pext \h}
E 2
I 2
\dt{\dep{\pext \h}}
E 2
+\dx \dep{\av{\h}{X}U} +\dy \dep{\av{\h}{Y}V}
+\frac{\dz \dep{\av{\h}{Z} W}}{\dz \sigma}=S_\h
\end{equation}
%
\paragraph{\'equation hydrostatique:}
\begin{equation}
\dz \Phi=-\ps^\rcp  \av{\h}{z} \dz s
\end{equation}
%
\paragraph{\'equations de continuit\'e:}
%
\begin{equation}
\label{eq:cont1}
\dt{\ps}  = \sum_z{\dz \sigma \dep{\dx U+ \dy V}}
\end{equation}
\begin{equation}
\label{eq:cont2}
\dz W   = -\dz \sigma \dep{\dx U+ \dy V + \dt{\ps}}
\end{equation}
%
On a not\'e $S$ les termes sources dans les diff\'erentes \'equations.

\subsection{Les propri\'et\'es de conservation}

On dit qu'une quantit\'ee $q$ est conserv\'ee globalement par
les \'equations discr\'etis\'ees si on peut trouver un \'equivalent
num\'erique $[q]$ de $q$ tel que:
\begin{equation}
\dt{\glob{\pext d\sigma [q]}}=0
\end{equation}
o\`u la notation $\glob{}$ indique qu'on effectue une sommation sur
D 2
l'ensemble du domaine.
E 2
I 2
l'ensemble du domaine (on s'int\'eresse uniquement
\`a la fa\c{c}on de calculer les d\'eriv\'ees spatiales et pas
\`a l'int\'egration temporelle).
E 2
Les \'equations~\ref{eq:cont1} et~\ref{eq:cont2}, par exemple, sont
\'ecrites de fa\c{c}on \`a ce que la masse totale de l'atmosph\`ere
D 2
soit conserv\'ee. De m\^eme l'\'equation thermodynamique~\ref{eq:thermo}
E 2
I 2
soit exactement conserv\'ee.
De m\^eme l'\'equation thermodynamique~\ref{eq:thermo}
E 2
permet de conserver num\'eriquement $\theta$ pour les \'ecoulements
adiabatiques. En fait, la forme particuli\`ere de cette \'equation
est choisie pour conserver \`a la fois $\theta$ et $\theta^2$
(ce qui se montre en combinant cette \'equation avec l'\'equation
D 2
de continuit\'e). On peut, plus g\'en\'eralement,
E 2
I 2
de continuit\'e). On montre, plus g\'en\'eralement,
E 2
que pour une quantit\'e 
$q$ conserv\'ee par les \'equations physiques
D 2
et une fonction de $q$ donn\'ee,
E 2
I 2
et une fonction $f$ de $q$ donn\'ee,
E 2
il existe une formulation num\'erique permettant
de conserver \`a la fois $q$ et $f\dep{q}$
(voir par exemple~\cite{Sado:80}).

Le probl\`eme de la conservation devient plus complexe lorsqu'on
s'attaque aux quantit\'es faisant intervenir les \'equations dynamiques.
Il est par exemple impossible de conserver \`a la fois l'\'energie
et l'enstrophie avec les formulations classiques utilis\'ees dans les
GCM~\cite{Sado:75}. Les mod\`eles ont g\'en\'eralement privil\'egi\'e
la conservation de l'\'energie. Robert Sadourny
a soulign\'e l'importance
de la conservation de l'enstrophie et montr\'e qu'elle
conduit \`a une plus grande stabilit\'e num\'erique,
au moins dans un mod\`ele des \'equations de couche
mince~\cite{Sado:75a}.
La conservation de l'enstrophie a donc \'et\'e privil\'egi\'ee
dans le mod\`ele du LMD.
Le dilemme porte en fait sur la fa\c{c}on de discr\'etiser la
partie rotationnelle des termes advectifs dans les \'equations
horizontales du mouvement.

Dans la formulation originale, l'\'energie totale n'est conserv\'ee
que pour les \'ecoulements irrotationnels. Cette conservation
elle-m\^eme n'est pas imm\'ediate et conduit \`a l'introduction
d'une contrainte sur la disposition des niveaux
verticaux~\cite{Sado:80}:
les niveaux intercouches (niveaux $\sigma$) et les milieux des
couches (niveaux $s$) sont r\'epartis de fa\c{c}on \`a satisfaire
la relation suivante:
\begin{equation}
\av{\sigma \dz s}{Z}=\kappa s \dz \sigma
\end{equation}
D 2
Cette relation conduit \`a deplacer le centre des couches par rapport
E 2
I 2
Cette relation conduit \`a d\'eplacer le centre des couches par rapport
E 2
\`a la moyenne arithm\'etique des niveaux inter-couches.
Le d\'ecalage peut devenir tel que le centre d'une couche
se trouve \`a l'ext\'erieur de la couche elle-m\^eme.
En pratique, il faut choisir une r\'epartition suffisamment lisse
des niveaux $\sigma$ pour que les niveaux $s$ soient proches du centre
des couches en terme de masse.

D 2
Le terme rotationnel est lui con\c{c}u pour concerver la vorticit\'e
E 2
I 2
Le terme rotationnel est lui con\c{c}u pour conserver la vorticit\'e
E 2
potentielle dans le cas d'un \'ecoulement barotrope ou dans le
cas d'un mod\`ele \`a coordonn\'ee verticale
isentropique~\cite{Sado:75a}.

Dans toute cette partie, on a volontairement omis le filtrage
longitudinal introduit
dans les hautes latitudes du mod\`ele pour \'eviter d'utiliser un pas
de temps trop petit, du fait de la diminution des distances
D 2
entre les points de grille au p\^ole.
E 2
I 2
entre les points de grille pr\`es des p\^oles.
E 2
E 1
