\documentclass{article}

\usepackage{graphicx}

\begin{document}

\input{def0}
\input{def}


\begin{center}
{\large
Proposition d'une formulation en volumes finis des \'equations primitives
}
\end{center}


\begin{center}
{\large
Laboratoire
de M\'et\'eorologie
Dynamique du CNRS \\
Ecole Normale Sup\'erieure \\
24 rue Lhomond\\
75231 PARIS cedex 05\\
FRANCE\\
}
\end{center}

\def\localdir{.}

\def\h{\theta}

\subsection*{Mod\`ele original}

La grille vectorielle, avec des points de vent zonal et m\'eridien d\'ecal\'es
est commune aux deux versions et est d\'efinie comme suit.

On note $X$ et $Y$ les coordonn\'ees horizontales:
$X$ (resp. $Y$) est une fonction biunivoque de la longitude $\lambda$
(resp. de la latitude $\phi$).
Les variables scalaires


(temp\'erature potentielle $\h = c_p T/\psk$, g\'eopotentiel $\Phi$
et pression de surface $\ps$) sont \'evalu\'ees aux points
correspondant \`a des couples de valeurs enti\`eres $(X,Y)=(i,j)$.
Les variables dynamiques sont d\'ecal\'ees par rapport aux variables
scalaires en utilisant une grille $C$ dans la d\'efinition de
Arakawa~\cite{Arak:77}: le vent zonal est calcul\'e
aux points $(X,Y)=(i+1/2,j)$ et  le vent
m\'eridien aux points $(X,Y)=(i,j+1/2)$.
La disposition des variables sur la grille est illustr\'ee sur la
Figure~\ref{fg:grille}.

On utilise en fait les composantes covariantes
($\ucov$ et $\vcov$) et contravariantes ($\ucont$ et $\vcont$)
du vent d\'efinies par
\begin{equation}
\begin{array}{llllllllll}
\ucov = \cu u & \mbox{et} & \ucont = u / \cu & \mbox{avec} & 
\cu = a \cos{\phi} \left( d\lambda/dX \right)  \\
\vcov = \cv v & \mbox{et} & \vcont = v / \cv & \mbox{avec} &
\cv = a \left( d\phi / dY \right)
\end{array}
\end{equation}
%
o\`u $u$ et $v$ sont les composantes physiques du vecteur vent
horizontal.
On introduit \'egalement:
%
%
\begin{equation}
U=\av{\pext}{X} \ucont ,\  V= \av{\pext}{Y} \vcont \  \mbox{et} \  
W= \pext \dot{\sigma}
\ \mbox{avec}\ \dot{\sigma}=\frac{d\sigma}{dt}
\end{equation}
%
$\fext=2\Omega \sin{\phi} \cu \cv$\\
o\`u $\Omega$ est la vitesse de rotation de la plan\`ete.
%
\begin{equation}
Z=\Z
\end{equation}
%
\begin{equation}
K=\K
\end{equation}\\
%
La notation $\delta X$ signifie simplement qu'on
effectue la diff\'erence entre deux points cons\'ecutifs
suivant la direction $X$.
La notation $\av{a}{X}$ signifie qu'on prend la moyenne arithm\'etique
de la quantit\'e $a$ suivant la direction $X$.
Les \'equations discr\'etis\'ees sont \'ecrites sous la forme
suivante:

\begin{equation} \label{eq:u1}
\dt{\ucov} -
\av{Z}{Y} \av{V}{X,Y} 
+ \dx \left( \Phi + K \right)
+s \av{\h}{X} \dx \psk
+\frac{\av{\av{W}{X} \dz \ucov}{Z}}{\av{\pext}{X}\dz \sigma}
=S_{\ucov}
\end{equation}
\begin{equation} \label{eq:v1}
\dt{\vcov} + \av{Z}{X} \av{U}{X,Y} + \dy \left( \Phi + K \right)
+s \av{\h}{Y} \dy \psk
+\frac{\av{\av{W}{Y} \dz \vcov}{Z}}{\av{\pext}{Y}\dz \sigma}
=S_{\vcov}
\end{equation}
%
%
\begin{equation}
\label{eq:thermo}
\dt{\dep{\pext \h}}
+\dx \dep{\av{\h}{X}U} +\dy \dep{\av{\h}{Y}V}
+\frac{\dz \dep{\av{\h}{Z} W}}{\dz \sigma}=S_\h
\end{equation}
%
\begin{equation}
\dz \Phi=-\ps^\rcp  \av{\h}{z} \dz s
\end{equation}
%
%
\begin{equation}
\label{eq:cont1}
\dt{\ps}  = \sum_z{\dz \sigma \dep{\dx U+ \dy V}}
\end{equation}
\begin{equation}
\label{eq:cont2}
\dz W   = -\dz \sigma \dep{\dx U+ \dy V + \dt{\ps}}
\end{equation}
%
On a not\'e $S$ les termes sources dans les diff\'erentes \'equations.

On peut, \`a partir des \'equations sur $u$ et $v$, d\'eduire une \'equation
sur la vorticit\'e:
\begin{equation}
\end{equation}


\section{Nouvelle formulation}

La 

L'analyse pr\'ec\'edente d\'egage deux erreurs num\'eriques
ind\'ependantes sur la conservation du moment cin\'etique,
l'une li\'ee \`a la d\'efinition du facteur de Coriolis et l'autre
\`a la mauvaise repr\'esentation de l'advection m\'eridienne
de $u$.
La premi\`ere erreur est \'elimin\'ee en utilisant pour $f$
sa forme rotationnelle (\'equation~\ref{eq:frot}).
La seconde (plus fondamentale)
peut \^etre \'elimin\'ee \'egalement
en tirant partie du fait que la conservation num\'erique
de l'enstrophie ne
concerne que les termes d'advection horizontale.
Il est en fait possible de transformer le terme d'advection
verticale afin d'\'eliminer exactement les erreurs sur l'advection
m\'eridienne du moment cin\'etique pr\'esent\'ees dans la section
pr\'ec\'edente.
On peut pour ce faire utiliser les deux formulations suivantes:
\begin{equation} \label{eq:newu1}
\dt{\ucov} -
\av{Z}{Y} \av{V}{X,Y} 
+ \dx \left( \Phi + K \right)
+s \av{\h}{X} \dx \psk
- \frac{\av{\ucov}{Y,Y} \dz \av{W}{X} }
{\av{\pext}{X} \dsig }
+ \frac{\dz \left( \av{W}{X} \av{\ucov}{Z} \right) }
{\av{\pext}{X} \dsig}
=S_{\ucov}
\end{equation}
ou
\begin{equation} \label{eq:newu2}
\dt{\ucov} -
\av{Z}{Y} \av{V}{X,Y} 
+ \dx \left( \Phi + K \right)
+s \av{\h}{X} \dx \psk
- \frac{\av{\uabs}{Y,Y} \dz \av{W}{X} }
{\av{\pext}{X} \dsig }
+ \frac{\dz \left( \av{W}{X} \av{\uabs}{Z} \right) }
{\av{\pext}{X} \dsig}
=S_{\ucov}
\end{equation}
o\'u $\uabs$ est la composante zonale covariante
du vecteur vent absolu:
\begin{equation}
\uabs=\ucov+\cu a \Omega \cos{\phi} =\dep{\frac{d\lambda}{dX}}M
\end{equation}
La deuxi\`eme formulation est plus proche
d'une \'equation d'\'evolution
du moment cin\'etique.
On v\'erifie facilement que ces deux formulations conservent
le moment cin\'etique dans le cas simple \'etudi\'e pr\'ec\'edemment
d'un \'ecoulement axi-sym\'etrique avec $\pext=cte$;
cette conservation est obtenue gr\^ace \`a l'introduction du terme
d'advection verticale de $\av{\uabs}{YY}$.
En contre-partie, les nouvelles \'equations ne conservent plus
l'\'energie globale, mais celle-ci n'\'etait conserv\'ee, dans
la formulation originale, que pour des \'ecoulements irrotationnels.

On utilise pour la deuxi\`eme composante de l'\'equation du mouvement
une formulation \'equivalente:
\begin{equation} \label{eq:v1}
\dt{\vcov} +
\av{Z}{X} \av{U}{X,Y} 
+ \dy \left( \Phi + K \right)
+s \av{\h}{Y} \dy \psk
- \frac{\av{\vcov}{X,X} \dz \av{W}{Y} }
{\av{\pext}{Y} \dsig}
+ \frac{\dz \left( \av{W}{Y} \av{\vcov}{Z} \right) }
{\av{\pext}{X} \dsig}
=S_{\vcov}
\end{equation}

\subsection*{Formulation en volumes finis}

On se rend compte en fait que le sch\'ema ci-dessus est \'ecrit
de sorte qu'on a en fait un sch\'ema en volumes fini sur la vorticit\'e.

En effet, si on \'ecr


\begin{figure}
\centerline{\includegraphics[width=7cm,angle=-90]{post/nouveau.epsi}}
\end{figure}

\end{document}
