%*CMZ :          18/10/2017  13.29.14  by  Jean-Yves Grandpeix
%*-- Author :    Jean-Yves Grandpeix   16/10/2017
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%*                                                             *
%* NOTE_POPDYN : Premiere parametrisation de la dynamique de   *
%*   population de poche, sans advection de poches             *
%*                                                             *
%*                                                             *
%* written by   : Jean-Yves Grandpeix, 16/10/2017, 18.11.56    *
%* modified by :                                               *
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%*
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\begin{document}
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%._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._.
%

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%*KEND.
\begin{center}
\large {\bf Paramétrisation de la dynamique de population de poches}
\\[1.0cm]
{\bf JYG}
\today
\\[1.0cm]
\hrule
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

 Notre modèle décrit une population de wakes circulaires identiques.  Il s'agit de
représenter, à l'aide de ce schéma très simple, une population de poches d'ages et de
tailles variées, dont certaines sont alimentées par des colonnes convectives pendant que
d'autre sont simplement en train de s'effondrer. En outre ces poches peuvent entrer en
collision ou fusionner.

\subsection{Principes}
\begin{itemize}
\item Les poches naissent à partir des CuNimb issus des cumulus $\longrightarrow$ taux de
naissances $B$.
\item Les poches meurent par effondrement lorsque la convection ne les alimente plus.
\item Les poches disparaissent aussi à l'occasion des collisions, soit que leur rencontre
mène à une fusion ($\longrightarrow$ diminution du nombre de poches d'une unité) soit
qu'elle mène à la création d'une nouvelle poche pendant que les deux autres meurent
($\longrightarrow$ diminution du nombre de poches d'une unité).
\item Les processus de collision mènent à un changement de rayon des poches concernées.
Comme notre modèle décrit des poches de meme rayon, ces changements discontinus locaux de
rayons vont etre représentés par une évolution continue du rayon moyen. Du coup, $\dst r$
sera différent de $C_*$.
\item Il y a {\bf deux catégories de poches}~: les poches actives (alimentées par des
colonnes convectives) et les poches inactives, lesquelles s'effondrent. Deux variables
décrivent ces populations~: $D$ est la densité totale et $A$ est la densité de poches
actives.
\item Pour simplifier, nous écrivons que {\bf la densité de poches actives} est rappellée
avec un temps de relaxation $\tau_{cv}$ (= temps de vie des panaches convectifs) vers une
fraction $\beta$ de la densité totale (l'idée étant que $\beta$ dépend de ALE$_{wk}$ -
|CIN|, \cad de la capacité des poches à recréer des colonnes convectives à leurs fronts de
rafales)~:
$$
\dst A \;=\;\displaystyle{ B\;-\;\frac{1}{\tau_{cv}}(A\;-\;\beta D) }
$$
\item {\bf La densité totale de poches} varie alors sous l'action des naissances, des
effondrements de poches inactives et des collisions~:
$$
\dst D \;=\;\displaystyle{ B\;-\;\frac{D-A}{\tau}\;- [\dst D]_{col} }
$$
où $\tau$ désigne la temps de vie des poches inactives (à paramétrer), $[\dst D]_{col}$
est la densité de collisions par unité de temps.
\item Pour estimer le taux de collision $[\dst D]_{col}$ il faut évaluer le nombre de
rencontres $dN$, par unité de surface, qui ont lieu lorsque le rayon croit de $dr$. Deux
poches se rencontrent lorsque la distance entre leurs centres est comprise entre $2r$ et
$2(r+dr)$. Ainsi le nombre de rencontres pendant $dt$ est egal à la moitié du nombre de
poches situées dans les couronnes $[2r, 2(r+\dst r\;dt)]$ (la moitié puisque les
rencontres sont alors comptées deux fois). L'aire de ces couronnes est $2 \pi (2 r) D (2
\dst r)$ et le nombre de centres de poches dans ces couronnes est $2 \pi (2 r) D^2 (2 \dst
r)$. Finalement, $[\dst D]_{col}\;=\; 4 \pi r D^2 \dst r$. Alors~:
\begin{equation}
\label{eq.D}
\dst D \;=\;\displaystyle{ B\;-\;\frac{D-A}{\tau}\;-\;4\pi r D^2 \dst r }
\end{equation}
\item {\bf La fraction surfacique} couverte par les poches $\sigma$ augmente par la
naissance
des poches (chaque nouvelle poche a une aire $a_0\;=\;\pi r_0^2$, où $r_0$ est un
paramètre) et par étalement~; elle diminue par mort des poches (chaque mort fait
disparaitre une aire $\pi r^2$ où $r$ est le rayon des poches) et possiblement par
rencontres.
\item Les rencontres entre poches qui en affectent la fraction surfacique sont celles qui
induisent la formation d'une nouvelle poche (création d'une aire $a_0$) pendant que les
deux poches incidentes disparaissent (disparition d'une aire $2 \pi r^2$). Nous faisons
l'hypothèse que toutes les rencontres sont de type "fusion" si le cisaillement est fort
et de type "collision" si le cisaillement est faible. En représentant le poids relatif
des deux processus par une variable $\alpha$, qui vaut 0 pour un cisaillement fort et 1
pour un cisaillement faible, la variation de la fraction surfacique des poches lors des
rencontres s'écrit $\alpha[\dst D]_{col} (2 \pi r^2 - a_0)$. Alors~:
$$
\dst \sigma \;=\;\displaystyle{ Ba_0\;-\;\frac{\pi r^2}{\tau}(D-A)\;+\; 2\pi r DC_*
  \;-\;\alpha 4 \pi r D \dst r (2\sigma\;-\;D a_0) }
$$
où $\alpha$ reste à paramétrer en fonction du cisaillement (pour le moment je prends
$\alpha\;=\;1$).
\item De la relation $\sigma\;=\;\pi r^2 D$ nous pouvons tirer~:
$$
  \dst \sigma \;=\; 2\pi r D \dst r \;+\; \pi r^2 \dst D
$$
La différence des deux dernières relations permet d'éliminer $\dst \sigma$ et d'obtenir
une expression (compliquée) de $\dst r$.
\item Les poches qui disparaissent par mort ou par collision contribuent au
{\bf détrainement}. Les naissances créent des zones (w) prises sur (x)~: elles contribuent
à {\bf l'entrainement}.
\end{itemize}

\subsection{Aspects techniques}
\subsubsection{Paramétrisation de $\beta$}
  Paramétrisation très simple fonction de [ALE$_{wk}$-|CIN|] avec deux seuils~:
\begin{itemize}
\item Pour ALE$_{wk}$-|CIN| < 0, $\beta\;=\;0$.
\item Pour ALE$_{wk}$-|CIN| > 2*|CIN|, $\beta\;=\;1$.
\item Pour 0 < ALE$_{wk}$-|CIN| < 2*|CIN|, interpolation linéaire.
\end{itemize}
  Ce facteur 2 est évidemment parfaitement arbitraire. Et cette paramétrisation n'est pas
satisfaisante pour CIN = 0. A REVOIR !!
\subsubsection{Paramétrisation de $\tau$}
  Considérons une poche inactive ayant pour rayon et hauteur initiales $r_0$ et $h_0$.
En supposant que la poche s'effondre adiabatiquement en gardant un volume
constant (en négligeant la variation de la masse volumique et en supposant
la masse constante) on obtient ($V$ est le volume de la poche)~:
\begin{equation}
\begin{array}{ll}
\left .
\begin{array}{ll}
\left \lbrace
\begin{array}{l}
  r\;=\;\displaystyle{\sqrt{\frac{V}{\pi h}} }  \\
  \\
  \dst h \;=\; -2 \displaystyle{C_* \sqrt{\frac{\pi h^3}{V}} }  \\
\end{array}
\right .   &  \\
  &  \\
\left \lbrace
\begin{array}{l}
  \text{Wape}\;=\;\displaystyle{\frac{1}{2} h \delta \theta_{surf} }\\
  \\
  C_*\;=\;\sqrt{\text{Wape}} \\
\end{array}
\right .  & \quad \Longrightarrow  \quad
\displaystyle{\frac{C_*}{C_{*0}}\;=\;\sqrt{\frac{h}{h_0}}  }\\
\end{array}
\right \rbrace & \Longrightarrow \displaystyle{\dst h\;=\;-2 h^2 \sqrt{\frac{\pi}{V h_0}} C_{*0} } \\
\end{array}
\end{equation}
   La formule de $\dst h$ s'intègre facilement. En exprimant tout en fonction de $C_*$ on obtient~:
\begin{equation}
\displaystyle{(\frac{C_{*0}}{C_*})^2\;=\; 1\;+\; 2 \frac{C_{*0}}{r_0} t }
\end{equation}
   Je fais l'hypothèse que la poche est morte lorsque la vitesse d'expansion devient
inférieure à une vitesse seuil $C_{*t}$. Cette vitesse seuil est atteinte au bout d'un
temps $t_l$ donné par~:
$$
\displaystyle{(\frac{C_{*0}}{C_{*t}})^2\;=\; 1\;+\; 2 \frac{C_{*0}}{r_0} t_l }
$$
ce qui donne~:
\begin{equation}
t_l\;=\;\displaystyle{\frac{r_0}{2C_{*0}}[(\frac{C_{*0}}{C_{*t}})^2\;-\;1]  }
\end{equation}

{\bf Application~:} A chaque instant nous connaisons le rayon $r$ et la vitesse
d'expansion $C_*$ de la poche représentative. Nous connaissons donc la durée $t_l$ qu'il
lui reste à vivre~:
$$
t_l\;=\;\displaystyle{\frac{r}{2C_{*}}[(\frac{C_{*}}{C_{*t}})^2\;-\;1]  }
$$
Supposant un régime permanent ($D-A$, $r$ et $C_*$ constants), le nombre de poches qui
meurent dans l'intervalle [t, t+$\delta$t] est égal au nombre de poches inactives ayant un age
compris entre t$_l$-$\delta$t et t$_l$, doit $(D\;-\;A)\frac{\delta t}{t_l}$. En prenant
$\tau\;=\;t_l$ nous retrouvons le terme de mortalité de l'équation \ref{eq.D}.
\subsubsection{Paramétrisation de $\alpha$ (effet du cisaillement}
  A FAIRE !!!

\subsection{Stochastic trigger}
\begin{itemize}
\item Analysis of LES (Large Eddy Simulation" of 10 July 2006 case over Niamey:
  \begin{enumerate}
  \item PDF of cumulus sizes is exponential.
  \item deep convection triggers when there are large cumulus.
  \end{enumerate}
\item Trigger = "largest cumulus size exceeds a given threshold"
\item From PDF of Cu size $\longrightarrow$ PDF of largest cumulus size
\item From the thermal model $\longrightarrow$ number of cumulus clouds per unit area
\item $\Longrightarrow$ number of cumulo-nimbus per unit area
\item $\Longrightarrow$ probability of triggering; use of a random number
generator to implement this probability (no trigger $\Rightarrow$ ALE set to zero).
\end{itemize}
\subsection{Model equations}
\begin{itemize}
\item $A$: number of active wakes per unit area
\item $D$: number of wakes per unit area
\item $\sigma$: fractionnal area covered by wakes
\item $r$: wake radius
\item $B$: birth rate of Cumulonimbus (and of wakes)
\item $a_0$: initial area of newborn wakes
\item $C_*$: gust front velocity
\item $\tau_{cv}$: lifetime of convective plumes
\item $\tau$: lifetime of collapsing wakes
\item $\beta$: fraction of wakes that are active
\item $\alpha$: factor going from zero (colliding wakes merely merge, whithout
wake area loss) to 1 (colliding wakes induce a new one that grows while the two
others collapse): should depend on shear. Presently, $\alpha=1$.
\end{itemize}
\begin{equation}
\nonumber
\begin{array}{l}
\left\lbrace
\begin{array}{cll}
\dst A &=&\displaystyle{ B\;-\;\frac{1}{\tau_{cv}}(A\;-\;\beta D) }\\
 & & \\
\dst D &=&\displaystyle{ B\;-\;\frac{D-A}{\tau}\;-\;4\pi r D^2 \dst r }\\
 & & \\
\dst \sigma &=&\displaystyle{ Ba_0\;-\;\frac{\pi r^2}{\tau}(D-A)\;+\; 2\pi r DC_*
  \;-\;\alpha 4 \pi r D \dst r (2\sigma\;-\;D a_0) }\\
\end{array}
\right . \\
\text{and from } \sigma\;=\;\pi r^2 D \text{ : }
\dst \sigma \;=\; 2\pi r D \dst r \;+\; \pi r^2 \dst D \\
\end{array}
\end{equation}

\vspace{.7cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% --0--%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%




\end{document}
