%*CMZ :          20/11/2010  14.30.48  by  Jean-Yves Grandpeix
%*CMZ :  1.00/00 18/11/2010  20.48.18  by  Jean-Yves Grandpeix
%*-- Author :    Jean-Yves Grandpeix   18/11/2010
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%._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._.
%
\begin{document}
%
%._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._.
%

\newcommand{\Condl}{Conditions aux limites }
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%*KEEP,mathwake,T=LATEX.
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%*KEND.
\begin{center}
\large {\bf Manipulation simulant une tornade~: calcul des pressions}
\\[1.0cm]
{\bf TIPE Cyclone}
\today
\\[1.0cm]
\hrule
\end{center}



\vspace{.7cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% --0--%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Structure générale}

Sur la figure \ref{boucle.fig} est représenté le circuit parcouru par le fluide. Le fluide
émerge de l'extracteur à une pression $p_1$. Dans la conduite, les pertes de charge et les
changements de section amènent le fluide à une pression $p_2$ lorsqu'il arrive dans le
volume cyclonique. Le fluide entre dans le volume avec une vitesse tangentielle $v_2$~; ce 
jet induit un écoulement turbulent en rotation plus ou moins solide où la pression 
s'uniformise à la valeur $p_3$. Sous la bouche d'entrée de l'extracteur (rayon 8 cm) se 
forme un écoulement ascendant dans lequel se développe un tourbillon. Les très grandes 
vitesses atteintes par le fluide dans le tourbillon, amènent à une pression $p_4$. 
Finalement, l'extracteur fait passer le fluide de la pression $p_4$ à la pression 
$p_1\;>\;p_4$.

Dans le tourbillon, l'extracteur et la conduite, le débit de masse est le même. On le 
dénotera $D_M$.

Le but de cette note est d'écrire les relations existants entre ces diverses pressions,
d'en deduire le débit de masse $D_M$ et la chute de pression $p_3-p_4$ dans le tourbillon.


On désigne par $S_1$ et $S_2$ les sections de la conduite à ses deux extrémités et par
$S_4$ la section de la bouche d'entrée dans l'extracteur.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% --0--%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Equations de la pression}

{\bf Equation de l'extracteur (type CK de Unelvent)} \\
L'équation de l'extracteur relie le débit massique $D_M$ traversant l'extracteur et le
différentiel de pression $\delta p$ entre sortie et entrée de l'extracteur. Son graphe est
approximativement un segment de droite, allant de $D_M = D_{M0}$ pour $\delta p = 0$ à 
$D_M = 0$ pour $\delta p = \delta p_0$~:
\begin{equation}
\label{ventilo.equ}
  \frac{D_M}{D_{M0}}\;+\;\frac{\delta p}{\delta p_0}\;=\;1
\end{equation}
oú $D_{M0}$ et $\delta p_0$ sont les valeurs maximales du débit et du différentiel de
pression.

On a~:
\begin{equation}
\label{pres1.equ}
   p_1\;-\;p_4 = \delta p
\end{equation}

{\bf Equations de la conduite} \\
Conservation du débit~:
\begin{equation}
 D_M\;=\;S_1\rho v_1\;=\;S_2\rho v_2
\end{equation}
Equation de Bernouilli (en néligeant les pertes de charge)~:
\begin{equation}
    \frac{p_1}{\rho} + \frac{1}{2} v_1^2 \;=\; \frac{p_2}{\rho} + \frac{1}{2} v_2^2
\end{equation}
En substituant aux vitesses leurs expressions en fonction de $D_M$ on
obtient~:
\begin{equation}
\label{pres2.equ}
    p_2\;=\;p_1\;+\;\frac{D_M^2}{2\rho}(\frac{1}{S_1^2}-\frac{1}{S_2^2})
\end{equation}

\begin{figure}
\psset{unit=0.1\linewidth}
\begin{pspicture}(7.5,4.5)
% Extracteur
\psline(0.,4.)(2.,4.)
\psline(0.,4.)(0.,3.)
\psline(0.,3.)(1.5,3.)
\psline(1.5,3.)(1.5,3.5)
\psline(1.5,3.5)(2.0,3.5)
\psline(2.0,3.5)(2.0,4.0)
\rput(0.75,4.15){Extracteur}
% Conduite
\psline(2.0,3.75)(7.0,3.75)
\psline(7.0,3.75)(7.0,1.0)
\psline(7.0,1.0)(6.5,1.0)
\rput(5.0,3.90){Conduite}
%Debit de masse
\psline{->}(3.5,3.6)(4.0,3.6)
\rput(3.2,3.6){$D_M$}
% Volume cyclonique
\psline(0.,2.9)(6.5,2.9)
\psline(6.5,2.9)(6.5,0.0)
\psline(0.,0.0)(6.5,0.0)
\psline(0.,0.0)(0.,2.9)
\rput(4.0,1.15){Volume cyclonique}
% Tourbillon
\psline(0.75,0.0)(0.75,3.0)
\psline(0.,0.0)(0.,3.0)
\rput(0.3,2.0){Tourbillon}
% Variables pression
\rput(2.2,3.85){$p_1$}
\rput(6.7,1.15){$p_2$}
\rput(1.0,1.15){$p_3$}
\rput(0.5,2.7){$p_4$}
% Sections
\rput(2.2,3.5){$S_1$}
\rput(6.7,0.85){$S_2$}
\rput(0.15,2.7){$S_4$}
% Vitesses tangentielles
\rput(6.35,1.0){$v_2$}
%%\rput(0.75,0.5){$v_3$}

\end{pspicture}
\caption{Schéma de la boucle fluide }
\label{boucle.fig}
\end{figure}

{\bf Equations dans le volume cyclonique} \\
On suppose que le fluide entre tangentiellement à la paroi circulaire
externe avec la vitesse $v_2$ et que ce jet induit un écoulement turbulent en rotation 
plus ou moins solide où la pression s'uniformise à la valeur $p_3$~: 
\begin{equation}
\label{pres3.equ}
    p_3 \;=\; p_2 + \alpha \frac{D_M^2}{ \rho S_2^2}
\end{equation}
  Le paramètre $\alpha$ traduit l'effet de la dissipation dans l'écoulement turbulent~: il 
est supérieur ou égal à 1/2 et vaut 1/2 en l'absence de turbulence (équation de 
Bernouilli). Noter que, du fait que la pression $p_2$ est inférieure à $p_3$, les forces 
de pression vont exercer un couple négatif sur le fluide intérieur à la cavité (alors que 
le jet émergeant en $S_2$ apporte un moment cinétique positif).

{\bf Equation dans le tourbillon axial} \\
  On suppose que le tourbillon axial obéit au modéle du tourbillon stationnaire dans un 
fluide de vitesse verticale horizontalement homogène croissant linéairement en fonction de 
l'altitude. Alors la pression moyenne sur la bouche d'entrée de l'extracteur s'écrit 
(voir la démonstration dans l'appendice)~:

\begin{equation}
\label{pres4.equ}
    p_4\;=\;p_3\;-\;\frac{\rho \pi}{S_4}\frac{L_{out}^2}{D_M^2} 
          [\frac{1}{2} \ln(\frac{D_M}{4\pi\nu \rho h})\;+\;\beta]
\end{equation}
où $\beta$ est un coefficient calculé numériquement en intégrant l'équation de la pression 
($dp/dr\;=\;\frac{\rho v^2}{r}$) et en moyennant la pression sur le disque de rayon $R_4$ 
(lequel est supposé plus grand que la zone où les effets visqueux se font sentir) . On 
trouve~: $\beta\;\simeq\; 0.19$.

\subsection*{Bilan de moment cinétique}
Il s'agit d'exprimer le terme $L_{out}$ figurant dans l'équation (\ref{pres4.equ}). 
Pour cela nous écrivons l'équation de bilan du moment cinétique total $L_{\text{tot}}$, 
par rapport à l'axe de la cavité, du fluide dans la cavité;
\begin{equation}
  \frac{dL_{\text{tot}}}{dt}\;=\;L_{in}\;+\;\Gamma_n\;+\; \Gamma_t\;-\; L_{out}
\end{equation}
où~:
\begin{itemize}
\item $L_{in}$ est le moment cinétique apporté par le jet entrant dans la cavité (moment 
cinétique massique $R_c v_2$ transporté par le flux de masse $D_M$, $R_c$ étant le rayon 
de la cavité).~: 
\begin{equation}
\begin{array}{ll}
   L_{in} &=\;D_M (R_c v_2) \\
          & \\
          &\displaystyle{=\;\frac{D_M^2 R_c}{\rho S_2} } \\
\end{array}
\end{equation}
\item $\Gamma_n$ est le couple exercé sur le fluide intérieur à la cavité par les forces 
normales aux parois. Nous supposons que ce couple est essentiellement dû à la dépression 
$p_2$ à l'entrée $S_2$~: la force est $(p_2-p_3)S_2$~; le couple exercé est~:
\begin{equation}
\begin{array}{ll}
   \Gamma_n &=\; (p_2-p_3)S_2 R_c \\
          & \\
          &\displaystyle{=\;-\alpha \frac{D_M^2 R_c}{\rho S_2} } \\
\end{array}
\end{equation}
\item $\Gamma_t$ est le couple exercé par les forces de frottement à la paroi cylindrique 
de la cavité. Pour estimer les forces de frottement il est nécessaire d'estimer, d'une 
part, une vitesse caractéristique au voisinage de la paroi et, d'autre part, l'épaisseur 
de la couche limite, ce qui demande à son tour l'utilisation d'une longueur 
caractéristique. Ces deux paramètres sont un peu arbitraires. Nous avons choisi $v_2/2$ 
comme vitesse caractéristique et $2 R_c$ comme longueur caractéristique. Afin de 
représenter le caractère arbitraire de ces grandeurs caractéristiques, nous avons 
introduit un coefficient multiplicatif $C_{\Gamma_t}$ que nous ferons varier entre 0.5 et 
1.5 lorsque nous calculerons le débit~:
\begin{equation}
  \Gamma_t\;=\;- C_{\Gamma_t}\pi h \sqrt{\frac{\nu}{4\rho} (\frac{ D_{M}R_c}{S_2})^3}
\end{equation}
\end{itemize}
Nous supposons maintenant que le fluide de la cavité atteint un régime stationnaire. 
Alors~:
\begin{equation}
\begin{array}{ll}
  L_{out} &=\; L_{in} \;+\; \Gamma_n \;+\; \Gamma_t  \\
          &=\; L_{in} (1-\alpha)\;+\; \Gamma_t  \\
\end{array}
\end{equation}


\subsection*{Résolution~: équation en $D_M$}
En sommant les équation de pression (\ref{pres1.equ}, \ref{pres2.equ}, \ref{pres3.equ} et
\ref{pres4.equ}) on obtient une équation où tous les termes de pression ont disparu. Afin 
de manipuler des termes de dimension comparable, on pose $X = D_M/D_{M0}$ ($X$ peut 
varier entre 0 et 1). L'équation s'écrit~:
\begin{equation}
\label{X.equ}
  0\;=\;\delta p_0(1-X) + 
         X^2 \frac{D_{M0}^2}{\rho}[\frac{1}{2S_1^2}+(\alpha-\frac{1}{2})\frac{1}{S_2^2}]\;-\;
         X^{-2} \frac{\rho \pi}{S_4}\frac{L_{out}^2}{D_{M0}^2} 
          [\frac{1}{2} \ln(\frac{X D_{M0}}{4\pi\nu \rho h})\;+\;\beta]
\end{equation}
où on a utilisé l'expression de $\delta p$ donnée par l'équation (\ref{ventilo.equ}) et 
où~: 
\begin{equation}
  L_{out}\;=\; L_{in} (1-\alpha)\;+\; \Gamma_t  \\
\end{equation}
avec~:
\begin{equation}
  L_{in}\;=\; X^2 \frac{D_{M0}^2 R_c}{\rho S_2}
\end{equation}
et~:
\begin{equation}
  \Gamma_t\;=\;- C_{\Gamma_t} X^{3/2}\pi h \sqrt{\frac{\nu}{4\rho} (\frac{ D_{M0}R_c}{S_2})^3}
\end{equation}

  Pour résoudre l'équation (\ref{X.equ}) nous l'écrivons sous la forme $0\;=\;f(X)$ et 
nous traçons le graphe de la fonction $f(x)$ sur l'intervalle [0, 1] et cherchons 
graphiquement les intersections avec 0.


{\bf Comparaison aux observations} \\
  Valeurs des paramètres~:
\begin{equation}
\nonumber
\begin{array}{cccc}
\text{Masse volumique} & \rho & = & 1.3\; kg/m^3  \\
 & & & \\
\text{Viscosité moléculaire} & \nu & = & 1.5\times 10^{-5}\; m^2/s  \\
 & & & \\
\text{Viscosité turbulente dans le tourbillon} & \nu_t & = & \nu  \\
 & & & \\
\text{Constante pour la dépression tourbillonaire} & \beta & = & 0.19  \\
 & & & \\
\text{Section à la sortie de l'extracteur} & s_1 & = & \pi/4. \times 10^{-2}\; m^2 \\
 & & & \\
\text{Section à l'entrée dans la cavité} & s_2 & = & 0.31 \times  10^{-2}\; m^2 \\
 & & & \\
\text{Section à l'entrée de l'extracteur} & s_4 & = & \pi \times 0.64\times 10^{-2}\; m^2 
\\ & & & \\
\text{Hauteur de la cavité} & h & = & 0.5\; m \\
 & & & \\
\text{Écart de pression maximum de l'extracteur} & \delta p_{0} & = & 300.\;  Pa \\
 & & & \\
\text{Débit maximum de l'extracteur} & D_{M0} & = & 0.1\;  kg/s\\
 & & & \\
\text{Rayon de la cavité} & R_c & = & 0.6 m  \\
\end{array}
\end{equation}
  Les figures suivantes représentent la courbe $f(X)$ pour diverses valeurs 
de $\alpha$ (0.5, 0.6, 0.7) et de $C_{\Gamma_t}$ (0.4, 0.6, 0.8, 1., 1.2, 1.4).
%
\begin{figure}[ht]
\centerline{\psfig{figure=calcul_debit/ff_alpha_0.5.eps}}
%
\end{figure}
\begin{figure}[ht]
\centerline{\psfig{figure=calcul_debit/ff_alpha_0.6.eps}}
%
\end{figure}
\begin{figure}[ht]
\centerline{\psfig{figure=calcul_debit/ff_alpha_0.7.eps}}
%
\end{figure}

  La valeur observée pour le débit est de l'ordre de 0.06 m$^3$/s, ce qui correspond à 
$X\;=\;0.6$.  On constate que pour $\alpha\;=\;0.7$ et pour $C_{\Gamma_t}$ voisin de 
l'unité les équations de notre modèle donnent un débit voisin de celui observé. Pour 
$\alpha$ plus faible, au contraire, le débit est trop faible et incompatible avec 
l'observation.

\subsection*{Appendice~: détermination de la dépression moyenne à l'entrée de 
l'extracteur}
Nous supposons que le tourbillon axial peut être décrit par le modèle de tourbillon 
stationnaire avec vitesse verticale horizontalement homogène et proportionnelle à 
l'altitude $z$. Nous supposons aussi que le débit sortant de moment cinétique $L_{out}$ 
est donné. Nous supposons enfin que la partie rotationnelle du tourbillon est entièrement 
contenue dans le cylindre circulaire, parallèle à l'axe et ayant pour sommet l'entrée 
$S_4$ de l'extracteur.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection{Modèle de tourbillon}
   Le modèle dépend des paramètres $\omega_0$, qui est le tourbillon maximum (sur 
l'axe), et $a$, qui est le gradient vertical de vitesse verticale. Le tourbillon est donné 
par~: 
$$
   \omega \;=\; \omega_0 \exp(-\frac{a r^2}{4 \nu})
$$
et le champ de vitesse tangentielle par~:
$$
   v\;=\;\frac{4 \nu \omega_0}{a r}(1\;-\;\exp)-\frac{a r^2}{4 \nu}))
$$
  Si on introduit le rayon $R$ caracteristique de la partie rotationnelle du tourbillon, 
le champ de vitesse devient~:
$$
   v\;=\;\frac{4 \nu \omega_0}{a r}(1\;-\;\exp(-(\frac{r}{R})^2))
$$
avec~:
$$
   R\;=\; \sqrt{\frac{4 \nu}{a}}
$$
  La vitesse verticale à l'entrée de l'extracteur s'exprime à l'aide du gradient $a$~:
$w\;=\;a\;h$, où $h$ est la hauteur de la cavité. Ce qui permet de relier le paramètre $a$ 
avec le flux de masse $D_M$ (puisque $D_M\;=\;\rho w S_4$)~:
$$
   a\;=\;\frac{D_M}{\rho h S_4}
$$

  Au lieu de paramètrer le modele avec $\omega_0$, nous allons plutôt utiliser la 
circulation de la vitesse.  La circulation de la vitesse sur un cercle de rayon donné 
$r$ s'écrit~:
$$
  \int v\; r\; d\theta = \frac{8 \pi \nu \omega_0}{a}(1\;-\;\exp(-(\frac{r}{R})^2))
$$
On pose~:
$$
   \gamma\;=\; \frac{8 \pi \nu \omega_0}{a}
$$
Alors~:
\begin{equation}
\label{circ.eq}
  \int v\; r\; d\theta = \gamma (1\;-\;\exp(-(\frac{r}{R})^2))
\end{equation}
On voit que la circulation tend rapidement vers $\gamma$ lorsque $r\;>>\;R$. Finalement, 
la vitesse s'écrit~:
$$
   v\;=\;\frac{\gamma}{2 \pi r}(1\;-\;\exp(-(\frac{r}{R})^2))
$$
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection{Flux de moment cinétique}
Le débit $L_{out}$ de moment cinétique est l'intégrale sur le disque d'entrée de 
l'extracteur du produit du moment cinétique volumique $\rho r v$ par par la densité de 
débit volumique $w$ ~:
$$
  L_{out}\;=\;\int_{disque} r\;dr\;d\theta\;\rho r v w
$$
$w$ est uniforme sur le disque et égal à $D_M/(\rho S_4)$. En utilisant l'expression 
(\ref{circ.eq}) on obtient pour $L_{out}$~:
$$
  L_{out}\;=\; \frac{D_M}{S_4} \gamma \int_0^{R_4} (1\;-\;\exp(-(\frac{r}{R})^2)) r\;dr
$$
ce qui s'intègre en~:
$$
  L_{out}\;=\; \frac{\gamma D_M}{2 \pi} 
       [1.\;-\;(\frac{R}{R_4})^2(1\;-\;\exp(-(\frac{R_4}{R})^2)) ]
$$
En supposant $R << R_4$, nous allons faire l'approximation~:
\begin{equation}
\label{Lout.eq}
     L_{out}\;=\; \frac{\gamma D_M}{2 \pi} 
\end{equation}
  Nous utiliserons cette équation pour exprimer le paramètre $\gamma$ en fonction du débit 
$D_M$ et du débit de moment cinétique $L_{out}$ qui aura été déterminé grace au bilan de 
moment cinétique~:
\begin{equation}
\label{gamma.eq}
     \gamma \;=\; \frac{2 \pi L_{out}}{D_M} 
\end{equation}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection{Pression moyenne} 
Le champ de pression s'obtient en intégrant l'équation~:
$$
\frac{dp}{dr}\;=\;\rho \frac{v^2}{r}
$$
ce qui donne~:
\begin{equation}
\left \lbrace
\begin{array}{l}
p_3\;-\;p(r)\;=\;\displaystyle{ \rho (\frac{\gamma}{2 \pi R})^2 g(\frac{r}{R}) } \\
  \\
\text{avec : }
g(x)\;=\;\displaystyle{ \int_x^{\infty}\frac{1}{x^3}[1\;-\;\exp(-x^2)]^2 dx  } \\ 
\end{array}
\right .
\end{equation}
  Ensuite, la dépression moyenne sur la bouche d'entrée de l'extracteur s'écrit~:
$$
  p_3\;-\;p_4\;=\;\frac{1}{S_4}\int_0^{R_4} (p_3\;-\;p(r)) 2 \pi\;r\;dr
$$
soit~:
$$
  p_3\;-\;p_4\;=\;\displaystyle{ \rho \frac{\gamma^2}{2 \pi S_4}
                          \int_0^{\frac{R_4}{R}} x\;g(x) dx }
$$
  On peut montrer que, pour $R_4/R\;>>\;1$, cette expression s'écrit~:
$$
  p_3\;-\;p_4\;=\;\displaystyle{ \rho \frac{\gamma^2}{2 \pi S_4}
    [  \int_0^{\frac{R_4}{R}} dx \frac{1}{2 x}[1\;-\;\exp(-x^2)]^2 \;+\;\frac{1}{4} ]} 
$$
  Finalement, en coupant la dernière intégrale en deux (une première partie contenant le 
noyaux rotationnel et une seconde où $\exp(-x^2)\;<<\;1$) on arrive à~:
\begin{equation}
\left \lbrace
\begin{array}{l}
  p_3\;-\;p_4\;=\;\displaystyle{ \rho \frac{\gamma^2}{2 \pi S_4}
 [Ln(\frac{R_4}{R})\;+\;\beta'\;+\;\frac{1}{4} ] } \\
  \\
\text{avec : }
 \beta'\;=\;\text{lim}_{n \rightarrow \infty}
 \displaystyle{ \lbrace \int_0^n \frac{dx}{x}[1\;-\;\exp(-x^2)]^2\;-\;Ln(n) \rbrace } \\
\end{array}
\right .
\end{equation}
  Une intégration numérique donne $\beta'\;\simeq\;-0.06$.

  En mettant tout ensemble, on obtient finalement~:
\begin{equation}
\left \lbrace
\begin{array}{l}
  p_3\;-\;p_4\;=\;\displaystyle{ \pi \rho \frac{L_{out}^2}{D_M^2 S_4}
 [Ln(\frac{R_4}{R})\;+\;\beta ] } \\
  \\
\text{avec : }
 \beta\;\simeq\;0.19  \\
\end{array}
\right .
\end{equation}
  le passage à l'équation (\ref{pres4.equ}) se fait simplement en remplaçant $R$ par son 
expression en fonction de $a$, puis $a$ en fonction de $D_M$.


\end{document}

